人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用 教學(xué)設(shè)計(jì)

人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析“人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)”：本節(jié)課主要介紹函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，包括線性函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型等。通過(guò)分析具體實(shí)例，使學(xué)生掌握如何選擇合適的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力和應(yīng)用意識(shí)。本節(jié)課內(nèi)容與生活實(shí)際緊密聯(lián)系，旨在培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)際問(wèn)題解決能力和創(chuàng)新思維能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。通過(guò)分析實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型，學(xué)生將提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。同時(shí)，通過(guò)探索和建立函數(shù)模型，學(xué)生將發(fā)展邏輯思維能力，學(xué)會(huì)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。此外，通過(guò)對(duì)不同函數(shù)模型的比較和分析，學(xué)生將增強(qiáng)數(shù)據(jù)分析能力，為解決更復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題奠定基礎(chǔ)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用：本節(jié)課的核心是讓學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的函數(shù)模型。例如，對(duì)于描述人口增長(zhǎng)、物體冷卻等情境，重點(diǎn)在于讓學(xué)生理解并掌握指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用。

-實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象：培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，如將物理運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的距離、速度等關(guān)系抽象為函數(shù)表達(dá)式。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-函數(shù)模型的選擇依據(jù)：學(xué)生可能難以判斷在何種情況下使用哪種函數(shù)模型，例如，如何判斷一個(gè)實(shí)際問(wèn)題應(yīng)該用線性函數(shù)還是二次函數(shù)模型來(lái)描述。

-難點(diǎn)舉例：在講解線性增長(zhǎng)與非線性增長(zhǎng)時(shí)，學(xué)生可能難以區(qū)分何時(shí)使用線性函數(shù)模型（如人口增長(zhǎng)初期）和何時(shí)使用非線性函數(shù)模型（如人口增長(zhǎng)后期）。

-函數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)：確定函數(shù)模型參數(shù)的過(guò)程可能對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)較為復(fù)雜，例如，如何從給定數(shù)據(jù)中估計(jì)線性函數(shù)的斜率和截距。

-難點(diǎn)舉例：在分析一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，學(xué)生可能不知道如何使用最小二乘法來(lái)估計(jì)線性函數(shù)模型的參數(shù)，或者難以理解最小二乘法的數(shù)學(xué)原理。

-實(shí)際問(wèn)題與函數(shù)模型的關(guān)聯(lián)：學(xué)生可能難以將實(shí)際問(wèn)題與函數(shù)模型建立起直接的聯(lián)系，例如，如何將經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的成本、收益與函數(shù)模型關(guān)聯(lián)起來(lái)。

-難點(diǎn)舉例：在分析一個(gè)公司成本收益問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能不知道如何將成本和收益表示為函數(shù)，以及如何通過(guò)函數(shù)模型預(yù)測(cè)未來(lái)的收益情況。教學(xué)資源-軟硬件資源：計(jì)算機(jī)、投影儀、白板、數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra）

-課程平臺(tái)：學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)、在線學(xué)習(xí)平臺(tái)

-信息化資源：數(shù)學(xué)建模案例資料、函數(shù)模型教學(xué)視頻、在線互動(dòng)問(wèn)答系統(tǒng)

-教學(xué)手段：小組討論、案例分析、實(shí)驗(yàn)?zāi)M、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)教學(xué)過(guò)程1.導(dǎo)入新課

-我會(huì)通過(guò)提出一個(gè)實(shí)際問(wèn)題來(lái)導(dǎo)入新課，例如：“同學(xué)們，你們知道我們國(guó)家的GDP增長(zhǎng)率是如何計(jì)算的嗎？其實(shí)，這就是一個(gè)典型的函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題。今天，我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何選擇和應(yīng)用函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題?！?/p>

2.知識(shí)回顧

-在進(jìn)入新課內(nèi)容之前，我會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生回顧一下之前學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)，如線性函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等，并簡(jiǎn)要介紹它們?cè)趯?shí)際生活中的應(yīng)用。

-我會(huì)提問(wèn)：“同學(xué)們，你們能告訴我我們學(xué)過(guò)的這些函數(shù)分別有什么特點(diǎn)嗎？它們?cè)趯?shí)際生活中有哪些應(yīng)用呢？”

3.教學(xué)新課

（1）函數(shù)模型的選擇

-首先，我會(huì)講解如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的函數(shù)模型。我會(huì)通過(guò)具體的案例來(lái)說(shuō)明，如線性增長(zhǎng)、非線性增長(zhǎng)等。

-我會(huì)說(shuō)：“同學(xué)們，當(dāng)我們遇到描述人口增長(zhǎng)、物體冷卻等情境時(shí)，我們可以選擇指數(shù)函數(shù)模型；而當(dāng)遇到描述物體運(yùn)動(dòng)、成本分析等情境時(shí)，我們可能需要選擇線性函數(shù)模型或二次函數(shù)模型?！?/p>

（2）實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象

-接下來(lái)，我會(huì)教授如何從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型。我會(huì)以一個(gè)具體的案例為例，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、提煉關(guān)鍵信息，并建立函數(shù)模型。

-我會(huì)說(shuō)：“同學(xué)們，我們現(xiàn)在來(lái)分析一個(gè)物理運(yùn)動(dòng)問(wèn)題。假設(shè)一個(gè)物體從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，我們需要描述它的位移和時(shí)間的關(guān)系。大家能告訴我如何建立這個(gè)關(guān)系嗎？”

（3）函數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)

-然后，我會(huì)講解如何確定函數(shù)模型的參數(shù)。我會(huì)通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或?qū)嶋H案例來(lái)說(shuō)明如何使用最小二乘法等方法來(lái)估計(jì)參數(shù)。

-我會(huì)說(shuō)：“同學(xué)們，當(dāng)我們有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，如何確定線性函數(shù)模型的參數(shù)呢？這里我們需要使用最小二乘法。下面，我們來(lái)學(xué)習(xí)一下最小二乘法的基本原理?！?/p>

（4）函數(shù)模型的應(yīng)用

-最后，我會(huì)讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題。我會(huì)給出一些案例，讓學(xué)生分組討論、分析，并建立相應(yīng)的函數(shù)模型。

-我會(huì)說(shuō)：“同學(xué)們，現(xiàn)在請(qǐng)大家分成小組，每個(gè)小組選擇一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，嘗試運(yùn)用我們學(xué)過(guò)的函數(shù)模型來(lái)解決。大家可以參考教材中的案例，也可以自己搜集相關(guān)資料?！?/p>

4.練習(xí)與討論

-在講解完新課內(nèi)容后，我會(huì)給出一些練習(xí)題，讓學(xué)生獨(dú)立完成。然后，我會(huì)組織學(xué)生進(jìn)行討論，共同分析解答過(guò)程中的疑惑。

-我會(huì)說(shuō)：“同學(xué)們，現(xiàn)在請(qǐng)大家完成練習(xí)題。完成后，我們可以一起討論，看看大家的解答是否正確，也可以互相交流一下解題思路?！?/p>

5.總結(jié)與反思

-最后，我會(huì)對(duì)本次課程進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)模型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值，并引導(dǎo)學(xué)生反思所學(xué)內(nèi)容。

-我會(huì)說(shuō)：“同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了函數(shù)模型的應(yīng)用。希望大家能夠認(rèn)識(shí)到函數(shù)模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用，并在今后的學(xué)習(xí)和生活中，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題。下面，請(qǐng)大家分享一下本次課程的學(xué)習(xí)心得?！睂W(xué)生學(xué)習(xí)效果學(xué)生學(xué)習(xí)效果，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.掌握函數(shù)模型的基本概念和特點(diǎn)：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠理解函數(shù)模型的概念，了解不同類型的函數(shù)模型（如線性函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型等）的特點(diǎn)和應(yīng)用場(chǎng)景。

2.提高數(shù)學(xué)建模能力：學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)分析實(shí)際案例，能夠?qū)?shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)的函數(shù)知識(shí)建立合適的函數(shù)模型，從而提高了數(shù)學(xué)建模能力。

3.增強(qiáng)邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力：學(xué)生在建立函數(shù)模型的過(guò)程中，需要運(yùn)用邏輯推理來(lái)分析問(wèn)題，通過(guò)數(shù)據(jù)分析和參數(shù)估計(jì)來(lái)確定模型的準(zhǔn)確性。這些過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析能力。

4.提升實(shí)際問(wèn)題解決能力：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，學(xué)會(huì)如何選擇合適的函數(shù)模型來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，從而提升了實(shí)際問(wèn)題的解決能力。

5.培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)：學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)模型的應(yīng)用過(guò)程中，逐漸認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在生活中的重要性，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

6.具體知識(shí)點(diǎn)掌握情況：

-理解并能夠運(yùn)用線性函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，如成本分析、收益預(yù)測(cè)等。

-掌握二次函數(shù)模型的應(yīng)用，能夠解決拋物線運(yùn)動(dòng)、最優(yōu)化問(wèn)題等。

-了解指數(shù)函數(shù)模型的特點(diǎn)，能夠應(yīng)用于人口增長(zhǎng)、放射性衰變等情境。

-學(xué)會(huì)使用最小二乘法等參數(shù)估計(jì)方法，能夠從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中估計(jì)函數(shù)模型的參數(shù)。

-能夠通過(guò)函數(shù)模型對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和分析，提出合理的解決方案。

7.增強(qiáng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作和溝通能力：在小組討論和案例分析環(huán)節(jié)，學(xué)生需要與同伴合作，共同解決問(wèn)題。這一過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和溝通能力。

8.培養(yǎng)創(chuàng)新思維：在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生需要不斷嘗試新的方法和思路，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問(wèn)題的能力。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.基礎(chǔ)題：請(qǐng)同學(xué)們完成教材PXX頁(yè)的練習(xí)題1-5，這些題目旨在幫助你們鞏固函數(shù)模型的基本概念和特點(diǎn)。

-練習(xí)題1：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，選擇合適的函數(shù)模型進(jìn)行擬合，并解釋選擇的理由。

-練習(xí)題2：建立線性函數(shù)模型，描述某種商品的成本與產(chǎn)量之間的關(guān)系。

-練習(xí)題3：分析二次函數(shù)模型在物理運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，如拋物線運(yùn)動(dòng)。

-練習(xí)題4：探討指數(shù)函數(shù)模型在人口增長(zhǎng)中的應(yīng)用。

-練習(xí)題5：使用最小二乘法估計(jì)線性函數(shù)模型的參數(shù)。

2.提高題：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合自己的生活實(shí)際，選擇一個(gè)感興趣的問(wèn)題，嘗試建立函數(shù)模型，并撰寫(xiě)一篇簡(jiǎn)短的報(bào)告。

-報(bào)告要求：描述問(wèn)題的背景，建立函數(shù)模型的過(guò)程，參數(shù)估計(jì)的方法，以及對(duì)結(jié)果的討論和分析。

3.拓展題：閱讀教材中的案例研究，思考如何將案例中的函數(shù)模型應(yīng)用于其他類似情境，并撰寫(xiě)一篇心得體會(huì)。

作業(yè)反饋：

1.對(duì)于基礎(chǔ)題，我會(huì)在下次課前對(duì)你們的作業(yè)進(jìn)行批改，并提供及時(shí)的反饋。我會(huì)重點(diǎn)關(guān)注以下幾點(diǎn)：

-是否正確理解了函數(shù)模型的概念。

-是否能夠合理選擇函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

-是否掌握了參數(shù)估計(jì)的基本方法。

2.對(duì)于提高題和拓展題，我會(huì)在一周內(nèi)完成批改，并給出詳細(xì)的評(píng)價(jià)和建議。我會(huì)考慮以下方面：

-問(wèn)題的選擇是否具有實(shí)際意義。

-函數(shù)模型的建立是否合理。

-參數(shù)估計(jì)的方法是否正確。

-報(bào)告的結(jié)構(gòu)是否清晰，語(yǔ)言是否表達(dá)流暢。

3.對(duì)于作業(yè)中普遍存在的問(wèn)題，我會(huì)在課堂上進(jìn)行集中講解，確保每位同學(xué)都能夠理解和掌握相關(guān)知識(shí)。對(duì)于個(gè)別同學(xué)的問(wèn)題，我會(huì)提供一對(duì)一的輔導(dǎo)，幫助你們克服學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。

4.我會(huì)鼓勵(lì)同學(xué)們相互之間進(jìn)行作業(yè)交流，通過(guò)討論和互助，共同提高函數(shù)模型的應(yīng)用能力。重點(diǎn)題型整理題型一：線性函數(shù)模型的應(yīng)用

題目：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為50元，售價(jià)為100元。假設(shè)工廠每月固定成本為2000元，問(wèn)該工廠每月銷售多少件產(chǎn)品才能達(dá)到盈虧平衡？

答案：設(shè)銷售產(chǎn)品的件數(shù)為x，則總成本為50x+2000，總收入為100x。盈虧平衡時(shí)，總成本等于總收入，即50x+2000=100x。解得x=40。所以，該工廠每月需銷售40件產(chǎn)品才能達(dá)到盈虧平衡。

題型二：二次函數(shù)模型的應(yīng)用

題目：一個(gè)拋物線運(yùn)動(dòng)物體的最高點(diǎn)距離地面10米，物體從最高點(diǎn)落地經(jīng)過(guò)4秒鐘。求物體的下落速度和落地點(diǎn)距離最高點(diǎn)的水平距離。

答案：設(shè)物體的下落速度為v，水平距離為x。由題意知，物體下落的垂直位移為10米，水平位移為4x米。根據(jù)二次函數(shù)模型，垂直位移s=-0.5gt^2+vt，其中g(shù)為重力加速度，t為時(shí)間。將s=10，t=4代入，得到-0.5g(4^2)+4v=10。解得v=5g/2。由于g=9.8m/s^2，所以v=24.5m/s。水平距離x=vt=24.5*4=98米。

題型三：指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

題目：某地區(qū)的人口以每年5%的速率增長(zhǎng)。如果該地區(qū)目前人口為100萬(wàn)，求5年后的人口數(shù)量。

答案：設(shè)n年后的人口數(shù)量為P(n)，則P(n)=P0*(1+r)^n，其中P0為初始人口數(shù)量，r為增長(zhǎng)率。將P0=100萬(wàn)，r=0.05，n=5代入，得到P(5)=100萬(wàn)*(1+0.05)^5=127.628萬(wàn)。所以，5年后的人口數(shù)量約為127.628萬(wàn)。

題型四：函數(shù)模型的參數(shù)估計(jì)

題目：以下是某次實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的物體在不同時(shí)間下的溫度數(shù)據(jù)（單位：攝氏度）：

時(shí)間（分鐘）:012345

溫度（℃）:202225283135

假設(shè)物體溫度的變化可以用線性函數(shù)模型描述，求該模型的函數(shù)表達(dá)式。

答案：使用最小二乘法估計(jì)線性函數(shù)模型的參數(shù)。設(shè)線性函數(shù)為T(mén)=at+b。根據(jù)最小二乘法的原理，我們可以列出以下方程組：

Σ(t-t?)(T-T?)=aΣ(t-t?)^2+bΣ(t-t?)

Σ(t-t?)^2=aΣ(t-t?)^2+bΣ(t-t?)

其中，t?和T?分別是時(shí)間和溫度的平均值。通過(guò)計(jì)算得到a和b的值，從而得到線性函數(shù)的表達(dá)式。計(jì)算后得到T=3t+17。

題型五：綜合應(yīng)用題

題目：一家公司計(jì)劃投資一個(gè)新項(xiàng)目，該項(xiàng)目的預(yù)期壽命為4年。項(xiàng)目的初始投資成本為100萬(wàn)元，每年可以帶來(lái)30萬(wàn)元的凈收益。項(xiàng)目結(jié)束時(shí)，設(shè)備可以以10萬(wàn)元的價(jià)格出售。假設(shè)折現(xiàn)率為12%，求該項(xiàng)目的