2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元雙優(yōu)測評卷-第四章數(shù)列B卷含解析

PAGEPAGE22第四章數(shù)列B卷培優(yōu)提能過關(guān)卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A．26 B．39 C．104 D．522．已知數(shù)列滿意，且.若，則正整數(shù)（）A．24 B．23 C．22 D．213．“十二平均律”是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數(shù)之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最終一個(gè)音的頻率是最初那個(gè)音的2倍.設(shè)第8個(gè)音的頻率為，則頻率為的音是（）A．第3個(gè)音 B．第4個(gè)音C．第5個(gè)音 D．第6個(gè)音4．我國明代聞名樂律學(xué)家、明宗室王子朱載堉在《律學(xué)新說》中提出的十二平均律，即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個(gè)八度音程從一個(gè)鍵到下一個(gè)鍵的8個(gè)白鍵與5個(gè)黑鍵（如圖）的音頻恰成一個(gè)公比為的等比數(shù)列的原理，也即高音的頻率正好是中音的2倍.已知#的頻率為，的頻率為，則（）A． B． C． D．5．已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，是的前項(xiàng)和，且，則（）A． B．C． D．6．已知是上的奇函數(shù)，，，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）．A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿意，，則（）A． B． C．35 D．8．已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，，則（）A．對隨意的，都有 B．對隨意的，都有C．存在，使得 D．對隨意的，都有二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，…仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，，，則前項(xiàng)和有最大值D．若數(shù)列滿意，則10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A．肯定是等比數(shù)列 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．11．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對于隨意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，則D．?dāng)?shù)列為遞減的等差數(shù)列12．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，…其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，.若，則________.14．在一個(gè)有限數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，從而形成一個(gè)新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次擴(kuò)充．如數(shù)列，，擴(kuò)充一次后得到，，，擴(kuò)充兩次后得到，，，，，以此類推．設(shè)數(shù)列，，（為常數(shù)），擴(kuò)充次后所得全部項(xiàng)的和記為，則______________．15．在數(shù)列中，．則數(shù)列的前20項(xiàng)之和為______．16．已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知數(shù)列滿意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上，數(shù)列滿意：且，前11項(xiàng)和為154（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式（2）令，數(shù)列前項(xiàng)和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值．19．已知數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，，對隨意都有．?dāng)?shù)列滿意，．（1）求證：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）設(shè)，對隨意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．在數(shù)列中，已知，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）是否存在正整數(shù)m、n、k，且，使得、、成等差數(shù)列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，請說明理由．21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿意．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）已知，規(guī)定，若存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．已知數(shù)列滿意．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知等差數(shù)列且，則數(shù)列的前13項(xiàng)之和為（）A．26 B．39 C．104 D．52【答案】A【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，，所以由可得：，解得：，所以數(shù)列的前13項(xiàng)之和為，故選：A2．已知數(shù)列滿意，且.若，則正整數(shù)（）A．24 B．23 C．22 D．21【答案】B【解析】解：由，得，所以數(shù)列為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以.由，得，.令得，所以，，所以，故選：B.3．“十二平均律”是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的振動數(shù)之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最終一個(gè)音的頻率是最初那個(gè)音的2倍.設(shè)第8個(gè)音的頻率為，則頻率為的音是（）A．第3個(gè)音 B．第4個(gè)音C．第5個(gè)音 D．第6個(gè)音【答案】C【解析】由題意知，這13個(gè)音的頻率構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)這13個(gè)音的頻率分別是，，…，，公比為，則，得，所以，令，解得.故選:C.4．我國明代聞名樂律學(xué)家、明宗室王子朱載堉在《律學(xué)新說》中提出的十二平均律，即是現(xiàn)代在鋼琴的鍵盤上，一個(gè)八度音程從一個(gè)鍵到下一個(gè)鍵的8個(gè)白鍵與5個(gè)黑鍵（如圖）的音頻恰成一個(gè)公比為的等比數(shù)列的原理，也即高音的頻率正好是中音的2倍.已知#的頻率為，的頻率為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知從左到右的音頻恰成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)知，所以，故選：D.5．已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，是的前項(xiàng)和，且，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題得，，兩式相減得，所以，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，所以，所以，所以數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.令得，解之得，所以.故選：A6．已知是上的奇函數(shù)，，，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由題已知是上的奇函數(shù)，故，代入得：，∴函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，令，則，得到，∵，，倒序相加可得，即，故選：A．7．已知數(shù)列滿意，，則（）A． B． C．35 D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，因此，同理，，，則，因此，，，，其中，則，則故選：A8．已知正項(xiàng)數(shù)列滿意，，則（）A．對隨意的，都有 B．對隨意的，都有C．存在，使得 D．對隨意的，都有【答案】D【解析】解：∵，∴可取，則由得，∴，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴，即，∴，累乘可得，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．下列說法正確的是（）A．若為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，…仍為等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，仍為等比數(shù)列C．若為等差數(shù)列，，，則前項(xiàng)和有最大值D．若數(shù)列滿意，則【答案】ACD【解析】對于A中，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，，，可得，所以，，，?gòu)成等差數(shù)列，故A正確；對于B中，設(shè)數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)，此時(shí)不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于C中，當(dāng)，時(shí)，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，此時(shí)全部正數(shù)項(xiàng)的和為的最大值，故C正確；對于D中，由，可得，所以或，則，所以，所以.因?yàn)?，所以，可得，所以，故D正確.故選：ACD10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，為常數(shù)），則下列結(jié)論正確的有（）A．肯定是等比數(shù)列 B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．【答案】BC【解析】由，得，，故，則，當(dāng)時(shí)，有，則，即，故當(dāng)時(shí)，數(shù)列為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；當(dāng)時(shí)，，而，故，則D錯(cuò)誤；故選：BC.11．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對于隨意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，則D．?dāng)?shù)列為遞減的等差數(shù)列【答案】AC【解析】令，則，因?yàn)?，所以為等差?shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯(cuò)誤；依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因?yàn)?，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12．已知數(shù)列：1，1，2，3，5，…其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對A，，，故A不正確；對B，，故B正確；對C，由，，，…，，可得，故C正確；對D，該數(shù)列總有，，則，，…，，，，故，故D正確．故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，.若，則________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，；經(jīng)檢驗(yàn)：時(shí)，滿意；綜上所述：，，解得：.故答案為：.14．在一個(gè)有限數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，從而形成一個(gè)新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次擴(kuò)充．如數(shù)列，，擴(kuò)充一次后得到，，，擴(kuò)充兩次后得到，，，，，以此類推．設(shè)數(shù)列，，（為常數(shù)），擴(kuò)充次后所得全部項(xiàng)的和記為，則______________．【答案】【解析】擴(kuò)充次后所得數(shù)列為，因此從到是等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為，且中間項(xiàng)為；從到也是等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為，且中間項(xiàng)為；依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故答案為：15．在數(shù)列中，．則數(shù)列的前20項(xiàng)之和為______．【答案】210【解析】因?yàn)?，所以有：由此可得出：，所以從第一?xiàng)起，依次相鄰兩奇數(shù)項(xiàng)的和為2，從其次項(xiàng)起，依次相鄰兩偶數(shù)項(xiàng)的和組成以8為首項(xiàng)，16為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前20項(xiàng)之和為：，故答案為：21016．已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值是________．【答案】3【解析】解：因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，則．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17．已知數(shù)列滿意.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減求得，又由時(shí)，，符合上式，即可求解；（2）由，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.（1）解：由題意，數(shù)列滿意，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，所以，又由當(dāng)時(shí)，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）解：由，則，所以，所以.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上，數(shù)列滿意：且，前11項(xiàng)和為154（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式（2）令，數(shù)列前項(xiàng)和為，求使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值．【答案】（1），，，；（2）12．【解析】解：（1）由題意，得，即，故當(dāng)時(shí)，，∵時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，，又，∴為等差數(shù)列，∴，∵，∴，∴，∴，即，．（2）∴，∵，∴單調(diào)遞增，故，令，得，∴．∴使不等式對一切都成立的最大正整數(shù)的值為12．19．已知數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，，對隨意都有．?dāng)?shù)列滿意，．（1）求證：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列；（2）設(shè)，對隨意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）證明：因?yàn)?，所以時(shí)，，兩式相減得：，即，又（），所以，又，，（因?yàn)椋?，所以，即，，，所以是等比?shù)列．，，設(shè)，則由得，所以，又，所以，所以，為等差數(shù)列．（2）由（1），，，對隨意，都有恒成立，則恒成立，，是遞增數(shù)列，為奇數(shù)時(shí)，，，為偶數(shù)時(shí)，，，，綜上．20．在數(shù)列中，已知，．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）是否存在正整數(shù)m、n、k，且，使得、、成等差數(shù)列？若存在，求出m、n、k的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析.【解析】（1）證明：由，得，從而，∴，又，故數(shù)列為等比數(shù)列；（2）由（1）可得，，則，假設(shè)存在正整數(shù)m、n、滿意題意，則，即，則兩邊同除以得，（*）由得，，；所以為奇數(shù)，而與均為偶數(shù)，故（*）式不能成立；即不存在正整數(shù)m、n、k，且，使得、、成等差數(shù)列．21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，公比為2的