人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓的相關(guān)概念和性質(zhì)（解析版）

專題11圓的相關(guān)概念和性質(zhì)

【思維導(dǎo)圖】

◎考點(diǎn)題型1圓的基礎(chǔ)概念

圓的概念：在一個(gè)平面內(nèi)，線段?！@它固定的一個(gè)端點(diǎn)L旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓.這個(gè)固定

的端點(diǎn)。叫做圓心，線段04叫做半徑.以。點(diǎn)為圓心的圓記作。0,讀作圓0.

特點(diǎn)：圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形.

確定圓的條件：

⑴圓心；

⑵半徑，

⑶其中圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)確定圓的大小.

補(bǔ)充知識(shí)：

1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓.

例.（2022.青海海東.九年級(jí)期末）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.直徑是弦B.經(jīng)過(guò)不在同一直線上三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓

C.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等D.兩個(gè)半圓是等弧

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)：弦的定義、確定圓的條件、外心性質(zhì)、弧的定義逐一判斷解答.

【詳解】解：A.直徑是弦，故A正確；

B.經(jīng)過(guò)不在同一直線上三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故B正確；

C.三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故C正確；

D.兩個(gè)半圓不一定是等弧，故D錯(cuò)誤，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

變式1.（2021?全國(guó).九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）A、B是半徑為5aw的：。上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦AB的取值范圍是

（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<AB<10

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)可直接進(jìn)行求解.

【詳解】???圓中最長(zhǎng)的弦為直徑，

Z.0<AB<10.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長(zhǎng)概念是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?四川涼山?中考真題）點(diǎn)尸是。內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的最長(zhǎng)弦的長(zhǎng)為lOcm,最短弦的長(zhǎng)為

6cm,則OP的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】B

【分析】根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，知該圓的直徑是10cm；最短弦即是過(guò)點(diǎn)P且垂直于過(guò)點(diǎn)P的直徑的

弦；根據(jù)垂徑定理即可求得CP的長(zhǎng)，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理，可以求得OP的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖所示，于點(diǎn)P.

根據(jù)題意，得

AB=10cm,CD=6cm.

AOC=5,CP=3

VCD±AB,

：.CP=gCD=3cm.

根據(jù)勾股定理，得OP=Joc2—孑=4cm.

故選B.

【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了垂徑定理和勾股定理.正確理解圓中，過(guò)一點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦和最短的弦.

變式3.（2020?陜西?咸陽(yáng)市秦都區(qū)教育局七年級(jí)階段練習(xí)）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形

的一組鄰邊長(zhǎng)分別是6和8,則這個(gè)圓柱的底面半徑是（）

-3-43f4

A.3B.—C.—D.一或一

nnJin

【答案】D

【分析】圓柱體的側(cè)面展開(kāi)圖為長(zhǎng)方形，其中一條邊長(zhǎng)為底面圓周長(zhǎng)，另一條邊為圓柱體的高，分類討

論，（1）當(dāng)6為底面圓周長(zhǎng)時(shí)，（2）當(dāng)8為底面圓周長(zhǎng)時(shí)，分別計(jì)算出底面半徑即可.

3

【詳解】（1）當(dāng)6為底面圓周長(zhǎng)時(shí)，6=Inr,r=—：

n

4

（2）當(dāng)6為底面圓周長(zhǎng)時(shí)，8=2%r,

Tt

所以-―3或之4.

nn

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓柱體的側(cè)面展開(kāi)圖以及圓的周長(zhǎng)公式，由于底面圓周長(zhǎng)的不確定，本題關(guān)鍵在于

分類討論.

◎考點(diǎn)題型2弦、弧、弦心距

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦.

弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧.以A.8為端點(diǎn)的弧記作靠，讀作弧卷.在同圓或

等圓中，能夠重合的弧叫做等弧.

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，

小于半圓的弧叫做劣弧.

弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的關(guān)系：（考點(diǎn)）

半徑2=弦心距2+《弦長(zhǎng)）2

例.（2022.河北唐山?九年級(jí)期末）如圖所示，是。。的直徑，BC=CD=DE,ZCOZ）=34°,則NA的

度數(shù)是（）

2__D

A.51°B.56°C.68°D.78°

【答案】A

【分析】先利用圓心角與所對(duì)弧的關(guān)系求出圓心角/2?！甓葦?shù)，再用圓周角定理求解即可.

（詳解】解：：BC=CD=DE

：./DOC=/DOE=/BOC=34。,

：.ZBOE=ZDOC+ZDOE+ZBOC=102°,

：.ZA=^ZBOE=51°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角與所對(duì)弧的關(guān)系，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?湖南?長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，在。。中，CD是。。上的一條弦，直徑

ABLCD,連接AC、OD,乙4=26。，則NO的度數(shù)是（）

A.26°B.38°C.52°D.64°

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理得出BC=W，根據(jù)弧與圓心角關(guān)系得出利用圓周角定理得出

ZCOB=2ZA=52a,然后利用直角三角形兩銳角互余性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：連接0C,

?.,CO是。0上的一條弦，直徑

BC=BD，

：.ZCOB=ZBOD,

4=26°,

NCOB=2/A=52°,

ZBOD=52°,

：.Z￡)=90°-ZBOD=90o-52o=38o.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，弧與圓心角關(guān)系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，掌握垂徑定

理，弧與圓心角關(guān)系，圓周角定理，直角三角形兩銳角互余性質(zhì)是解題關(guān).

變式2.（2021?黑龍江?大慶市第六十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.等弦所對(duì)的弧相等B.等弧所對(duì)的弦相等

C.圓心角相等，所對(duì)的弦相等D.平分弦的直徑垂直于弦

【答案】B

【分析】根據(jù)弧、弦、圓周角的關(guān)系，垂徑定理，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：A、因?yàn)榈认宜鶎?duì)的弧有可能為優(yōu)弧，也可能是劣弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、等弧所對(duì)的弦相等，故本選項(xiàng)正確，符合題意；

C、在同圓或等圓中，圓心角相等，所對(duì)的弦相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧、弦、圓周角的關(guān)系，垂徑定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?安徽滁州?九年級(jí)期末）如圖，已知A8和是。。的兩條等弦，ONLCD,垂

足分別為加、N,BA,0c的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,連接。P.下列四個(gè)說(shuō)法：①AB=C￡>;②0M=0N；

@PA=PC；?ZBPO=ZDPO；正確的個(gè)數(shù)是（

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】如圖連接OB、OD,只要證明RtAOMB^RtLOND,RtAOPM"RmOPN即可解決問(wèn)題.

【詳解】解：如圖連接08、0D；

9：AB=CD,

?*-AB=CD^故①正確；

VOMLAB,ONLCD,

：.AM=MBfCN=ND,

：.BM=DN,

?：OB=OD,

:,Rt>OMB^RtLOND,

：.OM=ON9故②正確；

,/OP=OP,

:?RmOPM^RtLOPN,

：.PM=PN,ZOPB=ZOPD,故④正確;

,:AM=CN,

：.PA=PC,故③正確，

綜上，四個(gè)選項(xiàng)都正確，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓心角、弧、弦的關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題.

◎考點(diǎn)題型3圓周角

圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

-1

圓心角=5圓周角

推論1:在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等.

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）

例.（2022?福建廈門?九年級(jí)期末）如圖，AABC內(nèi)接于圓，弦8。交AC于點(diǎn)P,連接AD下列角中,

A3所對(duì)圓周角的是（）

A.ZAPBB.ZABDC.ZACBD.ZBAC

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：由圖可知：AB所對(duì)圓周角的是NACB或

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握?qǐng)A周角是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?四川樂(lè)山?三模）如圖，4B為。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，若/OC4=50。，AB=4,則gc

的長(zhǎng)為（）

10105

A.一71B口.—71C.~71D.一71

918

【答案】B

【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出/A的度數(shù)，再利用圓周角定理得出NBOC的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)

公式求出答案.

【詳解】解：??,/OCA=50。，OA=OC,

：./A=50°,

.".ZBOC=2ZA=100°,

VAB=4,

：.BO=2,

.AL100萬(wàn)X210

.Me的長(zhǎng)為：，r=/

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了弧長(zhǎng)公式應(yīng)用以及圓周角定理，正確得出/80C的度數(shù)是解題關(guān)鍵.

變式2.（2022?湖南株洲?九年級(jí)期末）如圖，已知。。是△A3。的外接圓，是。。的直徑，C。是0。

的弦，ZAB￡）=56°,則/BCD的度數(shù)是（

A.46°B,56°C.34°D.24°

【答案】C

【分析】先判斷出NADB=90。，從而可得ND4B=34。，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得答案.

【詳解】解：是的直徑，

ZADB=90。,

"?ZABD=56°,

：.ZDAB=90°-ZABD=90°-56°=34°,

?.ZBCD=ZDAB=34°,

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條

弧所對(duì)的圓心角的一半，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?河南商丘?九年級(jí)期末）如圖，己知AB是。。的直徑，CD是弦,若NBCD=36。，則NA3Z）

等于（）

D

\B

A.54°B.56°C.64°D.66°

【答案】A

【分析】根據(jù)圓周角定理得到/ADB=90。，/A=NBCD=36。，然后利用互余計(jì)算/ABD的度數(shù).

【詳解】解：TAB是。。的直徑，

ZADB=9Q0,

"：ZA=ZBCD=36°,

：.ZABD=9Q0-ZA=90°-36°=54°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的

圓心角的一半.半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

◎考點(diǎn)題型4圓心角

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中，有一組相等，那么他們所

對(duì)的其余各組量分別相等。

例.（2022?安徽?合肥市廬陽(yáng)中學(xué)三模）如圖所示，量角器的圓心O在矩形A8CO的邊上，直徑經(jīng)過(guò)點(diǎn)

C,則的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到即可根據(jù)平行線的性質(zhì)求解.

【詳解】解：如圖，

B

A

l'o

Eo\/cF

D

VZAOE=40°,ZAOE=ZDOC,

???NOOC=40。,

??,四邊形ABC。是矩形,

J.BC//AD,

???NOC3=NOOC=40。,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，熟記矩形的對(duì)邊平行是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2020?安徽合肥?九年級(jí)期末）如圖，在。。中，AB是弦,。是弧上一點(diǎn).若NO48=25。,

ZOCA=40°,則N30C的度數(shù)為（）

B.40°C.50°D.60°

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出N084=NO43=25。，ZOAC=ZOCA=40°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理求出NA03和NAOC,再求出答案即可.

【詳解】解：9：OA=OB,ZOAB=25°,

：.ZOBA=ZOAB=25°,

：.ZAOB=180°-ZOAB-NOA4=130。，

,."=OC,ZOCA=40°,

：.ZOAC=ZOCA=40°,

：.ZAOC=1800-ZOAC-ZOCA=100°,

JZBOC=ZAOB-ZAOC=130°-100°=30°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓心角的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角的定

義.

變式2.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知NABC=50。，點(diǎn)尸是NABC平分線上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸

是的外心時(shí)，ZAPC=（）

A.95°B.100°C.110°D.115°

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角，圓心角的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：如圖示，：點(diǎn)尸是2ABe的外心，

A,B,C三點(diǎn)共圓，

/.2APC2!ABC2?0=100?,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角，圓心角的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C在OO上，且/ACB=100。，則/a度數(shù)為

C.100°D.80°

【答案】A

【分析】在。。取點(diǎn)。，連接A23D利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與一條弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周

角的2倍，可得答案.

【詳解】解：如圖，在。0取點(diǎn)。，連接

四邊形ACB。為。O的內(nèi)接四邊形,

ZACB+ZADB=180°,

ZACB=100°,

ND=80°,

:.ZAOB=160°..

故選A

C

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓心角是它所對(duì)的圓周角的2倍，掌握相關(guān)知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

◎考點(diǎn)題型5垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

常見(jiàn)輔助線做法（考點(diǎn)）：

1）過(guò)圓心，作垂線，連半徑，造RTA,用勾股，求長(zhǎng)度；

2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分.

例.（2022?湖北荊門?中考真題）如圖，是圓。的弦，fifeABXCZ）,垂足為E,若AB=12,BE=3,

則四邊形的面積為（）

A.36/B.246C.1873D.72百

【答案】A

【分析】連接OC,首先根據(jù)題意可求得OC=6,OE=3,根據(jù)勾股定理即可求得CE的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定

理即可求得CO的長(zhǎng)，據(jù)此即可求得四邊形AC2D的面積.

【詳解】解：如圖，連接OC,

\'AB=12,BE=3,

：.OB=OC=6,OE=3,

'：AB±CD,

在Rt&COE中，EC=V（9C2-OE2=736-9=3百,

：.CD=2CE=6^3,

，四邊形ACBD的面積=,AB?CD=工x12x6指=36百.

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，垂徑定理，熟練掌握和運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵.

變式1.（2019?浙江?麗水市實(shí)驗(yàn)學(xué)校一模）圓的半徑為13cm,兩弦AB〃C。，AB=24cm,C￡）=10cm,則兩

弦AB和CD的距離是（）

A.7cmB.17cmC.12cmD.7cm或17cm

【答案】D

【分析】分AB、。在圓心的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，根據(jù)垂徑定理和勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】第一種情況：兩弦在圓心的一側(cè)時(shí)，

VCD=10cm,OE1CD,

：.￡>E=1cr）=1xl0=5（cm）,

,圓的半徑為13cm,

/.00=13cm,

???利用勾股定理可得：

OE=\IOD2-DE2=V132-52=12（cm）,

同理可求OQScm,

/.EF=OE-OF=12cm-5cm=7cm；

第二種情況：只是EF=OE+。尸=17cm.其它和第一種一樣；

綜上分析可知，兩弦之間的距離為7cm或17cm,故D正確.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用定理、注意分AB、CO在圓心的同側(cè)和異側(cè)

兩種情況討論是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?廣東?珠海市斗門區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，。。中，如果/AO8=2/C。。，那么

A.AB=DCB.AB<DCC.AB<2DCD.AB>2DC

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。交。。于點(diǎn)E,連接AE、BE,RT^#ZAOE=ZBOE=ZAOB,根據(jù)/COD

=ZAOB,知/A0E=N20E=NC0r),即CD=AE=BE,在AABE中，由AE+BE>AB可得2CD>

AB.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作交。。于點(diǎn)E,連接AE、BE,

又?.,NC0D=gNA02,

二/AOE=/BOE=ZCOD,

:.CD=AE=BE,

?.,在AABE中，AE+BE>AB,

：.2CD>AB,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理和圓心角定理，根據(jù)/AOB=2/COO利用垂徑定理將角平分，從而根據(jù)

圓心角定理得出答案是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?山東?濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室二模）圖，已知以ABC的邊48為直徑的。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,

ODLAC交于點(diǎn)。，連接8D若NB4C=36。，則NOD3的度數(shù)為（）

A.32°B.27°C.24°D.18°

【答案】B

【分析】由A2為直徑的O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,得出NC=90。，從而求出/ABC=54。，再由垂徑定理證得

AD=CD，則可由圓周角定理得出/ABZA/CB。，所以NABZxg/A8C=27。，最后由等腰三角形性質(zhì)得

出NODB=NABD,即可求得答案.

【詳解】解：為直徑的）。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,

：.ZC=90°,

,?ABAC=36°,

：.ZABC=54°,

,/ODlAC^l。于點(diǎn)D,

??AD=CD，

：.ZABD=ZCBD,

：.ZABD=^-ZABC=i-x54°=27°,

22

OD=OC,

Z0DB=ZABD=2T,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理及其推論，熟練掌握垂徑定理'圓周角定理及其推論是解題的關(guān)

鍵.

◎考點(diǎn)題型6垂徑定理的推論

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

例.（2022?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（）

A.在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等

B.平分弦的直徑垂直于弦

C.一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

D.兩條直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等

【答案】C

【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、平行四邊形的判定方法及平行線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確

的選項(xiàng).

【詳解】A、在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧不一定相等，故原命題錯(cuò)誤，是假

命題，不符合題意；

B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

C、如圖，四邊形ABC。，AB//CD,NA=NC,

'：AB//CD,ZA+Z￡>=180°,又ZC+ZD=180°,

：.AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形,

故一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題，符合題意；

D、兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、平行四邊形的判定

方法及平行線的性質(zhì)等知識(shí)，難度不大.

變式1.（2022?四川廣安?二模）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小

B.抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度

C.平分弦的直徑垂直于這條弦

D.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】C

【分析】根據(jù)方差和抽樣調(diào)查的特點(diǎn)、垂徑定理的推論、平行公理逐項(xiàng)判斷解答即可.

【詳解】解：A、方差可以衡量一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，正確；

B、抽樣調(diào)查抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系對(duì)總體估計(jì)的準(zhǔn)確程度，正確；

C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，錯(cuò)誤；

D、過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，正確，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查方差、抽樣調(diào)查、垂徑定理的推論、平行公理，明確題意，熟知相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)

鍵.

變式2.（2022?海南省直轄縣級(jí)單位?二模）如圖，A3是，:。的直徑，點(diǎn)E,C在。上，點(diǎn)A是EC的中

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A畫的切線，交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O,連接EC.若N4DB=58。，則NACE的度數(shù)為

A.29°B.31°C.58°D.32°

【答案】D

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到BALAD根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出N2,根據(jù)圓周角定理得到

ZACB=9Q°,進(jìn)而求出NBAC,根據(jù)垂徑定理得到2ALEC,進(jìn)而得出答案.

【詳解】解：???AO是。。的切線，

J.BALAD,

'：ZADB=5S0,

：.ZB=9Q°-ZADB=32°,

是。。的直徑，

ZACB=90°,

：.ZBAC=90°-ZB=58°,

:點(diǎn)A是EC的中點(diǎn)，

：.BA±EC,

：.ZACE=90°-ZBAC=32°,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題

的關(guān)鍵.

變式3.（2022.內(nèi)蒙古包頭.模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法中，正確的說(shuō)法有（）

①平分弦的直徑垂直于弦；

②一元二次方程尤2-尤-6=0的根是x/=3,X2—-2

③點(diǎn)尸（1,2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（1,2）；

④對(duì)角線垂直且相等的四邊形一定是菱形；

⑤在數(shù)據(jù)1,4,4,0,2中，眾數(shù)是4,中位數(shù)是4

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)此弦可能過(guò)圓心，即可推出平分弦的直徑不一定垂直于弦（直徑）；通過(guò)解一元二次方程；

關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征；菱形的判定定理；眾數(shù)、中位數(shù)的概念進(jìn)行分析解答，通過(guò)排除法即可

推出結(jié)論.

【詳解】①若此弦為直徑，則平分弦的直徑不一定垂直于弦（直徑）；故本項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，

②通過(guò)對(duì)原方程變形得：（x-3）（尤+2）=0,即可推出x-3=0或x+2=0,推出尤/=3,X2=-2,故本項(xiàng)

說(shuō)法正確，

③點(diǎn)尸（1,2）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)在y軸的負(fù)半軸上，所以坐標(biāo)是（1,-2）,故本項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，

④對(duì)角線垂直且相等的四邊形不一定是菱形，還有可能為正方形或?qū)蔷€互相垂直的等腰梯形，故本項(xiàng)說(shuō)

法錯(cuò)誤，

⑤在數(shù)據(jù)1,4,4,0,2中，眾數(shù)是4,中位數(shù)是2,故本項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，

所以②一項(xiàng)說(shuō)法正確，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理的推論，關(guān)于x軸、y軸的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，菱形的判定定理，中位數(shù)的

概念等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于正確的根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)定理逐項(xiàng)分析解答，排除錯(cuò)誤的項(xiàng).

◎考點(diǎn)題型7垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

例.（2022?湖北十堰?中考真題）如圖，）0是等邊ABC的外接圓，點(diǎn)。是弧AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,C

重合），下列結(jié)論：?ZADB=ZBDC；?DA=DC-,③當(dāng)。3最長(zhǎng)時(shí)，DB=2DC；@DA+DC=DB,其

中一定正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得矗=/，從而得到故①正確；根據(jù)點(diǎn)。是公上一

動(dòng)點(diǎn)，可得兒）不一定等于方）,故②錯(cuò)誤；當(dāng)最長(zhǎng)時(shí)，為圓。的直徑，可得/20=90。，再由

。是等邊一ABC的外接圓，可得/A8D=/CBD=30。，可得D3=2OC,故③正確；延長(zhǎng)至點(diǎn)E,使

AE=AD,證明可得NABE=NDBC,從而得到△是等邊三角形，可得到

DE=BD,故④正確；即可求解.

【詳解】解：：△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC,ZABC=60°,

AB=BC'

：.ZADB=ZBDC,故①正確；

:點(diǎn)。是A上一動(dòng)點(diǎn)，

?.?A%不一定等于心,

.?.D4=OC不一定成立，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)02最長(zhǎng)時(shí)，為圓。的直徑，

ZBCD=90°,

：一:。是等邊一ABC的外接圓，ZABC=6Q°,

：.BD±AC,

：.ZABD=ZCBD=30°,

：.DB=2DC,故③正確；

如圖，延長(zhǎng)D4至點(diǎn)E,使AE=DC,

?..四邊形ABCD為圓。的內(nèi)接四邊形，

：.ZBCD+ZBAD=ISQ°,

,：ZBAE+ZBAD=180°,

ZBAE=ZBCD,

'：AB=BC,AE=CD,

：.AABE4LCBD,

：.BD=AE,/ABE=NDBC,

：.ZABE+ZABD=ZDBC+ZABD=ZABC=60°,

ZXBDE是等邊三角形，

：.DE=BD,

"：DE=AD+AE=AD+CD,

：.DA+DC=DB,故④正確；

.?.正確的有3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角形的

判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，三角形的外接圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等邊三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

變式L（2022?廣西大學(xué)附屬中學(xué)八年級(jí)期末）往圓柱形