【高效備課】北師大版八(上) 第7章 平行線的證明 5 三角形內(nèi)角和定理 第2課時(shí) 與三角形外角有關(guān)的定理 教案

【高效備課】北師大版八(上)第7章平行線的證明5三角形內(nèi)角和定理第2課時(shí)與三角形外角有關(guān)的定理教案課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教材分析北師大版八年?jí)上冊(cè)第7章“平行線的證明”第5節(jié)“三角形內(nèi)角和定理”第2課時(shí)“與三角形外角有關(guān)的定理”，主要介紹了三角形外角的性質(zhì)及其與內(nèi)角的關(guān)系。本節(jié)課的內(nèi)容緊接前文，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生探究三角形外角與內(nèi)角之間的聯(lián)系，加深對(duì)三角形內(nèi)角和定理的理解，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和空間想象能力。本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與日常生活緊密相關(guān)，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在發(fā)展學(xué)生的邏輯思維和幾何直觀能力，通過(guò)探究三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和推理能力。學(xué)生將在問(wèn)題解決過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行觀察、分析、抽象和概括，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。同時(shí)，通過(guò)小組合作和交流，提高學(xué)生的合作意識(shí)和交流表達(dá)能力。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的定義、性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理。他們了解如何使用角度量具測(cè)量角度，并能通過(guò)幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行基本的推理。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

學(xué)生對(duì)于探索幾何圖形的內(nèi)在關(guān)系表現(xiàn)出濃厚興趣，他們具備一定的邏輯思維能力和空間想象力。在課堂上，學(xué)生傾向于通過(guò)直觀的例子和動(dòng)手操作來(lái)理解抽象概念，喜歡在小組討論中交流想法，通過(guò)合作解決問(wèn)題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生可能在理解三角形外角定理的具體含義和證明過(guò)程中遇到困難，特別是在如何將外角與內(nèi)角聯(lián)系起來(lái)以及如何運(yùn)用這些定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)。此外，對(duì)于一些空間想象力較弱的學(xué)生來(lái)說(shuō)，理解外角與內(nèi)角的關(guān)系可能會(huì)是一個(gè)挑戰(zhàn)。四、教學(xué)資源-北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材

-多媒體教學(xué)設(shè)備（投影儀、電腦）

-三角板、直尺、圓規(guī)等繪圖工具

-教學(xué)PPT

-小組討論記錄表

-數(shù)學(xué)練習(xí)題及答案

-教學(xué)參考書(shū)五、教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)班級(jí)微信群，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括三角形內(nèi)角和定理的復(fù)習(xí)資料和三角形外角定理的引入案例。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：設(shè)計(jì)問(wèn)題如“三角形外角與內(nèi)角有什么關(guān)系？”引導(dǎo)學(xué)生思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過(guò)學(xué)生提交的預(yù)習(xí)筆記和問(wèn)題，了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生閱讀資料，理解三角形內(nèi)角和定理，并嘗試?yán)斫馔饨嵌ɡ怼?/p>

-思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：學(xué)生針對(duì)問(wèn)題進(jìn)行思考，嘗試用自己的語(yǔ)言描述外角定理。

-提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記和問(wèn)題提交至微信群。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)展邏輯推理能力。

-信息技術(shù)手段：使用微信群進(jìn)行資源分享和進(jìn)度監(jiān)控。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過(guò)一個(gè)具體的三角形外角實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)外角與內(nèi)角的關(guān)系。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解三角形外角定理，并通過(guò)幾何畫(huà)板演示定理的正確性。

-組織課堂活動(dòng)：分組討論三角形外角定理的應(yīng)用，每組設(shè)計(jì)一個(gè)證明過(guò)程。

-解答疑問(wèn)：對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題進(jìn)行解答，確保學(xué)生對(duì)定理的理解。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽(tīng)講并思考：學(xué)生聽(tīng)講并思考定理的證明方法。

-參與課堂活動(dòng)：學(xué)生分組討論，合作完成定理的證明過(guò)程。

-提問(wèn)與討論：學(xué)生提出自己的疑問(wèn)，并參與課堂討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：講解三角形外角定理的理論基礎(chǔ)。

-實(shí)踐活動(dòng)法：通過(guò)分組討論，實(shí)踐定理的證明過(guò)程。

-合作學(xué)習(xí)法：促進(jìn)學(xué)生之間的交流和合作。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：設(shè)計(jì)針對(duì)性的練習(xí)題，鞏固三角形外角定理的應(yīng)用。

-提供拓展資源：提供相關(guān)的數(shù)學(xué)網(wǎng)站和視頻，幫助學(xué)生深入學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：批改作業(yè)，針對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤給予指導(dǎo)。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：學(xué)生獨(dú)立完成作業(yè)，鞏固所學(xué)知識(shí)。

-拓展學(xué)習(xí)：利用提供的資源，進(jìn)一步探索三角形外角定理的更多應(yīng)用。

-反思總結(jié)：學(xué)生反思學(xué)習(xí)過(guò)程中的困難和收獲，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，提升學(xué)習(xí)效果。

本節(jié)課的重難點(diǎn)在于理解三角形外角定理及其證明過(guò)程，以及如何將定理應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)課前預(yù)習(xí)、課堂討論和實(shí)踐、以及課后拓展，學(xué)生能夠逐步掌握這些重點(diǎn)內(nèi)容。六、知識(shí)點(diǎn)梳理1.三角形的定義與性質(zhì)

-三角形的分類：按邊分類（不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形），按角分類（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）。

-三角形的性質(zhì)：三角形內(nèi)角和為180度，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

2.三角形的內(nèi)角和定理

-內(nèi)角和定理：任意三角形的內(nèi)角和等于180度。

-推論：如果已知三角形兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。

3.三角形外角的定義與性質(zhì)

-外角的定義：三角形的一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角稱為這個(gè)內(nèi)角的外角。

-外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

4.與三角形外角有關(guān)的定理

-定理一：三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

-定理二：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。

5.三角形外角定理的證明

-通過(guò)構(gòu)造平行線，利用同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角的性質(zhì)來(lái)證明外角定理。

-通過(guò)作輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的內(nèi)角和定理或平行線性質(zhì)來(lái)證明。

6.三角形外角定理的應(yīng)用

-解決實(shí)際問(wèn)題：利用外角定理來(lái)求解三角形中未知角的度數(shù)。

-解決幾何問(wèn)題：在幾何證明中，外角定理可以幫助簡(jiǎn)化證明過(guò)程，找到證明的突破口。

7.幾何圖形的識(shí)別與作圖

-識(shí)別三角形類型：通過(guò)邊長(zhǎng)關(guān)系和角度關(guān)系判斷三角形的類型。

-作圖技巧：使用三角板、直尺和圓規(guī)來(lái)作圖，包括畫(huà)三角形、標(biāo)出角度、作平行線和垂線等。

8.幾何證明的基本方法

-直接證明：通過(guò)邏輯推理直接證明結(jié)論。

-反證法：假設(shè)結(jié)論不成立，通過(guò)推導(dǎo)出矛盾來(lái)證明結(jié)論成立。

-歸納法：從特殊到一般，通過(guò)歸納總結(jié)出結(jié)論。

9.幾何問(wèn)題的解決策略

-分析問(wèn)題：理解問(wèn)題的條件和要求，確定解題方向。

-構(gòu)造圖形：根據(jù)問(wèn)題條件，構(gòu)造出有助于解決問(wèn)題的幾何圖形。

-應(yīng)用定理：在證明過(guò)程中，合理運(yùn)用幾何定理和性質(zhì)。

-檢驗(yàn)結(jié)果：檢查證明過(guò)程和結(jié)論的正確性。

10.數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)

-觀察與猜想：通過(guò)觀察幾何圖形，提出猜想，并嘗試證明。

-分析與綜合：分析問(wèn)題，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。

-推理與證明：通過(guò)邏輯推理，證明幾何定理和性質(zhì)。

-反思與總結(jié)：對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)和策略。七、教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：

-學(xué)生參與度：觀察學(xué)生在課堂上的積極參與情況，包括提問(wèn)、回答問(wèn)題和參與小組討論的頻率和質(zhì)量。

-學(xué)生理解度：通過(guò)學(xué)生的反應(yīng)和提問(wèn)，評(píng)估學(xué)生對(duì)三角形外角定理的理解程度。

-學(xué)生注意力：記錄學(xué)生在課堂上的注意力集中情況，以及是否有分心或干擾行為。

2.小組討論成果展示：

-討論內(nèi)容：評(píng)估小組討論的內(nèi)容是否圍繞三角形外角定理的核心概念展開(kāi)。

-討論深度：觀察小組成員是否能夠深入探討定理的應(yīng)用和證明方法。

-展示效果：評(píng)價(jià)小組代表的展示是否清晰、有條理，能否準(zhǔn)確表達(dá)小組的觀點(diǎn)和結(jié)論。

3.隨堂測(cè)試：

-知識(shí)掌握：通過(guò)隨堂測(cè)試，檢測(cè)學(xué)生對(duì)三角形外角定理和相關(guān)概念的記憶和理解程度。

-應(yīng)用能力：測(cè)試題目設(shè)計(jì)要能夠考察學(xué)生將定理應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

-測(cè)試反饋：及時(shí)收集測(cè)試結(jié)果，分析學(xué)生的錯(cuò)誤類型和原因，為后續(xù)教學(xué)提供調(diào)整依據(jù)。

4.作業(yè)完成情況：

-作業(yè)質(zhì)量：評(píng)估學(xué)生作業(yè)的完成質(zhì)量和準(zhǔn)確性，包括解題步驟是否完整，答案是否正確。

-作業(yè)態(tài)度：觀察學(xué)生對(duì)待作業(yè)的態(tài)度，是否認(rèn)真對(duì)待，按時(shí)提交。

-作業(yè)反饋：針對(duì)作業(yè)中的常見(jiàn)錯(cuò)誤，給予具體的指導(dǎo)和反饋。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：

-個(gè)體評(píng)價(jià)：針對(duì)每個(gè)學(xué)生的課堂表現(xiàn)、小組討論和作業(yè)完成情況，給予個(gè)性化的評(píng)價(jià)和反饋。

-整體評(píng)價(jià)：總結(jié)全班學(xué)生在本節(jié)課的整體表現(xiàn)，指出班級(jí)的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方。

-改進(jìn)建議：根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果，提出具體的教學(xué)改進(jìn)建議，包括教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容的調(diào)整和學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)。

6.學(xué)生自我評(píng)價(jià)：

-自我反思：鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行自我反思，包括對(duì)定理的理解、作業(yè)的完成和課堂表現(xiàn)的評(píng)估。

-自我改進(jìn)：學(xué)生根據(jù)自我反思的結(jié)果，提出改進(jìn)學(xué)習(xí)方法和提高學(xué)習(xí)效率的計(jì)劃。

7.家長(zhǎng)反饋：

-家長(zhǎng)意見(jiàn)：收集家長(zhǎng)對(duì)學(xué)生在家庭學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題和困難的反饋。

-家校合作：根據(jù)家長(zhǎng)反饋，與家長(zhǎng)合作，共同促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)步。八、典型例題講解例題1：在三角形ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，求∠ACB的度數(shù)。

解答：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角之和為180°。因此，∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-60°=70°。

例題2：在三角形ABC中，∠ACB是直角，∠BAC的外角是∠ACD，若∠BAC=30°，求∠ACD的度數(shù)。

解答：由于∠ACB是直角，所以∠ACB=90°。根據(jù)外角定理，∠ACD=∠ACB+∠ABC=90°+∠ABC。因?yàn)椤螧AC和∠ABC是三角形ABC的兩個(gè)內(nèi)角，所以∠ABC=90°-∠BAC=90°-30°=60°。因此，∠ACD=90°+60°=150°。

例題3：在三角形ABC中，∠BAC=40°，∠ABC的外角是∠ACD，且∠ACD=100°，求∠BCA的度數(shù)。

解答：根據(jù)外角定理，∠ACD=∠ABC+∠BCA。因此，∠BCA=∠ACD-∠ABC=100°-∠ABC。由于三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角之和為180°，所以∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-40°-(∠ACD-∠ABC)=140°-∠ACD=140°-100°=40°。所以∠BCA=100°-40°=60°。

例題4：在三角形ABC中，∠ABC的外角∠ACD與∠ACB的度數(shù)之差是30°，且∠ACB是三角形ABC中最大的內(nèi)角，求∠ACB的度數(shù)。

解答：設(shè)∠ACB=x，則∠ACD=x+30°。由于∠ACD是∠ABC的外角，所以∠ACD=∠ABC+∠BAC。又因?yàn)椤螦CB是最大的內(nèi)角，所以∠BAC<∠ABC<∠ACB。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，x+∠ABC+∠BAC=180°。由于∠ACD=∠ABC+∠BAC，所以x+30°=x+∠ABC+∠BAC=180°。因此，∠ABC+∠BAC=150°。由于∠ABC<∠ACB，所以∠BAC<30°。因此，∠ACB=x=150°-∠BAC>120°。

例題5：在三角形ABC中，∠BAC=45°，∠BCA的外角∠ACD=135°，求∠ABC的度數(shù)。

解答：由于∠ACD是∠BCA的外角，所以∠ACD=∠BCA+∠ABC。因此，∠ABC=∠ACD-∠BCA=135°-∠BCA。由于三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角之和為180°，所以∠BCA=180°-∠BAC-∠ABC=180°-45°-(135°-∠BCA)。解這個(gè)方程，得到∠BCA=180°-45°-135°+∠BCA=∠BCA-45°。因此，∠BCA=90°。所以∠ABC=135°-90°=45°。板書(shū)設(shè)計(jì)①三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180度。

②三角形外角的定義：三角形的一個(gè)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角稱為這個(gè)內(nèi)角的外角。

③三角形外角定理：三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰