考點21 與圓有關(guān)的計算（精講）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之核心考點精講精練

考點21.與圓有關(guān)的計算（精講）【命題趨勢】從近年各地中考來，與圓相關(guān)的計算考查頻率還是比較高，主要結(jié)合圓周角和圓心角相關(guān)知識圍繞計算正多邊形相關(guān)知識、弧長、扇形面積、不規(guī)則圖形的面積及圓錐相關(guān)知識命題，題型主要以選填題為主，難度不大。預(yù)測2024年各地中考還會延續(xù)這種命題趨勢，并也有可能出現(xiàn)創(chuàng)新型題目?！局R清單】1：正多邊形的相關(guān)概念與計算（☆☆）1）正多邊形的相關(guān)概念正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。2）正多邊形的常用公式（Rn為正多邊形外接圓的半徑）邊長：；周長：；邊心距：；面積：；內(nèi)角度數(shù)：；外角/中心角度數(shù)：；邊長、半徑、邊心距的關(guān)系：。注意：正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.2：弧長、扇形面積、圓錐的相關(guān)計算（☆☆☆）1)設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：或．（3）圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）（4）圓錐全面積公式：S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）注：圓錐的相關(guān)公式難以記憶，建議牢記圓錐與側(cè)面展開圖的圖形形式，并理解側(cè)面展開圖與扇形之間的關(guān)系。相關(guān)公式在解題過程中進行推導(dǎo)。3：不規(guī)則圖形的面積的計算（☆☆☆）求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。常用的方法有：割補法、等積變換法、圖形變換法等?！竞诵目键c】核心考點1.正多邊形的相關(guān)概念與計算例1：（2023年無錫市中考數(shù)學(xué)真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正n邊形共有n條對稱軸．其中真命題的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式1.（2023·廣東揭陽·統(tǒng)考一模）一個正多邊形的中心角為36°，則這個正多邊形的內(nèi)角和為度．變式2．（2023湖南省衡陽市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是個．

例2：（2022·四川成都·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（

）A． B． C．3 D．變式1．（2023·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測）已知圓的半徑為R，那么它的內(nèi)接正三角形的邊長是．變式2．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于，正六邊形的周長是12，則正六邊形內(nèi)切圓的半徑是（

）

A． B．2 C． D．例3：（2023年四川省德陽市中考數(shù)學(xué)真題）已知一個正多邊形的邊心距與邊長之比為，則這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．7 D．8變式1．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3變式2．（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則．

例4：（2023年安徽省舒城縣中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點在上，是的中點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式1．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（

）

A． B． C． D．變式2．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點在上，則的大小為（）A．60° B．45° C．30° D．15°核心考點2.弧長、扇形面積、圓錐的相關(guān)計算例5：（2023年四川省達州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是邊長為的正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長是（

）

A． B． C． D．變式1.（2023.重慶中考模擬預(yù)測）如圖，扇形的半徑為1，分別以點A、B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，，則的長（結(jié)果保留π）．

變式2．（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）圓心角為，半徑為3的扇形弧長為（

）A． B． C． D．變式3.（2023年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點是這段弧所在圓的圓心，為上一點，于．若，，則的長為（）

A． B． C． D．例6：（2023年山東省濟南市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正五邊形的邊長為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．

變式1．（2022·四川達州·中考真題）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊，分別以點A，B，C為圓心，以長為半徑作，，，三弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形．如果一個曲邊三角形的周長為，則此曲邊三角形的面積為（

）A． B． C． D．變式2．（2023年遼寧省錦州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點A，B，C在上，，連接，．若的半徑為3，則扇形（陰影部分）的面積為（

）

A． B． C． D．例7：（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）用一個圓心角為，半徑為8的扇形作一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面直徑是（

）A．6 B．5 C．4 D．3變式1．（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）圓錐的底面半徑是，母線長，則它的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為．變式2．（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長為，則煙囪帽的側(cè)面積為．（結(jié)果保留）

變式3．（2023年云南省中考數(shù)學(xué)真題）數(shù)學(xué)活動課上，某同學(xué)制作了一頂圓錐形紙帽．若圓錐的底面圓的半徑為1分米，母線長為4分米，則該圓錐的高為分米．例8：（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為，母線長為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（

）

A． B． C． D．變式1．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，已知圓錐底面圓的半徑為，母線長為，一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置A）所爬行的最短路徑為．

變式2.（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓錐的底面半徑是，母線長是．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點，則這根繩子的最短長度是．核心考點3.不規(guī)則圖形的面積的計算例9：（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）為傳承非遺文化，講好中國故事，某地準備在一個場館進行川劇演出．該場館底面為一個圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時觀看演出．（取3.14，取1.73）

變式1.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））如圖，在矩形中，，，E為的中點，連接，以E為圓心，長為半徑畫弧，分別與交于點M，N，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

變式2.（2023年青海省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正方形ABCD的邊長是4，分別以點A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留）.

例10：（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正方形的邊長為2，對角線相交于點，以點為圓心，對角線的長為半徑畫弧，交的延長線于點，則圖中陰影部分的面積為．

變式1.（2023年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某玩具品牌的標志由半徑為的三個等圓構(gòu)成，且三個等圓相互經(jīng)過彼此的圓心，則圖中三個陰影部分的面積之和為（）

A． B． C． D．變式2.（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）如圖，等圓和相交于A，B兩點，經(jīng)過的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．變式3．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．例11：（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在等腰直角中，，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，為半徑畫弧，交于點，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．變式1.（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，，，點為的中點，以為圓心，長為半徑作半圓，交于點，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．變式2.（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，扇形中，，，點為上一點，將扇形沿折疊，使點的對應(yīng)點落在射線上，則圖中陰影部分的面積為_________．變式3．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖所示的是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖，其中點與點重合，點與點重合，則圖中陰影部分的面積為．例12：（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，垂足為．以點為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點．若用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為，則