考點(diǎn)21 與圓有關(guān)的計(jì)算（精講）（原卷版）-2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之核心考點(diǎn)精講精練

考點(diǎn)21.與圓有關(guān)的計(jì)算（精講）【命題趨勢(shì)】從近年各地中考來(lái)，與圓相關(guān)的計(jì)算考查頻率還是比較高，主要結(jié)合圓周角和圓心角相關(guān)知識(shí)圍繞計(jì)算正多邊形相關(guān)知識(shí)、弧長(zhǎng)、扇形面積、不規(guī)則圖形的面積及圓錐相關(guān)知識(shí)命題，題型主要以選填題為主，難度不大。預(yù)測(cè)2024年各地中考還會(huì)延續(xù)這種命題趨勢(shì)，并也有可能出現(xiàn)創(chuàng)新型題目?！局R(shí)清單】1：正多邊形的相關(guān)概念與計(jì)算（☆☆）1）正多邊形的相關(guān)概念正多邊形概念：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形。正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角。正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。2）正多邊形的常用公式（Rn為正多邊形外接圓的半徑）邊長(zhǎng)：；周長(zhǎng)：；邊心距：；面積：；內(nèi)角度數(shù)：；外角/中心角度數(shù)：；邊長(zhǎng)、半徑、邊心距的關(guān)系：。注意：正多邊形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓.2：弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的相關(guān)計(jì)算（☆☆☆）1)設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式：或．（3）圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）（4）圓錐全面積公式：S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）注：圓錐的相關(guān)公式難以記憶，建議牢記圓錐與側(cè)面展開(kāi)圖的圖形形式，并理解側(cè)面展開(kāi)圖與扇形之間的關(guān)系。相關(guān)公式在解題過(guò)程中進(jìn)行推導(dǎo)。3：不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算（☆☆☆）求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積。常用的方法有：割補(bǔ)法、等積變換法、圖形變換法等?！竞诵目键c(diǎn)】核心考點(diǎn)1.正多邊形的相關(guān)概念與計(jì)算例1：（2023年無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1變式1.（2023·廣東揭陽(yáng)·統(tǒng)考一模）一個(gè)正多邊形的中心角為36°，則這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為度．變式2．（2023湖南省衡陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是個(gè)．

例2：（2022·四川成都·中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長(zhǎng)等于，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C．3 D．變式1．（2023·湖南衡陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓的半徑為R，那么它的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)是．變式2．（2023·廣東·統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形內(nèi)接于，正六邊形的周長(zhǎng)是12，則正六邊形內(nèi)切圓的半徑是（

）

A． B．2 C． D．例3：（2023年四川省德陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）已知一個(gè)正多邊形的邊心距與邊長(zhǎng)之比為，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（

）A．4 B．6 C．7 D．8變式1．（2022·四川雅安·中考真題）如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3變式2．（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為，的面積為，則．

例4：（2023年安徽省舒城縣中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在上，是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式1．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（

）

A． B． C． D．變式2．（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考二模）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在上，則的大小為（）A．60° B．45° C．30° D．15°核心考點(diǎn)2.弧長(zhǎng)、扇形面積、圓錐的相關(guān)計(jì)算例5：（2023年四川省達(dá)州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，曲線是由多段的圓心角的圓心為，半徑為；的圓心為，半徑為的圓心依次為循環(huán)，則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．變式1.（2023.重慶中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，扇形的半徑為1，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)P，，則的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．

變式2．（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）圓心角為，半徑為3的扇形弧長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．變式3.（2023年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。ǎ?，點(diǎn)是這段弧所在圓的圓心，為上一點(diǎn)，于．若，，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．例6：（2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為，以為圓心，以為半徑作弧，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留）．

變式1．（2022·四川達(dá)州·中考真題）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以長(zhǎng)為半徑作，，，三弧所圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．如果一個(gè)曲邊三角形的周長(zhǎng)為，則此曲邊三角形的面積為（

）A． B． C． D．變式2．（2023年遼寧省錦州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接，．若的半徑為3，則扇形（陰影部分）的面積為（

）

A． B． C． D．例7：（2023年黑龍江省牡丹江市中考數(shù)學(xué)真題）用一個(gè)圓心角為，半徑為8的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面直徑是（

）A．6 B．5 C．4 D．3變式1．（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）圓錐的底面半徑是，母線長(zhǎng)，則它的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)為．變式2．（2023年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則煙囪帽的側(cè)面積為．（結(jié)果保留）

變式3．（2023年云南省中考數(shù)學(xué)真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某同學(xué)制作了一頂圓錐形紙帽．若圓錐的底面圓的半徑為1分米，母線長(zhǎng)為4分米，則該圓錐的高為分米．例8：（2023年內(nèi)蒙古赤峰市中考數(shù)學(xué)真題）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，母線長(zhǎng)為30，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開(kāi)始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度是（

）

A． B． C． D．變式1．（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，已知圓錐底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐側(cè)面一周（回到原來(lái)的位置A）所爬行的最短路徑為．

變式2.（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓錐的底面半徑是，母線長(zhǎng)是．如果A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A拉一根繩子繞圓錐側(cè)面一圈再回到A點(diǎn)，則這根繩子的最短長(zhǎng)度是．核心考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算例9：（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）為傳承非遺文化，講好中國(guó)故事，某地準(zhǔn)備在一個(gè)場(chǎng)館進(jìn)行川劇演出．該場(chǎng)館底面為一個(gè)圓形，如圖所示，其半徑是10米，從A到B有一筆直的欄桿，圓心O到欄桿的距離是5米，觀眾在陰影區(qū)域里觀看演出，如果每平方米可以坐3名觀眾，那么最多可容納名觀眾同時(shí)觀看演出．（取3.14，取1.73）

變式1.（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題（B卷））如圖，在矩形中，，，E為的中點(diǎn)，連接，以E為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別與交于點(diǎn)M，N，則圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

變式2.（2023年青海省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，分別以點(diǎn)A，B，C，D為圓心，2為半徑作圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留）.

例10：（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．

變式1.（2023年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，某玩具品牌的標(biāo)志由半徑為的三個(gè)等圓構(gòu)成，且三個(gè)等圓相互經(jīng)過(guò)彼此的圓心，則圖中三個(gè)陰影部分的面積之和為（）

A． B． C． D．變式2.（2023年湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)真題）如圖，等圓和相交于A，B兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)的圓心，若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．變式3．（2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過(guò)圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．例11：（2023年四川省廣安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在等腰直角中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．變式1.（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作半圓，交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是（）

A． B． C． D．變式2.（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，扇形中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，將扇形沿折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在射線上，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)________．變式3．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖所示的是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開(kāi)，將扇形沿向右平移至扇形，如圖，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則圖中陰影部分的面積為．例12：（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，垂足為．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與分別交于點(diǎn)．若用扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為，則