福建省福州市第四中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題含解析

福建省福州市第四中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末調(diào)研模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)上有兩個零點C.函數(shù)有極大值16D.函數(shù)有最小值2．已知曲線與直線總有公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．直線過橢圓內(nèi)一點，若點為弦的中點，設為直線的斜率，為直線的斜率，則的值為（）A. B.C. D.4．變量，之間的一組相關數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.5．在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點到準線的距離是A. B.1C. D.7．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.8．已知空間三點，，在一條直線上，則實數(shù)的值是（）A.2 B.4C.-4 D.-29．已知某班有學生48人，為了解該班學生視力情況，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號，15號，39號學生在樣本中，則樣本中另外一個學生的編號是（）A.26 B.27C.28 D.2910．在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或11．某班新學期開學統(tǒng)計新冠疫苗接種情況，已知該班有學生45人，其中未完成疫苗接種的有5人，則該班同學的疫苗接種完成率為（）A. B.C. D.12．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩條平行直線與的距離是__________14．在等差數(shù)列中，，那么等于______.15．“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學習強國”了解國家動態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進行調(diào)查，統(tǒng)計他們每周利用“學習強國”的時長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖（1）根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學習強國”的平均時長和中位數(shù)；（2）宣傳部為了了解大家利用“學習強國”的具體情況，準備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個座談會,現(xiàn)從參加座談會的5人中隨機抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？16．已知向量，，若，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓：的左頂點為，右頂點為.已知橢圓的離心率為，且以線段為直徑的圓被直線所截得的弦長為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點，且點在第一象限，點關于軸對稱點為點，直線與直線交于點，若直線斜率大于，求直線的斜率的取值范圍.18．（12分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程中的實數(shù)；（2）根據(jù)回歸方程預測當單價為10元時的銷量.19．（12分）在平面直角坐標系中，動點，滿足，記點的軌跡為（1）請說明是什么曲線，并寫出它的方程；（2）設不過原點且斜率為的直線與交于不同的兩點，，線段的中點為，直線與交于兩點，，請判斷與的關系，并證明你的結(jié)論20．（12分）兩個頂點、的坐標分別是、，邊、所在直線的斜率之積等于，頂點的軌跡記為.（1）求頂點的軌跡的方程；（2）若過點作直線與軌跡相交于、兩點，點恰為弦中點，求直線的方程；（3）已知點為軌跡的下頂點，若動點在軌跡上，求的最大值.21．（12分）在①(b－c)cosA=acosC，②sin(B+C)=－1+2sin2，③acosC=b－c，這三個條件中任選一個作為已知條件，然后解答問題在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知______________（1）求角A的大小；（2）若a=2，且△ABC的面積為2，求b+c22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若對恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】對求導，研究的單調(diào)性以及極值，再結(jié)合選項即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個零點，且無最小值.故選：C2、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因為，所以曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點，如圖所示設曲線與軸的兩個交點分別為，直線過定點，為曲線上一動點，根據(jù)圖可知，若曲線與直線總有公共點，則，得，設直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D3、A【解析】設點與的坐標，進而可表示與，再結(jié)合兩點在橢圓上，可得的值.【詳解】設點與，則，，所以，，又點與在橢圓上，所以，，作差可得，即，所以，故選：A.4、C【解析】本題先求樣本點中心，再利用線性回歸方程過樣本點中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點中心：，線性回歸方程過樣本點中心，則解得：，故選：C【點睛】本題考查線性回歸方程過樣本點中心，是簡單題.5、D【解析】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】以為坐標原點，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線與所成角的余弦值等于.故選：D.6、D【解析】，，所以拋物線的焦點到其準線的距離是，故選D.7、C【解析】設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，進而得，再結(jié)合余弦定理得，進而根據(jù)基本不等式求解得.【詳解】解：設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段中點，所以根據(jù)梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據(jù)題意，設，進而結(jié)合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.8、C【解析】根據(jù)三點在一條直線上，利用向量共線原理，解出實數(shù)的值.【詳解】解：因為空間三點，，在一條直線上，所以,故.所以.故選：C.【點睛】本題主要考查向量共線原理，屬于基礎題.9、B【解析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個容量為4的樣本時,將48人按順序平均分為4組,由已知編號可得所求的學生來自第三組,設其編號為,則,進而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個容量為4的樣本時,將48人分為4組,第一組編號為1號至12號；第二組編號為13號至24號；第三組編號為25號至36號；第四組編號為37號至48號,故所求的學生來自第三組,設其編號為,則,所以,故選:B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號,屬于基礎題10、A【解析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式建立方程，可解得公差d得選項.【詳解】解：因為在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.11、D【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】該班同學的疫苗接種完成率為故選：D12、C【解析】根據(jù)題意得，進而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)兩平行直線，可求得a值，根據(jù)兩平行線間距離公式，即可得答案.【詳解】因為兩平行直線與，所以，解得，所以兩平行線的距離.故答案為：514、14【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，求得，再由，即可求解.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，且，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，解答，又由.故答案為：14.15、（1）平均時長為，中位數(shù)為（2）在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【解析】（1）由頻率分布直方圖計算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個數(shù)，從而利用古典概型概率計算公式即可求解【小問1詳解】解：（1）設被抽查人員利用“學習強國”的平均時長為，中位數(shù)為，，被抽查人員利用“學習強國”的時長中位數(shù)滿足，解得，即抽查人員利用“學習強國”的平均時長為6.8，中位數(shù)為【小問2詳解】解：組的人數(shù)為人，設抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)為人，設抽取的人數(shù)為，則，解得，，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標記為，，，將中的標記為，，則抽取的情況如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率16、【解析】根據(jù)向量平行求得，由此求得.【詳解】由于，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直線被圓截得的弦長為，由解得，再由離心率結(jié)合求解。（2）設，則，得到直線：；直線：，聯(lián)立求得，再根據(jù)線斜率大于，求得，然后由求解.【詳解】（1）以線段為直徑的圓的圓心為：，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為，解得：，又橢圓離心率，∴，，橢圓的標準方程為：.（2）設，其中，，則，∴，，則直線為：；直線為：，由得：，∴，∴，∴，令，，則，∴，∵∴，∴，即.【點睛】本題主要考查橢圓方程和幾何性質(zhì)以及直線與圓，橢圓的位置關系的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）250.（2）50（件）.【解析】(1)數(shù)據(jù)的平均值一定在回歸直線上；(2)將x=10代入回歸方程即可.【小問1詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，，，代入，解得.【小問2詳解】由（1）得，故單價為10元時，.當單價為10元時銷量為50件.19、（1）橢圓，（2），證明見解析【解析】（1）結(jié)合橢圓第一定義直接判斷即可求出的軌跡為；（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，寫出韋達定理；由中點公式求出點，進而得出直線方程，聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合弦長公式可求，可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達定理可化簡，進而得證.【小問1詳解】設，，則因為，滿足，即動點表示以點，為左、右焦點，長軸長為4，焦距為的橢圓，其軌跡的方程為；【小問2詳解】可以判斷出，下面進行證明：設直線的方程為，，，由方程組，得①，方程①判別式為，由，即，解得且由①得，，所以點坐標為，直線方程為，由方程組，得，，所以又所以.20、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出邊、所在直線的斜率，然后根據(jù)兩條直線的斜率關系建立方程即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理和中點坐標公式即可求出直線的斜率；（3）先表示出，然后利用橢圓的性質(zhì)，進而確定的最大值.【小問1詳解】設點，則由可得：化簡得：故頂點的軌跡的方程：【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為聯(lián)立方程組消去可得：設直線與軌跡的交點，的坐標分別為由韋達定理得：點為、兩點的中點，可得：，即則有：解得：故求直線的方程為：【小問3詳解】由（1）可知，設則有：又點滿足，即由橢圓的性質(zhì)得：所以當時，21、（1）（2）【解析】（1）選①：化邊為角化簡求出cos；選②：利用倍角公式將sin()=?1+2sin2化簡為sin=?cos,再利用輔助角公式求解即可；選③：化邊為角化簡運算求解（2）利用面積公式求得，再利用余弦定理可得，計算即可.【小問1詳解】選①∵∴sincos=sinCcos+sincosC=sin(+C)=sin∴cos∵∈,∴=選②∵sin()=?1+2sin2,∴sin=?cos∴sin(+A)=1∵A∈∴A=選③∵∴∴∵A∈,∴A=【小問2詳解】∵,∴又∵∴即22、（1）極大值為，無極小值（2）