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文檔簡介
2025屆湖北省襄陽四中數(shù)學高三第一學期期末綜合測試試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在R上的函數(shù)(m為實數(shù))為偶函數(shù),記,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①以為直徑的圓與拋物線準線相離;②直線與直線的斜率乘積為;③設(shè)過點,,的圓的圓心坐標為,半徑為,則.其中,所有正確判斷的序號是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③3.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.24.在平面直角坐標系中,已知是圓上兩個動點,且滿足,設(shè)到直線的距離之和的最大值為,若數(shù)列的前項和恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知x,y滿足不等式組,則點所在區(qū)域的面積是()A.1 B.2 C. D.6.如圖,平面ABCD,ABCD為正方形,且,E,F(xiàn)分別是線段PA,CD的中點,則異面直線EF與BD所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.在的展開式中,含的項的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.8.在中,點為中點,過點的直線與,所在直線分別交于點,,若,,則的最小值為()A. B.2 C.3 D.9.已知集合,,則等于()A. B. C. D.10.已知橢圓的短軸長為2,焦距為分別是橢圓的左、右焦點,若點為上的任意一點,則的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知,則不等式的解集是()A. B. C. D.12.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知全集為R,集合,則___________.14.記為等比數(shù)列的前n項和,已知,,則_______.15.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.16.已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a<0.(1)證明:f(x)+f(-1(2)若不等式f(x)+f(2x)<12的解集非空,求18.(12分)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項均為整數(shù),它們的前項和分別為,且,.(1)求數(shù)列,的通項公式;(2)求;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列或中的項?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,說明理由.19.(12分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項公式;(Ⅱ)記為的前項和.若,求.20.(12分)如圖在直角中,為直角,,,分別為,的中點,將沿折起,使點到達點的位置,連接,,為的中點.(Ⅰ)證明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.21.(12分)高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經(jīng)濟的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng)計,在2018年這一年內(nèi)從市到市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為萬人次.為了解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):滿意度老年人中年人青年人乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機乘坐高鐵乘坐飛機10分(滿意)1212022015分(一般)2362490分(不滿意)106344(1)在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學期望;(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機?并說明理由.22.(10分)設(shè)為拋物線的焦點,,為拋物線上的兩個動點,為坐標原點.(Ⅰ)若點在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當時,求點縱坐標的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)f(x)為偶函數(shù)便可求出m=0,從而f(x)=﹣1,根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解:∵f(x)為偶函數(shù);∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故選B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0,+∞)上,根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大?。?、D【解析】
對于①,利用拋物線的定義,利用可判斷;對于②,設(shè)直線的方程為,與拋物線聯(lián)立,用坐標表示直線與直線的斜率乘積,即可判斷;對于③,將代入拋物線的方程可得,,從而,,利用韋達定理可得,再由,可用m表示,線段的中垂線與軸的交點(即圓心)橫坐標為,可得a,即可判斷.【詳解】如圖,設(shè)為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設(shè),到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以①正確.由題意可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點,的坐標分別為,,則,.所以.則直線與直線的斜率乘積為.所以②正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,.根據(jù)拋物線的對稱性可知,,兩點關(guān)于軸對稱,所以過點,,的圓的圓心在軸上.由上,有,,則.所以,線段的中垂線與軸的交點(即圓心)橫坐標為,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正確.故選:D【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學運算的能力,屬于較難題.3、B【解析】
求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.4、B【解析】
由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍,所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓,再通過此圓的圓心到直線距離,半徑和中點到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和,即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由,得,.設(shè)線段的中點,則,在圓上,到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍,點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和,而圓的圓心到直線的距離為,,,..故選:【點睛】本題考查了向量數(shù)量積,點到直線的距離,數(shù)列求和等知識,是一道不錯的綜合題.5、C【解析】
畫出不等式表示的平面區(qū)域,計算面積即可.【詳解】不等式表示的平面區(qū)域如圖:直線的斜率為,直線的斜率為,所以兩直線垂直,故為直角三角形,易得,,,,所以陰影部分面積.故選:C.【點睛】本題考查不等式組表示的平面區(qū)域面積的求法,考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力,屬于??碱}.6、C【解析】
分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知,分別以AB,AD,AP所在直線為x軸,y軸,軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選:C【點睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7、D【解析】
根據(jù),利用通項公式得到含的項為:,進而得到其系數(shù),【詳解】因為在,所以含的項為:,所以含的項的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點睛】本題主要考查二項展開式及通項公式和項的系數(shù),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,8、B【解析】
由,,三點共線,可得,轉(zhuǎn)化,利用均值不等式,即得解.【詳解】因為點為中點,所以,又因為,,所以.因為,,三點共線,所以,所以,當且僅當即時等號成立,所以的最小值為1.故選:B【點睛】本題考查了三點共線的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.9、A【解析】
進行交集的運算即可.【詳解】,1,2,,,,1,.故選:.【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義,考查了交集的定義及運算,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
先求出橢圓方程,再利用橢圓的定義得到,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求,從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有,故,故橢圓,因為點為上的任意一點,故.又,因為,故,所以.故選:D.【點睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì),一般地,如果橢圓的左、右焦點分別是,點為上的任意一點,則有,我們常用這個性質(zhì)來考慮與焦點三角形有關(guān)的問題,本題屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
構(gòu)造函數(shù),通過分析的單調(diào)性和對稱性,求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),是單調(diào)遞增函數(shù),且向左移動一個單位得到,的定義域為,且,所以為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點對稱,所以圖像關(guān)于對稱.不等式等價于,等價于,注意到,結(jié)合圖像關(guān)于對稱和單調(diào)遞增可知.所以不等式的解集是.故選:A【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性解不等式,屬于中檔題.12、B【解析】
由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先化簡集合A,再求A∪B得解.【詳解】由題得A={0,1},所以A∪B={-1,0,1}.故答案為{-1,0,1}【點睛】本題主要考查集合的化簡和并集運算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比為,將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式,求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項的基本量運算,屬于基礎(chǔ)題.15、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為416、0.22.【解析】
正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱,根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可?!驹斀狻俊军c睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義,是一個基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析.(1)(-1,0).【解析】試題分析:(1)直接計算f(x)+f(-1(1)f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|,分區(qū)間討論去絕對值符號分別解不等式即可.試題解析:(1)證明:函數(shù)f(x)=|x﹣a|,a<2,則f(x)+f(﹣)=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|(x﹣a)+(+a)|=|x+|=|x|+≥1=1.(1)f(x)+f(1x)=|x﹣a|+|1x﹣a|,a<2.當x≤a時,f(x)=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x,則f(x)≥﹣a;當a<x<時,f(x)=x﹣a+a﹣1x=﹣x,則﹣<f(x)<﹣a;當x時,f(x)=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a,則f(x)≥﹣.則f(x)的值域為[﹣,+∞).不等式f(x)+f(1x)<的解集非空,即為>﹣,解得,a>﹣1,由于a<2,則a的取值范圍是(-1,0).考點:1.含絕對值不等式的證明與解法.1.基本不等式.18、(1);(2);(3)存在,1.【解析】
(1)利用基本量法直接計算即可;(2)利用錯位相減法計算;(3),令可得,,討論即可.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公比為,因為,所以,即,解得,或(舍去).所以.(2),,所以,所以.(3)由(1)可得,,所以.因為是數(shù)列或中的一項,所以,所以,因為,所以,又,則或.當時,有,即,令.則.當時,;當時,,即.由,知無整數(shù)解.當時,有,即存在使得是數(shù)列中的第2項,故存在正整數(shù),使得是數(shù)列中的項.【點睛】本題考查數(shù)列的綜合應用,涉及到等差、等比數(shù)列的通項,錯位相減法求數(shù)列的前n項和,數(shù)列中的存在性問題,是一道較為綜合的題.19、(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】
(1)先設(shè)數(shù)列的公比為,根據(jù)題中條件求出公比,即可得出通項公式;(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,由等比數(shù)列的求和公式,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公比為,,,或.(2)時,,解得;時,,無正整數(shù)解;綜上所述.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列,熟記等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可,屬于基礎(chǔ)題型.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點,連結(jié)、,四邊形是平行四邊形,由,,得,從而,,求出,由此能證明.(Ⅱ)以為原點,、、所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】證明:(Ⅰ)取中點,連結(jié)、,∵,,∴四邊形是平行四邊形,∵,,,∴,∴,∴,在中,,又∵為的中點,∴,又∵,∴.解:(Ⅱ)∵,,,∴,以為原點,、、所在直線分別為,,軸,建立空間直角坐標系,設(shè),則,,,,∴,,,設(shè)面的法向量,則,取,得,同理,得平面的法向量,設(shè)二面角的平面角為,則,∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直及線面垂直性質(zhì)定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及利用空間向量求線面角與二面角,考查基本分析求解能力,屬中檔題.21、(1)(2)分布列見解析,數(shù)學期望(3)建議甲乘坐高鐵從市到市.見解析【解析】
(1)根據(jù)分層抽樣的特征可以得知,樣本中出行的老年人、中年人、青年人人次分別為,,,即可按照古典概型的概率計算公式計算得出;(2)依題意可知服從二項分布,先計算出隨機選取人次,此人為老年人概率是,所以,即,即可求出的分布列和數(shù)學期望;(3)可以計算滿意度
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