2025屆福建省南安市南安一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2025屆福建省南安市南安一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.2．下列關(guān)于命題的說法錯誤的是A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件C.命題“，使得”的否定是“，均有”D.“若為的極值點，則”的逆命題為真命題3．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（）A. B.C. D.4．雙曲線的左頂點為，右焦點，若直線與該雙曲線交于、兩點，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.5．若，則（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一動點P，滿足圓上存在一點Q使得，則所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為（）A. B.C. D.8．如圖，直四棱柱的底面是菱形，，，M是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.10．設(shè)、分別為具有公共焦點與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.11．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點，點、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（）A. B.C. D.12．過點A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知O為坐標(biāo)原點，橢圓T：，過橢圓上一點P的兩條直線PA，PB分別與橢圓交于A，B，設(shè)PA，PB的中點分別為D，E，直線PA，PB的斜率分別是，，若直線OD，OE的斜率之和為2，則的最大值為_______14．若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為________.15．歐陽修在《賣油翁》中寫道：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕，可見“行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢是直徑為4cm的圓，中間有邊長為1cm的正方形孔，若你隨機地向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率是_______16．如圖所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，若乙的總成績是445，則污損的數(shù)字是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.（1）求拋物線方程和N點坐標(biāo)；（2）求證：直線AB過定點，并求該定點坐標(biāo).18．（12分）已知的離心率為，短軸長為2，F(xiàn)為右焦點（1）求橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在一點M，使得過F的任意一條直線l與橢圓的兩個交點A，B，恒有，若存在求出M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由19．（12分）已知點，圓.（1）若直線l過點M，且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，點N在圓C上運動，線段的中點為P，求點P的軌跡方程.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，，求a的取值范圍.21．（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物．為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量．現(xiàn)研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關(guān)系，收集到7組溫度和產(chǎn)卵數(shù)的觀測數(shù)據(jù)于表Ⅰ中．根據(jù)繪制的散點圖決定從回歸模型①與回歸模型②中選擇一個來進(jìn)行擬合表Ⅰ溫度x/℃20222527293135產(chǎn)卵數(shù)y/個711212465114325（1）請借助表Ⅱ中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09（2）類似的，可以得到回歸模型②的方程為，試求兩種模型下溫度為時的殘差；（3）若求得回歸模型①的相關(guān)指數(shù)，回歸模型②的相關(guān)指數(shù)，請結(jié)合（2）說明哪個模型的擬合效果更好參考數(shù)據(jù)：.附：回歸方程中，相關(guān)指數(shù).22．（10分）在二項式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256.試在上面兩個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式的常數(shù)項.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)焦點在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關(guān)系，再結(jié)合a，b，c關(guān)系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B2、D【解析】根據(jù)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞等相關(guān)知識一一判斷可得答案.【詳解】解：A,由原命題與逆否命題的構(gòu)成關(guān)系,可知A正確；B,當(dāng)a=2>1時,函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)函數(shù)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)時，a>1.所以B正確；C,由于存在性命題的否定是全稱命題,所以"，使得"的否定是"，均有,所以C正確；D,的根不一定是極值點，例如:函數(shù),則=0，即x=0就不是極值點,所以“若為的極值點，則”的逆命題為假命題,故選D.【點睛】本題主要考查命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中應(yīng)用、全稱量詞與存在量詞等相關(guān)知識，需牢記并靈活運用相關(guān)知識.3、B【解析】不妨設(shè)點為第一象限的交點，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)4、A【解析】求出，分析可得，可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點、關(guān)于軸對稱，且為線段的中點，則，又因為為等腰直角三角形，所以，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.5、D【解析】設(shè)，計算出、的值，利用平方差公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)由已知可得，，因此，.故選：D.6、D【解析】由在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍可得【詳解】由已知，在上是增函數(shù)，則在上恒成立，即，，當(dāng)時，，所以故選：D7、D【解析】先找臨界情況當(dāng)PQ與圓C相切時，，進(jìn)而可得滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），即求.【詳解】當(dāng)PQ與圓C相切時，，這種情況為臨界情況，當(dāng)P往外時無法找到點Q使，當(dāng)P往里時，可以找到Q使，故滿足條件的點P形成的圖形為大圓（包括內(nèi)部），如圖，由圓，可知圓心，半徑為1，則大圓的半徑為，∴所有滿足條件的點P構(gòu)成圖形的面積為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是找出臨界情況時點所滿足的條件，進(jìn)而即可得到動點滿足條件的圖形，問題即可解決.8、D【解析】用向量分別表示,利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】由題意可得，故選：D【點睛】本題主要考查用向量的夾角公式求異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B10、A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因為，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.11、A【解析】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接、，分析可知、、三點共線，設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，分析可知，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為點，連接、，如下圖所示：因為為、的中點，則四邊形為平行四邊形，可得且，因為，故、、三點共線，設(shè)、，易知點，，，由題意可知，，可得，若直線與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.12、D【解析】過點A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點得到.故答案為D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)的坐標(biāo)，用點差法求和與的關(guān)系同，與的關(guān)系，然后表示出，求得最大值【詳解】設(shè)，，，則，兩式相減得，∴，，則，同理，，又，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴，故答案為：【點睛】方法點睛：本題考查直線與橢圓相交問題，考查橢圓弦中點問題．橢圓中涉及到弦的中點時，常常用點差法確定關(guān)系，即設(shè)弦端點為，弦中點為，把兩點坐標(biāo)代入橢圓方程，相減后可得14、【解析】因為為圓的弦的中點，所以圓心坐標(biāo)為，，所在直線方程為，化簡為，故答案為.考點：1、兩直線垂直斜率的關(guān)系；2、點斜式求直線方程.15、【解析】分別求出圓和正方形的面積，結(jié)合幾何概型的面積型計算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為銅錢的面積為，正方形孔的面積為，所以隨機地向銅錢上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計）正好落入孔中的概率是.故答案為：【點睛】本題考查了幾何概型計算公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】設(shè)污損的葉對應(yīng)的成績是x，由莖葉圖可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污損的數(shù)字是3.考點：莖葉圖.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析，定點【解析】（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標(biāo)；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計算，可得關(guān)系，然后代入直線方程可得定點.【小問1詳解】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為（），聯(lián)立方程得設(shè)兩個交點，（，）.所以所以，即整理得，此時恒成立，此時直線l的方程為，可化為，從而直線過定點.18、（1）；（2）存在點M滿足條件，點M的坐標(biāo)為.【解析】(1)根據(jù)給定條件直接計算出即可求解作答.(2)假定存在點，當(dāng)直線l與x軸不重合時，設(shè)出l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助、斜率互為相反數(shù)計算得解，再驗證直線l與x軸重合的情況即可作答.【小問1詳解】依題意，，而離心率，即，解得，所以橢圓C的方程為：.【小問2詳解】由(1)知，，假定存在點滿足條件，當(dāng)直線與x軸不重合時，設(shè)l的方程為：，由消去x并整理得：，設(shè)，則有，因，則直線、斜率互為相反數(shù)，于是得：，整理得，即，則有，即，而m為任意實數(shù)，則，當(dāng)直線l與x軸重合時，點A，B為橢圓長軸的兩個端點，點也滿足，所以存在點M滿足條件，點M的坐標(biāo)為.【點睛】思路點睛：解答直線與橢圓相交的問題，常把直線與橢圓的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.19、（1）或（2）【解析】（1）由直線被圓C截得的弦長為，求得圓心到直線的距離為，分直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況討論，結(jié)合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.（2）設(shè)點，，根據(jù)線段的中點為，求得，結(jié)合在圓上，代入即可求解.【小問1詳解】解：由題意，圓，可得圓心，半徑，因為直線被圓C截得的弦長為，則圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時，此時直線的方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，即，綜上可得，所求直線的方程為或.【小問2詳解】解：設(shè)點，因為點，線段的中點為，可得，解得，又因為在圓上，可得，即，即點的軌跡方程為.20、（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）【解析】（1）研究當(dāng)時的導(dǎo)數(shù)的符號即可討論得到的單調(diào)性；（2）對原函數(shù)求導(dǎo)，對a的范圍分類討論即可得出答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增.又因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，且.①當(dāng)時，由（1）可知當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，則，符合題意.②當(dāng)時，，不符合題意，舍去.③當(dāng)時，令，則，則，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，不符合題意，舍去.綜上，a的取值范圍為.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極