廣西梧州市2025屆高三數(shù)學(xué)3月聯(lián)考試題文

PAGEPAGE15廣西梧州市2025屆高三數(shù)學(xué)3月聯(lián)考試題文本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.第1-12小題答案用2B鉛筆填涂在答題卷選擇題方框內(nèi)，第13-23小題用0.5mm黑色簽字筆寫在答題卷上各題的答題區(qū)域內(nèi).考試時(shí)間120分鐘.在試題卷上作答無效.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.52.若復(fù)數(shù)滿意，則（）A. B.5 C. D.3.2024年8月1日是中國(guó)人民解放軍建軍90周年，中國(guó)人民銀行發(fā)行了以此為主題的紀(jì)念幣.如圖是一枚8克圓形精制金質(zhì)紀(jì)念幣，直徑為，面額100元.為了測(cè)算圖中軍旗部分的面積，現(xiàn)用1粒芝麻向硬幣內(nèi)投擲100次，其中恰有30次落在軍旗內(nèi)，據(jù)此可估計(jì)軍旗的面積大約是（）A. B.C. D.4.設(shè)，滿意，則的最小值是（）A.2 B.-7 C.3 D.-55.已知雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.6.若，則（）A.-4 B.4 C.5 D.-57.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.8.正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.9.已知直線與圓：相交于，，且，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1或-1 B.-1 C.1 D.或-110.已知，，在球的球面上，，，，直線與截面所成的角為，則球的表面積為（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增12.已知，若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，且，則________.14.已知數(shù)列中，，，則________.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，若的面積是，則拋物線的方程是________.16.已知三內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，若角的平分線交于點(diǎn)，且，則的最小值為_________.三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答﹔第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答）17.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿意，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分困難多樣，且具有污染性，所以須要無害化、減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個(gè)縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計(jì)算得，，，，.（1）請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回來模型進(jìn)行擬合；（2）求關(guān)于的線性回來方程，用所求回來方程預(yù)料該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為多少噸？參考公式：相關(guān)系數(shù)，對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.19.如圖，在四棱錐中，底面為梯形，平面平面，，，，，為側(cè)棱的中點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)到平面的距離為2，且，求點(diǎn)到平面的距離.20.已知橢圓：過點(diǎn)，點(diǎn)為其上頂點(diǎn)，且直線的斜率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積是定值.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.留意：只能做選定的題目.假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.作答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（2）在（1）的條件下，若過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值.23.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）正數(shù)，滿意，證明：.梧州市2025屆中學(xué)畢業(yè)班3月聯(lián)考參考答案文科數(shù)學(xué)一、選擇題（每小題5分，共60分）1-5：BCBAA 6-10：DCCAD 11-12：BC1.B解析：由可得，，所以.故選B.2.C解析：由，得，所以.故選C.3.B解析：由該紀(jì)念幣的直徑為，知半徑，則該紀(jì)念幣的面積為，所以估計(jì)軍旗的面積大約是.故選B.4.A解析：由約束條件可得可行域如圖陰影部分所示：由，得，當(dāng)取最小值時(shí)，在軸截距最小，由圖象可知，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，在軸截距最小，又，所以.故選A.5.A解析：取雙曲線的右焦點(diǎn)，取雙曲線的漸近線，即，依題意得，即，所以離心率.故選A.6.D解析：由，得，所以.故選D.7.C解析：由題可知，函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以解除選項(xiàng)B，D；又，所以解除選項(xiàng)A.故選C.8.C解析：如圖，取的中點(diǎn)，連接，.由于正三棱柱中，底面，而底面，所以.由正三棱柱的性質(zhì)可知，為等邊三角形，所以，且，所以平面，而平面，則，所以.又為的中點(diǎn)，則，所以即為異面直線與所成的角.設(shè)，則，，，則，所以.故選C.9.A解析：由題意得為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離，即，整理得，即，解得或1.故選A.10.D解析：設(shè)的外心為，，，則.設(shè)球的半徑為，由題意可知平面，又直線與截面所成的角為，所以，在中，所以，所以球的表面積為.故選D.11.B解析：由的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，得.A中，，錯(cuò)誤；B中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，正確；C中，，錯(cuò)誤；D中，由，，得的單調(diào)遞增區(qū)間為，.令，，令，，所以在區(qū)間上不單調(diào)遞增，錯(cuò)誤.故選B.12.C解析：由題意有4個(gè)零點(diǎn)，即有4個(gè)零點(diǎn).設(shè)，則恒過點(diǎn)，所以函數(shù)與的圖象有4個(gè)交點(diǎn).在同始終角坐標(biāo)系下作出函數(shù)與的圖象，如圖.由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象至多有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)過點(diǎn)和時(shí)，，此時(shí)函數(shù)與的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)函數(shù)與的圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，，所以，所以，解得，所以，此時(shí)函數(shù)與的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象至多有兩個(gè)交點(diǎn).所以若要使函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則.故選C.二、填空題13.解析：因?yàn)椋?，所以，又，所以，解?14.解析：在數(shù)列中，，，則，，，.15.解析：如圖可知，，，垂足為，連接，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，所以，則三角形是正三角形.由的面積為，可得，所以在中，，則，所以拋物線方程為.16.4解析：由及正弦定理，得，因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)?，所?如圖，，所以，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為4.三、解答題17.解析：（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，所以，則，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，①則，②①-②得，所以，因此.18.解析：（1）由題意知，相關(guān)系數(shù).因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回來模型進(jìn)行擬合.（2）由題意可得，，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為252.5噸.19.解：（1）證明：（證法一）取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)闉閭?cè)棱的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.又，且，所以四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，所以平面.因?yàn)?，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以平?（證法二）取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)闉閭?cè)棱的中點(diǎn)，所以.又在梯形中，，且，所以，所以.所以四邊形為平行四邊形，則.又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平?所以平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，，所以平?所以點(diǎn)到平面的距離為.因?yàn)椋?過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以平?因?yàn)椋?，，所?在中，，，由等面積法得，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.解析：（1）由題意，設(shè)直線：，令，則，于是.所以，，故橢圓的方程為.（2）設(shè)，且，又，，所以直線：，令，，則.直線：，令，，則.所以四邊形的面積為，所以四邊形的面積為定值.21.解：（1）由題意知的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所以?dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的遞增區(qū)間為，，的遞減區(qū)間為，所以的極大值為，的微小值為.（2）若，使得成立，即有解.設(shè)，只需在上的最小值小于0..①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，.因?yàn)?，所?②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.因?yàn)?，所以，所以，不滿意題意.③當(dāng)，即時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，，又因?yàn)?，所?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.解析：（1）點(diǎn)的直角坐標(biāo)方程為，將，，代入曲線的極坐標(biāo)方程，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，整理得.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.由為的中點(diǎn)，有，得，代入，得，