北京市豐臺(tái)區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月綜合練習(xí)一模試題一含解析

PAGEPAGE15北京市豐臺(tái)區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月綜合練習(xí)（一模）試題（一）（含解析）本試卷滿分共150分考試時(shí)間120分鐘留意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必先將答題卡上的學(xué)校、年級(jí)、班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡簽字筆填寫清晰，并仔細(xì)核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，在答題卡的“條形碼粘貼區(qū)”貼好條形碼。2.本次考試全部答題均在答題卡上完成。選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆以正確填涂方式將各小題對(duì)應(yīng)選項(xiàng)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦除干凈后再選涂其它選項(xiàng)。非選擇題必需運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)黑色字跡簽字筆書寫，要求字體工整、字跡清晰。3.請(qǐng)嚴(yán)格根據(jù)答題卡上題號(hào)在相應(yīng)答題區(qū)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試卷、草稿紙上答題無效。4.請(qǐng)保持答題卡卡面清潔，不要裝訂、不要折疊、不要破損。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A）（B）（C）（D）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知雙曲線的離心率是，則（A）（B）（C）（D）（4）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，且.把角的終邊繞端點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時(shí)終邊對(duì)應(yīng)的角是，則（A）（B）（C）（D）（5）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則的值為（A）（B）（C）（D）（6）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為（A）2（B）（C）（D）4（7）為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線和對(duì)稱軸的距離分別為10和6，則（A）2（B）4（C）或（D）或（8）大氣壓強(qiáng)，它的單位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大氣壓強(qiáng)（Pa）隨海拔高度（m）的改變規(guī)律是（m-1），是海平面大氣壓強(qiáng)．已知在某高山兩處測(cè)得的大氣壓強(qiáng)分別為，，那么兩處的海拔高度的差約為（參考數(shù)據(jù)：）（A）550m（B）1818m（C）5500m（D）8732m（9）已知非零向量共面，那么“存在實(shí)數(shù)，使得成立”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（10）已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）其次部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域?yàn)開____．（12）在的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____．（用數(shù)字作答）（13）在中，，則_____．（14）設(shè)等比數(shù)列滿意QUOTE，則的最大值為_____．（15）如圖，從長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體中截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐．下列四個(gè)結(jié)論中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是_____．①三棱錐的體積為；②三棱錐的每個(gè)面都是銳角三角形；③三棱錐中，二面角不會(huì)是直二面角；④三棱錐中，三條側(cè)棱與底面所成的角分別記為，則.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是時(shí)，.從①②③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面空格處并作答.①求在區(qū)間上的最小值；②求的單調(diào)遞增區(qū)間；③若，求的取值范圍.注：假如選擇多個(gè)問題分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（17）（本小題14分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，，是棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，且底面，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．（18）（本小題14分）某電影制片廠從2011年至2024年生產(chǎn)的科教影片、動(dòng)畫影片、紀(jì)錄影片的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）如下圖所示.（Ⅰ）從2011年至2024年中任選一年，求此年動(dòng)畫影片時(shí)長(zhǎng)大于紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的概率；（Ⅱ）從2011年至2024年中任選兩年，設(shè)為選出的兩年中動(dòng)畫影片時(shí)長(zhǎng)大于紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的年數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）將2011年至2024年生產(chǎn)的科教影片、動(dòng)畫影片、紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的方差分別記為，試比較的大小.（只需寫出結(jié)論）（19）（本小題15分）已知橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn).（?。┣笞C：直線的斜率之積為定值；（ⅱ）推斷三點(diǎn)是否共線，并說明理由.（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，分別記為.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：．（21）（本小題14分）已知數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列的項(xiàng)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，第一組為，滿意；其次組為，滿意，記．（Ⅰ）若數(shù)列，寫出數(shù)列的一種分組結(jié)果，并求出此時(shí)的值；（Ⅱ）若數(shù)列，證明：；（其中表示中較大的數(shù)）（Ⅲ）證明：的值與數(shù)列的分組方式無關(guān). 豐臺(tái)區(qū)2024年高三年級(jí)其次學(xué)期綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)2024.03本試卷滿分共150分考試時(shí)間120分鐘第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A）（B）（C）（D）解析：畫數(shù)軸，選D.（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限（B）其次象限（C）第三象限（D）第四象限解析：，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，選A.（3）已知雙曲線的離心率是，則（A）（B）（C）（D）解析：，，，選B.（4）在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，且.把角的終邊繞端點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度，這時(shí)終邊對(duì)應(yīng)的角是，則（A）（B）（C）（D）解析：，選A.（5）若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則的值為（A）（B）（C）（D）解析：圓心在直線上，即，解得.選B.（6）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為（A）2（B）（C）（D）4解析：右后提點(diǎn)，最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為體對(duì)角線，選C.（7）為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線和對(duì)稱軸的距離分別為10和6，則（A）2（B）4（C）或（D）或解析：其中一個(gè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，即，解得或，選D.（8）大氣壓強(qiáng)，它的單位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大氣壓強(qiáng)（Pa）隨海拔高度（m）的改變規(guī)律是（m-1），是海平面大氣壓強(qiáng)．已知在某高山兩處測(cè)得的大氣壓強(qiáng)分別為，，那么兩處的海拔高度的差約為（參考數(shù)據(jù)：）（A）550m（B）1818m（C）5500m（D）8732m解析：，故，選C.（9）已知非零向量共面，那么“存在實(shí)數(shù)，使得成立”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件解析：前后都是與共線，選C.（10）已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）解析：特值解除即可.當(dāng)時(shí)，符合題意，解除C、D；當(dāng)時(shí)，符合題意，解除A.選B.其次部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域?yàn)開____．解析：聯(lián)立，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?（12）在的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為_____．（用數(shù)字作答）解析：.（13）在中，，則_____．解析：由正弦定理，即，解得.（14）設(shè)等比數(shù)列滿意QUOTE，則的最大值為_____．解析：，解得，列出前幾項(xiàng)32，16，8，4，2，1，，，故的最大值為.（15）如圖，從長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體中截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐．下列四個(gè)結(jié)論中，全部正確結(jié)論的序號(hào)是_____．①三棱錐的體積為；②三棱錐的每個(gè)面都是銳角三角形；③三棱錐中，二面角不會(huì)是直二面角；④三棱錐中，三條側(cè)棱與底面所成的角分別記為，則.解析：對(duì)于①，，①正確；對(duì)于②，三棱錐的每個(gè)面三邊長(zhǎng)都是、、，，，，②正確；對(duì)于③，舉出反例即可.以F為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，經(jīng)計(jì)算，平面的法向量可取,平民的法向量可取,當(dāng)，化簡(jiǎn)得，隨意代一組符合題意的解即可，如，③錯(cuò)誤.對(duì)于④，由③，平面的法向量可取，，，，，同理可推出，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.④正確填①②④.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是時(shí)，.從①②③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到上面空格處并作答.①求在區(qū)間上的最小值；②求的單調(diào)遞增區(qū)間；③若，求的取值范圍.注：假如選擇多個(gè)問題分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，.（Ⅱ）.因?yàn)楹瘮?shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離是，所以，解得.所以.選①：因?yàn)?，所?當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上有最小值為.選②：令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.選③：因?yàn)?，所?所以.解得.（17）（本小題14分）如圖，四棱錐中，底面是菱形，，是棱上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，且底面，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．（Ⅰ）證明：在菱形中，，為等邊三角形．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)?/，所以．因?yàn)榈酌?，平面，所以．因?yàn)?，平面，所以平面．因?yàn)槭抢馍系狞c(diǎn)，所以平面．所以．（Ⅱ）解：因?yàn)榈酌?，，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則．因?yàn)椋?，，，，所以．由，?設(shè)是平面的法向量，由，得令，則，則．又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，所?由題知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為．（18）（本小題14分）某電影制片廠從2011年至2024年生產(chǎn)的科教影片、動(dòng)畫影片、紀(jì)錄影片的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘）如下圖所示.（Ⅰ）從2011年至2024年中任選一年，求此年動(dòng)畫影片時(shí)長(zhǎng)大于紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的概率；（Ⅱ）從2011年至2024年中任選兩年，設(shè)為選出的兩年中動(dòng)畫影片時(shí)長(zhǎng)大于紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的年數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）將2011年至2024年生產(chǎn)的科教影片、動(dòng)畫影片、紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的方差分別記為，試比較的大小.（只需寫出結(jié)論）解：（Ⅰ）從2011年至2024年中任選一年，動(dòng)畫影片時(shí)長(zhǎng)大于紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)的年份分別是2011年，2015年，2024年，2024年，2024年和2024年，共6年.記從2011年至2024年中任選一年，此年動(dòng)畫影片時(shí)長(zhǎng)大于紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)為事務(wù)，則.（Ⅱ）的全部可能取值為0,1,2.；；.所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.（Ⅲ）.（看圖，科教影片時(shí)長(zhǎng)的波動(dòng)最大，方差最大;再將動(dòng)畫影片、紀(jì)錄影片時(shí)長(zhǎng)從小到大排列：動(dòng)畫影片：150，180，200，240，260，290，320，350，380，430紀(jì)錄影片：100，130，150，190，210，240，270，300，330，380紀(jì)錄影片的每個(gè)數(shù)都比動(dòng)畫影片小50，波動(dòng)一樣，故方差相同）小強(qiáng)數(shù)學(xué)（19）（本小題15分）已知橢圓長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）為橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn).（?。┣笞C：直線的斜率之積為定值；（ⅱ）推斷三點(diǎn)是否共線，并說明理由.常規(guī)類型：定值問題+三點(diǎn)共線問題解：（Ⅰ）由題意，所以.所以橢圓C的方程為.（Ⅱ）（?。┳C明：設(shè)，因?yàn)樵跈E圓上，所以.因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，所以直線的方程為.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以直線的斜率為.所以直線的斜率之積為.（ⅱ）三點(diǎn)共線.設(shè)直線斜率為，易得.由（?。┛芍本€斜率為，所以直線的方程為.聯(lián)立可得.解得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以，直線的斜率為，直線的斜率為.因?yàn)橹本€的斜率等于直線的斜率，所以三點(diǎn)共線.（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，分別記為.（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：．極值點(diǎn)偏移，短暫北京卷考的概率很小解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，得，因?yàn)?，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．…4分（Ⅱ）因?yàn)椋粤?，得，．，隨的改變?nèi)缦拢?-+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增所以的極大值為，微小值為．（?。┤艉瘮?shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，分別記為則，所以．當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，，故存在三個(gè)零點(diǎn)，所以若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，的取值范圍是．（ⅱ）證明：因?yàn)槭呛瘮?shù)的零點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋以趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即．（另：一元三次方程的韋達(dá)定理，，，得，則要證，即證，即，又在上單調(diào)遞增，則，故，即得證.）小強(qiáng)數(shù)學(xué)（21）（本小題14分）已知數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列的項(xiàng)分成個(gè)數(shù)相同的兩組，第一組為，滿意；其次組