安徽省安慶市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月模擬考試二模試題理

PAGEPAGE17安徽省安慶市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月模擬考試（二模）試題理本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分?？荚嚂r間120分鐘。第Ⅰ卷選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則取值范圍是A.B.C.D.2.設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則A．B．C．D．3.從4位男生，2位女生中選3人組隊(duì)參與學(xué)習(xí)強(qiáng)國答題競賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法種數(shù)共有A.8B.12C.16D.4.設(shè)函數(shù)，則使得不等式成立的實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.5.已知實(shí)數(shù)，滿意，則的最大值為A.B.C.D.6.已知，則A．B．C．D．7.設(shè)是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，若則A.B.C.D.8.已知函數(shù)的圖象如圖所示，其中為正整數(shù)，，則，B.，C.，D.，9.設(shè)拋物線（）的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)，（點(diǎn)位于軸上方），是坐標(biāo)原點(diǎn)，記△和△的面積分別為，，則A.B.C.D.10.《九章算術(shù)》卷五《商功》中，把正四棱臺形態(tài)的建筑物稱為“方亭”.沿“方亭”上底面的一組對邊作垂直于底面的兩截面，去掉截面之間的幾何體，將“方亭”的兩個邊角塊合在一起組成的幾何體稱為“芻甍”.現(xiàn)記截面之間幾何體體積為，“芻甍”的體積為，若，臺體的體積公式為，其中分別為臺體的上、下底面的面積.則“方亭”的上、下底面邊長之比為A. B. C. D.11.已知，且，的夾角為，若向量，則的取值范圍是A.B.C.D.12.對隨意，使得不等式成立的最大整數(shù)為A.B.C.0D.1第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為.14.某市提倡中學(xué)學(xué)生暑假期間參與社會公益活動.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，全市中學(xué)學(xué)生參與該活動的累計(jì)時長(小時)近似聽從正態(tài)分布，人均活動時間約40小時.若某中學(xué)學(xué)校1000學(xué)生中參與該活動時間在30至50小時之間的同學(xué)約有300人.據(jù)此，可推想全市名學(xué)生中，累計(jì)時長超過50小時的人數(shù)大約為.15.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為.連接，設(shè)直線，的斜率分別為，，若，則雙曲線的離心率為.16.鈍角的面積是，，，角的平分線交于點(diǎn)，則.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿意，，.（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和.證明：.18.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，底面△是正三角形，是其中心，側(cè)面是正方形，是其中心.（Ⅰ）推斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由；（Ⅱ）若四面體是正四面體，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）某學(xué)校實(shí)行詩詞學(xué)問選拔賽，通過微信小程序自行注冊并登錄進(jìn)行作答，選拔賽一共設(shè)置了由易到難的A、B、C、D四道題，答題規(guī)則如下：每次作答一題，按問題A、B、C、D依次作答；每位同學(xué)初始得分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分；每作答完一題，小程序自動累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，通過競賽；當(dāng)作答完四題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束；假設(shè)小強(qiáng)同學(xué)對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為、、、，且各題回答正確與否相互之間沒有影響。（Ⅰ）求小強(qiáng)同學(xué)前三道題都答對的概率；（Ⅱ）用X表示小強(qiáng)同學(xué)答題結(jié)束時的得分，求X的分布列；（Ⅲ）求小強(qiáng)同學(xué)能通過競賽的概率.20.（本小題滿分12分）設(shè)，分別為橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個端點(diǎn)，已知△的面積為，.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）是否存在與平行的直線，滿意：直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，且以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，.（Ⅰ）當(dāng)，時，求證：；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（二）選考題：共10分.請考生從第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題目計(jì)分.22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線：（為參數(shù)，常數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）若曲線與有公共點(diǎn)，求的取值范圍；（Ⅱ）若，過曲線上隨意一點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)為，求的最小值.23.[選修45：不等式選講]（本小題滿分10分）已知函數(shù)（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

2024年安慶市高三模擬考試（二模）數(shù)學(xué)試題（理科）參考答案第Ⅰ卷選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號123456789101112答案CBCADABCCADB1.【解析】由知，故，得.故選C.2.【解析】，.故選B.3.【解析】可分兩種狀況：第一種狀況，只有1位女生入選，不同的選法有（種）；其次種狀況，有2位女生入選，不同的選法有（種）．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，至少有l(wèi)位女生人選的不同的選法有16種．故選C.4.【解析】由函數(shù)解析式知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)和單調(diào)遞增函數(shù)，于是原不等式可化為，所以，解得.故選A.5.【解析】畫出線性約束區(qū)域，所以當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)有最大值，最大值為3.故選D.6.【解析】由，得.因?yàn)椋?，即，所以，故選A.7.【解析】設(shè)是等比數(shù)列的公比為，，故，從而，即，解得，，故選B.8.【解析】由圖象可知，即，得.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以.又時，，所以，即，，已知，所以.故選C.9.【解析】由題意可知，直線的方程為，代入，整理得.設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，因?yàn)辄c(diǎn)位于軸上方，所以，，所以，故選C.10.【解析】設(shè)“方亭”的上底面邊長為,下底面邊長為,高為h，則，∴．故選A．11.【解析】解法1：取，則點(diǎn)在以為圓心，半徑為1的圓面上（包括邊界），設(shè)向量的夾角為，由圖可知，取值范圍為；，由于為向量在向量上的投影，且.故的取值范圍是.選D.解法2：不妨設(shè)，，.因?yàn)椋?，設(shè)，，，，所以，由于，故.故選D.【解析】由題意知，有，令，則.令，易知其單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在，使得，因此在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，所以最大整數(shù)為，故選B.第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】因?yàn)?，，，所以切線方程為.14.【解析】由題意，，則，由，可得，故累計(jì)時長超過50小時的人數(shù)大約有人.15.【解析】已知焦點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，其中.依據(jù)對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在漸近線上，則直線的方程為，與聯(lián)立，得，所以，由，得，化簡得，故.16.【解析】由，得，若角為銳角，則，此時，即，由于，則為銳角三角形，不符合題意.故為鈍角，此時，，故.在中，由正弦定理得，同理，在中，，而在中，，由于，故，由于,故，所以，所以.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：60分.17.（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）∵，，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴∴.所以.……………12分18.（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）如圖1，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，依據(jù)棱柱的性質(zhì)可得，，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以平面.因?yàn)榕c相交，所以與相交.……………5分（Ⅱ）因?yàn)樗拿骟w是正四面體，是△的中心，所以平面，.所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，方向分別為軸，軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系.易得，，，，，，.所以，，，所以，，故是平面的法向量.又是平面的法向量，，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則.……………12分19.（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）小強(qiáng)同學(xué)前三道題都答對的概率.……………3分（Ⅱ）X可能取6,7,9,10,11,14,16,17,18,19.隨機(jī)變量X的分布列為X67910111416171819P……………7分（Ⅲ）小強(qiáng)同學(xué)能通過競賽的概率……………12分注：答題得分狀況如下初始分ABCD累計(jì)得分能否通

過競賽對錯得分1分對錯得分2分對錯得分3分對錯得分6分10√11√13√1616能10√11√13×11√1717能10√11√13×11×99否10√11×9√12√1818能10√11×9√12×1010否10√11×9×77否10×8√10√13√1919能10×8√10√13×1111否10×8√10×8√1414能10×8√10×8×66否10×8×66否20.（本小題滿分12分）【解析】(Ⅰ)設(shè)，則△的面積等于，所以.①由，即，得.因?yàn)樵谥苯恰髦校?，，，所以，所?②由①②及，得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……………5分（Ⅱ）因?yàn)橹本€的斜率為，所以可設(shè)直線的方程為，代入，整理得.由，得.設(shè)，，則，.若以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則，即，得，所以，得.因?yàn)椋?所以.所以存在滿意條件的直線，方程為或.……………12分21.（本小題滿分12分）【解析】（Ⅰ）當(dāng)，時，，所以，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，有最小值.因?yàn)?，，所?……………5分（Ⅱ）解法1：恒成立，即，且要求，所以，①若，對隨意的實(shí)數(shù)，當(dāng)且時，由于，，故不等式不成立.②若，設(shè)，則.當(dāng)，，當(dāng)，，從而在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；故有最小值因此，所以.設(shè)（）則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.從而的最大值為.當(dāng)，時，取等號，故的最大值為.…………12分解法2：恒成立，即恒成立.若，對隨意的實(shí)數(shù)，當(dāng)且時，，不等式不成立，所以.令，則，由于，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上有最小值，最小值為.由恒成立，得，所以（以下同解法一）解法3：恒成立，即，從而，曲線不在直線的下方.設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，則該切線方程為，所以.要使曲線不在直線的下方，必需因?yàn)椋?，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即故的最大值為.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分.22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）