重慶市江津中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題含解析

重慶市江津中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差，若（，），則（）A.2023 B.2022C.2021 D.20203．已知圓：，點(diǎn)，則點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為（）A.1 B.2C. D.4．如圖，已知多面體，其中是邊長為4的等邊三角形，四邊形是矩形，，平面平面，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B.C. D.5．三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD，BC的中點(diǎn)，BE，DH的交點(diǎn)為G，則的化簡結(jié)果為（）A. B.C. D.6．若函數(shù)f(x)=x2+x+1在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.7．若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的值為（）A. B.C. D.8．若曲線與曲線在公共點(diǎn)處有公共切線，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.9．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.11．十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成《律學(xué)新說》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)正數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個(gè)數(shù)應(yīng)為（）A. B.C. D.12．已知圓過點(diǎn)，，且圓心在軸上，則圓的方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式的常數(shù)項(xiàng)是________14．?dāng)?shù)列中，，則______15．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是______.16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記為的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長；（2）若以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值18．（12分）已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到軸的距離相等.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，兩點(diǎn)，且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))，證明：直線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn).19．（12分）已知圓經(jīng)過，且圓心C在直線上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與圓存在公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng)，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；（2）試估計(jì)測(cè)評(píng)成績的75%分位數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例21．（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．（10分）已知定圓，過的一條動(dòng)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，（1）當(dāng)與定直線垂直時(shí)，求出與的交點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明過圓心；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】聯(lián)立直線方程與橢圓方程，消y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理可得，進(jìn)而得出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入直線方程求出中點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點(diǎn)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，所以中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，即線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B2、C【解析】根據(jù)題意令可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式寫出，進(jìn)而得到關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】因?yàn)?，令，得，又，，所以，有，解?故選：C3、C【解析】寫出圓的圓心和半徑，求出距離的最小值，再結(jié)合圓外一點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值的方法即可求解.【詳解】由圓：，得圓，半徑為，所以，所以點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最小距離為.故選：C.4、C【解析】利用面面垂直性質(zhì)結(jié)合已知尋找兩兩垂直的三條直線建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法可解.【詳解】取的中點(diǎn)O，連接OB，過O在平面ACDE面內(nèi)作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是邊長為4的等邊三角形，四邊形ACDE是矩形，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OF分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系則，，，設(shè)平面ABD的單位法向量，，由解得取，則∴點(diǎn)C到平面ABD的距離.故選：C5、D【解析】依題意可得為的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知，由中位線定理可知，再利用向量的加法運(yùn)算法則即可求出結(jié)果【詳解】解：依題意可得為的重心，，，分別為邊，和的中點(diǎn)，，，故選：D6、C【解析】若f(x)=x2+x+1在區(qū)間內(nèi)有極值點(diǎn),則f'(x)=x2-ax+1在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn),且零點(diǎn)不是f'(x)的圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo).由x2-ax+1=0,得a=x+.因?yàn)閤∈,y=x+的值域是,當(dāng)a=2時(shí),f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合題意.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故選C.7、D【解析】利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，化簡求得的值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相切，所以.故選：D8、A【解析】設(shè)公共點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于、的方程組，即可解得實(shí)數(shù)、的值.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，曲線在處的切線斜率，的導(dǎo)數(shù)為，曲線在處的切線斜率，因?yàn)閮汕€在公共點(diǎn)處有公共切線，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故選：A9、B【解析】實(shí)數(shù)，滿足，通過討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第三象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點(diǎn)到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行，通過圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€與直線的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】三種距離公式：（1）兩點(diǎn)間的距離公式：平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為；（2）點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)到直線的距離;（3）兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線與間的距離.10、B【解析】計(jì)算出、的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進(jìn)而可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，則，執(zhí)行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.11、C【解析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】用表示這個(gè)數(shù)列，依題意，，則，，第四個(gè)數(shù)即.故選：C.12、B【解析】根據(jù)圓心在軸上，設(shè)出圓的方程，把點(diǎn)，的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.【詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)，在圓上，所以，解得，所以圓的方程是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，即可求解.【詳解】的通項(xiàng)公式是，，依題意，令，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14、1【解析】根據(jù)可得，則，所以可得數(shù)列是以6為周期周期數(shù)列，再由計(jì)算出的值，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，因?yàn)椋?，所以，所以，所以所以，故答案為?15、【解析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求解出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，且，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.16、證明過程見解析【解析】選①②作條件證明③時(shí)，可設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，利用是等差數(shù)列可證；也可分別設(shè)出公差，寫出各自的通項(xiàng)公式后利用兩者的關(guān)系，對(duì)照系數(shù)，得到等量關(guān)系，進(jìn)行證明.選①③作條件證明②時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式表示出，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；選②③作條件證明①時(shí)，設(shè)出，結(jié)合的關(guān)系求出，根據(jù)可求，然后可證是等差數(shù)列；也可利用前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.【詳解】選①②作條件證明③：[方法一]：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)橐彩堑炔顢?shù)列，所以，解得；所以，，故.[方法二]：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等差數(shù)列的公差為，則，將代入，化簡得對(duì)于恒成立則有，解得．所以選①③作條件證明②：因?yàn)?，是等差?shù)列，所以公差，所以，即，因?yàn)椋允堑炔顢?shù)列.選②③作條件證明①：[方法一]：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以，解得或；?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足等差數(shù)列的定義，此時(shí)為等差數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去.綜上可知為等差數(shù)列.[方法二]【最優(yōu)解】：因?yàn)椋裕?，因?yàn)橐矠榈炔顢?shù)列，所以公差，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故的通項(xiàng)公式為，所以，，符合題意.【整體點(diǎn)評(píng)】這類題型在解答題后可證是等差數(shù)列；法二：利用是等差數(shù)列即前兩項(xiàng)的差求出公差，然后求出的通項(xiàng)公式，利用，求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而證明出結(jié)論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用弦長公式可求弦長.（2）根據(jù)圓過原點(diǎn)可得，設(shè)，從而，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程后利用韋達(dá)定理化簡前者可得所求的參數(shù)的值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，直線，設(shè)，由可得，此時(shí)，故.【小問2詳解】設(shè)，因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故，故，由可得，故且，故.而可化為即，因?yàn)椋?，解得，結(jié)合其范圍可得.18、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)利用拋物線點(diǎn)，n)到焦點(diǎn)的距離等于到x軸的距離求出，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，通過韋達(dá)定理求出直線方程，然后由，即可求解【小問1詳解】由題意可得，故拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立方程中，消去得，，則，又，解得或(舍去)，直線方程為，直線過定點(diǎn)19、（1）（2）【解析】（1）因?yàn)閳A心在直線上，可設(shè)圓心坐標(biāo)為，利用圓心到圓上兩點(diǎn)的距離相等列出等式求解即可.（2）直線與圓存在公共點(diǎn)，即圓心到直線的距離小于等于半徑，列出不等關(guān)系求解即可.【小問1詳解】解：因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為，因?yàn)閳A經(jīng)過，，所以，即：，解方程得，圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：【小問2詳解】圓心到直線的距離且直線與圓有公共點(diǎn)即20、（1）20人（2）（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的頻率，即可解出；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在[70，80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50，90）頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在樣本中分?jǐn)?shù)在[50，90）的人數(shù)為100×0.9=90(人)，在樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為400×0.95=380(人)，總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人【小問2詳解】測(cè)試成績從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在[70，80）之間，所以估計(jì)測(cè)評(píng)成績的75%分位數(shù)為【小問3詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為21、（1）；（2）.【解析】（1）將條件化為基本量并解出，進(jìn)而求得答案；（2）通過裂項(xiàng)法即可求出答案.【小問1詳解】由，.得：解得：故.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，.22、（1），證明見解析；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可求得的值，再將直線、的方程聯(lián)立，可得出這兩條直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，將圓心的坐標(biāo)