北京市東城區(qū)第五十五中學2025屆數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

北京市東城區(qū)第五十五中學2025屆數(shù)學高二上期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)在上可導，則等于（）A. B.C. D.以上都不對2．已知拋物線，過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線交于、兩點，點的坐標為，且為直角三角形，則以直線為準線的拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.3．在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（）A. B.C. D.4．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.165．已知函數(shù)對于任意的滿足，其中是函數(shù)的導函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.6．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個，白球3個，小明從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.757．已知拋物線的焦點為，拋物線上的兩點，均在第一象限，且，，，則直線的斜率為（）A.1 B.C. D.8．已知點、是雙曲線C：的左、右焦點，P是C左支上一點，若直線的斜率為2，且為直角三角形，則雙曲線C的離心率為()A.2 B.C. D.9．已知橢圓的兩焦點分別為，，P為橢圓上一點，且，則的面積等于（）A.6 B.C. D.10．已知直線與圓交于A，B兩點，O為原點，且，則實數(shù)m等于（）A. B.C. D.11．命題“?x0∈（0，+∞），”的否定是（）A.?x∈（﹣∞，0），2x+sinx≥0B.?x∈（0，+∞），2x+sinx≥0C.?x0∈（0，+∞），D.?x0∈（﹣∞，0），12．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，，則__________.14．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點，則棱臺的體積為___________.15．如圖，正方體中，點E，F(xiàn)，G分別是，AB，的中點，則直線與GF所成角的大小是______（用反三角函數(shù)表示）16．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進口總額（單位：千億元）和出口總額（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年若每年的進出口總額，滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計劃2022年出口總額達到千億元，預計該年進口總額為______億元三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)（圓形區(qū)域的邊界上無暗礁），已知小島中心位于輪船正西處，港口位于小島中心正北處.（1）若，輪船直線返港，沒有觸礁危險，求的取值范圍?（2）若輪船直線返港，且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補水，求的最小值.18．（12分）已知橢圓的右焦點為，短軸長為4，設，的左右有兩個焦點求橢圓C的方程；若P是該橢圓上的一個動點，求的取值范圍；是否存在過點的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明兩點19．（12分）如圖，直角梯形AEFB與菱形ABCD所在平面互相垂直，，，，，，M為AD中點.（1）證明：直線面DEF；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的零點個數(shù).21．（12分）等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）令，設數(shù)列的前項和為，求.22．（10分）已知拋物線的焦點F到準線的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)目標式，結(jié)合導數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選：C2、B【解析】設點位于第一象限，求得直線的方程，可得出點的坐標，由拋物線的對稱性可得出，進而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準線的拋物線的標準方程.【詳解】設點位于第一象限，直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以，點.為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準線的拋物線的標準方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線標準方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.3、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理、加法的運算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】因為是平行六面體，所以，所以有：，因此有：，因為，，，，，所以，所以，故選：B4、A【解析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A5、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C6、C【解析】求出第一次取得紅球的事件、第一次取紅球第二次取白球的事件概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則，，于是得，所以在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為0.6.故選：C7、C【解析】作垂直準線于，垂直準線于，作于，結(jié)合拋物線定義得出斜率為可求.【詳解】如圖：作垂直準線于，垂直準線于，作于，因為，，，由拋物線的定義可知：，，，所以，直線斜率為：.故選：C.8、B【解析】根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理利用即可得離心率.【詳解】∵直線的斜率為2，為直角三角形，∴，又，∴，.∵，即，∴故選：B.9、B【解析】根據(jù)橢圓定義和余弦定理解得，結(jié)合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點，∴，兩邊平方可得，即，由于，，∴根據(jù)余弦定理可得，綜上可解得，∴的面積等于，故選：B10、A【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點O到直線l的距離，因此，，解得，所以實數(shù)m等于.故選：A11、B【解析】利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結(jié)果即可【詳解】命題“?x0∈（0，+∞），”的否定是“?x∈（0，+∞），2x+sinx≥0”故選：B12、A【解析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知在中利用余弦定理可得的值，可求，可得，即可得解的值【詳解】解：因為在中，，，，所以由余弦定理可得，所以，即，則故答案為：14、【解析】分別計算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.15、【解析】連接，由得出直線與GF所成角，再由余弦定理得出直線與GF所成角的大小.【詳解】連接，因為，所以直線與GF所成角為.設，則，，，又異面直線的夾角范圍為，所以直線與GF所成角的大小是.故答案為：16、①.1.6②.3.65千##3650【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點，代入即可求得，取可求出該年進口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點，由，解得，此時，，當時，即，解得，所以，預計該年進口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65千三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）120【解析】（1）建立平面直角坐標系設直線方程，根據(jù)點到直線的距離公式可得；（2）先求補水點的坐標，根據(jù)直線過該點，結(jié)合所求，根據(jù)基本不等式可得.【小問1詳解】根據(jù)題意，以小島中心為原點，建立平面直角坐標系，當時，則輪船返港的直線為，因為沒有觸礁危險，所以原點到的距離，解得.【小問2詳解】根據(jù)題意可得，，點C在直線上，故點C，設輪船返港的直線是，則，所以.當且僅當時取到最小值.18、（1）（2）（3）滿足條件的直線不存在，詳見解析【解析】根據(jù)條件直接求出,進而求出橢圓標準方程;設,表示出,求出其范圍;設CD的中點為;由,則;得到其斜率的乘積為,最后列取方程聯(lián)立計算即可.【詳解】解：由題意可知,,則;所以橢圓C的方程為:;由題意可知,,設,則,;所以的取值范圍是;假設存在滿足條件的直線,根據(jù)題意得直線的斜率存在;則設直線的方程為：；消化簡得:;,則;；設，則CD的中點為；,；，則;，即;即,無解;故滿足條件的直線不存在.【點睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì),向量的數(shù)量積,直線的垂直,設而不求的思想方法,關(guān)鍵在于將幾何條件進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化,還考查了學生的綜合運算能力,屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由平面平面ABCD，可得平面ABCD，連接BD，可得，以為原點，為軸，豎直向上為軸建立空間直角坐標系，利用向量法計算與平面的法向量的數(shù)量積為0即可得證；（2）分別計算出平面和平面的法向量，然后利用向量夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面平面ABCD，平面平面ABCD，且，所以平面ABCD，連接BD，則等邊三角形，所以，以為原點，為軸，豎直向上為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設為平面的法向量，因為，則有，取，又因為，所以，因為平面，所以平面；【小問2詳解】解：分別設為平面和平面的法向量，因為，則有，取，因，則有，取，所以，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）時，有1個零點；或時，有2個零點；時，有3個零點.【解析】（1）求解函數(shù)的導數(shù)，再運用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)導數(shù)分析原函數(shù)的極值，進而討論其零點個數(shù).【詳解】（1）因為，所以由，得或；由，得.故單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）可知的極小值是，極大值是.①當時，方程有且僅有1個實根，即有1個零點；②當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；③當時，方程有3個不同實根，即有3個零點；④當時，方程有2個不同實根，即有2個零點；⑤當時，方程有1個實根，即有1個零點.綜上，當或時，有1個零點；當或時，有2個零點；當時，有3個零點.21、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組可得再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列通項公式得結(jié)果（2）根據(jù)錯誤相減法求數(shù)列的前項和為，注意作差時項符號的變化以及求和時項數(shù)的確定試題解析：（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由得解得所以，.（2）由（1）可知，∴①②①—②得：，∴.點睛：用錯位相減法求和應注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解.22、（1）；（2）最大值為.【解析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點Q的軌跡方程為設直線的方程為，則當直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點Q的軌跡方程為設直線的斜率為k，則令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為[方法四]參數(shù)+基本不等式法由題可設因，所以于是，所以則直線的斜率為當且僅