2024-2025學年人教版九年級數學上冊10月月考試卷

初三數學2024-2025上學期人教版10月月考試卷

選擇題（共12小題，每題3分，共36分）

1.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

C.

2.下列關于X的方程中，一定是一元二次方程的為（）

A.X2+2xy+=0B.x2-2x+3=0C.x2——=0D.ax2+bx+c=O

x

3.一元二次方程3f—2%-7=0的一次項系數是（)

A.3B.-2C.2D.-7

4.拋物線y=（%+-1的頂點坐標是（)

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

5.一元二次方程X2+2X-1=0的根的情況是（)

A.只有一個實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.沒有實數根

6.若無=1是方程f+如+1=。的一個解，則根的值為（）

A.1B.2C.-1D.

7.新能源汽車銷量的快速增長，促進了汽車企業(yè)持續(xù)的研發(fā)投入和技術創(chuàng)新.某上市公司今年1月份一

品牌的新能源車單臺的生產成本是13萬元，由于技術改進和產能增長，生產成本逐月下降，3月份的生產

成本為12.8萬元.假設該公司今年一季度每個月生產成本的下降率都相同，設每個月生產成本的下降率

為x，則根據題意所列方程正確的是（）

A.13(1-%)2=12.8B.=12.8

C.12.8(1-x2)=13D.13(1+x)2=12.8

8.把拋物線y=2/先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的函數表達式為（）

A.y=2(x+3)2+4B.J=2(X+3)2-4C.y=2(x-3)2-4D.y=2(.r-3)2+4

9.如圖，將AAO3繞點。按逆時針方向旋轉50。后得到ACOD,若NAOB=20。，則NAOD的度數是（

）

10.函數y=辦？-x+2和y=-依-4（。#0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

11.某農戶想要用柵欄圍成一個長方形雞場，如圖所示，雞場的一邊靠墻，另外三邊用柵欄圍成，若柵

欄的總長為20m，設長方形靠墻的一邊長為xm,面積為yin2,當x在一定范圍內變化時，y隨尤的

變化而變化，則y與x滿足的函數關系是（）

X

20

A.y-20xB.y=20-2xC.y=——D.y=x（20—2x）

x

12.已知拋物線丁=0^+加；+。經過點（_1,0）,（2,c）,下列四個結論：

①拋物線的對稱軸是兄=1;

②b與c同號：

③關于X的一元二次方程a?+foc+c=o的兩根是為=-1,%=3;

④當c<0,拋物線上的兩個點加-1,%),N(M+1,%)，且%>%時，根<1?其中結論正確的個數是(

)

A.1B.2C.3D.4

填空題(共4小題，每題2分，共8分)

13.如果方程x?-3x-2=0的兩個實數根分別是玉、x2,那么玉+尤2=.

14.若函數y=(%-2)/*"+工-1是關于元的二次函數.則常數加的值是—.

15.拋物線丁=以2+法+以。#0)的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐標為(-3,0),對稱軸為直

線x=-l,拋物線與x軸的另一個交點坐標為—.

16.拋物線>="2+云+。的部分圖象如圖所示，則當y>0時，x的取值范圍是

三.解答題(共8小題，共56分)

17.解方程：

(1)%2-2.r-l=0：

(2)2/+4尤-5=0.

18.如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為3(4,2),C(3,4).

(1)請畫出△ABC關于原點對稱的△A4C；

(2)請畫出△ABC繞O順時針旋轉90。后的△422c2并寫出點C2的坐標.

19.已知拋物線〉=62+云+3經過點4(3,0)和點8(4,3).

(1)求這條拋物線所對應的二次函數的關系式；

(2)直接寫出它的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最大值(或最小值).

20.已知關于x的方程+ar+a-2=0.

(1)若該方程有一個根為-2,求a的值；

(2)求證：方程總有兩個不相等的實數根.

21.如圖，AABO與ACDO關于O點中心對稱，點、E,F在線段AC上，且AF=CE,求證:

FD=BE.

22.某扶貧單位為了提高貧困戶的經濟收入，購買了33機的鐵柵欄，準備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻(墻

長15㈤圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場(如圖所示).

(1)若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為90加，求雞場的長(AB)和寬(BC)；

(2)該扶貧單位想要建一個100用的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實現嗎？請說明理由.

DFC

23.2023年中國杭州獲得第十九屆亞運會主辦權，作為唯一申辦城市，杭州成為繼北京和廣州之后，中

國第三個舉辦亞運會的城市，亞運之城喜迎五湖之客，很多商家都緊緊把握這一商機.某商家銷售一批

具有中國文化意義的吉祥玩具，己知每個玩具的成本為40元，銷售單價不低于成本價，且不高于成本價

的1.8倍，在銷售過程中發(fā)現，玩具每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的一次函數關

系.

（1）求y與x的函數關系式；

（2）當玩具的銷售單價為多少元時，該商家獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

24.如圖，已知拋物線y=-f+2尤+3與x軸交于A、3兩點（點A在點3的左邊），與y軸交于點C,

連接3C.

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）若點尸為線段3c上的一點（不與3、C重合），PM//y軸，且尸”交拋物線于點交x軸于點

N,當線段的長度最大時，求點M的坐標；

（3）在（2）的條件下，當線段尸M的長度最大時，在拋物線的對稱軸上有一點Q,使得ACNQ為直角三

角形，直接寫出點。的坐標.

初三數學10月月考卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

1.下列圖形是中心對稱圖形的是（）

【考點】中心對稱圖形

【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷.把一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【解答】解：選項A、B、。中的圖形都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的

圖形重合，所以不是中心對稱圖形.

選項C中的圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原來的圖形重合，所以是中心對稱

圖形.

故選：C.

2.下列關于尤的方程中，一定是一元二次方程的為（）

A.x2+2xy+y2=0B.x2-2x+3=0C.x2-■-=0D.ax2+bx+c=0

X

【考點】一元二次方程的定義

【分析】根據一元二次方程的定義：只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方

程，進行判斷即可.

【解答】解：A、方程召+2孫+/=。含有2個未知數，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

B、方程f-2x+3=0是一元二次方程，故本選項符合題意；

C、方程寸-工=。的分母含未知數，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

X

D、當a=0時，方程62+6x+c=0不是一元二次方程，故本選項不符合題意;

故選：B.

3.一元二次方程3/-2尤-7=0的一次項系數是()

A.3B.-2C.2D.-7

【考點】一元二次方程的一般形式

【分析】根據一元二次方程的一般形式，即可求解.

【解答】解：一元二次方程-2x-7=0的一次項系數是-2,

故選：B.

4.拋物線>=(%+2>-1的頂點坐標是()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2,-1)

【考點】二次函數的性質

【分析】直接利用頂點式的特點可求頂點坐標.

【解答】解：?jy=(x+2)2-1是拋物線的頂點式，

拋物線的頂點坐標為(-2,-1).

故選：B.

5.一元二次方程尤z+2尤-1=0的根的情況是()

A.只有一個實數根B.有兩個相等的實數根

C.有兩個不相等的實數根D.沒有實數根

【考點】根的判別式

【分析】根據方程的系數結合根的判別式，可得出△=8>0,進而可得出一元二次方程x2+2x-l=0有兩

個不相等的實數根.

【解答】解：?.■4=1,6=2,c=-l,

--4tzc=22-4xlx(-l)=8>0,

一元二次方程/+2彳-1=0有兩個不相等的實數根.

故選：C.

6.若x=l是方程X?+〃a+1=0的一個解，則機的值為()

A.1B.2C.-1D.-2

【考點】一元二次方程的解

【分析】將方程的解x=l代入方程中求解即可.

【解答】解：,jx=l是方程/+〃沈+1=0的一個解，

.'.l+m+l=O,解得，〃=—2,

故選：D.

7.新能源汽車銷量的快速增長，促進了汽車企業(yè)持續(xù)的研發(fā)投入和技術創(chuàng)新.某上市公司今年1月份一

品牌的新能源車單臺的生產成本是13萬元，由于技術改進和產能增長，生產成本逐月下降，3月份的生產

成本為12.8萬元.假設該公司今年一季度每個月生產成本的下降率都相同，設每個月生產成本的下降率

為x,則根據題意所列方程正確的是()

A.13(1-%)2=12.8B.13(1-%2)=12.8

C.12.8(1-%2)=13D.13(1+.x)2=12.8

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程

【分析】根據1月份一品牌的新能源車單臺的生產成本X(1-下降率)2=3月份的生產成本為12.8萬元，

進而列出方程即可.

【解答】解：設每個月生產成本的下降率為尤，則根據題意所列方程：

13(1-%)2=12.8.

故選：A.

8.把拋物線y=2/先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的函數表達式為()

A.>=2(龍+3)2+4B.y=2(無+3)2—4C.y=2(x-3)2-4D.J=2(X-3)2+4

【考點】二次函數圖象與幾何變換

【分析】拋物線y=2/的頂點坐標為(0,0),則把它向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物

線的頂點坐標為(-3,4),然后根據頂點式寫出解析式.

【解答】解：把拋物線y=2無2先向左平移3個單位，再向上平移4個單位，所得拋物線的函數解析式為

>=2(龍+3)2+4.

故選：A.

9.如圖，將AAO3繞點。按逆時針方向旋轉50。后得到ACOD,若/4OB=20。，則NAOD的度數是(

)

D

30°C.40°D.50°

【考點】旋轉的性質

【分析】首先根據旋轉變換的性質求出N3OD=50。，結合4406=20。，即可解決問題.

【解答】解：由題意及旋轉變換的性質得：NBOD=50°,

?.?ZAOB=20°,

ZAOD=50°-20°=30°,

故選：B.

10.函數>=依2-彳+2和丫=-6-。3*0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

【考點】二次函數的圖象；一次函數的圖象

【分析】根據所給二次函數和一次函數的解析式，再結合二次函數與一次函數的圖象與性質對所給選項依

次進行判斷即可.

【解答】解：由所給一次函數圖象可知，

—CLV0,

即a>0,

所以拋物線的開口向上，且對稱軸》=-二1■=’>（）.

2a2a

故A選項符合題意.

由所給一次函數圖象可知，

—av0,

即a>0,

所以拋物線的開口向上，且對稱軸左=-二1■=’>().

2a2a

故B選項不符合題意.

上」>。

2a2a

由所給一次函數圖象可知，

—CL>0,

即a<0,

所以拋物線的開口向下.

故C選項不符合題意.

由所給一次函數圖象可知，

-ci<0,

即a>0,

所以拋物線的開口向上.

故。選項不符合題意.

故選：A.

11.某農戶想要用柵欄圍成一個長方形雞場，如圖所示，雞場的一邊靠墻，另外三邊用柵欄圍成，若柵

欄的總長為20根，設長方形靠墻的一邊長為尤m,面積為y府,當x在一定范圍內變化時，y隨尤的

變化而變化，則y與x滿足的函數關系是()

X

20

A.y-20xB.y=20-2xC.y=——D.y=x(20—2x)

x

【考點】根據實際問題列二次函數關系式

【分析】利用長方形面積等于長乘寬計算即可.

【解答】解：由題意得：長方形靠墻的一邊長為xm,則平行墻的邊長為(20-2x)7",

面積y-x(20-2x),

故選：D.

12.已知拋物線>=辦2+版+，經過點(-1,0)，(2,c),下列四個結論：

①拋物線的對稱軸是x=l；

②b與c同號：

③關于尤的一元二次方程辦2+Zzx+c=0的兩根是占=-1,x2=3；

④當c<0,拋物線上的兩個點N(m+l,y2),且%>%時，其中結論正確的個數是(

)

A.1B.2C.3D.4

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征；根與系數的關系

【分析】根據題意將點(2,c)代入拋物線得到a和b的關系即可得到對稱軸是x=l；將點(-1,0)代入并結合

。=-2。即可得到b和c的關系式；結合點(-1,0)和對稱軸即可得到與x軸的另一個交點3,即可判定關于

x的一元二次方程辦2+法+c=。的兩根；將已知點代入得到關系式，結合6=-2a整理得到

4a(l-m)>0,由c<0得到a的正負，即可求得加的范圍.

【解答】解：?.?拋物線y=af+6x+c經過點(2,c),

4a+2b+c=c,角牛1*導b=—2a，

則％=---=1,故①正確；

2a

'：拋物線y=?2+bx+c經過點(-1,0),

/.a—Z?+(?—0,

?/b=-2a,

i3

.,?——b-b+c=0,解得c=*

22

則匕與c同號，故②正確；

拋物線y=以2+笈+。經過點(-1,0),且對稱軸是％=1,

拋物線丁=以2+樂+。與X軸的交點為3,

則關于X的一元二次方程加+云+。=0的兩根是菁=-1,%2=3,故③正確；

?.?拋物線上的兩個點加⑺―1,%)，N(m+l,y2),且

/.a(m—I)2+b(m—1)+c>a(jn+1)2+b[m+1)+c,

整理得

b=-2a,

4?(1—777)>0，

3

b=-2a,c=-b,c<0,

2

a>0,

.,.I—/77>O,解得機<1,故④正確；

故選：D.

二.填空題(共4小題)

13.如果方程f-3x-2=0的兩個實數根分別是玉、x2,那么x,+x,=3.

【考點】根與系數的關系

【分析】由于方程尤2-3尤-2=0的兩個實數根分別是百、乙，直接利用一元二次方程的根與系數的關系

即可求解.

【解答】解：?.■方程/-3%-2=0的兩個實數根分別是%、%,

占+%=3.

故答案為：3.

14.若函數、=(〃2-2)--"+天-1是關于尤的二次函數.則常數7"的值是——1_.

【考點】二次函數的定義

【分析】根據二次函數的定義即可得出關于加的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出結論.

【解答】解：y=(2)/。+了_1是關于X的二次函數，

J-2w0

[m2-m=2

解得：m=—l.

故答案為：-1.

15.拋物線丁=以2+法+以。#0)的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐標為(-3,0),對稱軸為直

線x=-1,拋物線與x軸的另一個交點坐標為

y

【考點】二次函數的性質；拋物線與無軸的交點

【分析】根據拋物線的對稱性解答即可.

【解答】解：?.?拋物線與X軸的一個交點坐標為(-3,0),對稱軸為直線x=

拋物線與x軸的另一個交點坐標為(1,0),

故答案為：(1,0).

16.拋物線丁=加+6x+c的部分圖象如圖所示，則當y>0時，x的取值范圍是—-1<x<3

【考點】二次函數的性質；拋物線與x軸的交點

【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標為(3,0),然后寫出拋物線在軸上方所

對應的自變量的范圍即可.

【解答】解：拋物線的對稱軸為直線x=l,

而拋物線與x軸的一個交點坐標為(-1,0),

所以拋物線與x軸的另一個交點坐標為(3,0),

所以當-l<x<3時，j>0.

故答案為-L<x<3.

三.解答題(共8小題)

17.解方程:

(1)尤2-2X-1=0；

(2)2x2+4.r-5=0.

【考點】解一元二次方程-配方法

【分析】(1)利用因式分解法解方程;

(2)利用公式法解方程.

【解答】解：(1)x(x—2)=0,

x=0或x—2=0,

所以玉=0,x2=2；

(2)A=42-4X2X(-5)=56,

T土A-2±y/14

X——,

2x22

18.如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為3(4,2),C(3,4).

(1)請畫出△ABC關于原點對稱的△A4G；

(2)請畫出△ABC繞O順時針旋轉90。后的△AB2c2并寫出點C?的坐標.

【分析】(1)分別確定A,B,C關于原點的對稱點A，Bt,C「再順次連接A，C,,可得答案;

(2)分別確定A,B,C繞原點O順時針旋轉90。后的對應點兒，B2,C2,再順次連接&,B2,C2,

再根據C2的位置可得答案.

【解答】解：(1)如圖所示：△ABG，即為所求；

(2)如圖所示：△&星C2,即為所求；C2(4,-3).

5

19.已知拋物線〉=62+云+3經過點4(3,0)和點8(4,3).

(1)求這條拋物線所對應的二次函數的關系式；

(2)直接寫出它的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最大值(或最小值).

【考點】H3：二次函數的性質；H8：待定系數法求二次函數解析式

【分析】(1)把A點和3點坐標代入丁="2+法+3中得到關于。、6的方程組，然后解方程組求出。、b

即可；

(2)把(1)中的解析式配成頂點式，然后根據二次函數的性質求解.

【解答】解：(1)4(3,0)、仇4,3)代入>=幺2+法+3得19：+3,+3：0解得

16(2+4/7+3=3\b=-4

所以拋物線解析式為y=f-4尤+3；

(2)丁=尤2-4尤+3=(無一2)2-1,

因為a=l>0,

所以開口向上，對稱軸為直線彳=2,頂點坐標為(2,-1),函數的最小值為-1.

20.已知關于x的方程/+ax+a—2=0.

(1)若該方程有一個根為-2,求。的值；

(2)求證：方程總有兩個不相等的實數根.

【考點】根的判別式；一元二次方程的解

【分析】(1)將x=-2代入方程6一2=0得到關于。的方程求解即可;

(2)計算根的判別式的值得到△=/一4(a-2)>0,然后根據根的判別式的意義即可證明結論.

【解答】(1)將x=—2代入方程無2+以+。一2=0可得:

(-2)2+(-2)6Z+?-2=0,

角犁得：4=2；

(2)證明：?.?關于九的方程無之+依+［一2=0,

△=〃2—4(Q—2)

=片—4a+8

=(a—2)2+4〉0,

.??對于任意實數。，該方程總有兩個不相等的實數根.

21.如圖，AABO與ACDO關于O點中心對稱，點、E,b在線段AC上，且AF=CE,求證:

FD=BE.

【考點】中心對稱

【分析】根據中心對稱的性質可得50=00,AO=CO,再利用等式的性質可得歷9=R9,然后再證明

\FOD=\EOB,利用全等三角形的性質可得=

【解答】證明：?.?AABO與ACDO關于。點中心對稱，

:.BO=DO,AO=CO,

?.?AF=CE,

:.AO-AF=CO-CE,

:.FO=EO,

在AF8和AEO5中

FO=EO

<ZFOD=ZEOB,

BO=DO

:.AFOD=^EOB(SAS),

：.DF=BE.

22.某扶貧單位為了提高貧困戶的經濟收入，購買了33根的鐵柵欄，準備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻(墻

長15㈤圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場(如圖所示).

(1)若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為90加，求雞場的長(AB)和寬(30；

(2)該扶貧單位想要建一個100病的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實現嗎？請說明理由.

【考點】一元二次方程的應用

【分析】(1)設3c=彳機，則AB=(33-3x)w,根據矩形的面積公式結合矩形養(yǎng)雞場面積為90W,即可

得出關于尤的一元二次方程，解之即可求出尤的值，分別代入(33-3幻中，取使得(33-3x)小于等于15的

值即可得出結論；

(2)不能，理由如下，設=y機，則AB=(33-3y)m,同(1)可得出關于y的一元二次方程，由根

的判別式△=Tll<0,即可得出結論.

【解答】解：(1)設3C=x，"，則AB=(33—3x)m,

依題意，得：x(33—3x)=90,

解得：無］=6,x2=5.

當x=6時，33-3x=15,符合題意，

當x=5時，33—3x=18,18>15,不合題意，舍去.

答：雞場的長(AB)為15〃?，寬(BC)為6m.

(2)不能，理由如下：

設BC=y，則AB=(33-3y)〃？，

依題意，得：y(33-3y)=100,

整理，得：3y之-33y+100=0.

=(-33)2-4x3x100=—111<0,

該方程無實數根，即該扶貧單位不能建成一個100病的矩形養(yǎng)雞場.

23.2023年中國杭州獲得第十九屆亞運會主辦權，作為唯一申辦城市，杭州成為繼北京和廣州之后，中

國第三個舉辦亞運會的城市，亞運之城喜迎五湖之客，很多商家都緊緊把握這一商機.某商家銷售一批

具有中國文化意義的吉祥玩具，己知每個玩具的成本為40元，銷售單價不低于成本價，且不高于成本價

的1.8倍，在銷售過程中發(fā)現，玩具每天的銷售量y（個）與銷售單價x（元）滿足如圖所示的一次函數關

系.

（1）求y與x的函數關系式；

（2）當玩具的銷售單價為多少元時，該商家獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

【分析】（1）用待定系數法可得答案；

（2）設商家獲得的利潤為川元，列出■與x的函數關系式，用二次函數性質可得答案.

【解答】解：⑴設尸取+6,將（50,120）,（60,100）代入得:

f50^+/?=120

160mo0'

k=-2

解得

6=220'

y-—2x+220,

?.?銷售單價不低于成本價，且不高于成本價的L8倍,

.-.WJc72,

y與x的函數關系式為y=-2x+220（4噫/72）；

（2）設商家獲得的利潤為w元,

根據題意得：w={x-40）y=（x-40）（-2x+220）=-2（x-75）2+2450,

拋物線對稱軸為直線x=75,

.?.當4噂/72時，w隨尤的增大而增大，

.?.x=72時，.取最大值，最大值為—2x9+2450=2432（元），

當玩具的銷售單價為72元時，該商家獲得的利潤最大，最大利潤是2432元.

24.如圖，已知拋物線y=-d+2尤+3與尤軸交于A、B兩點（點A在點3的左邊），與y軸交于點C,

連接3C.

(1)求A、B、C三點的坐標；

(2)若點P為線段3c上的一點(不與3、C重合)，尸”//y軸，且PA/交拋物線于點交x軸于點

N,當線段的長度最大時，求點”的坐標；

(3)在(2)的條件下，當線段的長度最大時，在拋物線的對稱軸上有一點。，使得ACWQ為直角三

角形，直接寫出點。的坐標.

【考