2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué) 空間向量與立體幾何 專項(xiàng)訓(xùn)練

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及線性運(yùn)算

題型一：空間向量有關(guān)概念的辨析；題型二：空間向量的線性運(yùn)算；題型三：空間向量的共面問題

1.（2024?江蘇省連云港市期末）下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）

A.若向量五，另平行，則鬲5所在直線平行

B.若同=|K|,則乙方的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反

C.若向量而，而滿足|同|>|而則四〉而

D.相等向量其方向必相同

2.（2023?黑龍江省牡丹江市期末）下列命題中為真命題的是（）.

A.向量向與前的長(zhǎng)度相等

B.空間向量就是空間中的一條有向線段

C.若將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等

3.（2023?甘肅省蘭州市期末）關(guān)于空間向量的命題：

①方向不同的兩個(gè)向量不可能是共線向量；

②長(zhǎng)度相等，方向相同的向量是相等向量；

③平行且模相等的兩個(gè)向量是相等向量；

④若五中］，則|初力|石|.

其中所有真命題的序號(hào)有.

4.（2024?湖南省株洲市月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD-A1B1C1O1中，|荏-西|=（）

A.1B.CC.V-3D.2

5.（2024?湖南省長(zhǎng)沙市期末）如圖，四棱錐P-4BCD的底面是平行四邊形，若萬？=五，DC=b，DP=c,E是PC

的中點(diǎn)，則說=（）

A1-^,IT

A.--a--b+-cB.-a--b+-c

22222

C.—3+^6+cDn.——1-a——b——ITc

22222

6.（2024?山東省濟(jì)南期末）如圖，在三棱柱4BC-4/傳1中，M為41cl的中點(diǎn)，若說=五，BC=b，BB[=C,則

下列向量與詢相等的是（）

A.--a--b+cB.-a+-b-c

2222

C.——3+-6+cD.-H+-6+c

2222

7.（2024?福建省三明市期末）如圖，在四面體043c中,OA=3fOB=bfOC=c9且碇=9麗，前=:就，則

EF=()

A.B.-a+-b^-c

344

C.一"加齊D.--a+-b+-c

344

8.（2022?浙江省金華月考）下面命題正確的個(gè)數(shù)是（）

①若方=21+3亍，則反與）,于共面;

—>—>—>

②若MP=2M4+3MB,則共面；

—>—>—>—>—>

③若O4+OB+OC+OO=0,則4,B,C,Q共面；

④若OP=：04+-“C,貝!|P,4,B,C共面；

ZJoOB3

A.1B.2C.3D.4

9.（2023?江西省九江市期末）已知4,B,C三點(diǎn)不共線,。為平面4BC外的任一點(diǎn)，則“點(diǎn)M與點(diǎn)A,B、C共面”的充分

條件的是（）

A.0M=20A-0B-0CB.OM=OA+OB-0C

D

C.0M=0A+l0B-l0C-0M=l0A+i0B+l0C

10.(2024?江蘇省月考)已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn),M是BC的中點(diǎn)，若詢=無月<+7而+z同，貝！1()

A.x+y+z=0B.%+y+z=1C.x—y—z=1D.x—y—z=—1

11.（2024?江蘇省常州市聯(lián)考）已知P為空間中任意一點(diǎn)，4,區(qū)GO四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面,

且PA=^PB-xPC+,則實(shí)數(shù)x的值為（）

36

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

題型一：空間向量數(shù)量積的運(yùn)算；題型二：利用數(shù)量積求夾角；題型三：利用向量數(shù)量積判斷或證明垂直問題

1.（2022?湖北省黃岡市期中）已知四面體4BCD的所有棱長(zhǎng)都等于a,瓦尸分別是棱4B,CD的中點(diǎn)，則方?就等于

（）

A.--a2B.-a2C.--a2D.-a2

4422

2.（2024?江蘇省蘇州市月考）（多選）如圖，已知四面體4BC0的所有棱長(zhǎng)都等于2,瓦尸,6分別是4540,0（7的中點(diǎn)，

則（）

A.ABAC^2B.GFAC=2C.BC=1D.GF-EF=0

3.（2024?江蘇省南京市月考）正四面體4BCD中，M,N分別是的中點(diǎn)，則直線4M和CN夾角的余弦值為

（）

A.'B.小C.*D.々

3323

4.已知斜三棱柱4BC—4IBIGL中，底面AABC是直角三角形，且4B14C,AB=3,4c=4,AAX=2,與

AB.4c都成60。角，則異面直線4cl與BiC所成角的余弦值為（）

AA.---

14B?密D?

5.在長(zhǎng)方體ABCD—AiBiGDi中，4B=1,BC=2,44】=3,E為C6上的點(diǎn)，且CE=1,則砧與前夾角的余

弦值為.

6.（2023?浙江省模擬題）（多選）如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-AiBigDi，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的

三條棱長(zhǎng)均為6,且它們彼此的夾角都是60。，則下列說法中正確的是（

A.AC1=6A/-6

B,AC11DB

C.向量瓦己與鼐；的夾角是60。

D.BDi與AC所成角的余弦值為2

3

7.（2023?上海市市轄區(qū)月考）在平行六面體4BC0-413也1。1中，AB=1,AD=2,AAr=3,^BAD=90°,

^BAAi=NZM41=60°,求4cl的長(zhǎng).

8.如圖，在空間四邊形04BC中，04=8,AB=6,AC=4,BC=5,^OAC=45°,AOAB=60°,求異面直線

04與BC所成角的余弦值.

B

9.(2023?江蘇省淮安市月考)已知空間向量五與石夾角的余弦值為《，且同=。，|&|=AT3,令沅=了-說n=

O

a+2b.

(1)求優(yōu)了為鄰邊的平行四邊形的面積5;

(2)求沅，五夾角的余弦值.

10.(2024?安徽省合肥市期末)如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱P4的長(zhǎng)為2,且

P4與43、4。的夾角都等于60。，M是PC的中點(diǎn)，設(shè)彳亙=五，AD=b,AP=c.

(1)試用五，b,H表示出向量反商;

(2)求3M的長(zhǎng).

AR

11.已知空間四邊形04BC中，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N為4c的中點(diǎn)，點(diǎn)P為04的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為0B的中點(diǎn)，若4B=0C.

求證：PM1QN.

12.(2023?河北省衡水市模擬題)如圖所示，已知空間四邊形4BCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是

AB,AD,CD的中點(diǎn).設(shè)通=五，衣=反而=乙

(1)求證EG1AB；

(2)求異面直線4G和CE所成角的余弦值.

13.(2024?湖北省黃岡市月考)如圖，在三棱柱4BC-4簡(jiǎn)述1中底面為正三角形，AAr=4,AB=2,AArAB=

AAXAC=120".

(1)證明：AA11BC；

(2)求異面直線BQ與41c所成角的余弦值.

C

1.2空間向量基本定理

題型一：基底的判斷；題型二：用基底表示空間向量；題型三：空間向量基本定理的應(yīng)用

1.（2023?北京市統(tǒng)考）以下命題中不正確的個(gè)數(shù)為（）

①a\a\-\b\=|五+?”是“五，方共線”的充要條件；

②若五〃說則存在唯一的實(shí)數(shù)；I,使得五=4百

③若五.方=。bc=O,則五=咨

④若｛五｝㈤為空間的一個(gè)基底，貝!1｛五+校方+K2+同構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；

⑤方）々I=|a||6||c|.

A.2B.3C.4D.5

2.（2024?江蘇省揚(yáng)州市月考）已知空間向量五，b,c,下列命題中正確的是（）

A.若向量五，石共線，則向量力1所在的直線平行

B.若向量窗了所在的直線為異面直線，則向量方，石一定不共面

C.若存在不全為0的實(shí)數(shù)x,y,z使得比五+y1+zE=6,則五，b,N共面

D.對(duì)于空間的任意一個(gè)向量萬，總存在實(shí)數(shù)x,y,z使得戶=尤五+yE+zN

3.若瓦4,而，沉是空間不共面的三個(gè)向量，則與向量H3+而和向量色？一板構(gòu)成不共面的向量是（）

A.瓦？B.OAC.OBD.OC

4.（2024?安徽省六安市期末）已知五，瓦2是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的一組向量是（）

A.3a,a—b,a+2&B.2b,b—2a,b+2a

C.a,2b,b—cD.c,a+c,a—c

5.（2022?陜西省咸陽(yáng)市期末）如圖，在四面體04BC中，OA=a,OB=b，沉=底點(diǎn)。為4c的中點(diǎn)，3碇=益，

則而=（）

A.—a-b+—cB.-a-b+-c

121266

C.-a-b+-cD.-a-b+-c

3322

6.（2023?北京市市轄區(qū)月考）在四面體O-ABC中，點(diǎn)P為棱BC的中點(diǎn).設(shè)萬5=五，OB=b,OC=c,那么向量存

用基底回瓦就可表示為（）

A.~^a+-b+^cB.-a+-b+^c

22222

C.3++D.++

22222

7.（2024?湖南省長(zhǎng)沙市期末）已知M是四面體04BC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段4N上，且MN=

^ON,AP=^AN,以放，而，沉為基底，則3?可以表示為（）

A.OP=-OA+-^B+-OCB.OP=-OA+-OB+-OC

244233

C.=-OA+-^B+-OCD.OP=-OA+-^B+-OC

433444

8.（2024?浙江省杭州市月考）已知僅了片是空間的一個(gè)基底，AB=a+b,4C=a+c,AD=b+Ac,若4B,C,O

四點(diǎn)共面.則實(shí)數(shù)A的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

9.（2023?河南省開封市期末）（期末）已知平行六面體43CD-&氏g5中，AAr=AD=2AB=2,4c與3。的交點(diǎn)

為M,/.BAD=90°,AA1AB=AA±AD=60°,貝！j()

----------->1—>1—>---------->----------->1------->1-------?--------->

A.=+—必B.B1M=-AB--AD-AA1

C.麗|=子D.|BM=|

10.（2024?湖南省單元測(cè)試）已知平行六面體4BC。-AiBiCiD］如圖所示，其中

NDD1G=AADDt=AADC=120°,AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在線段BQ上，且

B1E=ic1E,點(diǎn)尸，G分別是線段4冬，DC的中點(diǎn)，設(shè)瓦5=乙DC=b,西=

（1）用五，b,1表示屁，F(xiàn)G;

(2)若。4=DC=4,DDX=6,求而?麗的值.

11.（2024?江蘇省單元測(cè)試）如圖，在三棱柱4BC-4止停］中，點(diǎn)。是BQ的中

點(diǎn)，AC=1,BC=CC［=2,N4CCi=90。，NACB=/BCg=60。，設(shè)Z5J=

a,CB=b,CCj=c.

（1）用五，b,N表示何，不瓦

（2）求異面直線4B與4通所成角的余弦值.

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.3.1空間直角坐標(biāo)系

題型一：空間中點(diǎn)的坐標(biāo)；題型二：空間向量的坐標(biāo)表示；題型三：空間中點(diǎn)的對(duì)稱問題

1.(2023?廣東省珠海市期末)已知向量力在基底但，瓦可下的坐標(biāo)為(1,2,3),貝歷在基底｛五+瓦石+*力+可下的坐標(biāo)

為()

A.(0,1,2)B.(0,2,1)C.(2,1,0)D.(1,2,-1)

2.(2023?河南省洛陽(yáng)市月考)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中，點(diǎn)M(m,n,p)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是

()

A.(m,n,—p)B.(m,—n,—p)C.(—m,n,—p)D.(—m,—n,p)

3.(2022?浙江省期末考試)在空間直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)4(-2,1,4)關(guān)于點(diǎn)B(-2,0,0)的對(duì)稱點(diǎn)為B',則點(diǎn)B'的坐標(biāo)為

()

A.(-2,-1,-4)B.(-4,-1,-4)C.(-6,1,4)D.(-2,^2)

4.(2024?安徽省蕪湖市期末)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)4(0,1,-1),8(1,1,2),點(diǎn)4關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為C,點(diǎn)B

關(guān)于平面MOZ對(duì)稱的點(diǎn)為O,則向量詬的坐標(biāo)為()

A.(T2,—1)B.(1,-2,1)C.(-1,0,1)D.(1,0,-1)

5.(2024?廣東省中山市期末)(多選)空間直角坐標(biāo)系中，下列說法正確的是()

A.點(diǎn)P(l,2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面尤Oy的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2,-3)

B.點(diǎn)Q(l,0,2)在平面xOz面上

C.z=1表示一個(gè)與坐標(biāo)平面冗Oy平行的平面

D.2x+3y=6表示一條直線

6.(2022?廣西壯族自治區(qū)玉林市月考)(多選)下列各命題正確的是()

A.點(diǎn)3)關(guān)于平面冗Oz的對(duì)稱點(diǎn)為(1,2,3)

B.點(diǎn)C，l,—3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(一11,3)

C.點(diǎn)(2,-1,3)到平面yOz的距離為1

D.設(shè)｛己了,后是空間向量單位正交基底，且以1,j,%的方向?yàn)橛龋瑈,z軸的正方向建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，若

m=3i-2y+4fc,則沅=(3,-2,4)

7.向量=(1,0,3),OB=(-1,2,6),其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C為線段4B的中點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

8.笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床時(shí)，還在反

復(fù)思考一個(gè)問題：通過什么樣的方法，才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉

絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形.在空間直角坐標(biāo)系中，4(1,-1,-1)關(guān)于7軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

是;點(diǎn)C是點(diǎn)B(3,4,5)在坐標(biāo)平面。町內(nèi)的射影，則|覺|=.

9.（2022?江蘇省無錫市月考）如圖，在長(zhǎng)方體力BC0-41B1C1。中，|4B|=4,\AD\=3,\AAt\=5,N為棱Cg的

中點(diǎn)，分別以4B,AD,所在直線為二軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）求點(diǎn)4,B,C,D,Bi，5的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)N的坐標(biāo).

10.（2024?重慶市期末）如圖，已知直四棱柱中，AAX=2,底面4BCD是直角梯形，NA為直角,

AB//CD,AB=4,AD=2,DC=1,請(qǐng)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，并求各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

題型一：空間向量的坐標(biāo)表示；題型二：空間向量的平行與垂直；題型三：利用空間向量解決夾角'距離問題

1.（2023?浙江省期末）已知向量五=（1,1,0）,&=（-1,0,2）,且九五+方與23一石互相垂直，貝必的值是（）

A.1B.iC.|D.（

2.（2023?安徽省聯(lián)考題）已知向量五=（一1,2,1）,K=且五〃說則x-y=（）

A.3B.-3C.9D.-9

3.（2024?湖北省荊門市月考）設(shè)x,yeR,向量五=（尤,1,1）方=（l,y,1）7=（2,-4,2）,且Z1之工〃2貝！|

\2a+b\=（）

A.2。B.3cC.3D.7^0

4.（2022?河南省潦河市單元測(cè)試）點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4/佟1。]的底面4$傳1。1上一點(diǎn)，則P??PC[

的取值范圍是（）

A.[—1,一勺B.C.[-1,0]D.

5.(2024?福建省福州市期末)(多選)已知空間向量1=(2,1,-1),石=(3,4,5),則下列結(jié)論正確的是()

A.5|a|=0|6|

B.(2a+&)//a

C.al(5a-6&)

D.五在b上的投影向量為(一卷,—

6.(2024?福建省龍巖市月考)(多選)已知空間中三點(diǎn)4(-1,2,1),8(1,3,1),C(-2,4,2),則()

A.ABIAC

B.與BC方向相反的單位向量的坐標(biāo)是(土箸^,-［孑,-

C.AC//~BC

D.就在同上的投影向量的模為口

7.(2023?湖北省襄陽(yáng)市期末)所有棱長(zhǎng)都為1的平行六面體4BCD-4止1的。1中，若M為41cl與比。1的交點(diǎn),

/.BAD=60°,NZM41=NB4&=30。，貝！］|麗|的值為.

8.(2022?北京市市轄區(qū)期末)已知空間中三點(diǎn)4(2,0,-2),B(l,-1,一2),C(3,0,—4),設(shè)3=而，b=AC.

(1)若建|=3,且力/前,求向量c;

(2)已知向量k五與方互相垂直，求女的值；

(3)若點(diǎn)在平面4BC內(nèi)，求機(jī)的值.

9.(2024?江西省景德鎮(zhèn)市期末)在直三棱柱4BC-41口傳］中，四邊形44傳修是邊長(zhǎng)為3的正方形，BC=4,

乙ACB=爭(zhēng)點(diǎn)。,E分別是棱的中點(diǎn).

(1)求|4/|的值；

(2)求證：BCIDE.

10.如圖所示，已知在長(zhǎng)方體4BC0-41B1C1D1中，AAt=2AB=4,AD=3.

(1)求線段85的長(zhǎng)；

(II)求異面直線4止與401所成角的余弦值;

11.(2024?新疆維吾爾自治區(qū)喀什地區(qū)期末)如圖，已知矩形4BC。所在平面外一點(diǎn)P,P41平面4BCD,E、尸分別

是4B、PC的中點(diǎn).

(1)求證：秒，而，而共面;

(2)求證：EF1CD.

1.4空間向量的應(yīng)用

1.4.1用空間向量研究直線'平面的位置關(guān)系

題型一：求平面法向量；題型二：利用空間向量證明平行問題；題型三：利用空間向量證明垂直問題

1.(2024?浙江省單元測(cè)試)如圖，在直三棱柱—中，AB1AC,AB=1,AC=2,=3.以4為原

點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

(1)求平面的一個(gè)法向量;

(2)求平面41BC的一個(gè)法向量.

2.已知四邊形ABCD是矩形，P41平面4BCD,PAAB=1,AD=口,點(diǎn)M、N在線段PB、DC上(不含端點(diǎn)),

且滿足詢=49，DN=ANC,其中4>0.

(1)若A=1,求平面PBD的一個(gè)法向量；

(2)是否存在；I,使而是平面P4B的法向量?請(qǐng)說明理由.

3.如圖所示，已知P41平面4BCD,四邊形4BCZ)為矩形，PA=AD,M,N分別為4B,PC的中點(diǎn)求證:

(1)MN〃平面PAD;

(2)平面PMC1平面PDC.

4.(2024?山東省棗莊期末)在四棱錐P-4BC0中，底面4BC0是正方形，側(cè)棱PO垂直于底面4BC0,PD=DC,E

是PC的中點(diǎn)，作EF1PB于點(diǎn)尸.求證：

(1)P4〃平面EDB；

(2)PB1平面E尸。.

5.如圖，在正方體4BCO-4iBiCiCi中，點(diǎn)E,尸分別為棱。％、B%的中點(diǎn).

(1)證明：直線CF〃平面AiECi；

(2)若該正方體的棱長(zhǎng)為4,試問：底面4BC0上是否存在一點(diǎn)P,使得POil平面

41EC1，若存在，求出線段DP的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由.

6.如圖所示，四棱錐S—4BCD的底面是正方形，每條側(cè)棱長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的。倍，P為側(cè)棱SQ上的點(diǎn).

B

(1)求證：AC1SD;

(2)若SO1平面P4C,則側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE〃平面P4C?若存在，求SE：EC；若不存在，請(qǐng)說明理

由.

7.(2024?山東省聊城模擬題)如圖，直角梯形4BCD與等腰直角三角形4BE所在的平面互相垂直.4B〃CO,AB1

BC,AB=2CD=2BC,EA1EB.

(1)求證：AB1DE；

(2)線段E4上是否存在點(diǎn)尸，使EC〃平面FBD?若存在，求出彩；若不存在，說明理由.

8.如圖，在平行四邊形4BCD中，AB=2BC,乙4BC=120。/為線段4B的中點(diǎn)，將△4DE沿直線DE翻折成△

ADE,使平面4'QE1平面BCD,F為線段4c的中點(diǎn).求證：B尸〃平面4OE.

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題

題型一：點(diǎn)到直線的距離；題型二：點(diǎn)到平面的距離或直線到平面的距離；

題型三：求異面直線所成角的問題；題型四：求線面角的問題；題型五：求二面角的問題

1.（2024?湖北省隨州市期末）已知空間向量而=（0,1,0）,而=1）則B點(diǎn)到直線4c的距離為（）

A.?B.?C.。D.O

2.（2023?湖南省懷化市期末）在直三棱柱4BC-&B1C］中，AACB=90°,CA=CCr=2CB,則直線與直線

夾角的余弦值為（）

V5<52遮3

A.rD.

?—5

3.（2024?江蘇省連云港市月考）（多選）如圖,棱長(zhǎng)為1的正方體43。。-4述傳1。1中，E,尸分別為DDi，的中

點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線FQ與底面A3CD所成的角為30。

B.平面4B1E與底面4BCD夾角的余弦值為|

C.直線FC1與直線AE的距離為萼

D.直線FQ與平面AB/的距離為9

4.（2022?湖南省郴州市月考）（月考）已知空間中三點(diǎn)4（0,1