2024-2025學(xué)年廣西柳州某中學(xué)九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西柳州三十五中九年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.%2—5%=0B.x+1=0C.y-2x=0D.2x3—2=0

2.二次函數(shù)y=（m-2）/+2x-1中，zn的取值范圍是（）

A.m>2B.m<2C.m*2D.一切實數(shù)

3.已知x=1是關(guān)于x的一元二次方程久2+mx-0的一個根，則m的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

4.一元二次方程——2x=0的解為（）

A.%=2B.%1=0,%2=2

C.=0,久2=—2D.x=—2

5.已知二次函數(shù)y=（a—l）x2,當(dāng)］<0時,y隨久增大而減小，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.a>0B.a<1C.aW1D.a>1

6.下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（）

A.%2—2%=0B.%2+4%—1=0C.3x2—5%+2=0D.2x2—4%+3=0

7.如圖，是二次函數(shù)y=a/+匕％+。的部分圖象，由圖象可知不等式Q/+6工>0的解集是（）

A.%>3

B.%<—1

C.-1<x<3

D.%>3或％<—1

8.某?！把袑W(xué)”活動小組在一次野外實踐時，發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出

同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是43,則這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

9.2024年8月2日，第八屆廣西萬村籃球賽暨廣西社區(qū)運動會縣級賽在柳州市魚峰區(qū)白沙鎮(zhèn)舉行開賽儀式，

據(jù)了解，本次魚峰區(qū)比賽采用單循環(huán)制（每兩支球隊之間都進行一場比賽），如果比賽共進行了78場，則一

共有多少支球隊參加比賽？設(shè)一共有%支球隊參加比賽，根據(jù)題意可列方程是（）

A.制工=78B.x（x-1）=78C.x（x+1）=78D.%少=78

10.如圖是拋物線yi=ax2+bx+c(aH0)圖象的一部分，拋物線的頂點是4對稱軸是直線％=1,且拋

物線與％軸的一個交點為8(4,0)；直線的解析式為丫2=TTix+n(mW0).下列結(jié)論：

①2a+b=0；fy

②abc>0；

③方程a/+bx+。=mx+n有兩個不相等的實數(shù)根；

④拋物線與x軸的另一個交點是(一1,0);同~丁4\\*x

⑤當(dāng)l<x<4時，則%>%，其中正確的是()

A.①②B.①③⑤C.①④D.①④⑤

二、填空題：本題共6小題，每小題2分，共12分。

11.方程好一4=0的解是.

12.拋物線y=(%—I)2+3的頂點坐標(biāo)為.

13.關(guān)于x的一元二次方程/+2%-1=0的兩根之和為.

14.已知點4(久1，%)，8(%2，丫2)在二次函數(shù)y=-3)2-2的圖象上，若與<冷<3,則乃_____72(填

“>”、或"=").

15.關(guān)于"的一元二次方程k/-2*+1=。有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是.

16.《代數(shù)學(xué)》中記載，形如/+8%=33的方程，求正數(shù)解的幾何方法是：“如圖1,先構(gòu)造一個面積為

/的正方形，再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為2x的矩形，得到大正方形的面積為33+16=

49,則該方程的正數(shù)解為7-4=3.”小唐按此方法解關(guān)于久的方程/+12%=6時，構(gòu)造出如圖2所示的

圖形，已知陰影部分的面積為64,則該方程的正數(shù)解為.

圖1圖2

三、解答題：本題共7小題，共58分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題8分)

解下列方程：

(I)%2+2%-3=0；

(2)x2-8x=-16；

(3)3x2-4x-2=0；

(4)x(%-2)=5(%—2).

18.(本小題6分)

有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多

少個人.

19.(本小題8分)

已知拋物線y=2x2+4x—6.

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)將該拋物線向右平移巾(e>0)個單位長度，平移后所得新拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點，求小的值.

20.(本小題8分)

已知關(guān)于x的一元二次方程/+6x+(2m+1)=。有實數(shù)根.

(1)求機的取值范圍；

(2)如果方程的兩個實數(shù)根為尤1，x2,且2x62-Xi-工228,求小的取值范圍.

21.(本小題8分)

“杭州亞運?三人制籃球”賽將于9月25-10月1日在我縣舉行，我縣某商店抓住商機，銷售某款籃球服.6

月份平均每天售出100件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，7月份該店準(zhǔn)備采取降價措施，經(jīng)過

市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出10件.

(1)若降價5元，求平均每天的銷售數(shù)量；

(2)當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為6000元？

22.(本小題10分)

閱讀與理解：如果關(guān)于x的一元二次方程/+法+。=0(a片0)有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根

大1,那么稱這樣的方程為“鄰根方程”.例如一元二次方程好+%=0的兩個根是的=0,不=-1，則方

程/+乂=0是“鄰根方程”.

(1)通過計算，判斷方程好—9%+20=0是否是“鄰根方程”；

(2)己知關(guān)于久的方程/-(m-1)%-m=0(巾是常數(shù))是“鄰根方程”，求機的值.

23.(本小題10分)

如圖，直線y=K-3與x軸、y軸分別交于點B、A,拋物線y=a(x-2/+k經(jīng)過點力、B,其頂點為C.

(1)求拋物線的解析式.

(2)求△ABC的面積.

(3)點P為直線48上方拋物線上的任意一點,過點P作「?！ㄑ据S交直線48于點。，求線段PD的最大值及此時

點P的坐標(biāo).

",

答案解析

1.【答案】A

【解析】解：4/—5%=0是一元二次方程；

B、x+1=0是一元一次方程；

。、y-2x=0是二元一次方程；

D、2%3-2=0不是一元二次方程.

故選：A.

根據(jù)只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程逐項進行排查即可.

本題主要考查的是一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：函數(shù)y=(m—2)/+2%—1是二次函數(shù)，

???m—2W0,

???771W2；

故選：C.

二次函數(shù)的二次項系數(shù)不能等于零.

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，明確二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】A

【解析】解：把％=1代入方程/+771%=0得：1+血=0,

解得：m=-1.

故選：A.

4.【答案】B

【解析】解：/一2%=0,

?,?%(%—2)=0,

%1=0,%2=2,

故選:B.

利用因式分解法解一元二次方程即可.

本題考查因式分解法解一元二次方程，正確計算是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】解：???當(dāng)久<0時，y隨X增大而減小，

拋物線開口向上，

a-1>0,

a>1.

故選：D.

根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)x<0時，y隨x增大而減小可得a-1>0,即可求解.

本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握掌握二次函數(shù)的性質(zhì).

6.【答案】D

【解析】解：力、△=(—27—4x0=4>0,方程有兩個不相等的實數(shù)解；

B、A=42-4X(-1)=20>0,方程有兩個不相等的實數(shù)解；

C、△=(―5)2—4x3x2=l〉0,方程有兩個不相等的實數(shù)解；

D、△=(一4)2-4X2X3=-8<0,方程沒有實數(shù)解.

故選：D.

分別計算各方程的根的判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況.

本題考查了根的判別式：一元二次方程a/+bx+c=0(aH0)的根與△=/一4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△>0

時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根.

7.【答案】C

【解析】解：???拋物線經(jīng)過點(3,0),對稱軸為直線x=l,

???拋物線與刀軸的另一個交點為(-1,0),

ax2+bx+c>0,

y>0,

???對應(yīng)拋物線在x軸上方，即在(-1,0)與(3,0)之間.

—1<%<3.

故選：C.

將一元二次不等式轉(zhuǎn)化為通過圖象求解.

本題考查二次函數(shù)和不等式，將不等式的解轉(zhuǎn)化為拋物線在支軸的上方是求解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】解：設(shè)這種植物每個支干長出的小分支個數(shù)是”,

依題意得：1+久+久2=43,

整理得：x2+x-42=0,

解得：尢1=-7(不合題意，舍去)，％2=6.

故選C.

9.【答案】D

【解析】解：設(shè)一共有x支球隊參加比賽，由題意，得：安生=78；

故選：D.

根據(jù)比賽采用單循環(huán)制(每兩支球隊之間都進行一場比賽)，比賽共進行了78場，列出方程即可.

本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，正確找到等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵.

10.【答案】B

【解析】解：①因為拋物線對稱軸是直線x=1,則-白=1，2a+b=0,故①正確，符合題意；

②?拋物線開口向下，故a<0,

???對稱軸在y軸右側(cè)，故b>0,

???拋物線與y軸交于正半軸，故c>0,

???abc<0,

故②錯誤，不符合題意；

③從圖象看，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故方程52+?。?。=爪%+九有兩個不相等的實數(shù)根，正確，符

合題意；

④因為拋物線對稱軸是：龍=1，8(4,0),

所以拋物線與x軸的另一個交點是(-2,0),

故④錯誤，不符合題意；

⑤由圖象得：當(dāng)l<x<4時，有力<為，故⑤正確，符合題意；

故正確的有：①③⑤；

故選：B.

1L【答案】±2

【解析】解：久2一4=0,

移項得：x2=4,

兩邊直接開平方得：%=±2,

故答案為：±2.

首先移項可得/=4,再兩邊直接開平方即可.

此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，

把常數(shù)項移項等號的右邊，化成/=a（a>0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解.

12.【答案】（1,3）

【解析】解：頂點坐標(biāo)是（1,3）.

直接利用頂點式的特點可知頂點坐標(biāo).

本題主要考查了求拋物線頂點坐標(biāo)的方法.

13.【答案】-2

【解析】解：x2+2%-1=0,

,b2?

X1+X2=_￡=_I=_2,

故答案為：-2.

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解答即可.

本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系.

14.【答案】>

【解析】解：?.?y="（久一3尸一2,

???拋物線的對稱軸為直線X=3,拋物線開口向上，

1

,點4（打,打）,3（久2，丫2）在二次函數(shù)3/=每。-3）2-2的圖象上，且與<%2<3,

71>y2?

故答案為：>,

先得到拋物線的對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.【答案】k<1且k*0

【解析】解：???關(guān)于久的一元二次方程以2一2久+1=。有兩個不相等的實數(shù)根，

**?k豐0且4>0,即（-一4xkxl>0,

解得k<1且k*0.

k的取值范圍為k<1且k*0.

故答案為：k<1且k豐0.

根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k豐0且小>0,即（—2y—4xkx1>0,然后解不等式即可得到

k的取值范圍.

本題考查了一元二次方程a/+6%+。=o（a大0）的根的判別式△=一4ac：當(dāng)△>0,方程有兩個不相

等的實數(shù)根；當(dāng)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<(),方程沒有實數(shù)根.也考查了一元二次方程的

定義.

16.【答案】4/6-6

【解析】解：%2+12%=m,

???陰影部分的面積為60,

x2+12%=60,

設(shè)4a=12,

則a=3,

同理：先構(gòu)造一個面積為/的正方形，

再以正方形的邊長為一邊向外構(gòu)造四個面積為3x的矩形，

得到大正方形的面積為60+32x4=60+36=96,

則該方程的正數(shù)解為—6=4-\Z-6—6,

故答案為：4A/~6—6.

根據(jù)已知的數(shù)學(xué)模型，同理可得空白小正方形的邊長為3,先計算出大正方形的面積=陰影部分的面積+4

個小正方形的面積，可得大正方形的邊長，從而得結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：(1及2+2萬一3=0,

(x+3)(*—1)=0,

解得：%!=-3,久2=1；

(2)久2-8X=-16,

x2-8x+16=0,

(%-4)2=0,

%—4=0,

=%2=4;

(3)3%2-4%-2=0,

a=3,b=—4,c=—2,

J=(-4)2+4X2X3=40>0,

Y=—4=±-2-/-1-0=2—±/-1--0,

2x33

2+AATO2-/10

(4)%(x-2)=5(x-2),

x(x—2)—5(%—2)=0,

(x-5)(x-2)=0,

解得：*i=5,x2=2.

【解析】(1)因式分解法解方程即可；

(2)因式分解法解方程即可；

(3)公式法解方程即可；

(4)因式分解法解方程即可.

本題考查解■元二次方程，熟練掌握解法和步驟，并靈活運用是解答的關(guān)鍵.

18.【答案】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人，

依題意得：1+x+久(1+x)=256,

即(1+x)2=256,

解得：X[=一17(不符合題意舍去)，刀2=15,

答：每輪傳染中平均每人傳染了15人.

【解析】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了久人，由題意：有一人感染了某種病毒，經(jīng)過兩輪傳染后，共有256

人感染了該種病毒，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：(l)y=2久2+4久一6=2(%+I)2-8,

.,.對稱軸為直線尤=—1；

(2)???將該拋物線向右平移爪(爪>0)個單位長度，

???新的拋物線的解析式為：y=2(x+l-m)2-8,

把(0,0)代入,得：2(1-m)2—8=0,

解得：Hl=3(負(fù)值舍去).

【解析】(1)將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，即可得出結(jié)果；

(2)根據(jù)平移規(guī)則，求出新的拋物線的解析式，將原點坐標(biāo)代入求解即可.

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.

20.【答案】解:(1)???方程有實數(shù)根，

21=36—4(2m+1)=36—8m—4=32—8m>0,

解得：m<4.

故rn的取值范圍是m<4；

(2)VX],久2是方程K2+6x+(2m+1)=0的兩個實數(shù)根，

???%i+%2=-6，?12=27n+1,

2%1%2——%228,

?，?2(2/71+1)+628,

解得機>0,

由(1)可得小<4,

m的取值范圍是0<m<4.

【解析】(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式4>0,即可得出關(guān)于小的一元一次不等式，解之即可得出山

的取值范圍；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出久1+%2=一6、%1%2=2m+1,由2K1久2-%1-X2>8結(jié)合(1)結(jié)論可得出

關(guān)于根的一元一次不等式組，解之即可得出a的取值范圍.

本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：(1)牢記“當(dāng)420時，方程有兩個實數(shù)

根"；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合2的*2-*1-*228及mW4,求出小的取值范圍.

21.【答案】解：(1)平均每天的銷售數(shù)量為：100+10x5=150(件)，

答:平均每天的銷售數(shù)量150件；

(2)設(shè)每件商品降價x元，

根據(jù)題意，得：(100+10x)(40-%)=6000,

解得：%!=10,x2=20,

答：當(dāng)每件商品降價10元或20元時，該商店每天銷售利潤為6000元.

【解析】(1)利用平均每天的銷售量=100+10x每件商品降低的價格，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)每件商品降價x元，則每件盈利(40-久)元，平均每天可售出(100+10x)元，利用總利潤=每件盈利

x平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于久的一元二次方程，求解即可.

本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：(1)/一9%+20=0,

(%-4)(%-5)=0,

解得：X]=4,x2—5,

■.-5-4=1,

故方程,—9x+20=0是“鄰根方程”；

(2)久2—(m—l)x