2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市某中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市望城六中高三(上)入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.曲線/(%)=/一%+3在點(diǎn)P處的切線平行于直線y=2x+l,貝UP點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)或(—1,3)D.(1,-3)

2.已知力=>x},B={x\(x-3)(久+3)>0},則4ClB=()

A.(-2,1)B.(-oo,-3)C.(-oo,2)D.(0,1)

3.偶函數(shù)〃x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，若f(4久—1)</(5，貝卜的取值范圍是()

3131313

A68電)C.Q,§)D七加

4.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD-力避16。1中，M是41a的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)面CDDiG上的動(dòng)點(diǎn)，且

MP〃截面SB4,則線段MP長(zhǎng)度的取值范圍是()

A.[^,/2]B.[/2,<6]

C.俘,C]D.[76,3]

5.若3cos2a=2sin(9-a),ae,TT),貝!Jsin2a的值為()

4Z

A425^2

A--—JD]

6.已知函數(shù)/(%)=]%'%>°，若函數(shù)g(%)=/(%)-a的零點(diǎn)有2個(gè)或3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

1(%+2)ex,x<0

()

111111

A.(一右》B.[一春/C.(0,i]D.(一.0)

7.在四棱錐P—ABCD中，AD=2,AB=BC=CD=1,AD//BC,且24=PC,PB=PD,則直線PA與

平面PBD所成角的正弦值的最大值為()

142

A-3B5C3D1

8.已知函數(shù)/(")=]鱉若方程/(-久)=-〃>)有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是()

A.(0,+oo)B.(0,今C.(-co,0)D.(0,1)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.將函數(shù)y=sin(久-5的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平移苧個(gè)單位長(zhǎng)度

得g。)的圖象，則下列說(shuō)法正確的是()

A.g(x)是奇函數(shù)B.%=髓g(%)圖象的一條對(duì)稱軸

C.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(3兀,0)對(duì)稱D.2。(。)=1

E.9(31兀)=1

10.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=蕓，貝ij()

1

A.z-z=1B.z+：=0

1ii

C.z+z2+…+z10=1+iD-]+再+…+kTt

11.已知矩形2BCD中，4D=0AB=243,AABD沿著B(niǎo)D折起使得形成二面角4一BD-C,設(shè)二面角

4-8￡?-(7的平面角為0,則下面說(shuō)法正確的是()

A.在翻折的過(guò)程中，4、B、C、。四點(diǎn)始終在一個(gè)球面上，且該外接球的表面積為12兀

B.存在。，使得

C.當(dāng)tane=時(shí)，|AC|=272

D.當(dāng)cos。=?寸，直線AC與直線BD的夾角為45。

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.所有棱長(zhǎng)都為1的平行六面體ABCD-&B1GD1中，若M為41cl與當(dāng)。1的交點(diǎn)，ABAD=60°,

NZM&=AMA=30。，貝U|麗|的值為.

13.雙曲線C：冒-，=l(a>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為&,F2,直線，過(guò)6與C的左支和右支分別交于

A,B兩點(diǎn)，若%軸上存在點(diǎn)Q使得NQB0的角平分線過(guò)尸2，且滿足的=3麗，則C的離心率為.

14.對(duì)于定義域和值域均為［0,1］的函數(shù)/(%),定義無(wú)(x)=/(x),僅%)=/(方(%))，…,fn(x)=

(2x0<x<

2

n=l,2,3,....滿足九Q)=x的點(diǎn)xe［0,1］稱為/的九階周期點(diǎn).設(shè)"X)=11

(2-2x-<x<1

貝葉的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知圓M：%2+y2—2%+1—m2=0(mGR).

(1)若圓M的半徑為1,求實(shí)數(shù)m的值；

(2)在(1)條件下，設(shè)4(0,t),B(O,t+6)(-5<t<-2),若圓M是△ABC的內(nèi)切圓，求A/IBC面積的最大

值.

16.(本小題15分)

如圖，菱形4BCD與正ABCE所在平面互相垂直，尸。1平面ABC。，BC=2,FD=<3.

⑴證明：EF//平面48CD；

(2)若NCBA=60°,求直線EF與平面4FB所成角的正弦值.

17.(本小題15分)

甌江是溫州、麗水人民的母親河，為了體現(xiàn)“綠水青山”理念特舉辦游渡甌江活動(dòng)，現(xiàn)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：比賽區(qū)

域的甌江江流平均寬度2.1km(即起點(diǎn)4處到對(duì)岸B的垂直距離)，一名游泳愛(ài)好者室內(nèi)游泳平均速度為

60m/zn譏.在熱身環(huán)節(jié)時(shí)，游泳愛(ài)好者一直沿AB方向游去，在下游C處上岸，距離B處1.75km.

(1)假設(shè)水流勻速，求水流速度多少？

(2)比賽規(guī)定，運(yùn)動(dòng)員上岸點(diǎn)距離8處不超過(guò)爺km時(shí)成績(jī)有效.活動(dòng)時(shí)，該游泳愛(ài)好者保持。方向不變游

泳前進(jìn)(記運(yùn)動(dòng)員游泳前進(jìn)方向與A8的夾角記為8),為比賽成績(jī)最好，求sin?的值.

A-------------------------B

C

18.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(x)=2sinxcosx-2-\/-351112%+y/~3.

(1)求函數(shù)/(?的最小正周期；

(2)若工€[0,夕時(shí)，m</(x)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(3)將函數(shù)/(尤)的圖像的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的右再將其橫坐標(biāo)向右平移著個(gè)單位，得到函數(shù)g(?的圖像.若

%e[0,t],函數(shù)g(x)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知無(wú)窮數(shù)列但"滿足的=2,數(shù)列｛?)為｝是各項(xiàng)和等于呼會(huì)的無(wú)窮等比數(shù)列，其中常數(shù)b是正整數(shù).

(1)求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式；

(2)在無(wú)窮等比數(shù)列｛%｝中，&=a「歷=。2,試找出一個(gè)b的具體值使得數(shù)列｛仇J的任意項(xiàng)都在數(shù)列｛即｝

中；試找出一個(gè)6的具體值，使得數(shù)列｛%｝的項(xiàng)不都在數(shù)列中，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；

(3)對(duì)問(wèn)題(2)繼續(xù)進(jìn)行研究，探索當(dāng)且僅當(dāng)6取怎樣的值時(shí)，數(shù)列伊工的任意項(xiàng)都在數(shù)列｛%J中，說(shuō)明理

由.

參考答案

l.B

2.5

3.B

4.4

5.C

6.5

7.C

8.F

9.4CD

1Q.ABD

ll.BCD

12—

13.77

14.2n

15J?：(1)由題設(shè)，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為Q—1)2+*=爪2,由圓M的半徑為1,

???m2=1,即m=±1.

(2)由題意，設(shè)直線ZC為yi=Ze[％+力，直線BC為丫2=的％+1+6,則%c=

11Q

???|4B|=6,又S&ABC=5,|AB|?|和|=/卜l'

M到4C、BC的距離都為1,

,a-優(yōu)1+4_1/_的+1+6|_1省"_1一產(chǎn),_(t+7)(t+5)

.“一而一1‘電一下君-…F，七一FP

???四一七匚1<+寫(xiě)箸1=則%BC=I鬻詈

t￡+6t

—5—t4—2,則+6)€[—9,—5],

?，'S^ABCE弓,?]，則△ABC面積的最大值為5

z，

16.證明：⑴???菱形A8CD與正三角形BCE的邊長(zhǎng)均為2,它們所

在平面互相垂直，

.?.作E。1BC,交BC于。，且E。=74^1=

???FD_L平面ABC。，S.FD=6,

FD-EO'四邊形EODF是平行四邊形，

EF//DO,

EFC平面ABCD,ODu平面2BCD,

.-.EF〃平面力BCD.

解：(2)???NC84=60。，OA1OB,

以。為原點(diǎn)，OB為x軸，。4為＞軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

4(0,0,0)，B(1,0,0),￡(0,0,73),F(-2,<3,<3),

EF=(-2,<3,0),BA=(-1,73,0)，BF=(-3,<3,<3),

設(shè)平面力FB的法向量為元=(x,y,z),

(n?BA——x+y/_3y=0-.—,—

貝—>L,—,取X=得?2=(/^,1,2),

(ji-BF=-3x+<3y+<3z=0

設(shè)直線EF與平面4FB所成角為仇

則而。=島=舄=禁.

\EF\-\n\V7-V828

??.直線EF與平面4FB所成角的正弦值為簿.

17.解：（1）渡河所需的時(shí)間1=甯，所以“=等=50m/s.

（2）設(shè)為了使比賽成績(jī)最好，需在下游。處上岸，BD=,m，

因?yàn)?.75km＞祟km，所以游泳前進(jìn)的方向必須朝上游，如圖所示，設(shè)NGAB=。,

10

7/3「

此時(shí)tanNBAD==半，即NB4D=7T

作平行四邊形力GFE,其中|布|=60,|荏|=50,所以N4FG=〃DB=（

在AAGF中，由正弦定理，知,;即編=北）,

smz.AFGs\nz.GAFsm@sin（（y十

所以sin（e+［）=萼〈苧，

o1ZZ

又8+?＜甲,

63

所以6+看<?故cos(9+3)=

所以s譏6=sin(0+g—g)=sin(6+勺cosg—cos(8+g)sing=xx1

oooo6612L12，24

18.解：⑴因?yàn)閒(%)=2sinxcosx—2V_3sin2%+=sin2x+y/~3cos2x=2sin(2x+》

所以/(%)的最小正周期T=y=TT.

(2)當(dāng)%W[0,g時(shí),可得2%+口￡冷等,

當(dāng)2%+|=y,即％=狎，/(%)取得最小值2s譏苧=-V3,

因?yàn)閄e[0,且時(shí)，m</(%)恒成立，所以m<-V~3,

即實(shí)數(shù)小的取值范圍為(一8,—V3).

(3)由題意,函數(shù)g(%)=2sin(4x-^),

因?yàn)閤6[0,t]>所以4%—6],4t—§,

又因?yàn)楹瘮?shù)g(x)有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則滿足47rW4t-5兀，解得若<t<y,

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍喑毒).

1

19.解：(1)?.?數(shù)歹!|｛&)而｝為無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，它的各項(xiàng)和為Z

~an-l