【學霸滿分】2023-2024學年九年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練（北師大版）專題09 難點探究專題：二次函數(shù)中求線段最值問題之四大考點（原卷版）

專題09難點探究專題：二次函數(shù)中求線段最值問題之四大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用二次函數(shù)求單線段最大值問題】 1【考點二利用二次函數(shù)求單線段最小值問題】 13【考點三二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】 20【考點四二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】 30【典型例題】【考點一利用二次函數(shù)求單線段最大值問題】例題：（23·24上·昆明·階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過，，．

(1)求拋物線的解析式；(2)該拋物線上有一點不與點、、重合，使得，求點的坐標；(3)點是線段上的動點不與點、點重合，過點作軸交拋物線于點，求線段的最大值及此時點的坐標．【變式訓練】1．（23·24上·全國·專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為，且，拋物線圖像經(jīng)過A，B，C三點．(1)求A，C兩點的坐標；(2)求拋物線的解析式；(3)若點P是直線下方的拋物線上的一個動點，作于點D，當?shù)闹底畲髸r，求此時點P的坐標及的最大值．2．（23·24上·西青·期中）如圖，拋物線與軸相交于兩點，其中點的坐標為點坐標為，且點在拋物線上．(1)求拋物線的解析式；(2)點為拋物線與軸的交點；①點在拋物線上，且，求點坐標；②設(shè)點是線段上的動點，作軸交拋物線于點，求線段長度的最大值．3．（23·24上·襄陽·階段練習）如圖：拋物線與軸相交于兩點，其中點的坐標為，點的坐標為，且點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式．(2)點為拋物線與軸的交點．①點在拋物線上，且，求點點坐標．②設(shè)點是線段上的動點，作軸交拋物線于點，求線段長度的最大值．4．（23·24上·長春·階段練習）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于、C兩點，與y軸交于點，直線AC的函數(shù)表達式為．

(1)求二次函數(shù)的表達式及頂點坐標；(2)求時，x的取值范圍；(3)點E是線段上任意一點（不含端點），過點E作y軸的平行線交二次函數(shù)圖象交于點F，若點E的橫坐標m，求m為何值時，線段有最大值，最大值是多少．5．（23·24上·大連·階段練習）拋物線：與x軸交于A、B兩點，與y交于，且．

(1)直接寫出拋物線G的解析式：___________；(2)如圖1，點在拋物線G上，點P是拋物線G上一個動點，且在直線的下方，過點P作x軸的平行線交直線于點Q，當線段取最大值時，求點P的坐標；(3)如圖2，點N在y軸左側(cè)的拋物線G上，且橫坐標為，點M也在y軸左側(cè)的拋物線G上，若，求點M的坐標．【考點二利用二次函數(shù)求單線段最小值問題】例題：（2023春·安徽·九年級專題練習）已知：拋物線與x軸交于點A、B（點B在x軸正半軸），頂點為C，且．(1)求a的值；(2)求的面積；(3)若點P為拋物線上一點，軸交直線于點M，求的最小值．【變式訓練】1．（2023春·安徽·九年級專題練習）直線經(jīng)過點，拋物線經(jīng)過點，其中和為實數(shù)．設(shè)拋物線的頂點為，過作軸的平行線交直線于點．(1)求和的值；(2)當拋物線頂點的縱坐標取得最大值時，求線段的值；(3)求線段的最小值．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線的頂點為P，過點P分別作x軸，y軸的垂線交于點M，Q，直線交x軸于點N．

(1)若點P在y軸的左側(cè)，且N為中點，求拋物線的解析式；(2)求線段長的最小值，并求出當?shù)拈L度最小時點P的坐標；(3)若P，M，N三點中，任意兩點都不重合，且，求m的取值范圍．3．（2023秋·福建龍巖·九年級?？奸_學考試）如圖，已知拋物線圖象經(jīng)過點，且對稱軸為直線．

(1)求拋物線的解析式；(2)若是拋物線上位于第一象限內(nèi)的點，D是線段上的一個動點（不與A、B重合），過點D分別作交AC于E，交于F．①求C點坐標；②求證：四邊形是矩形；③連接，線段的長是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【考點三二次函數(shù)中的將軍飲馬型最值問題】例題：（2023秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期末）已知：二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點，其中點坐標為，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上有一動點，求出的最小值；(3)若拋物線上有一動點，使三角形的面積為，求點坐標．【變式訓練】1．（2023秋·安徽蕪湖·九年級?？茧A段練習）如圖，拋物線交x軸于點，點B，交y軸于點C，對稱軸為直線．

(1)點B的坐標為__________．(2)求拋物線的解析式．(3)點P是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在點P，使的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．2．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點A的坐標為．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，求的最小值；(3)設(shè)點F是拋物線上一點，其橫坐標為，在拋物線上是否存在一點M，使得被直線平分？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，說明理由．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖1所示，已知直線與拋物線分別交于x軸和y軸上同一點，交點分別是點和點，且拋物線的對稱軸為直線．

(1)請分別求出k，m，a，b的值；(2)如圖2，點Q是線段上一點，且，點M是y軸上一個動點，求線段的最小值；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使是直角三角形？若存在請直接寫出P點坐標，不存在請說明理由．4．（2023春·廣東湛江·九年級湛江市第二中學?？茧A段練習）如圖，已知拋物線與y軸交于點C，與x軸交于，兩點．(1)求拋物線的解析式．(2)連接，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得的周長最小？若存在，求出點P的坐標和的周長的最小值，若不存在，請說明理由．(3)點M為拋物線上一動點，點N為x軸上一動點，當以A，C，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點M的橫坐標．【考點四二次函數(shù)中的胡不歸最值問題】例題：（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【變式訓練】1．（2023春·四川內(nèi)江·九年級校考階段練習）如圖，已知拋物線與軸相交于點，與軸分別交于點和點，且，

(1)求拋物線解析式．(2)拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請求出點坐標，若不存在，請說明理由．(3)拋物線的對稱軸交軸于點，在軸上是否存在一個點，使的值最小，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．2．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）如圖1，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，已知點A的橫坐標為，點C的縱坐標為3．

(1)求該拋物線的解析式，并寫出其對稱軸；(2)設(shè)點P是拋物線對稱軸第一象限部分上一點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點A的對應(yīng)點為D，若點D恰好落在該拋物線上，求點P的坐標；(3)如圖2，連接，若點是直線上方拋物線上一點，點為軸上一點，當面積最大時，求的最小值．3．（2023春·四川達州·九年級校考階段練習）如圖，拋物線(