【學霸滿分】2023-2024學年九年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練（北師大版）專題17 弧長與扇形的面積之七大考點（解析版）

專題17弧長與扇形的面積之七大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一已知圓心角的度數(shù)，求弧長】 1【考點二已知弧長，求圓心角的度數(shù)】 2【考點三求某點的弧形運動路徑長度】 3【考點四已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積】 6【考點五求圖形旋轉后掃過的面積】 7【考點六求弓形的面積】 10【考點七求其他不規(guī)則圖形的面積】 12【過關檢測】 15【典型例題】【考點一已知圓心角的度數(shù)，求弧長】例題：（2023上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）已知圓弧所在圓的半徑為3，所對的圓心角為，這條弧的長為．【答案】/【分析】本題考查了弧長公式．根據(jù)弧長公式進行計算即可．【詳解】解：因為圓弧所在圓的半徑為3，所對的圓心角為，則這條弧長為：．故答案為：．【變式訓練】1．（2023上·福建廈門·九年級?？茧A段練習）在中，已知半徑為，所對的圓心角，那么的長度為．【答案】/【分析】本題考查了求弧長；根據(jù)弧長公式，即可求解．【詳解】解：∵在中，已知半徑為，所對的圓心角，∴的長度為,故答案為：．2．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市蕭紅中學?？茧A段練習）如圖，在中，，，，以點為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，則的長為．【答案】/【分析】本題考查了弧長的計算，直角三角形的性質，根據(jù)直角三角形的性質得到，，代入弧長計算公式即可求解，掌握弧長計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴，，∴的長，故答案為：．【考點二已知弧長，求圓心角的度數(shù)】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個扇形的面積為，弧長為，則該扇形的圓心角的度數(shù)為．【答案】/100度【分析】根據(jù)弧長和扇形面積關系可得，求出R，再根據(jù)扇形面積公式求解.【詳解】∵一個扇形的弧長是，面積是，∴，即，解得：，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了扇形面積的計算；弧長的計算．熟記公式，理解公式間的關系是關鍵.【變式訓練】1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）扇形的弧長為，半徑是12，該扇形的圓心角為度．【答案】90【分析】設此扇形的圓心角為，代入弧長公式計算，得到答案．【詳解】解：設此扇形的圓心角為，由題意得，，解得，，故答案為：90．【點睛】本題考查的是弧長的計算，掌握弧長的公式是解題的關鍵．2．（2023·浙江溫州·校考三模）若扇形半徑為4，弧長為，則該扇形的圓心角為．【答案】/90度【分析】設扇形圓心角的度數(shù)為n，根據(jù)弧長公式即可得出結論．【詳解】解：設扇形圓心角的度數(shù)為n，∵扇形的弧長為2π，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是扇形的面積公式，熟記扇形的面積公式及弧長公式是解答此題的關鍵．【考點三求某點的弧形運動路徑長度】例題：（2023秋·云南昭通·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為旋轉中心，將順時針旋轉得到，其中點與點A對應，點與點B對應．如果，．則點A經(jīng)過的路徑長度為（含的式子表示）【答案】【分析】A點坐標為已知，求出長度，再利用弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖，由題意A點以原點O旋轉中心旋轉了點A經(jīng)過的路徑的長度故答案為：．【點睛】本題考查圖形的旋轉、弧長等知識點，需要熟練掌握弧長計算公式．【變式訓練】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點逆時針旋轉，得到，若點的對應點恰好落在線段上，則點的運動路徑長是cm（結果用含的式子表示）．

【答案】【分析】由于旋轉到，故C的運動路徑長是的圓弧長度，根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】以A為圓心作圓弧，如圖所示．

在直角中，，則，則．∴．由旋轉性質可知，，又，∴是等邊三角形．∴．由旋轉性質知，．故弧的長度為：；故答案為：【點睛】本題考查了含角直角三角形的性質、勾股定理、旋轉的性質、弧長公式等知識點，解題的關鍵是明確C點的運動軌跡．2．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，和是兩個完全重合的直角三角板，，斜邊長為．三角板繞直角頂點C順時針旋轉，當點落在邊上時，則點所轉過的路徑長為．【答案】【分析】根據(jù)三角形內角和和含30度的直角三角形三邊的關系得到，再根據(jù)旋轉的性質得，于是可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長公式計算弧的長度即可．【詳解】∵，∴，∵三角板繞直角頂點C順時針旋轉，當點落在邊上，∴，∴為等邊三角形，∴，∴弧的長度，即點所轉過的路徑長為．答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了弧長公式．【考點四已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積】例題：（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個扇形的面積是．【答案】【詳解】根據(jù)扇形的面積公式即可求解．【分析】解：扇形的面積．故答案是：．【點睛】本題主要考查了扇形的面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學校?？寄M預測）一個扇形的弧長是，圓心角是144°，則此扇形的面積是．【答案】【分析】設該扇形的半徑為，然后根據(jù)弧長公式計算半徑，然后根據(jù)扇形面積公式計算即可．【詳解】解：設該扇形的半徑為，由題意得：，解得：，，故答案為：．【點睛】本題主要考查弧長計算公式及扇形面積計算公式，熟練掌握弧長計算公式和扇形面積計算公式是解題的關鍵．2．（2023·海南?？凇ず煾街行？既＃┤鐖D，正五邊形的邊長為4，以頂點A為圓心，長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：正五邊形的外角和為，每一個外角的度數(shù)為，正五邊形的每個內角為，正五邊形的邊長為4，，故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計算的知識，解題的關鍵是求得正五邊形的內角的度數(shù)并牢記扇形的面積計算公式，難度不大．【考點五求圖形旋轉后掃過的面積】例題：（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，將半徑為，圓心角為的扇形繞點逆時針旋轉，得到扇形，則掃過的區(qū)域（即圖中陰影部分）的面積為．

【答案】【分析】結合已知條件及旋轉性質，根據(jù)面積的和差可得，然后利用扇形面積公式計算即可．【詳解】∵，，∴為等邊三角形，∴，由旋轉性質可得，，，則，，，，故答案為：．【點睛】此題考查了扇形的面積及旋轉性質，結合已知條件將陰影部分面積轉化為扇形的面積是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2022春·四川德陽·九年級校考階段練習）如圖，將繞點C順時針旋轉得到，已知，則線段掃過的圖形（陰影部分）的面積為．【答案】/【分析】由于將繞點C旋轉得到可見，陰影部分面積為扇形減扇形，分別計算兩扇形面積，在計算其差即可．【詳解】解：從圖中可以看出，線段掃過的圖形面積為一個環(huán)形，環(huán)形中的大圓半徑是，小圓半徑是，圓心角是，所以陰影面積大扇形面積小扇形面積【點睛】本題考查了扇形面積的計算和陰影部分的面積，將陰影部分面積轉化為兩扇形面積的查是解題的關鍵．2．（2022秋·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉到的位置，使三點在同一條直線上，則直角邊掃過的圖形面積為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得：，，，因此直角邊掃過的圖形面積為，因為，因此，代入數(shù)值即可求得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，，所以直角邊掃過的圖形面積為，由于，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了軌跡問題，關鍵是根據(jù)旋轉的性質，找出掃過的面積構成，利用扇形的面積公式計算即可．【考點六求弓形的面積】例題：（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預測）如圖，在扇形中，，，則陰影部分的面積是．【答案】【分析】利用扇形的面積減去三角形的面積，即可得解．【詳解】∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查求陰影部分的面積．熟練掌握割補法求面積，是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點，，則陰影部分的面積是

【答案】【分析】設的中點為，連接，用扇形的面積減去的面積即可得出結果．【詳解】解：設的中點為，連接，

∵C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點，，∴，，∴，∴為等邊三角形，∴，過點作，則：，∴，∴陰影部分的面積；故答案為：．【點睛】本題考查求弓形的面積，同時考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質．將陰影部分的面積轉化為扇形的面積減去三角形的面積，是解題的關鍵．2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，，以中點D為圓心、長為半徑作半圓交線段于點E，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】連接，，然后根據(jù)已知條件求出，，從而得到，最后結合扇形的面積計算公式求解即可．【詳解】解：如圖，連接，．

∵為直徑，∴．∵，∴，∴，，，∵，∴是等邊三角形，∴，∴陰影部分的面積=．故答案為：．【點睛】本題考查陰影部分面積計算問題，涉及到扇形面積計算，等邊三角形的判定與性質，直徑所對的圓周為直角等，掌握扇形面積計算公式是解題關鍵．【考點七求其他不規(guī)則圖形的面積】例題：（2023春·河南漯河·九年級?？茧A段練習）圖1是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖2，其中是的中點，交于點F，則圖中陰影部分的面積為．

【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形，利用勾股定理，可以求得的長，再根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積扇形的面積的面積扇形的面積，計算即可．【詳解】解：連接，

由題意可得，，，，，，，陰影部分的面積是：，故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算、平移的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．【變式訓練】1．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形的邊長為1，分別以點C，D為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點F，圖中陰影部分的面積為．（結果保留）

【答案】【分析】連接，，由，得，求出，根據(jù)公式求出，即可得到陰影面積．【詳解】如圖，連接，，由題意，得，，，，，，，，，故答案為：．

【點睛】此題考查了求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，正多邊形的性質，正確理解圖形面積的計算方法連接輔助線是解題的關鍵．2．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在矩形中，，，以D為圓心，以長為半徑畫弧，以C為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧恰好交于上的點E處，則陰影部分的面積為．【答案】【分析】如圖，連接，根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)陰影部分的面積為：扇形的面積減去，根據(jù)的等于扇形的面積減去，即可求解．【詳解】解：連接，如圖：四邊形是矩形，，，，，，扇形的面積為：，∵，陰影部分的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質，扇形的面積，三角形面積，解題的關鍵是掌握扇形的面積公式，矩形的性質．【過關檢測】一、單選題1．（2023上·浙江杭州·九年級杭州市公益中學?？茧A段練習）若某圓弧所在圓的半徑為2，弧所對的圓心角為，則這條弧長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了弧長計算公式，解題的關鍵是掌握：弧長（n是弧所對應的圓心角度數(shù)），帶入計算即可．【詳解】解：，故選：C．2．（2023上·山東濟寧·九年級?？计谥校┰趫A心角為的扇形中，半徑，則扇形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了扇形面積的計算，正確掌握扇形面積公式是解題關鍵．直接利用扇形面積公式代入求出面積即可．【詳解】解：扇形中，圓心角為，半徑，扇形的面積是：．故選：C．3．（2023上·內蒙古赤峰·九年級校聯(lián)考階段練習）折扇最早出現(xiàn)于我國南北朝時期，《南齊書》中說：“司徒褚淵入朝，以腰扇障日．”這里的“腰扇”在《通鑒注》中的解釋為折疊扇．如圖，一折扇的骨柄長為，折扇張開后為扇形，圓心角為，則弧的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了扇形弧長的求解，解題的關鍵是掌握弧長公式．直接根據(jù)扇形弧長的求解公式，求解即可．【詳解】解：折扇的骨柄長為，折扇張開的角度為，弧的長，故選B．4．（2023上·陜西延安·九年級校聯(lián)考階段練習）傳統(tǒng)服飾日益受到關注，如圖1為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，該款裙子可以近似地看作扇環(huán)，如圖2所示，其中，長度為米，長度為米，則裙長AB為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【分析】本題考查通過弧長計算半徑，熟練掌握弧長公式是解題關鍵．通過的長度算出，通過的長度算出，兩者相減即可．【詳解】∵米，，∴，∴米，∵米，，∴，∴米，∴米．故選：B．5．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第二十五中學?？计谥校┤鐖D，半圓O的直徑為10，點C、D在圓弧上，連接，兩弦相交于點E．若，則陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質，圓周角和弧之間的關系，扇形的面積，連接、，根據(jù)，得出，得出，根據(jù)即可求得．【詳解】連接、，是直徑，，，，的度數(shù)為，，．故選：B．二、填空題6．（2023上·浙江寧波·九年級?？计谥校┤粢粋€扇形的面積是，它的弧長是，則它的半徑是．【答案】6【分析】本題考查了扇形的面積公式；根據(jù)扇形面積公式代入求解即可．【詳解】解：設半徑為r，根據(jù)扇形面積公式，得，解得．故答案為：6．7．（2023上·浙江杭州·九年級校考期中）已知扇形所在圓半徑為3，弧長為，則扇形面積為．【答案】【分析】本題考查扇形的面積，根據(jù)扇形面積公式代入數(shù)據(jù)即可求得．【詳解】解：扇形面積，故答案為：．8．（2023上·河南洛陽·九年級洛陽市第二外國語學校?？茧A段練習）如圖，在的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長均為1點均在格點上，點D在弧上，線段與弧交于點E，則圖中陰影部分的面積為．(結果保留π)【答案】【分析】本題考查直角三角形的邊角關系，弧長的計算以及全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定和性質以及直角三角形的邊角關系是正確解答的關鍵．根據(jù)網(wǎng)格構造直角三角形，利用網(wǎng)格可得出進而得出，利用平角的定義可得出是等腰直角三角形，得出圓心角的度數(shù)，利用勾股定理求出，進而得出半徑，再利用求出即可．【詳解】設的中點為，即弧所在的圓心為，如圖，連接，，，∴陰影部分的面積為故答案為：．9．（2023上·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，把一塊的直角三角板繞點旋轉到的位置．使得三點、在一直線上，若，則頂點從開始到結束所經(jīng)過的路徑長為．【答案】【分析】本題主要考查了弧長的計算，旋轉的性質，根據(jù)已知條件得到，，再根據(jù)旋轉的性質得到，再根據(jù)弧長公式計算即可；【詳解】∵，，，∴，，∵直角三角板，在水平桌面上繞點按順時針方向旋轉到的位置，∴，∴頂點從開始到結束所經(jīng)過的路徑長；故答案是：．10．（2023上·重慶·九年級校聯(lián)考期中）如圖，矩形的對角線，交于點，分別以點、為圓心，長為半徑畫弧，分別交AB、于點、．若，，，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留）【答案】【分析】本題考查扇形面積的計算、矩形的性質，由圖可知，陰影部分的面積是扇形和扇形的面積之和，求出圓心角即可計算．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，∴，，∵，，∴，∴，圖中陰影部分的面積為：，故答案為：．三、解答題11．（2023上·安徽蕪湖·九年級校聯(lián)考階段練習）龍舞騰盛世，某學校為傳承中華傳統(tǒng)龍獅文化，開辦了龍獅特色基地．如圖，在訓練中，龍的尾部由四名同學擺成了一個弧形，這弧形的弧長部分占龍總長的二分之一，已知弧形的半徑為2米，圓心角為，求整條龍的長．【答案】米【分析】本題考查了弧長的計算，根據(jù)弧長公式求出弧的長度，即可求出整條龍的長度．【詳解】解：∵弧長為（米），∴整條龍的長是（米）．12．（2023上·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是的直徑，點在上，為外一點，且，．(1)試說明：直線為的切線；(2)若，求陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明：連接，由，，得，則，所以，即可證明直線為的切線．（2）連接，則，所以是等邊三角形，則，所以，，則，，，即可由求得陰影部分的面積是．【詳解】（1）解：如圖，連接，，，，，．，，，即，又是的半徑，直線為的切線．（2）如圖，連接，作，垂足為，則，，，，是等邊三角形，，，，，即的半徑為4，，，，，，，，，，．【點睛】此題重點考查平行線的判定與性質、切線的判定、等邊三角形的判定與性質、垂徑定理、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質、扇形的面積公式等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．13．（2023上·福建南平·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，點O在上，以點O