2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)及其應(yīng)用（含解析）

備考2025高考數(shù)學(xué)一輪知識清單（上好課）專題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用（4

知識點(diǎn)+2重難點(diǎn)+6方法技巧+3易錯(cuò)易混）（含解析）專題10復(fù)數(shù)及

其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精曉紿

復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi（a,b￡R）檄叫做復(fù)數(shù)

其中實(shí)部是a,虛齷b

詡(b=0))

題型復(fù)數(shù)的基本概念及應(yīng)用

獻(xiàn)的分類01

Ko知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)的基本癡竣(b/0)(a=0夠蜃數(shù)))題型02根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)

題型03復(fù)數(shù)的模長計(jì)算

題型04共匏復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

L（復(fù)數(shù)的有關(guān)概念共姬復(fù)數(shù)）

K復(fù)數(shù)的模）

復(fù)

數(shù)「復(fù)平面的概念建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面口微復(fù)平面

題型01復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)一對應(yīng)

及

O知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義實(shí)軸與虛軸漸四叫2腳題型02復(fù)數(shù)與復(fù)平面向量——對應(yīng)

其L「復(fù)數(shù)的幾何靛題型03復(fù)數(shù)的模的幾何意義及應(yīng)用

應(yīng)

用Z_4-X復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則_：力口、減、乘、除八題型01復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

Yo知識點(diǎn)三復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算）T；=…人一式不----------“'題型02復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算

、______________________________/匕復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)重要結(jié)論

題型03復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

輻角的定義

復(fù)數(shù)的輻角八^―

-----------

題型01復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化

Yo知識點(diǎn)四復(fù)數(shù)的三角形式復(fù)數(shù)的三角腕:：亙cos6+isin0）題型02復(fù)數(shù)三角形式乘除法運(yùn)算

癡的三角唳及運(yùn)算岫的乘法運(yùn)算題型03復(fù)數(shù)的新定義問題

復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

口識盤點(diǎn)?查福訃觸

知識點(diǎn)1復(fù)數(shù)的基本概念

1、復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi（a,6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是°,虛部是瓦

2、復(fù)數(shù)的分類：

實(shí)數(shù)6=0,

復(fù)數(shù)z=a+6i

「純虛數(shù)。=0,

a,bRR虛數(shù)厚。

非純虛數(shù)存0.

復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)相等〃+Z?i=c+diu^a=c且Z?=d(。，b,c,d￡R)

共粗復(fù)數(shù)a+Z?i與c+di共輛Q〃=c且Z?=—d(o,b,c,d￡R)

復(fù)數(shù)的模向量歷的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或|a+歷

即|z|=|〃+歷|=r+62(之0,0,Z?eR)

知識點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面；

2、實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，無軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上

的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；

3、復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z=a+6i?―一對應(yīng)》復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)<..對應(yīng)》平面向量場.

知識點(diǎn)3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

設(shè)4=a+歷，z2=c+di(a,b,c,dGR),貝!I

(1)zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(6+<7)i;

(2)zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+(6—d)i；

(3)zrz2=(a+bi)(c+di)=(a。-bd)+(ad+bc)i；

z,a+bi(a+bi)(c-di)ac+bdbc-ad八、

—=-----=----/-----=———-+———-i(c+diw0).

(4)22

z2c+di(c+di)(c-di)c+d~c+d~

2、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)重要結(jié)論

2222

(1)|ZI+Z2|+|ZI-Z2|=2(|ZI|+|Z2|).

(2)Z?z=|z|2=|ZI2.

(3)若z為虛數(shù)，貝收仔先2.

(4)(l±i)2=±2i.

44+14+2

(5)i?=l;i?=i;i?=-l；i4?+3=-i.

知識點(diǎn)4復(fù)數(shù)的三角形式

1、復(fù)數(shù)的輔角

(1)輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi的對應(yīng)向量為方，以久軸的非負(fù)半軸為始邊，向量成所在的射線(射

線。Z)為終邊的角氏叫做復(fù)數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個(gè)值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在0We<2兀范圍內(nèi)的輔角。的值為輔角的主值，通常記作argz.

【注意】因?yàn)閺?fù)數(shù)0對應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)0的輔角是任意的.

2、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算

(1)定義：任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成z=r(cos8+is譏8)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，8是復(fù)數(shù)的輔角.

【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號連.

(2)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示：已知Zi=r1(cos31+isin%),z2=r2(cos02+isin")，

則ZiZi=r1r2［cos（01+02）+is譏（％+02）］-

這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)的輔角的和.

（3）復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示：已知Zi=r1（＜cos31+is譏4）,z2=r2（cos02+is譏。2）

則久=i+is［（）（）］

『譏黑=3cos%1_Wz+isM%1—Wz?

z2r2（cos02+ism02）r2

這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，

商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.

點(diǎn)突破?春分好?檢

重難點(diǎn)01與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問題的解題策略

（1）把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求

模的范圍與最值問題來解決；

（2）發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；

（3）利用三角函數(shù)解決.

【典例1］（2024.山東煙臺三模）若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則|z|的最小值為（）

A.1B.72C.73D.2

【典例2】（2024?云南?二模）已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|,則|z-i|的最小值為（）

A.正B.4C.-D.0

223

重難點(diǎn)02共軌復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問題

共輒復(fù)數(shù)問題的求解技巧：

1、若復(fù)數(shù)z的代數(shù)式己知，則根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的定義，可以寫出3,再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

2、已知關(guān)于z和三的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.解決此類問題的常規(guī)思路是：設(shè)

z=a+bi（a,bGR）,則』=a-歷，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

【典例1】（2024福建泉州.一模）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足z=l-』，則（）

Z

2

A.z.z=1B.z-zC.z+z=-1D.|z-z|=V3

【典例2］（23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)的共輾復(fù)數(shù)分別為弓,三，下列結(jié)論正

確的是（）

A.若4為純虛數(shù)，則4+3=0

B.右z；+z；=0,則經(jīng)=z?=0

C.若|z「Zz|=O,則［_云=0

D.若|z-l|=|z+l|,則z在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線

法技巧?逆境學(xué)霸

一、復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)。+歷，

(1)當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；

(2)當(dāng)且僅當(dāng)a=6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；

(3)當(dāng)厚0時(shí)，叫做虛數(shù)；

(4)當(dāng)a=0且以0時(shí)，叫做純虛數(shù).

【典例1】(2024?廣東東莞?模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)z滿足0+i)(l+i)=4,則復(fù)數(shù)z的虛部是()

A.2B.-2C.3D.-3i

【典例2】(23-24高三上?甘肅慶陽?階段練習(xí))(多選)下列各式的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)的是()

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i)2

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=|^

二、求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法：將復(fù)數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入已知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的

方程(組)，通過解方程(組)求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.

【典例1】(2024?新疆?三模)復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,貝心的虛部為()

A.—iB.iC.-1D.1

【典例2】(2024.福建泉州.模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)z滿足忖=2,|z-2|=2,則z+三()

A.2班B.2C.-2D.一2石

三、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)任一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+6i(a,6dR)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)是一一對應(yīng)的.

(2)一個(gè)復(fù)數(shù)2=。+歷(mbGR)與復(fù)平面內(nèi)的向量被=(a,b)是---對應(yīng)的.

【典例1】(2024?四川自貢.三模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，為對應(yīng)的向量分別是次=(-2,3),OB=(3,-2),

則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

Z1+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【典例2】(2024.安徽馬鞍山.三模)已知復(fù)數(shù)z滿足z亞=2(z+方=4,若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不在第一象

限，貝！Jz=.

四、虛數(shù)單位i的乘方

計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

i1=i,i2=—1,i3=i-i2=—i,i4=i3-i=—i-i=L

從而對于任何WGN+,都有i4"+l=iMi=(i4)".i=i,

同理可證i4#2=-1,i4n+3=-i,i4?+4=l.

這就是說，如果"CN+,那么有i4#l=i,i4/2=-1,j4"+3=—i,i4〃+4=l.

由止匕可進(jìn)一步得(l+i>=2i,(l—i)2=-2i,-^4=—1,^^=i，-i.

【典例1】(2024.湖北.二模)己知復(fù)數(shù)z=^(l+i),則z?*()

A.1B.-1C.-iD.i

【典例2】(2024?河北?三模)已知復(fù)數(shù)[滿足Z(i2°23+i2g)=i2025,貝匹的共軌復(fù)數(shù)的虛部是()

五、復(fù)數(shù)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程a/+力％+。=0(aW0)的求解方法：

(1)求根公式法：

①當(dāng)A20時(shí)，久=2三叵②當(dāng)△<()時(shí)，久=山還三垣

2a2a

(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為％=m+ni(m,nGR),

將此代入方程a/+bx+c=0(a^0),化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

【典例0(23-24高三下.西藏拉薩.階段練習(xí))已知z=l-i是方程22+2公-b=0(°]€2的根,則4+匕=()

A.-3B.-1C.2D.3

【典例2】(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測)(多選)已知句，z?為方程￡+2x+3=o的兩根，則()

1

A.\zi-z2|=2A/2B.-=一彳

1

TZ]z23

Z

C.\Z1\+\2\=243D.Zj—z2=Zj+z2

六、復(fù)數(shù)的三角表示

將復(fù)數(shù)z=a+歷(a,beR)化為三角形式z=r(cosd+is譏。)時(shí)，要注意以下兩點(diǎn)：

(1)r=y/a2+b2,

(2)cosd=sind-\其中8終邊所在象限與點(diǎn)(a,6)所在象限相同，

當(dāng)a=0,b>。時(shí)，argz=1

【注意】每一個(gè)不等于零的復(fù)數(shù)有唯一的模與輔角的主值，并且由它的模與輔角的主值唯一確定。因此，

兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)月僅當(dāng)它們的模與輔角的主值分別相等.

【典例1](23-24高三下?江蘇蘇州?階段練習(xí))(多選)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+歷(。，beR,i為虛數(shù)單位)

都可以表示成z=r(cos6+isin。)(r>0,6eR)的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)z的三角形式.法國數(shù)學(xué)家棣莫

弗發(fā)現(xiàn)：[r(cos0+isin=r"(cosnd+isinnO)(〃eN*),我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理，則下列說法正

確的有()

A.復(fù)數(shù)z=1-后的三角形式為z=2(cos]-isinT

232024

B.當(dāng)，=1,0=g時(shí)，z+Z+z+--+z=0

2

IT

C.當(dāng)廠=2,e=g?時(shí)，z3=—8

TT

D.當(dāng)/'=3,時(shí)，""為偶數(shù)”是“z"為純虛數(shù)”的充分不必要條件

【典例2】(2024.黑龍江哈爾濱.三模)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,6eR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為Z,設(shè)

r=|OZ|,6是以尤軸的非負(fù)半軸為始邊，以O(shè)Z所在的射線為終邊的角，則z=a+歷=r(cos6+isin。)，把

/?(cosd+isin。)叫做復(fù)數(shù)。+歷的三角形式，利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，

"(cose+isin。)]"=k(cos”e+isin“e)(〃eN*),例如：-1+且i]=(cos斑+isin0]=cos27t+isin27r=1,

3

(l+i)4=［血卜os：+isin："=4(cosn+isin7i)=-4,復(fù)數(shù)z滿足：z=1+i,則z可能取值為()

X笏史/錯(cuò)?聯(lián)券倉噓

易錯(cuò)點(diǎn)1忽視復(fù)數(shù)2=。+次是純虛數(shù)的充要條件

<2=0

點(diǎn)撥：對復(fù)數(shù)為純虛數(shù)理解不透徹，對于復(fù)數(shù)2=。+初為純虛數(shù)0,八，往往容易忽略虛部不等于0.

【典例1］（24-25高三上?湖南?開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)4=2-i,Z2=a+i（aeR）,若復(fù)數(shù)z「z?為純虛數(shù)，則實(shí)

數(shù)”的值為（）

A.--B.士C.-2D.2

22

【典例2］（23-24高三上?廣西.開學(xué)考試）已知i是虛數(shù)單位，若2=與%是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=（）

1-1

A.WB.--C.1D.--

222

易錯(cuò)點(diǎn)2錯(cuò)誤的理解復(fù)數(shù)比大小

a<c

點(diǎn)撥：兩個(gè)復(fù)數(shù)不能直接比大小，但如果。+方<c+成成立，等價(jià)于、,7

b=a=0

【典例1】（2024?遼寧?三模）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為（租,1）,若匕>-2,則實(shí)數(shù)的值為（）

A.0B.-1C.1D.1或-1

2

【典例2】（2024.湖南永州.三模）己知復(fù)數(shù)4=療一（病一5租+6）i,z2=10-（m,若馬7（W為z的

共朝復(fù)數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

易錯(cuò)點(diǎn)3錯(cuò)誤的慣性思維理解復(fù)數(shù)的模

點(diǎn)撥：對復(fù)數(shù)模長的理解錯(cuò)誤，復(fù)數(shù)的模長計(jì)算與實(shí)數(shù)不同，尤其要注意模長性質(zhì)的應(yīng)用.

【典例1】（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測）已知i是虛數(shù)單位，則二=（）

1-1

A.1B.2A/2C.2D.0

【典例2］（24-25高三上?山西大同?期末）（多選）已知復(fù)數(shù)472,下列說法正確的是（）

A.若㈤=憶|,則z；=z；B.上尼仁㈤閭

C.|21-Z2|<|Z1|+|Z2|D.|馬+22區(qū)團(tuán)+㈤

專題10復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧+易混易錯(cuò)）

維構(gòu)建?耀精向紿

復(fù)數(shù)的定義：形如a+bi（a,b￡R）的敷叫做復(fù)數(shù)

其中實(shí)部是a,虛獻(xiàn)b

詡(b=0))題型復(fù)數(shù)的基本概念及應(yīng)用

復(fù)數(shù)的分類01

K0知識點(diǎn)一復(fù)數(shù)的基本癡四（bw0）（a:0時(shí)為純虛數(shù)））題型02根據(jù)復(fù)數(shù)相等求參數(shù)

題型03復(fù)數(shù)的模長計(jì)算

題型04共匏復(fù)數(shù)及其應(yīng)用

1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念〉<共姬復(fù)數(shù)）

1■（復(fù)數(shù)的模）

復(fù)

數(shù)「:空酗盛］I：耍直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面

題型01復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)一對應(yīng)

及

O知識點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義；實(shí)軸與虛軸娜U做實(shí)軸，y軸叫做虛軸題型02復(fù)數(shù)與復(fù)平面向量——對應(yīng)

其題型03復(fù)數(shù)的模的幾何意義及應(yīng)用

蔓的幾何薪

應(yīng)

用.一._—,二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則一力口、減、乘、題型01復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

知識點(diǎn)三復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算題型02復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算

Y、__o_______:____________________，/?復(fù)數(shù)運(yùn)…算的幾二個(gè)重要~結(jié)-論-----

題型03復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

轆的定義

蔓的輻角T）八、

-----------輻角主值

T：。知識點(diǎn)四復(fù)數(shù)的三角形式題型01復(fù)數(shù)的代數(shù)式與三角式互化

一復(fù)數(shù)的三角旃C：亙cos0+isine）題型02復(fù)數(shù)三角形式乘除法運(yùn)算

復(fù)數(shù)的三角吩及運(yùn)氟―卜；贏的乘法霞：）題型03復(fù)數(shù)的新定義問題

復(fù)數(shù)的除法^

口識盤點(diǎn)?置翡非煤

知識點(diǎn)1復(fù)數(shù)的基本概念

1、復(fù)數(shù)的定義：形如。+歷3，6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是°,虛部是b.

2、復(fù)數(shù)的分類：

實(shí)數(shù)6=0,

復(fù)數(shù)z=a+歷

「純虛數(shù)a=0,

a,Z?￡R虛數(shù)厚（T

.非純虛數(shù)存0.

3、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

復(fù)數(shù)相等a+Z?i=c+diu^a=c且Z?=d(a,b,c,d￡R)

共粗復(fù)數(shù)a+Ai與c+di共輛0a=c且Z?=—d(a,b,c,d￡R)

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=〃+Z?i的模，記作|z|或|〃+歷

管粉的精

BP\z\=\a+bi\=r=yJa2+b2(r>0,a,b￡R)

知識點(diǎn)2復(fù)數(shù)的幾何意義

1、復(fù)平面的概念：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面;

2、實(shí)軸、虛軸：在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除原點(diǎn)以外，虛軸上

的點(diǎn)都表示純虛數(shù)；

3、復(fù)數(shù)的幾何表示：復(fù)數(shù)z="+bi?一一對應(yīng)》復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)zm，b卜..對應(yīng),平面向量無.

知識點(diǎn)3復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算

1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

設(shè)+歷，z2=c+di(a,b,c,d￡R),則

(1)zi+z2=(〃+Z?i)+(c+di)=(〃+c)+S+4/)i；

(2)zi-Z2=(〃+bi)—(c+di)=(?！猚)+(b—d)i；

(3)zi22=(〃+bi)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

Z1_a+bi_(a+bi)(c-di)ac+bdbe—ad八、

(4)

z2c+di(c+di)(c-di)

2、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾個(gè)重要結(jié)論

(1)|zi+z2|2+|zi—Z2|2=2(|Z1|2+|Z2|2).

(2)Z-z=|z|2=|ZI2.

(3)若z為虛數(shù)，貝”z|2先2.

(4)(1土i)2=±2i.

(5)i4"=l;i4"+l=i；i4"+2=—1；i4"+3=—i.

知識點(diǎn)4復(fù)數(shù)的三角形式

1、復(fù)數(shù)的輔角

(1)輔角的定義：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+6i的對應(yīng)向量為前，以X軸的非負(fù)半軸為始邊，向量被所在的射線(射

線。Z)為終邊的角。，叫做復(fù)數(shù)z的輔角.

(2)輔角的主值：根據(jù)輔角的定義及任意角的概念可知，任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)輔角有無限多個(gè)值，且這

些值相差2兀的整數(shù)倍.

規(guī)定：其中在0W8<2兀范圍內(nèi)的輔角8的值為輔角的主值，通常記作wgz.

【注意】因?yàn)閺?fù)數(shù)0對應(yīng)零向量，而零向量的方向是任意的，所以復(fù)數(shù)。的輔角是任意的.

2、復(fù)數(shù)的三角形式及運(yùn)算

(1)定義：任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成2=「(°05。+15譏8)的形式，其中r是復(fù)數(shù)的模，。是復(fù)數(shù)的輔角.

【注意】復(fù)數(shù)的三角形式必須滿足：模非負(fù)，角相同，余正弦，加號連.

(2)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示：已知Z]=r1(cos61+is譏。J,z2=r2(cos02+isin02),

則ZjZ]=r1r2[cos(01+02)+isin(%+02)]-

這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輔角等于各復(fù)數(shù)的輔角的和.

(3)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示：已知Z]=r1(cos31+isin%),z2=r2(cos02+isin%)

則迫=斐。s7+is譏黑=3_+is譏(88)].

z2r2(cos02+^in02)r2

這就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，

商的輔角等于被除數(shù)的輔角減去除數(shù)的輔角所得的差.

點(diǎn)突破?春分好?檢

重難點(diǎn)01與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

求復(fù)數(shù)模的范圍與最值問題的解題策略

(1)把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化、直觀化、熟悉化，即將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求

模的范圍與最值問題來解決；

(2)發(fā)掘問題的幾何意義，利用幾何圖形的直觀性來解答，把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解答；

(3)利用三角函數(shù)解決.

【典例1】(2024.山東煙臺.三模)若復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z-2-2i|,則忖的最小值為()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】若復(fù)數(shù)Z滿足|z|=|z-2-2i|,

則由復(fù)數(shù)的幾何意義可知復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)集是線段的垂直平分線，其中。(0,0),4(2,2),

111----------L

所以|z|的最小值為卜七亞后=&.故選：B.

【典例2】(2024?云南?二模)已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|,則|z-i|的最小值為()

A.3B.1C.-D.0

223

【答案】A

【解析】設(shè)z=x+”,(x,yeR),而|z—l|=|z+i|,^rUl(x-l)2+/=x2+(y+l)2,即y=-%

所以=擊2+(y_])2=Jx2+(-X-l)2=也/+2x+l=[[x+g[+^->,

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)y=-x=；,

綜上所述，|z-i|的最小值為孝.故選：A.

重難點(diǎn)02共飄復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)運(yùn)算的綜合問題

共軌復(fù)數(shù)問題的求解技巧：

1、若復(fù)數(shù)Z的代數(shù)式已知，則根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義，可以寫出I,再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

2、己知關(guān)于z和［的方程，而復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式位置，求解z.解決此類問題的常規(guī)思路是：設(shè)

z=a+bi（a,bGR）,則三=a-歷，代入所給等式，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解.

【典例1】（2024.福建泉州?一模）（多選）已知復(fù)數(shù)z滿足z=l-L,則（）

Z

A.z-z=lB.z2=zC.z+z=-lD.|z-z|=A/3

【答案】AD

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)Z=Q+歷,3/￡R）,可得z2=〃—/+21執(zhí)

因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z=l—,可得z?=z—1，貝!J4—〃+2aZ?i=a+bi—l,

z

可得a?一〃=a-i2ab=b，

由2Gh=Z?時(shí)，可得a=工或人=0,

2

當(dāng)。=：時(shí)，可得6=±迫，止匕時(shí)z」±^i；當(dāng)6=0時(shí)，方程/-“+1=0,無解;

2222

對于A中，當(dāng)z=1+@i,可得W=_L_1i,可得2i=1；

2222

當(dāng)Z=；-亭,可得馬+爭，可得Z-，所以A正確;

對于B中，當(dāng)2=工+走i,可得z2=-工+li,且［='—立3則z2Hl所以B不正確;

222222一一

對于C中’當(dāng)Z.+卓,可得。：一%可得Z+/1，所以c不正確;

對于D中，當(dāng)z」+走i,可得可得z-I=",則上一目=石；

222211

當(dāng)z」-巫i,可得也i,可得2-胃=一后，貝和一斗=若，所以D正確.故選：AD.

222211

【典例2］（23-24高三下?湖南婁底?階段練習(xí)）（多選）已知復(fù)數(shù)4/2的共輾復(fù)數(shù)分別為弓,三，下列結(jié)論正

確的是（）

A.若與為純虛數(shù)，則4+^=0

B.若z；+z；=0,則Z1=Z2=。

C.若［Z］—z?|=0,則4—z2=0

D.若|z-l|=|z+l|,則z在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線

【答案】ACD

【解析】對于A,設(shè)Z]=—bi,故4+4=。成立，故A正確，

對于B,設(shè)z1=i,z2=lf則滿足z；+z；=0,但4wZ2wO,故B錯(cuò)誤，

對于C,設(shè)4=〃+歷，z2=c+dx,則Z]=a-歷，z2=c-di,

22

故Zi—Z2=(〃—c)+3—d)i,IZj-z21=yl(a—c)+(b—d)=0,

解得Q=C,b=d,則4—Z2=(Q_c)+(d_/?)i=0,故C正確，

對于D,^z=x+yi,因?yàn)閨z_q=|z+l|,|z-l|=J(x-l)2+y2,

|z+l|=J(x+l)2+y2,所以J(x+l)2+y2=J(x—l)2+y2,

化簡得％=o,故z在復(fù)平而內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為直線，故D正確.故選：ACD.

法技巧?逆境學(xué)霸

一、復(fù)數(shù)的分類

對于復(fù)數(shù)。+歷，

（1）當(dāng)且僅當(dāng)6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)；

（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=6=0時(shí)，它是實(shí)數(shù)0；

（3）當(dāng)厚0時(shí)，叫做虛數(shù)；

（4）當(dāng)。=0且以0時(shí)，叫做純虛數(shù).

【典例1】（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足0+i）（l+i）=4,則復(fù)數(shù)z的虛部是（）

A.2B.-2C.3D.-3i

【答案】C

【解析】設(shè)2=口+歷，根據(jù)題意，可得（。一歷+i）（l+i）=4,

化簡為(a+b-l)+(a-"l)i=4,

a+b—1=4(1=2

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得,解得

a—b+l=Ob=3

所以z=2+3i,即復(fù)數(shù)z的虛部是3.故選：C

【典例2］（23-24高三上?甘肅慶陽?階段練習(xí)）（多選）下列各式的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)的是（）

A.z=i(l-i)2B.z=(l+i)2

8-6i

C.z=(l+i)(l+2i)(l+3i)D.z=-------

3+4i

【答案】AC

【解析】A項(xiàng)中，z=i(l-i)2=i(-2i)=-2i2=2,故A正確；

B項(xiàng)中，z=(l+i)?=2i,故B錯(cuò)誤；

C項(xiàng)中，z=(l+i)(l+2i)(l+3i)=(-l+3i)(l+3i)=-10,故C正確；

CT否rH8-6i(8-6i)(3—4i)—50i士.門希?口加、土入廠

D項(xiàng)中，z=-------=-----------------=------=-21,故D錯(cuò)厭.故選：AC.

3+4i2525

二、求復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式形式的兩種方法

1、直接法：將復(fù)數(shù)用已知復(fù)數(shù)式表示出來，利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)代數(shù)式；

2、待定系數(shù)法：將復(fù)數(shù)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)式，代入己知的等式中，利用復(fù)數(shù)相等的條件列出關(guān)于復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部的

方程（組），通過解方程（組）求出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部.

【典例1】（2024.新疆三模）復(fù)數(shù)z滿足|z+2i|=|z|,則z的虛部為（）

A.-iB.iC.-ID.1

【答案】C

【解析】設(shè)2=。+歷且,貝l]z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i,

因?yàn)閨z+2i|=|z|,所以/+g+2）2=片+心解得：b=_i,貝”的虛部為-1.故選：C

【典例2】（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z滿足忖=2,|z-2|=2,貝心+口（）

A.2垂>B.2C.-2D.-273

【答案】B

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)z=o+歷，a,b^R,

由|z-2|=|z|=2,得2）一=y/a2+b2=2,解得a=l,b=土百，

??-z=l±V3z，???z+z=2.故選：B.

三、復(fù)數(shù)的幾何意義

（1）任一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+歷（a,>GR）與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a,b）是——對應(yīng)的.

（2）一個(gè)復(fù)數(shù)2=。+歷（訪bGR）與復(fù)平面內(nèi)的向量下=（a,6）是---對應(yīng)的.

【典例1】(2024?四川自貢.三模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4，為對應(yīng)的向量分別是次=(-2,3),OB=(3,-2),

則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

Z1+Z?

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)Z-Z2對應(yīng)的向量分別是函=(-2,3),OB=(3,-2),

所以Z]=—2+3i,z2=3—2i,

所以Z23-2i(3-2i)(l.i)J5j

Z!+z2-2+3i+3-2i(l+i)(l-i)22，

所以復(fù)數(shù)一^對應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選：D

4+Z2122)

【典例2】(2024.安徽馬鞍山.三模)已知復(fù)數(shù)z滿足z與=2(z+彳)=4,若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不在第一象

限，則2=.

【答案】1-V3i

【解析】設(shè)z=〃+0i,a,0wR,則N=a-歷，

因?yàn)閦?三=2(z+z)=4,

z-~z=(a+bi)(a-bi\=a1+b2=4\a=\\a=\

則_/.、/…，解得廠或廠

2(z+z)=2[(Q+0i)+(Q-Z?i)]=4a=4\b=V3\b=-v3

又因?yàn)閆在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不在第一象限，可知b<0,

a—1

可知<，所以z=1-yfii-

b=-43

故答案為：

四、虛數(shù)單位i的乘方

計(jì)算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì)：

i1=i,i2=-1,i3=i-i2=—i,i4=i3i=—ii=L

從而對于任何〃GN+,都有i4,,+1=i4"-i=(i4),!-i=i>

同理可證i4”+2=—1,i4?+3=-i,i4?+4=l.

這就是說，如果"GN+,那么有i4"+l=i,i4"+2=_1,i4"+3=_j,i4#4=i.

由此可進(jìn)一步得(l+i>=2i,(1-i>=-2i,^4=-1,-i.

【典例1】(2024?湖北?二模)已知復(fù)數(shù)z=^(l+i),則22儂=()

A.1B.—1C.—iD.i

【答案】A

【解析】因?yàn)閦=.(l+i),所以z2=；(l+2i+i2)=i,

22

所以嚴(yán)=(z2r蟲產(chǎn)=1.故選：A

【典例2】(2024?河北三模)已知復(fù)數(shù)力滿足Z(i2023+i2期)=坪5,貝丘的共軟復(fù)數(shù)的虛部是()

【答案】D

［解析］由Z(i2023+i2024)=i2°25,可得Z@3+4*505+1+4x506)=產(chǎn)4x506,

j_i(l+i)-1+i

所以Z"i)=i,所以_1

l-i-(l-i)(l+i)22+2

_iii

所以z=所以！的共輾復(fù)數(shù)的虛部是[.故選：D.

五、復(fù)數(shù)方程的解

在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，實(shí)系數(shù)一元二次方程a/+法+c=0(a豐0)的求解方法：

(1)求根公式法：

①當(dāng)心。時(shí)，%=生理王②當(dāng)△<0時(shí)，%=]

2a2a

(2)利用復(fù)數(shù)相等的定義求解，設(shè)方程的根為％=TH+ne/?),

將此代入方程a%2+必+c=0(a。0),化簡后利用復(fù)數(shù)相等的定義求解.

【典例1](23-24高三下?西藏拉薩?階段練習(xí))已知z=l-i是方程z2+2az-b=0(〃S￡R)的根，則〃+b=(

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】A

【解析】由題意，得(l—i)2+2a(l—i)—6=0,即2a—人+(—2—