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專題05一元二次方程、分式方程的解法及應(yīng)用綜合過關(guān)檢測(cè)
(考試時(shí)間:90分鐘,試卷滿分:100分)
一、單選題(每小題2分,共6分)
1.關(guān)于x的方程(m-1)x2-2x-1=0是一元二次方程,則()
A.m>lB.m<lC.mrTD.mrl
【答案】D
【分析】根據(jù)只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進(jìn)行分析即可.
【詳解】由題意得:m-1#0,解得:“#4.
故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義,判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面:“化簡(jiǎn)
后”;“一個(gè)未知數(shù)”;“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”;“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0";“整式方程”.
2.按如圖所示的運(yùn)算程序,若輸出的V=9,則輸入的X值為()
A.3B.-3C.5D.-5
【答案】D
【分析】分當(dāng)x>2時(shí)和當(dāng)爛2時(shí),兩種情況計(jì)算,結(jié)合所得的結(jié)果即可選出正確選項(xiàng).
2
【詳解】解:當(dāng)x>2時(shí),9=%-7,解得網(wǎng)=4,x2=-4(舍去),
當(dāng)爛2時(shí),9=21.r|-1,解得退=-5,%=5(舍去),
故輸入的x的值可能為4或-5,符合題意的為D,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查與程序有關(guān)的實(shí)數(shù)計(jì)算,解一元二次方程等.能分類討論是解題關(guān)鍵.
3.“鳳鳴”文學(xué)社在學(xué)校舉行的圖書共享儀式上互贈(zèng)圖書,每個(gè)同學(xué)都把自己的圖書向本組其他成員贈(zèng)送一
本,某組共互贈(zèng)了210本圖書,如果設(shè)該組共有無名同學(xué),那么依題意,可列出的方程是()
A.x(x+l)=210B.x(x-l)=210
C.1)=210D.12x(x-l)=210
【答案】B
【分析】設(shè)該組共有1名同學(xué),依題意,每位同學(xué)送出(1-1)本書,進(jìn)而列出方程,即可求解.
【詳解】設(shè)該組共有1名同學(xué),那么依題意,可列出的方程是1)=210,
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.
二、填空題(每小題3分,共18分)
4.設(shè)加、〃是一元二次方程Y+2%—5=0的兩個(gè)根,貝U川+3m+〃=.
【答案】3
【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2+2m-5=0,貝!|m2=-2m+5,代入m2+3m+n得至!jm+n+5,然
后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=-2,再利用整體代入的方法計(jì)算.
【詳解】是一元二次方程x2+2x-5=0的根,
.*.m2+2m-5=0,BPm2=-2m+5,
m2+3m+n=-2m+5+3m+n
=m+n+5,
n為方程x2+2x-5=0的兩個(gè)根,
/.m+n=-2,
m2+3m+n=-2+5=3.
故答案是:3.
【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(aWO)的根與系數(shù)的關(guān)系:若方程的兩根為x“曲,
則XI+X2=-2,X,?X2=-.也考查了一元二次方程的解.
aa
5.已矢口a2+5。=-2,b2+5Z?=-2,貝lja+b的值二.
【答案】-5或-5±而
【分析】依題意解%2+5%=一2后,分a=b與J>進(jìn)行討論即可.
【詳解】解:依題意得a,b是方程d+5x=_2的解,
-5+V17-5-V17
解%2+5%=-2得:X]―,*2
2
當(dāng)a=b=*便
時(shí),a+b=-5+V17,
2
三叵時(shí),a+b=-5-Vi7,
當(dāng)a=b=
也i人口汁?k-5+—5—A/T7
當(dāng)a】Z?時(shí),a+b=-----------+------------=—5,
22
故答案為:-5或-5土折7.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的問題,掌握一元二次方程的解以及分類討論是解題的關(guān)鍵.
6.已知x=根是關(guān)手尤的一元二次方程N(yùn)+3x-1=0的根,則一且二=.
l-3m
【答案】-4;
【分析】把x=m代入已知方程,得到m2=l-3m,整體代入所求的代數(shù)式進(jìn)行求值即可.
【詳解】解:把x=m代入X2+3X-1=0,得m2+3m-l=0.
所以m2=l-3m.
.4;7?24m2
所以h------=—「-=-4
1-3mm"
故答案是:-4.
【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的解,能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又
因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根,所以,一元二次方程的解也稱為一元二次方程的
根.
7.若根是關(guān)于尤的方程N(yùn)-2元-1=0的解,則代數(shù)式6m-3/+2的值是.
【答案】-1
【分析】把機(jī)代入方程,整體求值即可.
【詳解】解:機(jī)是關(guān)于龍的方程N(yùn)-2元-1=0的解,
則m2-21n-1=0,即nr-2m—
-3nr+6m=-3,
6m-3源+2=-3+2=-1,
故答案為:-1.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解和代數(shù)式求值,解題關(guān)鍵是明確一元二次方程解的意義,樹立整體
思想,代入求值.
8.已知七,%是方程4/一5x+l=0的兩個(gè)根,則代數(shù)式1的值是.
【答案】5
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出演+々=-2=:,不多=£=:,再將^+工化為"三即
Q4CL4玉々玉馬
可求解.
【詳解】解::毛,巧是方程4/一5x+l=0的兩個(gè)根,
.b5c1
??%+%2=——,-=—,
a4a4
5
...111=x+w
%x2x1x2j_
一4
故答案為:5.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系,解題的的關(guān)鍵是掌握一元二次方程
%
辦2+/?x+c=O(QW0)根與系數(shù)關(guān)系:x1+x2=----,項(xiàng),2=一.
aa
9.已知方程2@-1)(%-3")=%(加-4)兩根的和與兩根的積相等,則心=.
【答案】2
【分析】先將方程整理成一般形式:2/+(2-7加卜+6血=0,再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)
2—11TL
于m的方程———=3m,解方程求出m.
【詳解】解:2(x-l)(x-3m)=x(m-4),
2x2+(2-7/n)x+6m=0,
由題意,得-2上—7產(chǎn)1Tl=3m,
解得"2=2.
故答案為:2.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是注意掌握一元二次方程的兩根毛、演之
間的關(guān)系.
三、解答題(10-12題每題7分,13-15每題8分,16題10分)
4+4'
10.先化簡(jiǎn)再求值:———1+(〃-2),其中a是方程1+2°一9=0的根.
a-414a}
1
【答案】
a2+2。9
【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的減法,再把除法化為乘法運(yùn)算,約分后可得結(jié)果,再把〃+2a-9=0化為
/_2a=9,再整體代入計(jì)算即可.
【詳解】解:百4?總一41A十一2)
_4a21
(a+2)(a—2)4。a—2
_4(tz-2)21
(〃+2)(〃-2)4〃a-2
1
Q(〃+2)
1
=-7,
a+2〃
,?*a2+2a—9=0,
??a?+2a=9,
二.原式=:.
11.已知關(guān)于x的方程—+(無一l)x-4=0.
(1)若該方程有一個(gè)根是-1,求女的值;
(2)求證:該方程一定有實(shí)數(shù)根;
(3)若該方程的根是兩個(gè)連續(xù)整數(shù),求上的值.
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值,一元二次方程的解的含義,掌握“分式的混合運(yùn)算以及整體代入法
求值”是解本題的關(guān)鍵.
【答案】(1)k=l;(2)證明見解析;(3)上?;?2
【分析】(1)將A-1代入方程中,解出左的值即可;
(2)根據(jù)一元二次方程根的判別式即可得出結(jié)論;
(3)先求出一元二方程的兩根,即可得出人的值.
【詳解】解:(1)該方程有一個(gè)根是-1,
代入x=-l,得:
(-l)2+(^-l)x(-l)-^=0
一2左+2=0
k=l;
(2)證明:
=k2+2k+\
=(Jt+l)2>0,
??.該方程一定有實(shí)數(shù)根;
(3)解方程:
x2+(k-l)x-k=O
(x+k)(x-l)=O
西=-k,x2=1,
■該方程的根是兩個(gè)連續(xù)整數(shù),
—k-0或一左=2,
解得仁0或-2.
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的根的判別式和解一元二次方程,熟記一元二次方程的求解方法和
根的判別式是解本題的關(guān)鍵.
12.揚(yáng)州一農(nóng)場(chǎng)去年種植水稻10畝,總產(chǎn)量為6000kg,今年該農(nóng)場(chǎng)擴(kuò)大了種植面積,并且引進(jìn)新品種“超
級(jí)水稻”,使總產(chǎn)量增加到18000kg,己知種植面積的增長(zhǎng)率是平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率的2倍,求平均畝產(chǎn)量
的增長(zhǎng)率.
【答案】50%
【分析】設(shè)平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為無,則種植面積的增長(zhǎng)率是2x,根據(jù)總產(chǎn)量=種植面積x平均畝產(chǎn)量即可
得出關(guān)于尤的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論.
【詳解】解:設(shè)平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為x,則種植面積的增長(zhǎng)率是2x,
根據(jù)題意得:10x(l+2x)x6:;。x(1+x)=18000,
解得:x/=50%,x2=-200%(舍去).
答:平均畝產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為50%
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵.
13.“一碗面,一座城”!中江掛面在2022年全國(guó)魅力城市PK中,作為德陽市的一張名片登上中央電視臺(tái),
為“德陽魅力城”的晉升立下了汗馬功勞,為發(fā)展中江經(jīng)濟(jì),縣政府決定在2021年底生產(chǎn)100噸掛面的基礎(chǔ)
上繼續(xù)擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,到2023年底產(chǎn)量達(dá)到169噸.
(1)求中江掛面這兩年產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率;
(2)若按此速度繼續(xù)擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模,請(qǐng)你計(jì)算到2023年底時(shí),中江掛面的產(chǎn)量將達(dá)到多少噸?每噸掛面可盈
利6千元,則2023年僅掛面一項(xiàng),能為中江賺多少錢?
【答案】(1)30%
(2)1318200元
【分析】(1)設(shè)這兩年產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為羽根據(jù)題意,得100(1+*)2=169,解方程即可.
(2)根據(jù)平均增長(zhǎng)率,求得2023年掛面的產(chǎn)量,乘以單價(jià)即可.
【詳解】(1)設(shè)這兩年產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為X,
根據(jù)題意,得100(1+X)2=169,
解得%=。3=30%,%=-2.3(舍去),
答:中江掛面這兩年產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率30%.
(2)169(1+30%)=219.7(噸),
219.7x6000=1318200(元),
答:2023年僅掛面一項(xiàng),能為中江賺1318200元.
【點(diǎn)睛】本題考查了平均增長(zhǎng)率問題,正確列方程并熟練解答是解題的關(guān)鍵.
14.某地2021年為做好“精準(zhǔn)扶貧”,投入資金500萬元用于異地安置,并規(guī)劃投入資金逐年增加,2023年
達(dá)到720萬元.
(1)從2021年到2023年,該地投入異地安置資金的年平均增長(zhǎng)率為多少?
(2)如果保持增長(zhǎng)率不變,請(qǐng)你估計(jì)2023年投入資金能否突破1000萬元?
【答案】(1)20%;(2)能突破1000萬元.
【分析】(1)設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)2021年和2023年該地投入異地安置的資金,即可得出關(guān)于x的一
元二次方程,解之取其正值即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)年平均增長(zhǎng)率,計(jì)算出2023年的投入資金,與1000萬元作比較即可.
【詳解】解:(1)設(shè)年平均增長(zhǎng)率是4
由題意得:500(1+x)2=720,
解得:演=0.2=20%,%2=-2.2(舍去),
答:年平均增長(zhǎng)率是20%;
(2)估計(jì)2023年投入資金為:
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