吉林省白山市2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次模擬考試（含解析）

2024年白山市高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1.設(shè)集合人=卜|丁=7^},B=七Wo},則A3=（）

A.（2,4）B.[2,4）C.（2,4]D.0

2.復(fù)數(shù)z=/+2z2+3『，則z的虛部為（）

A.2iB.-2iC.2D.-2

3.已知。=（一2,2）,&=（3,1）,若a在向量力上的投影為c，則向量°=（）

唱9B,聯(lián)）c-H,4）

4.2023年12月初，某校開(kāi)展憲法宣傳日活動(dòng)，邀請(qǐng)了法制專家楊教授為廣大師生做《大力弘揚(yáng)憲法精神，建

設(shè)社會(huì)主義法制文化》的法制報(bào)告，報(bào)告后楊教授與四名男生、兩名女生站成一排合影留念，要求楊教授必須

站中間，他的兩側(cè)均為兩男1女，則總的站排方法共有（）

A.300B.432C.600D.864

5."-lWb<l"是"方程有唯一實(shí)根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

6.權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)。，

b,x,y，滿足土+之三（a+b），當(dāng)且僅當(dāng)3=2時(shí)，等號(hào)成立,則函數(shù)=3+（0<x<R

xyx+yxyxl-3x13）

的最小值為（）

A.16B.25C.36D.49

7.正八面體可由連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成，如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正八面體中，則有（）

A.直線AE與CT是異面直線B.平面ABF±平面ABE

C.該幾何體的體積為D.平面ABE與平面DCF間的距離為----

33

8.不與坐標(biāo)軸垂直的直線/過(guò)點(diǎn)N（5,0）,x°wO，橢圓。：；+方=1（?！??！?）上存在兩點(diǎn)A,8關(guān)于/

對(duì)稱，線段的中點(diǎn)/的坐標(biāo)為（4%）.若％=2/，則。的離心率為（）

A/3106

A.---B.-C.---D.---

3222

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)

的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.2023年10月3日第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)跳水女子10米跳臺(tái)迎來(lái)決賽，最終全紅嬋以總分438.20分奪冠.已知

她在某輪跳水比賽中七名裁判給的成績(jī)互不相等，記為茗[=1,2,3,4,5,6,7）,平均數(shù)為最,方差為根.若7

個(gè)成績(jī)中，去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分，剩余5個(gè)成績(jī)的平均值為y,方差為〃，則（）

A.y一定大于xB.y可能等于xC.機(jī)一定大于〃D.旭可能等于〃

515

10.公差不為零的等差數(shù)列｛q｝滿足同=?8，S-----=2，則（）

k=iakak+\96

A.%=0B.d=+4C.ax=24D.S15=60

11.已知函數(shù)"X）=2sin（0X+e）（0〉0,0<e<彳］的相鄰兩對(duì)稱軸的之間的距離為￡,函數(shù)/x+￡

為偶函數(shù)，則（）

71

A.0=一

6

B.-0為其一個(gè)對(duì)稱中心

rr

C.若〃龍）在（—a,a）單調(diào)遞增，則0<aW'

1rr

D.曲線y=/（x）與直線丁=5工+彳有7個(gè)交點(diǎn)

12.已知拋物線C:V=6x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線I交拋物線于A、8兩點(diǎn)，若人為C的準(zhǔn)線上任意一

點(diǎn)，則（）

jr

A.直線若AB的斜率為百，則\AB\=16B.Z4MB的取值范圍為0,-

2

273

C.OAOB=——D.NAC歸的余弦有最小值為-《

4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

5+sin10。

13.化簡(jiǎn)

3-cos250°

14.已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于45,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.

15.在四面體A—5CD中，BC=2?,BD=2逐，且滿足BCLBD,AC±BC,AD,50.若該三棱

錐的體積為半，則該錐體的外接球的體積為.

16.已知函數(shù)了(%)的定義域?yàn)镽,S.f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),/(l)=1,請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一

個(gè)/(尤)=(答案不唯一)，/(2024)=.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)已知等比數(shù)列｛4｝滿足q=2,且%+%=20.

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足b“=nq,｛bn｝其前，項(xiàng)和記為S“，求S”.

18.(12分)在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知a=bcosC-*csinB.

(1)求角B；

(2)過(guò)6作應(yīng)＞，班，交線段AC于。，且AO=2DC，求角C.

19.(12分)如圖所示，在矩形A3C。中，AB=3,AD=2,DE=2EC,。為AE的中點(diǎn)，以AE為折

痕將向上折至D-AE-B為直二面角.

(1)求證：DOLBC；

(2)求平面D鉆與平面。CE所成的銳角的余弦值.

20.(12分)俗話說(shuō)："人配衣服，馬配鞍”.合理的穿搭會(huì)讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺(jué).張老師

準(zhǔn)備參加某大型活動(dòng)，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍

數(shù)，則稱為“完美投擲"，出現(xiàn)"完美投擲"，則記4=1；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為"不完美

投擲"，出現(xiàn)"不完美投擲"，則記4=0；若J=1,則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色.每種顏色的衣物包括西裝和

33

休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為g,而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為而.

(1)求出隨機(jī)變量J的分布列，并求出期望及方差；

(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率.

22

21.(12分)已知A,8分別為雙曲線E:左-卓=1(。,10)的左、右頂點(diǎn)，河為雙曲線E上異于A、B

的任意「點(diǎn)，直線回、處斜率乘積為:焦距為2"

(1)求雙曲線￡的方程；

(2)設(shè)過(guò)T(4,0)的直線與雙曲線交于C，。兩點(diǎn)(C,。不與A,6重合)，記直線AC,8。的斜率為

鼠，鼠，證明：為定值.

k2

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx—依+1(左為常數(shù))，函數(shù)g(x)=aJT^+b.

(1)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)上的取值的范圍；

(2)當(dāng)左=0,設(shè)函數(shù)/2(x)=g(x)-〃x),若/z(x)在［e］］上有零點(diǎn)，求/+廿的最小值.

2024年第一次高三模擬考試

數(shù)學(xué)監(jiān)測(cè)試卷答案

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.答案：B【詳解】■,A=[2,4W）,B=[0,4）,/.Ai3=[2,4）；故選B

2.答案：D【詳解】、二一？—2,，工的虛部為—2；故選D.

3.答案：D【詳解】?.?°=普二=一（3,1）=（—?|，—];故選D

\b\\b\5'，I5

4.答案：B【詳解】總的方法數(shù)為N=上年&段看看二432；故選B

5.答案：A【詳解】方程=x+b有唯一解，即直線y=x+b與上半圓y=兇二百有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

解得〃的取值范圍為[-1,1）,{0},

二-1W6<1是方程=有唯一解的充分不必要條件；故選A.

6.答案：D【詳解】因?yàn)椤?b,x,y，則三+匕洋（"+"），當(dāng)且僅當(dāng)3=2時(shí)等號(hào)成立，又0<x<!，

xyx+yxy3

3242（3+4『141

即1—3x>0,于是得/（。=丁+「1三°I、=49,當(dāng)且僅當(dāng)一=丁一1,即％=—時(shí)取,

'）3xl-3x3x+（l-3x）xl-3x7

所以函數(shù)的/（%）=-+T-[0<x<與最小值為49.

xl-3x<3）

7.答案：D【詳解】/A,E,C,廠四點(diǎn)共面，直線AE與CF是共面的；，A錯(cuò)

取中點(diǎn)G,連接EG、FG,則/EGF為二面角石—A3—尸的平面角，

其余弦值為；8錯(cuò)

V=-X4X2A/2=-V2;r.C錯(cuò)

23

連接AC、8。設(shè)交于。，則O-ABE為正三棱錐，其底邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為點(diǎn),所以。到平面ABE的距

離手,所求平面ABE與平面間的距離為半；D正確

E

8.答案：C【詳解】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓。中，kk=~—,又桃”=T，

0MABa

■.kOM=耳■勺即又=土，又x=2%,.?.與=《，所以所求離心率為坐;故選C.

aX]a'%；-x0a~22

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)誤答案得0分)

9.答案：BC【詳解】七個(gè)數(shù)據(jù)，去掉最高和最低，對(duì)平均值可能沒(méi)有影響，但數(shù)據(jù)更加集中于平均值，所以

方差變小.

10.答案：AD【詳解】由同=為得，4+4=0，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知%=。，又小>0，?">。

巾61_5if15_5_5_5,.

普以/+196a6Jaxa6\an-6t7)(<27-d)6d96

所以，5=15/=15(%+d)=60；故選:AD.

rr

11.答案：ACD【詳解】由題意7=萬(wàn)，故G=2,又y=/(x)的圖象向左平移(個(gè)單位得到

JTJTJT"TT

y=2sin12%+0+"所以；+夕=左乃+彳(keZ),S.0<(p<-,,所以A正確；

3226

因?yàn)?(%)=2sinf2%+看

令一工+2左乃W2%+2W2+2左》=-2+左；rWxW工+左〃，keZ，故易知/(%)在一工二單調(diào)遞

26236I36J

77

增，故0<〃或二，C正確；

6

直線y=；x+或與曲線y=/(x)均過(guò)點(diǎn)，且該直線與曲線y=/(x)均關(guān)于該點(diǎn)中心對(duì)稱，

當(dāng)x=?7TT時(shí)，y=—STF<2，當(dāng)X=*1377時(shí)，y=TQTT>2，由對(duì)稱性可知曲線y=〃x)與直線y=71X+W77

6868224

有7個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選：ABD.

12.答案：BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)的傾斜角為。，則ABug7ng；故八錯(cuò)

sirr0

對(duì)于B選項(xiàng)，：以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，點(diǎn)/在以為直徑的圓上或圓外，

TT

:.ZAMB^-,當(dāng)/在直線AB上時(shí)，,NAMB=O;故B正確

2

對(duì)于c選項(xiàng)，設(shè)A(XQI),8(%，%)，OAOB=Xi%+%%=!yfyl+%%，

36

3

3x—ty——.27

i§.AB;x=ty+—，聯(lián)立<2，易得％%=-9，二。4?。5=-三，故C正確

/=6x*

_27_27

對(duì)于D選項(xiàng)，cosZAOB=卜產(chǎn)==4

網(wǎng)國(guó)GF)尸引,8喘+?(…)

_27

3

又%+%=6，,cosZAOB=j4------三一一；故D正確.

J8Lx—+81?25

V16

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.答案：2

5+sin1005+sin1005+sin1005+sin10°

2===

1洋角牛13-cos50°a1+cos100°5cos100°5+sin10°

2222

-21

14.答案：—

2

Cl_21

【詳解】-y+C；=45,解得〃=9,常數(shù)項(xiàng)為4（&丫

1~一萬(wàn)

15.答案:367r

【詳解】將四面體A-5co放在長(zhǎng)方體中，根據(jù)錐體的體積，易求得，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為2若，2后和

4,所以四面體外接球的直徑為6，體積為36%.

【詳解】令x=y=0，貝t|r(0)=2/(0)，解得"0)=2或/'(0)=0,

若/(0)=0,令無(wú)=1,y=0,則2/(1)=/(1)/(。)=0,即/(1)=0與已知矛盾

?1(0)=2,令x=0,則〃y)+/(—y)=2〃y),「"(x)為偶函數(shù)

令y=l,則/(x+l)+/(x-l)=f(x),可推出，〃龍)以6為周期

結(jié)合以上特征，找到滿足條件的一個(gè)函數(shù)為/（x）=2cos§x,結(jié)合”龍）以6為周期，則

/（2024）=/（2）=-1,

四、解答題：本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知，得/+q—10=0（*）

易觀察，2是（*）方程的一個(gè)根，—2）（/+2q+5）=0

n

：q=2又q=2,:.an-2.

(2)由(1)知，bn=n,2〃

2

.-.sn=1x2'+2X2++〃X2"(1)

23

2Sn=1X2+2X2++〃x2"i(2)

(1)-(2)得，—S.=1x21+1x2?+1x2n-nx2n+1-(1-n)2n+1-2

+1

Sn=(n-l)2"+2

18.解：(1)由正弦定理得:sinA=cosCsinBsinCsinB.

「A=?—(JB+C),..sinA=sin(jB+C)

/.sin(5+C)=sinBcosC+cosBsinC=cosCsinB-^-sinCsinB

百

/.cosBsinC=------sinCsinB,

3

i—

又sinCwO，,tan3=—j3,又A為三角形內(nèi)角，,A=《-.

2-1-.

(2)因?yàn)?。在AC邊上，且AD=2OC,^BD=-BC+-BA.

因?yàn)檠?所以3。3=00］；癡+：5。)癡=0=癡2+23。3=0,

所以c~=acnc=a.

(1)證明：由已知=D石=2,且。為線段AE的中點(diǎn)，二。。，AE

又平面ZME_L平面AECB,且平面DAE平面A￡CB=AE,DOu平面ZME1

..00_L平面AECB,又3Cu平面A￡CB,.DOLBC.

（2）設(shè)廠為線段AB上靠近A的三等分點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)，

由已知OF_LOG,又。平面AECB

DOLOF,OD±OG,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF,OG,8所在直線分別為x,y,2軸建立如圖所示坐標(biāo)系

.DA=2,AB=3,.'.A（l,-l,0）,3（1,2,0）,。（0,0,后）,￡（-1,1,0）,C（-l,2,0）

/.AB=（0,3,0）,3D=（-1,-2,0）,EC=（0,1,0）,DC=應(yīng)）

設(shè)平面AD5的法向量為加=（%,%,zj,

AB-m=03%=0

則,即

DB-m=0_再_2必+A/^Z]—0

不妨令4=0,則機(jī)=（2,0,0）

同理，平面。CE的法向量

〃=（2,0,一q,cos=

3

所以平面DAB與平面DCE所成的銳角的余弦值為1.

20.解：（1）隨機(jī)變量4的取值為0,1

P（^=0）=—=-,P（^=l）=—=-

v7363v7363

所以占的分布列為：

01

21

P

3

7ii

E（^）=0x-+lx-=-.

。⑷mw+1°一3X|=I

（2）設(shè)A表示深色，則了表示穿淺色，8表示穿西裝，則萬(wàn)表示穿休閑裝.

根據(jù)題意，穿深色衣物的概率為P（A）=g,則穿淺色衣物的概率為P（N）=g,

穿深色西裝的概率為P（B|A）=0.6=|，穿淺色西裝的概率為。（8區(qū)）=鼻,

則當(dāng)天穿西裝的概率為P（8）=P（8|A）P（A）+P僅同網(wǎng)可=gx*x.

2

所以張老師當(dāng)天穿西裝的概率為j.

21.解：（1）設(shè)/（%,%），A（-a,0）,B（a,0）,

一石就17火片一）

,~a2~Tb2~L，一>0—a2'

b2（x；-a2）

.k_k；-%-a?:護(hù)「

''^MA^MB222

xQ+axQ-axQ-aa

又?.?焦距為26，可得2c=26，則。2=7,

結(jié)合a2+b2=c2,tz2=4,b2=3