專項(xiàng)23三角形的內(nèi)心與外心（原卷版）

專項(xiàng)23三角形的內(nèi)心與外心考點(diǎn)1三角形的內(nèi)心（1）三角形的內(nèi)切圓：在三角形內(nèi)部且與三角形三邊都相切的圓；（2）三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心，實(shí)質(zhì)是三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)；【解題技巧】（3）見到三角形的內(nèi)心就想以下兩點(diǎn)：①角平分線：內(nèi)心與頂點(diǎn)的連線必然平分三角形的內(nèi)角.如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，連接AO、BO、CO，必有AO平分∠CAB，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB②等距：內(nèi)心到三角形三邊的距離必定相等.如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作三邊的垂線，必有OD=OE=OF.注意：內(nèi)切圓及有關(guān)計(jì)算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r=。BOAD（3）S△ABC=BOAD（4）弦切角：角的頂點(diǎn)在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。如圖，BC切⊙O于點(diǎn)B，AB為弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。C考點(diǎn)2三角形的外心（1）三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓，這個(gè)圓叫作三角形的外接圓；（2）三角形的外心：三角形外接圓的圓心，實(shí)質(zhì)是三角形的三條邊的垂直平分線交點(diǎn)；【解題技巧】（3）見到三角形的外心就想以下兩點(diǎn)：①垂直平分線：外心到三角形三邊的垂線必然平分三條邊.如圖，點(diǎn)P為△ABC的外心，若PD⊥AC，PE⊥BC，必有AD=CD，BE=CE.②等距：外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離必然相等.如圖，點(diǎn)P為△ABC的外心，連接PA、PB、PC，必有PA=PB=PC.（4）與三角形外心有關(guān)的角度問題：①外心在三角形的內(nèi)部三角形為銳角三角形三個(gè)角都小于90°②外心在三角形的邊上三角形為直角三角形有一個(gè)角為90°；③外心在三角形的外部三角形為鈍角三角形有一個(gè)角大于90°.【考點(diǎn)1三角形的內(nèi)心】【典例1】（2022?河池模擬）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，AB＝14，BC＝13，CA＝9，則AD的長(zhǎng)是（）A．3.5 B．4 C．4.5 D．5【變式11】（2022?五華區(qū)校級(jí)三模）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．已知△ABC的周長(zhǎng)為36，AB＝9，BC＝14，則AF的長(zhǎng)為（）A．4 B．5 C．9 D．13【典例2】（2019秋?江岸區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D、E、F．若AD＝10，BC＝5，則OB的長(zhǎng)為（）A．4 B． C． D．【變式21】（2021秋?南丹縣期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O分別與AB，AC，BC相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，則⊙O的半徑等于．【變式22】（2021秋?南開區(qū)期末）圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，三個(gè)切點(diǎn)分別為D、E、F，若BF＝2，AF＝3，則△ABC的面積是．【典例3】（2019秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線分別交AB、AC于D、E兩點(diǎn)，若△ABC的周長(zhǎng)與△ADE的周長(zhǎng)的差等于12，則BC的長(zhǎng)為（）A．12 B．10 C．8 D．6【變式31】（2021秋?陵城區(qū)期末）如圖，△ABC周長(zhǎng)為20cm，BC＝6cm，圓O是△ABC的內(nèi)切圓，圓O的切線MN與AB、CA相交于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長(zhǎng)為（）A．14cm B．8cm C．7cm D．9cm【變式32】（2022春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC是一張周長(zhǎng)為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長(zhǎng)為．【典例4】（2022?黃石模擬）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是步．【變式6】（2022?石家莊模擬）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是20，點(diǎn)O為三角形內(nèi)心，連接OB、OC，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝3，則△ABC的面積是（）A．20 B．25 C．30 D．35【典例7】（2022?海曙區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖所示，已知⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是內(nèi)心，若∠A＝28°，則∠BIC等于（）A．100° B．104° C．105° D．114°【變式71】（2021秋?大余縣期末）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若∠A＝70°，則∠BOC＝（）A．125° B．115° C．100° D．130°【變式72】（2020秋?曲靖期末）如圖，△ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC、AC、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，若∠B＝65°，∠C＝75°，則∠EDF的度數(shù)是（）A．65° B．140° C．55° D．70°【考點(diǎn)2三角形的外心】【典例8】（2022?沈陽(yáng)模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝45°，AB＝6，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A． B．2 C．3 D．4【變式81】（2022?東營(yíng)模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠A＝α，AB為∠OBC的角平分線，則∠BCA等于（）A． B． C． D．【變式82】（2022?瓜州縣校級(jí)模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝110°．AB＝BC，AD是⊙O的直徑．則∠DAB的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．65° D．70°【典例9】（2022?邵陽(yáng)）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB＝3，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．【變式91】（2022?懷寧縣模擬）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠B＝60°，OP⊥AC于點(diǎn)P，，則⊙O的直徑為（）A． B． C．6 D．12【變式92】（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【典例10】（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【變式10】（2021秋?鹽都區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，4）、（5，4）、（1、﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）1．（2021秋?鄞州區(qū)期末）直角三角形的外接圓半徑為3，內(nèi)切圓半徑為1，則該直角三角形的周長(zhǎng)是（）A．12 B．14 C．16 D．182．（2021秋?蘭山區(qū)期末）等邊三角形的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑和高的比為（）A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：23．（2022?新洲區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，∠A＝60°，OB＝2，OC＝4，則△OBC的面積是（）A． B． C．2 D．44．（2022?梧州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取點(diǎn)D（不與點(diǎn)A，B重合），連接BD，AD，則∠BAD+∠ABD的度數(shù)是（）A．60° B．62° C．72° D．73°5．（2022?衢州一模）如圖，BD是△ABC外接圓的直徑，BE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD．若∠ABE＝40°，則∠CBD的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°6．（2022?寧津縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸正半軸上，⊙D經(jīng)過A，B，O，C四點(diǎn)，∠ACO＝120°，AB＝4，則圓心點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．7．（2022?龍崗區(qū)模擬）如圖，△BCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交?O于點(diǎn)A，連接AC，則∠OAC的度數(shù)為（）A．40° B．55° C．70° D．110°8．（2022?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，⊙O為△ABC的外接圓，且AB為⊙O的直徑，若OC＝AC＝5，則BC長(zhǎng)為（）A．10 B．9 C．8 D．59．（2022?云南模擬）如圖，等邊△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑．若OA＝3，則劣弧BD的長(zhǎng)是（）A． B．π C． D．2π10．（2021秋?長(zhǎng)樂區(qū)期末）在《九章算術(shù)》卷九中記載了一個(gè)問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如圖，今有直角三角形勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問該直角三角形能容納的圓（內(nèi)切圓）的直徑是多少步？”根據(jù)題意，該內(nèi)切圓的直徑為步．11．（2022?溫州模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O是它的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA分別切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若∠ACB＝40°，則∠DOE＝．12．（2022?常州）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形．若∠ABC＝45°，AC＝，則⊙O的半徑是．13．（2022?玉林）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O，A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，點(diǎn)O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來．14．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm．C為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB＝60°，則AB的長(zhǎng)為cm．15．（2022?玉林模擬）如圖