專題2.4輔助圓定點定長（隱圓壓軸一）

專題2.4輔助圓定點定長模型一：定點定長作圓點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。模型二：點圓最值已知平面內(nèi)一定點D和O，點E是O上一動點，設(shè)點O與點D之間距離為d，O半徑為r.位置關(guān)系點D在O內(nèi)點D在O上點D在O外圖示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此時點E的位置連接DO并延長交O于點E

DE的最小值r－d0d－r此時點E的位置連接OD并延長交O于點E點E與點D重合連接OD交O于點E【典例1】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠CAD＝2∠BAC，若∠BCD＝105°，則∠BDC＝．版權(quán)所有【解答】解：以A為圓心，AB為半徑畫圓，∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，∵∠CAD＝2∠BAC，∴∠CBD＝2∠BDC，∵∠CBD+∠BDC+∠BCD＝180°，∴3∠CBD+105°＝180°，∴∠CBD＝25°．故答案為：25°．【變式11】如圖，在四邊形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，AB＝AC＝AD，請畫出滿足條件時點C的軌跡．【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴點C在以A為圓心，AB為半徑的圓上運動，∵四邊形ABCD中，90°＜∠BAD＜180°，∴點C的運動軌跡為（不與B、D重合）．【變式12】如圖，四邊形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠CAD＝76°，則∠CBD＝度．【答案】38【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴點B，C，D可以看成是以點A為圓心，AB為半徑的圓上的三個點，∴∠CBD是弧CD對的圓周角，∠CAD是弧CD對的圓心角；∵∠CAD＝76°，∴∠CBD＝∠CAD＝×76°＝38°．【典例2】如圖，在△ABC中，點D是邊BC的中點，點E是邊AC上的任意一點（點E不與點C重合），沿DE翻折△DCE使點C落在點F處，請畫出點F的軌跡．版權(quán)所有【解答】解：∵DF＝DC，∴則點F在以點D為圓心DC為半徑的圓上運動，當(dāng)點E與A重合時，AD與⊙D交于Q，則即為點F的運動軌跡．∠FDE＝∠CDE＝∠CDA，則軌跡為優(yōu)弧MQC，滿足∠MDA＝∠CDA，此時點F的軌跡為．【變式21】如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，將△AEB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使AB與邊BC重合，得到△MNB，請畫出在旋轉(zhuǎn)過程中點M的運動軌跡．【解答】解：如圖，弧AM即為所求．【變式22】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，D是BC邊上一動點，將△ABD沿AD對折，得到△AB'D，當(dāng)點B'落在AC邊上時，點D停止運動，若AB'＝AC，則在點D的運動過程中，點B'的運動路徑長為．【答案】【解答】解：由折疊知AB'＝AB，∵AB'＝AC，∴AB＝AC，∴sinC＝，∴∠C＝30°，∴∠BAC＝60°，∴點B'的運動路徑長為＝，故答案為：【變式23】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝3，將菱形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到菱形A'BC'D'，求出當(dāng)點D'在BA的延長線上時，點C'運動的路徑長．【解答】解：如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝BC'，∴點C'在以點B為圓心，BC長為半徑的圓上運動，當(dāng)點D'在BA的延長線上時，∠ABC'＝∠D'BC'＝∠C'BC，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠C'BC＝30°，BC＝AB＝3，∴點C'運動的路徑長為＝．【典例3】如圖，在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點，F(xiàn)是線面BC邊上的動點，將沿EF所在的直線折疊得到，連接，求的最小值。解：如圖，點E為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點E，，D三點共線時的值最小。，，，【變式31】（錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD邊的中點，N是AB邊上的動點，將△AMN沿MN所在直線折疊，得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是．【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)．版權(quán)所有【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，∵M是AD邊的中點，∴AM＝MD＝1∵將△AMN沿MN所在直線折疊，∴AM＝A'M＝1∴點A'在以點M為圓心，AM為半徑的圓上，∴如圖，當(dāng)點A'在線段MC上時，A'C有最小值，∵MC＝＝∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1故答案為：﹣1【變式32】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是直線AB上的一個動點，AE＝2，△APE沿PE翻折形成△FPE，連接PF、EF，則FC的最小值是，點F到線段BC的最短距離是．【解答】解：連接CE，作EG⊥BC于G，∵AE＝EF＝2，∴點F在以E為圓心，AE為半徑的圓上運動，在Rt△CDE中，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∴FC的最小值為CE﹣2＝2﹣2，∵∠DAB＝∠ABC＝∠BGE＝90°，∴四邊形ABGE是矩形，∴EG＝AB＝4，∴點F到線段BC的最短距離是2，故答案為：2﹣2，2．【變式33】（2022?武功縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝5，點E在BC上，且CE＝4BE，點M為矩形內(nèi)一動點，使得∠CME＝45°，連接AM，則線段AM的最小值為．【答案】5﹣2．【解答】解：如圖，作△EMC的外接圓⊙O，連接AO，CO，EO，作OF⊥AB，ON⊥BC，∵BC＝5，點E在BC上，且CE＝4BE，∴BE＝1，EC＝4，∵∠CME＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE＝OC＝2，ON＝EN＝CN＝2，∴BN＝OF＝3，AF＝6﹣2＝4，在Rt△AFO中，AO＝，當(dāng)點M是OA與⊙O的交點時，AM最小，∴AM的最小值＝OA﹣OE＝5﹣2．故答案為：5﹣2．【典例4】（邗江區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（1，0），B（3，0），C為平面內(nèi)的動點，且滿足∠ACB＝90°，D為直線y＝x上的動點，則線段CD長的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴點C在以AB為直徑的圓上，AB為直徑的圓的圓心為E點，如圖，連接DE交⊙E于C′，∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，AE＝1，∴DC≤DE﹣CE（當(dāng)且僅當(dāng)D、C、E共線時取等號）即DC≤DE﹣1，∵DE⊥直線y＝x時，DE最短，DE的最小值為OE＝，∴線段CD長的最小值為﹣1．故選：C．【變式41】（武江區(qū)校級期末）如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標(biāo)為（5，12），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為．【解答】解：連接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點P′，當(dāng)點P位于P′位置時，OP′取得最小值，過點M作MQ⊥x軸于點Q，則OQ＝5，MQ＝12，∴OM＝13，又∵MP′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18，故答案是：18．【變式42】（薩爾圖區(qū)校級期末）如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，OM的最大值為．【解答】解：∵C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC＝2，∴點C的運動軌跡是在半徑為2的⊙B上，如圖，取OD＝OA＝4，連接OD，∵點M為線段AC的中點，∴OM是△ACD的中位線，∴OM＝，∴OM最大值時，CD取最大值，此時D、B、C三點共線，此時在Rt△OBD中，BD＝＝4，∴CD＝2+4，∴OM的最大值是1+2．故答案為：1+2．【變式43】（2022?魚峰區(qū)模擬）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（6，8），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最大值為．【答案】24【解答】解：連接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，連接OM并延長交⊙M于點P′，當(dāng)點P位于P′位置時，OP′取得最大值，過點M作MQ⊥x軸于點Q，則OQ＝6，MQ＝8，∴OM＝10，又∵MP′＝2，∴OP′＝10+2＝12，∴AB＝2OP′＝24，故答案為：24．【變式44】如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，4），C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，BC＝2，點M為線段AC的中點，連接OM，