6.1-6.3線段射線直線與角（重難點突破）

突破6.1~6.3線段、射線、直線與角【知識點一、直線】1．概念：直線是最簡單、最基本的幾何圖形之一，是一個不作定義的原始概念，直線常用“一根拉得緊的細線”、“一張紙的折痕”等實際事物進行形象描述．2.表示方法：（1）可以用直線上的表示兩個點的大寫英文字母表示，如圖1所示，可表示為直線AB(或直線BA)．圖1 圖2（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖2所示，可以表示為直線．3.基本性質：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線．簡單說成：兩點確定一條直線．特別說明：直線的特征：（1）直線沒有長短，向兩方無限延伸．（2）直線沒有粗細．（3）兩點確定一條直線．（4）兩條直線相交有唯一一個交點．4.點與直線的位置關系：（1）點在直線上，如圖3所示，點A在直線m上，也可以說：直線m經過點A．（2）點在直線外，如圖4，點B在直線n外，也可以說：直線n不經過點B．圖3 圖4【知識點二、線段】1.概念：直線上兩點和它們之間的部分叫做線段．2.表示方法：（1）線段可用表示它兩個端點的兩個大寫英文字母來表示，如圖所示，記作：線段AB或線段BA．（2）線段也可用一個小寫英文字母來表示，如圖5所示，記作：線段a．圖53.“作一條線段等于已知線段”的兩種方法：法一：用圓規(guī)作一條線段等于已知線段．例如：下圖所示，用圓規(guī)在射線AC上截取AB＝a．法二：用刻度尺作一條線段等于已知線段．例如：可以先量出線段a的長度，再畫一條等于這個長度的線段．4.基本性質：兩點的所有連線中，線段最短．簡記為：兩點之間，線段最短．如圖6所示，在A，B兩點所連的線中，線段AB的長度是最短的．圖6圖65.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如圖7所示，點C是線段AB的中點，則，或AB＝2AC＝2BC．圖圖7特別說明：若點C是線段AB的中點，則點C一定在線段AB上．【知識點三、射線】1.概念：直線上一點和它一側的部分叫射線，這個點叫射線的端點．如圖8所示，直線l上點O和它一旁的部分是一條射線，點O是端點．圖8圖82.特征：是直的，有一個端點，不可以度量，不可以比較長短，無限長．3.表示方法：（1）可以用兩個大寫英文字母表示，其中一個是射線的端點，另一個是射線上除端點外的任意一點，端點寫在前面，如圖8所示，可記為射線OA．（2）也可以用一個小寫英文字母表示，如圖8所示，射線OA可記為射線l．特別說明：(1)端點相同，而延伸方向不同，表示不同的射線．如圖9中射線OA，射線OB是不同的射線．圖9圖9(2)端點相同且延伸方向也相同的射線，表示同一條射線．如圖10中射線OA、射線OB、射線OC都表示同一條射線．圖10圖10【知識點四、直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系】1.直線、射線、線段之間的聯(lián)系（1）射線和線段都是直線上的一部分，即整體與部分的關系．在直線上任取一點，則可將直線分成兩條射線；在直線上取兩點，則可將直線分為一條線段和四條射線．（2）將射線反向延伸就可得到直線；將線段一方延伸就得到射線；將線段向兩方延伸就得到直線．2．三者的區(qū)別如下表類型名稱直線射線線段圖形表示方法①兩個大寫字母；②一個小寫字母①兩個大寫字母（表示端點的字母在前）②一個小寫字母①表示兩端點的兩個大寫字母②一個小寫字母端點個數(shù)無1個2個延伸性向兩方無限延伸向一方無限延伸不可延伸性質兩點確定一條直線兩點之間，線段最短度量不可以不可以可以作圖敘述過A、B作直線AB以A為端點作射線AB連接AB特別說明：（1）聯(lián)系與區(qū)別可表示如下：向兩方延伸向一方延伸直線（直線的性質公理）線段線段長短的比較，線段的中點射線向兩方延伸向一方延伸直線（直線的性質公理）線段線段長短的比較，線段的中點射線反向延伸反向延伸（2）在表示直線、射線與線段時，勿忘在字母的前面寫上“直線”“射線”“線段”字樣．【知識點五、角的概念的理解】角的定義：（1）定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點是點O，邊是射線OA、OB．圖2圖1圖2圖1（2）定義二：一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，射線旋轉時經過的平面部分是角的內部．如圖2所示，射線OA繞它的端點O旋轉到OB的位置時，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．特別說明：（1）兩條射線有公共端點，即角的頂點；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長短無關．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉，當終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：特別說明：用數(shù)字或小寫希臘字母表示角時，要在靠近角的頂點處加上弧線，且注上阿拉伯數(shù)字或小寫希臘字母．3.角的畫法（1）用三角板可以畫出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫一個角等于已知角．【知識點六、余角與補角】1.定義：一般地，如果兩個角的和等于90°，就說這兩個角互為余角，即其中一個角是另一個角的余角．類似地，如果兩個角的和等于180°，就說這兩個角互為補角，即其中一個角是另一個角的補角．2．性質：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的補角相等．特別說明：(1)互余互補指的是兩個角的數(shù)量關系，互余、互補的兩個角只與它們的和有關，而與它們的位置無關．(2)一般地，銳角α的余角可以表示為(90°－α)，一個角α的補角可以表示為(180°－α)．顯然一個銳角的補角比它的余角大90°．【知識點七、鄰補角與對頂角】1．鄰補角：如果兩個角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種關系的兩個角叫做互為鄰補角．特別說明：(1)鄰補角的定義既包含了位置關系，又包含了數(shù)量關系：“鄰”指的是位置相鄰，“補”指的是兩個角的和為180°．(2)鄰補角是成對出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補角．(3)互為鄰補角的兩個角一定互補，但互補的兩個角不一定互為鄰補角．(4)鄰補角滿足的條件：①有公共頂點；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.2.對頂角及性質：（1）定義：由兩條直線相交構成的四個角中，有公共頂點沒有公共邊(相對)的兩個角，互為對頂角．（2）性質：對頂角相等．特別說明：(1)由定義可知只有兩條直線相交時，才能產生對頂角．(2)對頂角滿足的條件：①相等的兩個角；②有公共頂點且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長線.(一)直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系例1．如圖，下列說法不正確的是（

）

A．直線與直線是同一條直線 B．線段與線段是同一條線段C．射線與射線是同一條射線 D．射線與射線是同一條射線【答案】D【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義對各選項分析判斷即可得解．【詳解】A、直線與直線是同一條直線，此選項說法正確，不符合題意；B、線段與線段是同一條線段，此選項說法正確，不符合題意；C、射線與射線有同樣的起點和方向，是同一條射線，此選項說法正確，不符合題意；D、射線與射線的起點不同，不是同一條射線，此選項說法錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了直線、射線、線段的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．【變式訓練1－1】下列幾何圖形與相應語言描述相符的有（

）

①直線a、b相交于點A；②射線與線段沒有公共點；③延長線段；④直線經過點A.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】利用線段、直線和射線的語言描述逐一判斷即可解題．【詳解】①直線a、b相交于點A，描述正確；②射線與線段有公共點，描述錯誤；③延長線段，描述正確；④直線不經過點A，描述錯誤；故選B．【點睛】本題考查線段、射線和直線的語言描述，熟練把圖形語言轉化為文字語言是解題的關鍵．【變式訓練1－2】如圖，點A，B，C在直線l上，下列說法中正確的有（）①只有一條直線；②能用字母表示的射線共有3條；③一共有三條線段；④延長直線；⑤延長線段和延長線段的含義是相同的；⑥點B在線段上．

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義與表示：直線是從客觀事物中抽象出來的，直線沒有盡頭，是向兩方無限延伸的，用直線上任意兩點的大寫字母表示，可用一個小寫字母表示；直線上的一點和它一旁的部分叫做射線，用兩個大寫字母表示，一條射線可用它的端點和射線上另一點來表示，也可用一個小寫字母表示；直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段，可用表示端點的兩個大寫字母表示，也可用一個小寫字母表示．觀察圖形，逐項判斷，選擇答案即可．【詳解】①直線沒有盡頭，是向兩方無限延伸的，即圖中只有一條直線，故原說法正確；②能用字母表示的射線有射線、射線、射線、射線，共4條，故原說法錯誤；③線段有線段、線段、線段，一共有三條，故原說法正確；④直線是向兩方無限延伸的，沒有長度，不能再延長，故原說法錯誤；⑤延長線段和延長線段的延長方向不同，含義不同，故原說法錯誤；⑥觀察圖形，點B在線段上，該說法正確．綜上，說法中正確的有①、③、⑥這3個．故選：B．【點睛】本題考查了直線、射線、線段的定義與表示，理解直線、射線、線段的定義與表示是解題的關鍵．【變式訓練1－3】如圖所示，共有多少條直線、射線、線段？請依次指出．

【答案】見解析【分析】根據(jù)直線、射線和線段的定義進行判斷即可得到答案．【詳解】題圖中共有2條直線，即直線，；13條射線，即射線，射線，射線，射線，射線，射線，射線，還有6條不可以表示的；6條線段，即線段，線段，線段，線段，線段，線段．【點睛】本題考查直線、線段和射線的定義，直線：能夠向兩端無限延伸的線；射線：直線上的一點和這點一旁的部分叫射線，這個點叫做射線的端點；線段：直線上兩點和中間的部分叫做線段，這兩個點叫線段的端點．(二)直線、射線、線段的數(shù)量和交點問題例2．如圖所示，由濟南始發(fā)終點至青島的某一次列車，運行途中?？康能囌疽来问牵簼稀筒獮H坊——青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（

）種．A．4 B．6 C．10 D．12【答案】B【分析】單程兩個站點有一種票，相當于兩兩組合，根據(jù)計算即可．【詳解】解：（種），∴要為這次列車制作的單程火車票6種．故選：B．【點評】本題主要考查了直線、射線、線段，掌握同兩個站之間的車票有起點站和終點站的區(qū)分是解答本題的關鍵．【變式訓練2－1】兩條直線相交，產生一個交點，已知9條直線相交最多產生36個交點，那么10條直線相交最多產生交點個數(shù)為（

）A．45 B．46 C．50 D．60【答案】A【分析】根據(jù)三條直線交點最多為個，四條直線交點最多為個，五條直線交點最多為個，六條直線交點最多為個，然后得出規(guī)律，列式計算即可得解．【詳解】解：兩條直線相交，只有1個交點，三條直線交點最多為個，四條直線交點最多為個，五條直線交點最多為個，六條直線交點最多為個；10條直線交點最多為．故選A【點睛】本題考查了直線、射線、線段，觀察得出最多交點的個數(shù)變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式訓練2－2】如圖，觀察圖形，有下列說法：①直線和直線是同一條直線；②；③射線與射線是同一條射線；④三條直線兩兩相交時，一定有三個交點．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)線段，直線，兩點之間線段最短，直線的交點問題，逐項分析判斷即可求解．【詳解】①直線和直線是同一條直線，正確；②，正確；③射線與射線是同一條射線，正確；④三條直線兩兩相交時，不一定有三個交點，故④錯誤．其中正確的個數(shù)是個，故選：C．【點睛】本題考查了線段，直線，兩點之間線段最短，直線的交點問題，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式訓練2－3】平面內有兩兩相交的條直線，如果最多有個交點，最少有個交點，那么．【答案】【分析】根據(jù)題意，畫圖分類討論，分別解出的值，代入即可求解．【詳解】解：如圖所示：條直線兩兩相交，有種情況：①條直線經過同一點，有一個交點；②條直線經過同一點，被第條直線所截，有個交點；③條直線不經過同一點，有個交點．∴平面內兩兩相交的條直線，最多有個交點，最少有個交點；∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查直線的位置關系與有理數(shù)的運算的綜合，掌握同一平面內多條直線的位置關系，畫圖分析，分類討論，有理數(shù)的運算法則是解題的關鍵．(三)線段有關計算問題【例3】如圖，點C，D是線段上的兩點，若，點P是線段的中點，則．【答案】6【分析】先求出，再利用中點的定義求解即可．【詳解】解：∵，∴，又∵點P是線段的中點，∴，故答案為：6．【點睛】本題考查線段的和差，中點的定義，掌握這些基礎知識是解題的關鍵．【變式訓練3－1】已知點M是線段上一點，若，點N是直線上的一動點，且，則．【答案】1或【分析】分兩種情況：當點N在線段上，當點N在線段的延長線上，然后分別進行計算即可解答．【詳解】解：分兩種情況：當點N在線段上，如圖：

，，，，，，；當點N在線段的延長線上，如圖：

，，，，綜上所述：的值為1或，故答案為：1或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，分兩種情況進行計算是解題的關鍵．【變式訓練3－2】如圖，B、C網(wǎng)點把線段分為三部分，．

(1)求的長(2)若點M是的中點，求的長．(3)在（2）的條件下，若點N為線段中點，求線段的長度．【答案】(1)18(2)1(3)2【分析】（1）設為，為，為，根據(jù)求出x的值，得出答案即可；（2）根據(jù)M為的中點，得出，求出的值即可；（3）根據(jù)，根據(jù)中點得出，求出即可．【詳解】（1）解：設為，為，為，，，，，（2）解：，M為的中點，，；

（3）解：，為的中點，，，．

【點睛】本題主要考查了線段中點的有關計算，解題的關鍵是數(shù)形結合，求出相關的線段長度．【變式訓練3－3】七（1）班的數(shù)學興趣小組在活動中，對“線段中點”問題進行以下探究．已知線段，點E，F(xiàn)分別是，的中點．

(1)如圖1，若點C在線段上，且（寫出解題過程），的長度；(2)如圖2，若點C是線段上任意一點，則的長度為；(3)若點C在線段的延長線上，其余條件不變，借助圖3探究的長度（不寫探究過程）．【答案】(1)的長度為(2)5(3)【分析】（1）根據(jù)，得，根據(jù)點E，F(xiàn)分別是，的中點得，，即可得；（2）根據(jù)點E，F(xiàn)分別是，的中點得，，根據(jù)，即可得；（3）根據(jù)點E，F(xiàn)分別是，的中點得，，根據(jù)，即可得．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵點E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，，∴，∴EF的長度為；（2）解：∵點E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，，∵，∴，故答案為：5；（3）解：∵點E，F(xiàn)分別是，的中點，∴，，∵，，故答案為：．【點睛】本題考查兩點間線段的長度，解題的關鍵是對線段中點知識的熟練掌握．(四)線段的動點最值問題【例4】已知長方形中，，，動點從點出發(fā)沿以每秒2個單位的速度運動；同時，點也從點出發(fā)以每秒3個單位的速度沿運動，當其中一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動．設運動時間為秒．

（1）當點到達終點時，點在邊；（2）當點在邊上運動時，用表示的式子為；（3）點、相遇時，秒．【答案】7.2【分析】（1）由題意知，點從，運動時間為秒，點從，運動時間為秒，由，可知當點到達終點時，點運動路程為，由，可判斷點的位置；（2）由題意知，；（3）由題意知，，計算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，點從，運動時間為秒，點從，運動時間為秒，∵，∴當點到達終點時，點運動路程為，∵，∴點在邊上，故答案為：；（2）解：由題意知，，故答案為：；（3）解：由題意知，，解得，，故答案為：7.2．【點睛】本題考查了動點，列代數(shù)式，一元一次方程的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【變式訓練4－1】已知點在線段上，，點、在直線上，點在點的左側．

(1)若，，線段在線段上移動．①如圖1，當為中點時，求的長；②若點在線段上，且，，求的長；(2)若，線段在直線上移動，且滿足關系式，求的值．【答案】(1)①；②或(2)或【分析】（1）根據(jù)已知條件得到，，①由線段中點的定義得到，求得，由線段的和差得到；②點在點的左側，點是的中點，所以，可以根據(jù)進行求解，當點在點的右側，，，求出的長度，再根據(jù)進行求解即可；（2）當在點的右側時，設，，則，，，求得，當在點的左側時，設，，則，，，求得，分別代入關系式即可得出答案．【詳解】（1）解：①，，，，，如圖，

為中點，，，；②如圖，

，點在點的左側，點是的中點，，，；當點在點的右側，如圖

，，，，，綜上所述，的長為或；（2），，滿足關系式，如圖，當在點的右側時：

設，，則，，，，，，，，，解得，，

；如圖，當在點的左側時：

設，，則，，，，，，，，，解得，，

．故答案為是或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，熟悉各線段間的和、差及倍數(shù)關系，根據(jù)題意分情況討論是解答本題的關鍵．【變式訓練4－2】在數(shù)軸上，表示數(shù)的點到原點的距離．如果數(shù)軸上兩個點、分別對應數(shù)、，那么、兩點間的距離為：，這是絕對值的幾何意義．已知如圖，點在數(shù)軸上對應的數(shù)為－3，點對應的數(shù)為2．（1）求線段的長．（2）若點在數(shù)軸上對應的數(shù)為，且是方程的解，在數(shù)軸上是否存在點，使？若存在，求出點對應的數(shù)；若不存在說明理由．（3）若點是數(shù)軸上在點左側的一點，線段的中點為點，點為線段的三等分點且靠近于點，當點在點左側的數(shù)軸上運動時，請直接判斷的值是否變化，如果不變請直接寫出其值，如果變化請說明理由．【答案】（1）5；（2）或6；（3）隨著點的移動，的值不變．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離公式計算便可．（2）根據(jù)已知線段的關系式，列出絕對值方程進行解答即可．（3）用點表示的數(shù)，列出關于的代數(shù)式進行討論解答即可．【詳解】解：（1）點在數(shù)軸上對應的數(shù)為，點對應的數(shù)為2，．（2）存在．設點對應的數(shù)為，解方程，得，點對應的數(shù)為，，，即，，①當時，有，解得；②當時，有，此方程無解；③當時，有，解得；綜上，點的對應數(shù)為或6．（3）設點對應的數(shù)為，則，，若點是數(shù)軸上在點左側的一點，線段的中點為點，點為線段的三等分點且靠近于點，，則點對應的數(shù)為；，則點對應的數(shù)為；，則．隨著點的移動，的值不變．【點睛】本題是數(shù)軸的一個綜合題，涉及一元一次方程的應用，兩點距離公式，利用絕對值的性質化簡絕對值代數(shù)式是解題的關鍵．【變式訓練4－3】（1）如圖1，點C在線段上，M，N分別是，的中點．若，，求的長；

（2）設，C是線段上任意一點（不與點A，B重合），①如圖2，M，N分別是，的三等分點，即，，求的長；②若M，N分別是，的n等分點，即，，直接寫出的值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由中點的定義可得，然后根據(jù)求解即可；（2）由，可得，然后根據(jù)求解即可；（3）仿照（2）的過程求解即可．【詳解】解：（1）∵M，N分別是，的中點∴∵∴（2）①∵∴∵∴；②．【點睛】本題考查線段的中點、線段的和差，解題的關鍵是掌握線段中點的定義及線段和差運算．【變式訓練4－4】如圖，P是線段上一點，，C，D兩動點分別從點P，B同時出發(fā)沿射線向左運動，到達點A處即停止運動．

(1)若點C，D的速度分別是，．①當動點C，D運動了2s，且點D仍在線段上時，_________cm；②若點C到達中點時，點D也剛好到達的中點，則_________；(2)若動點C，D的速度分別是，，點C，D在運動時，總有，求的長【答案】(1)①12；②(2)【分析】（1）①先分別求出，再根據(jù)即可得；②設運動時間為，則，再根據(jù)線段中點的定義可得，由此即可得；（2）設運動時間為，則，從而可得，再根據(jù)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】（1）解：①依題意得：，，點仍在線段上，∴，故答案為：；②設運動時間為，則，∵當點到達中點時，點也剛好到達的中點，∴，∴，故答案為：．（2）解：設運動時間為，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了與線段有關的動點問題、線段的和與差、線段的中點，熟練掌握線段之間的數(shù)量關系是解題的關鍵．【變式訓練4－5】數(shù)軸是一個非常重要的數(shù)學工具，它使數(shù)和數(shù)軸上的點建立起一一對應的關系，揭示了數(shù)與點之間的內在聯(lián)系，它是“數(shù)形結合”的基礎。我們知道，它在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與原點（即表示的點）之間的距離，又如式子，它在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離．也就是說，在數(shù)軸上，如果點表示的數(shù)記為，點表示的數(shù)記為，則，兩點間的距離就可記作．回答下列問題：（1）在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離的式子是____．（2）反過來，式子在數(shù)軸上的意義是．（3）試用數(shù)軸探究：當時的值為．（4）進一步探究：的最小值為，此時的取值范圍為．（5）最后發(fā)現(xiàn)，當?shù)闹底钚r，的值為【答案】（1）|2－(－3)|；（2）表示數(shù)a的點與表示數(shù)－5的點之間的距離；（3）－1或5；（4）10，－1≤m≤9；（5）9．【分析】（1）根據(jù)距離公式表示即可；（2）根據(jù)定義去描述即可；（3）分點在2表示的數(shù)的點的左邊和右邊兩種情形求解；（4）利用數(shù)形結合思想，畫數(shù)軸求解即可；（5）利用數(shù)形結合思想，畫數(shù)軸求解即可．【詳解】（1）在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)的點與表示數(shù)的點之間的距離的式子是|2－(－3)|，故答案為：|2－(－3)|；（2）∵=|a－(－5)|，∴在數(shù)軸上的意義是表示數(shù)a的點與表示數(shù)－5的點之間的距離，故答案為：表示數(shù)a的點與表示數(shù)－5的點之間的距離；（3）∵表示數(shù)m到2的距離，畫數(shù)軸如下：當數(shù)在2的右邊時，右數(shù)3個單個單位長，得到對應數(shù)是5，符合題意；當數(shù)在2的左邊時，左數(shù)3個單個單位長，得到對應數(shù)是－1，符合題意；故答案為：－1或5；（4）∵表示數(shù)m與－1，9的距離之和，畫數(shù)軸如下：根據(jù)兩點之間線段最短，－1表示點與9表示點的最短距離為9－（－1）=10，此時動點m在－1表示點與9表示點構成的線段上，∴－1≤m≤9；故答案為：10，－1≤m≤9；（5）根據(jù)題意，畫圖如下，根據(jù)兩點之間線段最短，－1表示點與16表示點的最短距離為16－（－1）=17，此時動點m在－1表示點與16表示點構成的線段上，且到9表示的點的距離為0，∴m=9；故答案為：9．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離計算公式，線段最短原理，數(shù)軸的意義，數(shù)形結合思想，分類思想，結合數(shù)軸，運用數(shù)學思想解題是解題的關鍵．(五)角的概念【例5】下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【答案】D【分析】根據(jù)平角，周角的概念，角的大小及表示分別判斷即可．【詳解】解：A、周角的兩邊在同一射線上，不是一條射線，故錯誤，不合題意；B、平角的兩邊在同一直線上，平角有頂點，而直線沒有，故錯誤，不合題意；C、角的大小和兩邊的長度沒有關系，故錯誤，不合題意；D、也可以表示為，故正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，屬于幾何基礎知識，要熟練掌握，比較簡單．【變式訓練5－1】如圖，下列說法正確的是（

）

A． B．圖中只有兩個角，即和C．與表示同一個角 D．與表示同一個角【答案】D【分析】根據(jù)角的概念和表示方法可知，當角的頂點處只有一個角時這個角可以用頂點字母來表示，由此可得結論．【詳解】解∶A．與不一定相等，該選項原說法錯誤，故符合題意；B．圖中有三個角，分別為、和，該選項原說法錯誤，故不符合題意；C．與表示同一個角，該選項原說法錯誤，故不符合題意；D．與表示同一個角，該選項正確，符合題意．故選∶D．【點睛】此題考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點將每個角用合適的方法表示出來是解題的關鍵．【變式訓練5－2】計算：；°；當時鐘指向時間為時，鐘表上的時針與分針的夾角為度．【答案】【分析】①利用角度的四則運算即可得到答案；②根據(jù)、進行換算，即可得到答案；③根據(jù)時針一小時轉，一分鐘轉，分針一分鐘轉，分別計算時針、分針與0點的夾角，計算角度差即可得到答案．【詳解】解：①，故答案為：；②，，，，故答案為：；③當時鐘指向時間為時，時針走過小時，分鐘走過分鐘，時針與0點的夾角為，分針與0點的夾角為，鐘表上的時針與分針的夾角為，故答案為：．【點睛】本題考查了角度的四則運算，角的單位換算，鐘面角，解題關鍵是掌握角度的加法法則：進行角度的加法運算時，同單位相加，即度與度相加、分與分相加、秒與秒相加，秒夠60進1分，分夠60進1度；同時也要掌握時針一小時轉，一分鐘轉，分針一分鐘轉．【變式訓練5－3】如圖：

(1)以點B為頂點的角有幾個？分別表示出來．(2)請分別指出以射線為邊的角．(3)以D為頂點，為一邊的角有幾個？分別寫出來．【答案】(1)，，，共3個(2)，(3)，，共2個【分析】（1）根據(jù)角的表示方法寫出答案；（2）根據(jù)角的定義和角的表示方法寫出答案；（3）角的表示方法寫出答案．【詳解】（1）解：以點為頂點的角：，，，共3個；（2）以射線為邊的角：，；（3）以為頂點，為一邊的角有：，，共2個．【點睛】此題主要考查了角的概念，關鍵是掌握角的表示方法．【變式訓練5－4】如圖，在鐘面上，點為鐘面的圓心，以點為頂點按要求畫出符合下列要求的角（角的兩邊不經過鐘面上的數(shù)字）：

（1）在圖1中畫一個銳角，使銳角的內部含有2個數(shù)字，且數(shù)字之差的絕對值最大；（2）在圖2中畫一個直角，使直角的內部含有3個數(shù)字，且數(shù)字之積等于數(shù)字之和；（3）在圖3中畫一個鈍角，使鈍角的內部含有4個數(shù)字，且數(shù)字之和最??；（4）在圖4中畫一個平角，使平角的內部與外部的數(shù)字之和相等；（5）在圖5中畫兩個直角，使這兩個直角的內部含有的3個數(shù)字之和相等.【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)銳角的內部含有2個數(shù)字，且數(shù)字之差的絕對值最大，可知這2個數(shù)字分別是1和12，據(jù)此畫出圖形；（2）根據(jù)直角的內部含有3個數(shù)字，且數(shù)字之積等于數(shù)字之和可知，這3個數(shù)字分別是1，2，3，據(jù)此畫出圖形；（3）根據(jù)鈍角的內部含有4個數(shù)字，且數(shù)字之和最小可知，這4個數(shù)字分別是1，2，3，4，據(jù)此畫出圖形；（4）根據(jù)平角的內部與外部的數(shù)字之和相等，又10+11+12+1+2+3=4+5+6+7+8+9，據(jù)此可畫出平角；（5）根據(jù)這兩個直角的內部含有的3個數(shù)字之和相等，又12+1+2=4+5+6，據(jù)此可畫出圖形．【詳解】解：根據(jù)題意，（1）~（5）中符合要求的角如圖所示：

【點睛】此題考查了鐘面角以及有理數(shù)的運算，解題的關鍵是根據(jù)題意找出相對應的鐘面數(shù)字．(六)方位角及其計算【例6】如圖，某海域中有A，B兩個小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對于小島B的方向是（

）A．南偏東40° B．北偏東50° C．南偏西40° D．北偏西50°【答案】C【分析】根據(jù)B在A的北偏東方向，即可得出直線AB與B點正南方向的夾角為，再根據(jù)A的位置即可得到答案．【詳解】解：B在A的北偏東40°方向，∴小島A相對于小島B的方向是南偏西，故選：C．【點睛】本題考查位置和方向，解題的關鍵是熟練掌握位置和方向的判斷方法．【變式訓練6－1】如圖，甲從處出發(fā)沿北偏西方向行走至處，又沿南偏西方向行走至處，此時再沿與出發(fā)時一致的方向行走至處，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用方向角的定義得出，進而利用平行線的性質得出答案．【詳解】解：如圖所示：

，根據(jù)題意可得：，沿南偏西方向行走至處，此時再沿與出發(fā)時一致的方向行走至處，，故選：B．【點睛】本題主要考查了方向角的定義，根據(jù)題意得出是解題的關鍵．【變式訓練6－2】如圖，我國山東號航空母艦行駛在B處同時測得黃巖島A、中國海軍南昌號驅逐艦C的方向分別為北偏西和西南方向，則的度數(shù)是．

【答案】/105度【分析】根據(jù)方向角的定義即可作出判斷．【詳解】解：如圖，

由題意，得，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了方向角的定義，用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊．【變式訓練6－3】小麗、小影、小華三人每天相約在如圖所示的早餐店碰面，小麗家在早餐店南偏西方向上，小影家在點處，小華家在早餐店東南方向上，，且早餐店到小華家與小麗家的距離相等．

(1)在圖中畫出小華家的位置；(2)求的度數(shù)；(3)若，請說出小影家相對于早餐店的位置．【答案】(1)見解析圖；(2)；(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．【分析】（）根據(jù)要求畫出圖形即可；（）得與正東方向的夾角，從而求得的度數(shù)；（）求出與正北方向的夾角，根據(jù)方向角的定義判斷即可．【詳解】（1）如圖，點即為所求；

（2）∵，∴與正東方向的夾角為，；（3）由（）得與正東方向的夾角為，∵，∴與正東方向的夾角為：，∵正東和正北的夾角為，∴與正北方向的夾角為：，∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．【點睛】此題考查了作圖－應用與設計作圖，方向角等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．(七)角的單位及簡單計算【例7】已知，下面結論正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將轉化為，即可得出答案．【詳解】由，又因為，所以．故選：C．【點睛】此題考查了角的大小的比較，掌握角的度、分、秒之間的轉化是解題的關鍵．【變式訓練7－1】如圖甲所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點O處．

(1)①探究與的關系：因為，所以，即______．②探究與的關系：因為，，所以______．(2)若將這副三角尺繞點O旋轉到如圖乙的位置：①直接寫出與的關系：______；②探究與的關系，并仿照（1）①中的探究寫出推過程．【答案】(1)①＝；②(2)①；②見解析【分析】（1）①證明，從而可得答案；②利用周角的含義及角的和差運算可得答案；（2）①由，可得．②證明，可得．【詳解】（1）解：①∵，∴，即．②∵，，∴．（2）①∵，∴，即．②；理由如下：∵，∴，∴．【點睛】本題考查的是角的和差運算，熟練的理解幾何圖形中角的和差關系是解本題的關鍵．【變式訓練7－2】如圖1，將兩塊直角三角板與的直角頂點O重合在一起，其中直角邊在內部．(1)如圖2，若，求和的度數(shù)．(2)若①和有什么關系？請說明理由．②當時，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)①與互補，見解析；②【分析】（1）根據(jù)，結合，求出和的度數(shù)即可；（2）①用表示出和，即可得出答案；②根據(jù)與互補列出關于的方程，解方程即可．【詳解】（1）解：，．（2）解：①與互補；理由如下：∵，，∴．∴與互補；②由①可得，解得：．【點睛】本題主要考查了幾何圖形中的角度計算，解題的關鍵是數(shù)形結合，用一元一次方程解決問題．【變式訓練7－3】把兩個三角尺按如圖所示那樣拼在一起，試確定圖中的度數(shù)及其大小關系．【答案】．【分析】首先要知道一副三角板的各角度數(shù)，然后求出∠AEB，最后比較大?。驹斀狻拷猓骸螧=30°，∠E=60°，∠BAD==90°+45°=135°，∠DCE=90°∴∠B＜∠E＜∠DCE＜∠BAD．【點睛】本題考查了角的比較與運算，要知道一副三角板各角的度數(shù)，比較簡單．(八)角的平分線及旋轉問題【例8】已知：．(1)如圖1，若．①寫出圖中一組相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如圖2，與重合，若，將繞點O以5度/秒的速度作逆時針旋轉，運動時間為t（）秒．①當t=______秒時，平分；②試說明：當t為何值時，？【答案】(1)①，同角的余角相等；②180(2)①6；②或20【分析】（1）①根據(jù)同角的余角相等解答；②利用角的和差關系即可求解；（2）①由平分知，旋轉角等于的一半，即可列方程求解；②分在的內部和外部討論即可．【詳解】（1）解：①∵，∴，，∴（同角的余角相等）．故答案為：，同角的余角相等；②∵，∴．故答案為：180；（2）解：①根據(jù)題意，得，即，解得．故答案為：6；②當在的內部時，∵，∴，解得；當在的內部時，∵，∴，解得，綜上，t為或20時，【點睛】本題主要考查一元一次方程的應用，余角的性質，角的計算等知識的綜合運用，列方程求解角的度數(shù)是解題的關鍵．【變式訓練8－1】已知，平分，平分．

(1)如圖1，若，，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，為內部的一條射線，，若為平面內一條射線，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義進行計算即可；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，，根據(jù)，求出，最后求出結果即可；（3）根據(jù)，結合解析（2）中的相關條件求出；再分兩種情況進行討論，分別畫出圖形求出結果即可．【詳解】（1）解：∵平分，平分，，，∴，，∴；（2）解：∵平分，平分，，，∴，，∵，∴，∴．（3）解：∵又∵，∴，∴；當在上方時，如圖所示：

∴；當在下方時，如圖所示：

∴；綜上分析可知，或．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度計算問題，解題的關鍵是熟練掌握角平分線定義，數(shù)形結合，注意進行分類討論．【變式訓練8－2】已知，，平分，平分．

(1)如圖1，當，重合時，求的值；(2)如圖2，當從圖1所示的位置開始繞點以每秒的速度順時針旋轉．在旋轉過程中，的值是否會因的變化而變化？若不變化，請求出該定值；若變化，請說明理由；(3)在（2）的條件下，求當旋轉多少秒時，．【答案】(1)(2)不變，(3)【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得和的度數(shù)，然后根據(jù)求解；（2）首先由題意得，再根據(jù)角平分線的定義得，，然后由角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)題意得，故，解方程即可求出的值．【詳解】（1）解：因為平分，平分，所以，．所以；（2）解：的值是定值．根據(jù)題意，得：，則，．因為平分，平分，所以，，所以；（3）解：根據(jù)題意，得，所以，解得，所以當旋轉時，．【點睛】本題考查的是角的和與差、角平分線定義，對角的和與差及角平分線定義的理解是解題關鍵．【變式訓練8－3】閱讀理解，回答問題：定義回顧：從一個角的頂點出發(fā)，將這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線．角的平分線也可以通過折紙完成，如圖（1），將含有的紙片經過頂點P對折疊，折痕所在的射線就是的平分線．利用角的平分線的定義，可以進行角的度數(shù)的計算．

問題解決：(1)如圖（2），點P，Q分別是長方形紙片的對邊，上的點，連結，將和分別對折，使點A，B都分別落在上的和處，點C落在處，分別得折痕，，則的度數(shù)是______；(2)如圖（3），將長方形紙片分別沿直線，折疊，使點A，B分別落在點，處，和不在同一條直線上，且被折疊的兩部分沒有重疊部分．①若，，求的度數(shù)；②若，求的度數(shù)（用含的式子表示）；拓廣探索：(3)將長方形紙片分別沿直線，折疊，使點A，B，C分別落在點，，處，和不在同一條直線上，且被折疊的兩部分有重疊部分，如圖（4）．若，請直接寫出的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)①；②(3)【分析】（1）根據(jù)角的平分線的定義和平角定義求得即可；（2）①根據(jù)角的平分線的定義和平角定義求得即可；②根據(jù)角的平分線的定義和平角定義求得即可；（3）根據(jù)角的平分線的定義和平角定義求得即可．【詳解】（1）解：由題意得：，，∴，即，∴，故答案為：；（2）解：①由題意得：，，∴，∵，∴，即；②同理，，，∴，∵，則，即；（3）解：同理，由題意得：，，則，∵，∴，即．【點睛】本題考查角的平分線的定義、平角定義，熟練掌握角的平分線的定義，利用圖形找到角之間的數(shù)量關系是解答的關鍵．(九)求一個角的余角或補角【例9】一個銳角的余角比它的補角（

）A．相等 B．小 C．大 D．不能確定大小【答案】B【分析】設這個角是，則它的余角是，它的補角時，得出式子，求出即可．【詳解】解：設這個銳角為，根據(jù)題意可得：，則它的余角比它的補角小，故選：．【點睛】此題考查了余角和補角的計算，解題的關鍵是熟練掌握余角和補角的定義．【變式訓練9－1】下列說法中，錯誤的是（

）A．互余且相等的兩個角各是B．一個角的余角一定小于這個角的補角C．如果，那么的余角與的余角的和等于的余角D．如果，那么的余角與的余角的和等于的補角【答案】C【分析】根據(jù)如果兩個角的和為，稱這兩個角互為余角；如果兩個角的和為，稱這兩個角互為補角，以此計算即可．【詳解】A.互余且相等的兩個角各是，正確，不符合題意；B.設這個為，則它的余角為，它的補角為，故，正確，不符合題意；C.的余角為，的余角為，的余角為，的余角與的余角的和等于，錯誤，符合題意；D.的余角為，的余角為，的余角為，的余角與的余角的和等于，正確，不符合題意；故選Ｃ．【點睛】本題考查了余角，補角的計算，正確理解定義是解題的關鍵．【變式訓練9－2】如圖，直線、相交于點O，，圖中與互補的角有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)同角的余角相等，得到，根據(jù)平角的定義，得到，，進而得到，即可得出結果．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴圖中與互補的角有，共3個；故選C．【點睛】本題考查補角的判斷．正確的識圖，理清角的和差關系，熟練掌握同角的余角相等，互補的兩角之和為，是解題的關鍵．【變式訓練9－3】如圖，平面內，平分，則以下結論：①；②；③；④平分．其中正確的是．（填序號）【答案】①③④【分析】由根據(jù)同角的余角相等得到，即可判斷①；由，即可判斷②由，即可判斷③由平分，得出，再結合①，即可判斷④【詳解】解：∵，∴，∴，所以①正確；∵不一定等于，所以②不正確；∵，所以③正確；∵平分，∴，由①知，∴，∴，所以④正確．∴平分故答案為：①③④．【點睛】本題考查了角度的計算，同角（等角）的余角相等．也考查了角平分線的定義，熟練掌握補余角的性質和角平分線的定義是關鍵．【變式訓練9－4】已知為，為，若，稱為的“二倍補角”．(1)求為，為的“二倍補角”，求的度數(shù)；(2)若一個角與它的“二倍補角”度數(shù)相等，求這個角的度數(shù)．(3)與互余，為的“二倍補角”，與互補，是否是的“二倍補角”？請說明理由．【答案】(1)(2)這個角的度數(shù)為(3)是的“二倍補角”，理由見解析【分析】（1）根據(jù)“二倍補角”的定義，進行求解即可；（2）設一個角為，根據(jù)“二倍補角”的定義，得到另一個角為，根據(jù)兩個角相等，列出方程求解即可；（3）根據(jù)互余的兩角和為，互補兩角之和為，以及“二倍補角”的定義，進行角的轉化，進行判斷即可．【詳解】（1）為的“二倍補角”；（2）設一個角為，則它的“二倍補角”度數(shù)為，由題意得，解得這個角的度數(shù)為；（3）是的“二倍補角”理由：由題意得，整理得，與互補是的“二倍補角”．【點睛】本題考查與余角和補角有關的計算．解題的關鍵是理解并掌握“二倍補角”的定義．【變式訓練9－5】如圖，將一副三角板的兩個直角頂點O重合在一起，放置成如圖所示的位置．

(1)如圖1，若，猜想______；(2)小明推測：三角板繞重合的點O旋轉（三角板保持不動），不論轉動到哪個位置，“與始終互補”，你同意他的結論嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)同意，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角板中角的度數(shù)和已知條件求解即可；（2）根據(jù)題意分3種情況討