專題04三角形中的證明與計(jì)算問題（原卷版）

專題04：三角形中的證明與計(jì)算問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】三角形中的角度計(jì)算中的五個(gè)常考模型【題型二】三角形全等中的六個(gè)?？寄Ｐ汀绢}型三】相似三角形中的四個(gè)?？寄Ｐ汀绢}型四】射影定理【題型五】勾股定理中的?？碱}型二、最新?？碱}組練【題型一】三角形中的角度計(jì)算中的五個(gè)?？寄Ｐ汀镜淅治觥?.如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．【提分秘籍】五個(gè)常見模型8字模型：結(jié)論:∠A+∠B=∠D+∠C.A字模型：結(jié)論：∠1+∠2=∠A+180°飛鏢模型：結(jié)論：∠C=∠A+∠B+∠D雙內(nèi)角平分線模型：結(jié)論：雙外角平分線模型：結(jié)論：一內(nèi)一外角平分線模型：結(jié)論：老鷹抓小雞模型（1）：結(jié)論：老鷹抓小雞模型（2）：結(jié)論：【變式演練】1.一個(gè)零件的形狀如圖，按要求∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，檢驗(yàn)工人量得∠CDB＝148°，就斷定這個(gè)零件不合格，運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)說明零件不合格的理由．2.如圖，把△ABC紙片任意折疊，使點(diǎn)A落在紙外，設(shè)折痕為DE，∠A、∠1、∠2之間有一種始終保持不變的數(shù)量關(guān)系，請寫出這種數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3.在△ABC中，∠A＝40°：（1）如圖（1）BO、CO是△ABC的內(nèi)角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；（2）如圖（2）BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；（3）如圖（3）BO、CO分別是△ABC的一內(nèi)角和一外角角平分線，且相交于點(diǎn)O，求∠BOC；（4）根據(jù)上述三問的結(jié)果，當(dāng)∠A＝n時(shí)，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數(shù)量關(guān)系（只需寫出結(jié)論）．【題型二】三角形全等中的六個(gè)常考模型【典例分析】1.直線l經(jīng)過點(diǎn)A，△ABC在直線l上方，AB＝AC．（1）如圖1，∠BAC＝90°，過點(diǎn)B，C作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：△ABD≌△CAE；（2）如圖2，D，A，E三點(diǎn)在直線l上，若∠BAC＝∠BDA＝∠AEC＝α（α為任意銳角或鈍角），猜想線段DE、BD、CE有何數(shù)量關(guān)系？并給出證明；（3）如圖3，∠BAC＝90°過點(diǎn)B作直線l上的垂線，垂足為F，點(diǎn)D是BF延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，作∠DAE＝90°，使得AE＝AD，連結(jié)DE，CE．直線l與CE交于點(diǎn)G．求證：G是CE的中點(diǎn)．【提分秘籍】六個(gè)全等模型手拉手模型倍長中線模型平行線中等模型雨傘模型【變式演練】1.如圖，△ABC和△DEC都是等邊三角形，D是BC延長線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N．求證：（1）AD＝BE；（2）∠BMC＝∠ANC；（3）△CMN是等邊三角形．2.如圖，△ABC是邊長為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，形成一個(gè)三角形，求證：△AMN的周長等于2．3.已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．4.如圖，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足為點(diǎn)B，AB⊥AD，垂足為點(diǎn)A，AD＝5，BC＝10，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長．5.如圖，在四邊形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求證：（1）∠B+∠ADC＝180°；（2）AD+AB＝2AE．【題型三】相似三角形中的四個(gè)?？寄Ｐ汀镜淅治觥?.如圖，在△ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，∠DBC＝∠A，，AC＝3，求AD的長．【提分秘籍】8字模型 反8字模型手拉手模型一線三等角模型【變式演練】1.如圖，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于點(diǎn)E，EF：AB＝2：3．（1）若CE＝4，求AE的長；（2）若CD＝6，求AB的長；（3）若四邊形ABFE的面積為8，直接寫出△CEF的面積．2.如圖，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．（1）求證：△ABC∽△DEC；（2）若AC：DC＝2：3，BC＝6，求EC的長．3.如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）證明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，當(dāng)AE＝ED時(shí)，求BD的長．【題型四】射影定理【典例分析】1.如圖在Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，則①圖中有幾個(gè)直角三角形？有幾對相似三角形？②若AD＝9，BD＝4，則CD的長是多少？你能找出圖中還有哪些線段可以作為比例中項(xiàng)嗎？說明理由．【提分秘籍】射影定理：（AD為RT△ABC的BC邊上的高）結(jié)論：①AD2=BD·DC；②AB2=BD·BC；③AC2=CD·BC。【變式演練】1.如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，E為CB的中點(diǎn)，ED的延長線交CA的延長線于點(diǎn)F．求證：AC?CF=CB?DF．【題型五】勾股定理中的?？碱}型【典例分析】1.如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，折疊紙片的一角，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，展開得折痕DE，求DE的長．【提分秘籍】勾股定理常見折疊模型：例：DB2+BC2=DC2例：DB2+AB2=AD2例：BM2+AB2=AM2MN=MC2例：FC=AC例：AD=AC【變式演練】1.如圖，三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折疊△ABC使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，DE為折痕，求DE的長．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折疊，使得點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處．（1）求證：△BDE∽△BAC；（2）已知AC＝6，BC＝8，求線段AD的長度．3．如圖所示，折疊長方形一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米．（1）求BF與FC的長．（2）求EC的長．4．如圖，長方體的底面是邊長為1cm的正方形，高為3cm．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，請利用側(cè)面展開圖計(jì)算所用細(xì)線最短為多少．1．（2023·陜西西安·西北大學(xué)附中?？既＃┤鐖D，在中，，，是中線，是角平分線，與交于點(diǎn)O，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）已知，是的角平分線，直線，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．3．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）如圖，中，，的平分線交BC于點(diǎn)D．，交AC于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，且．求證：．5．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，等邊，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC邊上，，連接AF，BE，相交于點(diǎn)P．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．6．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）（1）計(jì)算：（2）如圖，兩點(diǎn)分別在的邊和上，，若直線把分成面積相等的兩部分，求的值．7．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）如圖1，在中，，點(diǎn)D，E在上，且，連接．(1)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)F．若，請直接寫出圖2中所有頂角為的等腰三角形．8．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形沿對角線折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．求證：．9．（2022·江蘇南京·南京大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，將長方形的邊沿折痕折疊，使點(diǎn)D落在上的F處，若，，求．10．（2023·江蘇無錫·一模）如圖在和中，，，，連接，交于點(diǎn)M．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，且時(shí)，可以得到圖中的一對全等三角形，即____________；(2)當(dāng)點(diǎn)D不在直線BC上時(shí)，如圖2位置，且．①試說明；②直接寫出的大?。ㄓ煤恋拇鷶?shù)式表示）．11．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，中，，，，垂足為E．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求證：．12．（2023·江西撫州·金溪一中?？寄M預(yù)測）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，若，求的度數(shù)．13．（2023·廣東珠?！ぶ楹Ｊ星吧街袑W(xué)校聯(lián)考一模）如圖，與交于點(diǎn)，，，為延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，，求的長．14．（2023·江蘇常州·?？级＃┤鐖D，把矩形紙片沿折疊后，使得點(diǎn)D落在點(diǎn)H的位置上，點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)G處，連接．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)若，，求四邊形的面積及折痕的長．15．（2023·統(tǒng)考一模）如圖，是等邊三角形，D是邊上一點(diǎn)，以為邊作E等邊，交于點(diǎn)F，連接，(1)求證：．(2)若，，求的長．16．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，延長至點(diǎn)，使得．(1)求證：；(2)若，，，求的長．17．（2023·福建三明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，中，，，的平分線與邊交于點(diǎn)，與外角的平分線交于點(diǎn)．(1)求的值；(2)求點(diǎn)到直線的距離．18．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考一模）（1）如圖1，和都是等邊三角形，連接，，求證：．（2）如圖2，和左都是直角三角形，，，，連接，，求的值．19．（2023·