6.3相似圖形-2020-2021學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)課堂幫幫幫（蘇科版）

相似圖形知識(shí)點(diǎn)一、相似形 形狀相同的圖形相似形.1. 至少有兩個(gè)圖形，圖形的形狀完全一樣，圖形的大小不一定相同；2. 全等形是一種特殊的相似形；3. 相似形與圖形的大小、位置無(wú)關(guān)，與角度和方向也無(wú)關(guān).例：如圖，已知△ABC的六個(gè)元素，其中a、b、c表示三角形三邊的長(zhǎng)，則下面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中與△ABC不一定相似的圖形是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答答】A【解析】甲三角形的兩邊AC，BC的夾角不一定等于72度，故與△ABC不一定相似的圖形，故選此選項(xiàng)正確；乙可以利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等得出相似；丙、丁可以利用兩角對(duì)應(yīng)相等得出相似；故選A．知識(shí)點(diǎn)二、相似多邊形 各角分別相等、各邊成比例的兩個(gè)多邊形，它們的形狀相同，稱(chēng)為相似多邊形. 兩個(gè)相似多邊形可以用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”，相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.1. 相似多邊形的三個(gè)條件：①邊數(shù)相同；②對(duì)應(yīng)角相等；③對(duì)應(yīng)邊成比例；2. 全等多邊形得相似比是1，相似比是1的相似多邊形是全等多邊形；3. 當(dāng)用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)相似圖形時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)必須寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置.例：下列說(shuō)法中，不正確的是（）A．所有的菱形都相似 B．所有的正方形都相似 C．所有的等邊三角形都相似 D．有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似【答答】A【解析】A、所有的菱形都相似，說(shuō)法錯(cuò)誤；B、所有的正方形都相似，說(shuō)法正確；C、所有的等邊三角形都相似，說(shuō)法正確；D、有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似，說(shuō)法正確；故選A．鞏固練習(xí)一．選擇題1． 若某個(gè)直角三角形的兩直角邊之比為2：3，則確定了該三角形的（）A．形狀 B．周長(zhǎng) C．面積 D．斜邊【解答】A【解析】∵直角三角形的兩直角邊之比為2：3，∴雖不能確定兩直角邊的值，但能確定其比值，∴能確定該直角三角形的形狀，故選A．2． 下列圖形中一定是相似形的是（）A．兩個(gè)等邊三角形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)矩形 D．兩個(gè)直角三角形【解答】A【解析】∵等邊三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，∴兩個(gè)等邊三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，矩形的邊不一定對(duì)應(yīng)成比例，∴兩個(gè)直角三角形、兩個(gè)菱形、兩個(gè)矩形都不一定是相似形，故選A．3． 將直角三角形的三條邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后得到的三角形（）A．仍是直角三角形 B．一定是銳角三角形 C．可能是鈍角三角形 D．一定是鈍角三角形【解答】A【解析】∵將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形的三條邊與原三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，∴兩三角形相似．又∵原來(lái)的三角形是直角三角形，而相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，∴得到的三角形仍是直角三角形．故選A．4． 分別畫(huà)出下列四組圖形，必是相似三角形的為（）A．兩個(gè)直角三角形 B．有一個(gè)角為110°的兩個(gè)等腰三角形 C．有一個(gè)角為55°的兩個(gè)等腰三角形 D．兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形【解答】B【解析】?jī)蓚€(gè)直角三角形不一定相似；因?yàn)橹挥幸粋€(gè)直角相等，∴A不一定相似；有有一個(gè)角為110°的兩個(gè)等腰三角形一定相似；因?yàn)?10°的角只能是頂角，所以?xún)蓚€(gè)等腰三角形的頂角和底角分別相等，∴B一定相似；一個(gè)角為55°的兩個(gè)等腰三角形不一定相似；因?yàn)?5°的角可能是頂角，也可能是底角，∴C不一定相似；兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似；因?yàn)檫@個(gè)對(duì)應(yīng)角不一定是夾角；∴D不一定相似；故選B．5． 下列各組圖形中，是相似圖形的是（）A． B． C． D．【解答】D【解析】A．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；B．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；C．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；D．形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，此選項(xiàng)符合題意；故選D．6． 下面四組圖形中，必是相似三角形的為（）A．兩個(gè)直角三角形 B．兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形 C．有一個(gè)角為40°的兩個(gè)等腰三角形 D．有一個(gè)角為100°的兩個(gè)等腰三角形【解答】D【解析】?jī)蓚€(gè)直角三角形不一定相似；因?yàn)橹挥幸粋€(gè)直角相等，∴A不一定相似；兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似；因?yàn)檫@個(gè)對(duì)應(yīng)角不一定是夾角；∴B不一定相似；有一個(gè)角為40°的兩個(gè)等腰三角形不一定相似；因?yàn)?0°的角可能是頂角，也可能是底角，∴C不一定相似；有一個(gè)角為100°的兩個(gè)等腰三角形一定相似；因?yàn)?00°的角只能是頂角，所以?xún)蓚€(gè)等腰三角形的頂角和底角分別相等，∴D一定相似；故選D．7． 下列說(shuō)法正確的是（）A．對(duì)應(yīng)邊都成比例的多邊形相似 B．對(duì)應(yīng)角都相等的多邊形相似 C．邊數(shù)相同的正多邊形相似 D．矩形都相似【解答】C【解析】A、對(duì)應(yīng)邊都成比例的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯(cuò)誤；B、對(duì)應(yīng)角都相等的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯(cuò)誤；C、邊數(shù)相同的正多邊形，形狀相同，但大小不一定相同，故正確；D、矩形屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯(cuò)誤．故選C．8． 如圖，八個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)正方形網(wǎng)格，連結(jié)小長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)所得的四個(gè)三角形中是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【解答】D【解析】設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2，寬為1．則圖①中的三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，22，25，圖②中的三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，13，5，圖③中的三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，25，42圖④中的三角形的邊長(zhǎng)分別為：5，10，5，只有①④的三角形的三邊成比例，故選D．9． 下列四組圖形中，相似圖形為（）A． B． C． D．【解答】B【解析】A．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；B．形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，此選項(xiàng)符合題意；C．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；D．形狀不相同，不符合相似形的定義，此選項(xiàng)不符合題意；故選B．10．將圖形甲通過(guò)放大得到圖形乙，那么在圖形甲與圖形乙的對(duì)應(yīng)量中，沒(méi)有被放大的是（）A．邊的長(zhǎng)度 B．圖形的周長(zhǎng) C．圖形的面積 D．角的度數(shù)【解答】D【解析】將圖形甲通過(guò)放大得到圖形乙沒(méi)有被放大的是角的度數(shù)，故選D．11．下列圖形中，與圖相似的是（）A． B． C． D．【解答】D【解析】觀察圖形知該圖象于D相似，故D符合，故選D．12．下列說(shuō)法中正確的是（）①在兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形中，如果各對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形相似；②兩個(gè)矩形有一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例，這兩個(gè)矩形相似；③有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的平行四邊形都相似；④有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的菱形都相似．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【解答】D【解析】①雖然各對(duì)應(yīng)邊成比例，但是各對(duì)應(yīng)角不一定相等，所以不相似，比如：所有菱形的對(duì)應(yīng)邊都成比例，但是它們不一定相似；②兩個(gè)矩形有一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以得出四條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且它們的角都是90°，所以這兩個(gè)矩形相似；③有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，所以不一定相似；④有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就可以得出菱形的其他角對(duì)應(yīng)相等，并且菱形的對(duì)應(yīng)邊是成比例的，所以相似．故選D．二．填空題13．如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個(gè)相似三角形△ABC和△DEF，則∠BAC的度數(shù)為．【解答】135°．【解析】∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∠DEF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．故答案為135°．14．已知兩個(gè)三角形是相似形，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為25°、55°，則另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)為．【解答】100°【解析】∵一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為25°、55°，∴第三個(gè)角，即最大角為180°﹣（25°+55°）＝100°，∵兩個(gè)三角形相似，∴另一個(gè)三角形的最大內(nèi)角度數(shù)為100°，故答案為100°．15．如圖，E、P、F分別是AB、AC、AD的中點(diǎn)，則四邊形AEPF與四邊形ABCD（填“是”或“不是”）位似圖形．【解答】是【解析】∵E、P、F分別是AB、AC、AD的中點(diǎn)∴△AFP∽△ADC，△APE∽△ACB∴AF；AD＝AP：AC，AP；AC＝AE；AB∴AF：AD＝AP：AC＝AE：AB∴答案填：是．16．在一張由復(fù)印機(jī)通過(guò)放大復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)面積為2cm2圖案的一條邊由原來(lái)的1cm變成3cm，則這次復(fù)印出來(lái)的圖案的面積是cm2．【解答】18【解析】∵在一張由復(fù)印機(jī)通過(guò)放大復(fù)印出來(lái)的紙上，一個(gè)面積為2cm2圖案的一條邊由原來(lái)的1cm變成3cm，∴相似比＝1：3，∴面積比＝（1：3）2＝1：9，∴這次復(fù)印出來(lái)的圖案的面積＝2×9＝18（cm2）．故答案為18．17．若一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，則此三角形的周長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的倍．【解答】5【解析】∵一個(gè)三角形的各邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，∴擴(kuò)大后的三角形與原三角形相似，∵相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，∴這個(gè)三角形的周長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，故答案為5．18．如圖，用放大鏡將圖形放大，應(yīng)屬于哪一種變換：（請(qǐng)選填：對(duì)稱(chēng)變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換）．【解答】相似變換【解析】由一個(gè)圖形到另一個(gè)圖形，在改變的過(guò)程中形狀不變，大小產(chǎn)生變化，屬于相似變化．19．下列圖形中是與相似的．（1）（2）（3）（4）【解答】（1）與（4）【解析】觀察圖形，（1）與（4）形狀相同，這兩個(gè)圖形中的斜線(xiàn)都是連接在一條直線(xiàn)上的三個(gè)正方形的相對(duì)的頂點(diǎn)，并且其中一個(gè)頂點(diǎn)是單獨(dú)的一個(gè)正方形與成一條直線(xiàn)的三個(gè)正方形的公共頂點(diǎn)；（3）是成一條直線(xiàn)的三個(gè)三角形中兩個(gè)正方形的相對(duì)頂點(diǎn)的連線(xiàn)；（2）是連接在一條直線(xiàn)上的相對(duì)的頂點(diǎn)，并且其中一個(gè)頂點(diǎn)是單獨(dú)的一個(gè)正方形與成一條直線(xiàn)的三個(gè)正方形的不是公共頂點(diǎn)的連線(xiàn)．∴圖形中是（1）與（4）相似的．20．如圖，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D為BC邊的中點(diǎn)，BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，則線(xiàn)段EF的長(zhǎng)為．【解答】96【解析】過(guò)點(diǎn)D作DG∥BF交AC于點(diǎn)G，如右圖所示，∵D為BC邊的中點(diǎn)，BC＝6，∴BD＝3，∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，∴AD=A∵BE⊥AD于點(diǎn)E，交AC于F，∴BE=AB?BD∵AB＝4，BE=125，∠∴AE=4設(shè)DG＝x，則BF＝2x，EF＝2x-12∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG，∴AEAD即165解得，x=30∴EF＝2x-125=故答案為968521．（經(jīng)典題）掛在墻上的中國(guó)地圖與課本上的中國(guó)地圖相似的圖形．【解答】是【解析】根據(jù)相似圖形的定義知，掛在墻上的中國(guó)地圖與課本上的中國(guó)地圖形狀相同，只是大小不一定相同，∴它們是相似圖形．22．請(qǐng)從以下兩個(gè)小題中任選一個(gè)作答，若多選，則按所選的第一小題計(jì)分．（1）方程x2﹣9x+18＝0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為（2）如圖所示，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)正方形，兩個(gè)菱形各成一組，每組中的一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部，對(duì)應(yīng)平行，且對(duì)應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個(gè)圖形不相似的一組是（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)正確答案的序號(hào)）．【解答】（1）15；（2）②【解析】（1）x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，∴x1＝3，x2＝6，當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，3，6時(shí)，3+3＝6，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，∴此時(shí)不能組成三角形，當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，6，6時(shí)，此時(shí)符合三角形的三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)是3+6+6＝15，故答案為15．（2）由題意得，①中三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，兩三角形相似；③，④中正方形，菱形四條邊均相等，所以對(duì)應(yīng)邊成比例，又角也相等，所以正方形，菱形相似；而②中矩形四個(gè)角相等，但對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，所以②中矩形不是相似多邊形，故答案為②．三．解答題23．設(shè)四邊形ABCD與四邊形EFGH是相似圖形．且A與E，B與F，C與G，D與H是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．已知AB＝10．BC＝8，CD＝8，AD＝6，EF＝8，求四邊形EFGH的周長(zhǎng)．【解答】25.6【解析】四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AB+BC+CD+AD＝10+8+8+6＝32，∵四邊形ABCD與四邊形EEGH是相似圖形，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)：四邊形EEGH的周長(zhǎng)＝AB：EF，∴四邊形EEGH的周長(zhǎng)=824．如圖所示，小芳用畫(huà)正方形的辦法畫(huà)出下列一組圖案，你能按規(guī)律繼續(xù)畫(huà)下去嗎？想想其中有哪些相似圖形？【解答】見(jiàn)解析【解析】這組圖形的規(guī)律是：后面的圖案比前面的圖案多兩個(gè)全等的正方形，且多出的這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)等于前面正方形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)．按此規(guī)律可以繼續(xù)畫(huà)圖．其中每?jī)蓚€(gè)全等的正方形組成的圖形與后面多出的兩個(gè)全等的正方形形成的圖形都是相似的．25．某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組在探究相似多邊形問(wèn)題時(shí)，他們提出了下面兩個(gè)觀點(diǎn)：觀點(diǎn)一：將外面大三角形按圖1的方式向內(nèi)縮小，得到新三角形，它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為1，則新三角形與原三角形相似．觀點(diǎn)二：將鄰邊為6和10的矩形按圖2的方式向內(nèi)縮小，得到新的矩形，它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為1，則新矩形與原矩形相似．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）你認(rèn)為上述兩個(gè)觀點(diǎn)是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，將△ABC按圖3的方式向外擴(kuò)張，得到△DEF，它們對(duì)應(yīng)的邊間距都為m，DE＝15，求△DEF的面積．【解答】（1）觀點(diǎn)一正確；觀點(diǎn)二不正確；（2）54【解析】（1）觀點(diǎn)一正確；觀點(diǎn)二不正確．理由：①如圖（1）連接并延長(zhǎng)DA，交FC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)O，∵△ABC和△DEF對(duì)應(yīng)的邊的距離都為1，∴AB∥DE，AC∥DF，∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，∴△ABC∽△DEF，∴觀點(diǎn)一正確；②如圖（2）由題意可知，原矩形的鄰邊為6和10，則新矩形鄰邊為4和8，∵64=3∴64∴新矩形于原矩形不相似，∴觀點(diǎn)二不正確；（2）如圖（3），延長(zhǎng)DA、EB交于點(diǎn)O，∵A到DE、DF的距離都為1，∴DA是∠FDE的角平分線(xiàn)，同理，EB是∠DEF的角平分線(xiàn)，∴點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，∴△ABC是直角三角形，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則6﹣r+8﹣r＝10，解得r＝2，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥DE于點(diǎn)H，交AB于G，∵AB∥DE，∴OG⊥AB，∴OG＝r＝2，∴ABDE同理ACDF∴DF＝9，EF＝12，∴△DEF的面積為：1226．如圖，四邊形ABCD與四邊形A'B'C'D'相似的圖形，點(diǎn)A與點(diǎn)A′、點(diǎn)B與點(diǎn)B′、點(diǎn)C與點(diǎn)C′、點(diǎn)D與點(diǎn)D′分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，已知數(shù)據(jù)如圖所示，求未知邊x、y的長(zhǎng)度和角α、β的大?。窘獯稹縳＝6，y＝15，α＝155°，β＝55°【解析】在四邊形ABCD中，∠D＝∠D'＝β＝55°，∠A＝α＝360°﹣55°﹣90°﹣60°＝155°，∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴9x∴x＝6，y＝15．27．已知四邊形ABCD和四邊形A'B'C'D'是相似的圖形，并且點(diǎn)A與點(diǎn)A'、點(diǎn)B與點(diǎn)B'、點(diǎn)C與點(diǎn)C'、點(diǎn)D與點(diǎn)D'分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，已知BC＝4，CD＝3.6，A'B'＝3.3，B'C'＝3，∠B＝75°，∠C＝105°，∠D＝95°，求AB，C'D'的長(zhǎng)和∠A'的度數(shù)．【解答】AB＝4.4．C′D′＝2.7，∠A′＝85°【解析】在四邊形ABCD中，∠A＝360°﹣75°﹣105°﹣95°＝85°，∵四邊形ABCD∽四邊形A'B'C'D'，∴AB：A′B′＝CD：C′D′＝BC：B′C′＝4：3，∠A′＝∠A＝85°，∵A′B′＝3.3，CD＝3.6，∴AB＝4.4．C′D′＝2.7，28．觀察下列的圖形（a）﹣（g），其中哪些是與圖形（1）、（2）或（3）相似的．與圖形（1）相似的有；（填序號(hào)）與圖形（2）相似的有；與圖形（3）相似的有．【解答】見(jiàn)解析【解析】觀察比較圖形，根據(jù)相似形的定義可知：與圖形（1）相似的有a；與圖形（2）相似的有d；與圖形（3）相似的有g(shù)．29．如圖，菱形、矩形與正方形的形狀有差異，我們將菱形、矩形與正方形的接近程度稱(chēng)為“接近度”．在研究“接近度”時(shí)，應(yīng)保證相似圖形的“接近度”相等．（1）設(shè)菱形相鄰兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為m°和n°，將菱形的“接近度”定義為|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則該菱形的“接近度”等于；②當(dāng)菱形的“接近度”等于時(shí)，菱形是正方形．（2）設(shè)矩形相鄰兩條邊長(zhǎng)分別是a和b（a≤b），將矩形的“接近度”定義為|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你認(rèn)為這種說(shuō)法是否合理？若不合理，給出矩形的“接近度”一個(gè)合理定義．