高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義第2章第07節(jié)函數(shù)的圖像

第七節(jié)函數(shù)的圖像考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)函數(shù)的圖像2017·全國卷Ⅰ·T8·5分已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖像邏輯推理2016·全國卷Ⅰ·T9·5分已知函數(shù)解析式判斷函數(shù)的圖像數(shù)學(xué)運算邏輯推理2016·全國卷Ⅱ·T12·5分函數(shù)圖像的應(yīng)用直觀想象數(shù)學(xué)運算邏輯推理2015·全國卷Ⅰ·T12·5分函數(shù)圖像的對稱變換直觀想象邏輯推理命題分析本節(jié)內(nèi)容在高考中的考查形式有兩種：一種是給出函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像；一種是函數(shù)圖像的應(yīng)用.1．利用描點法作函數(shù)的圖像方法步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)的解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)；(4)描點連線．2．利用圖像變換法作函數(shù)的圖像(1)平移變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(eq\a\vs4\al(a＞0，右移a個單位)),\s\do5(eq\a\vs4\al(a＜0，左移|a|個單位))),y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(eq\a\vs4\al(eq\a\vs4\al(b＞0，上移b個單位))),\s\do5(eq\a\vs4\al(eq\a\vs4\al(b＜0，下移|b|個單位))))y＝f(x)＋b.(2)伸縮變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(eq\a\vs4\al(0＜ω＜1，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的\f(1,ω)倍)),\s\do5(eq\a\vs4\al(ω＞1，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的\f(1,ω)倍)))y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(eq\a\vs4\al(A＞1，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的A倍)),\s\do5(eq\a\vs4\al(0＜A＜1，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的A倍)))y＝Af(x)．(3)對稱變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于x軸對稱),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于y軸對稱),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關(guān)于原點對稱),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折變換：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖),\s\do5(將y軸右邊的圖像翻折到左邊去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖),\s\do5(將x軸下方的圖像翻折到上方去))y＝|f(x)|.提醒：(1)辨明三個易誤點①圖像左右平移僅僅是相對x而言的，即發(fā)生變化的只是x本身，利用“左加右減”進行操作．如果x的系數(shù)不是1，需要把系數(shù)提出來，再進行變換．②圖像上下平移僅僅是相對y而言的，即發(fā)生變化的只是y本身，利用“上加下減”進行操作．但平時我們是對y＝f(x)中的f(x)進行操作，滿足“上加下減”．③要注意一個函數(shù)的圖像自身對稱和兩個不同的函數(shù)圖像對稱的區(qū)別．(2)會用兩種數(shù)學(xué)思想①數(shù)形結(jié)合思想借助函數(shù)圖像，可以研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)；利用函數(shù)的圖像，還可以判斷方程f(x)＝g(x)的解的個數(shù)、求不等式的解集等．②分類討論思想畫函數(shù)圖像時，如果解析式中含參數(shù)，還要對參數(shù)進行討論，分別畫出其圖像．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝f(1－x)的圖像，可由y＝f(－x)的圖像向左平移1個單位得到．()(2)函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱即函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖像關(guān)于y軸對稱．()(3)當(dāng)x∈(0，＋∞)時，函數(shù)y＝f(|x|)的圖像與y＝|f(x)|的圖像相同．()(4)若函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對稱．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材習(xí)題改編)小明騎車上學(xué)，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖像是()解析：選C距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小，由于小明先是勻速運動，故第一段是直線段，途中停留時距離不變，最后一段加速，最后的直線段比第一段下降得快，故應(yīng)選C．3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋lnx，x≥1，,x3，x<1，))則f(x)的圖像為()解析：選A由題意知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，當(dāng)x＝1時，f(x)＝1，當(dāng)x＝0時，f(x)＝0，故選A．4．(2015·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝ax3－2x的圖像過點(－1,4)，則a＝________.解析：因為f(x)＝ax3－2x的圖像過點(－1,4)，所以4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.答案：－25．(2018·大同檢測)若關(guān)于x的方程|x|＝a－x只有一個解，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：在同一個坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝|x|與y＝a－x的圖像，如圖所示．由圖像知當(dāng)a＞0時，方程|x|＝a－x只有一個解．答案：(0，＋∞)作函數(shù)的圖像[明技法]畫函數(shù)圖像的2種常用方法(1)直接法：當(dāng)函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本初等函數(shù)時，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征直接作出．(2)圖像變換法：若函數(shù)圖像可由某個基本初等函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖像變換作出，但要注意變換順序．[提能力]【典例】分別作出下列函數(shù)的圖像．(1)y＝2x＋2；(2)y＝eq\f(x＋2,x－1).解：(1)將y＝2x的圖像向左平移2個單位．圖像如圖①所示．(2)因為y＝1＋eq\f(3,x－1)，先作出y＝eq\f(3,x)的圖像，將其圖像向右平移1個單位，再向上平移1個單位，即得y＝eq\f(x＋2,x－1)的圖像，如圖②.①②[母題變式]將本例(2)的函數(shù)變?yōu)椤皔＝eq\f(x＋2,x＋3)”，函數(shù)的圖像如何？解：y＝eq\f(x＋2,x＋3)＝1－eq\f(1,x＋3)，該函數(shù)圖像可由函數(shù)y＝－eq\f(1,x)向左平移3個單位，再向上平移1個單位得到，如圖所示．[刷好題](金榜原創(chuàng))分別畫出下列函數(shù)的圖像．(1)y＝|lgx|；(2)y＝sin|x|.解：(1)∵y＝|lgx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥1，,－lgx，0＜x＜1.))∴函數(shù)y＝|lgx|的圖像，如圖①.(2)當(dāng)x≥0時，y＝sin|x|與y＝sinx的圖像完全相同，又y＝sin|x|為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，其圖像如圖②.函數(shù)圖像的識別與辨析[明技法]識辨函數(shù)圖像的入手點(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對稱性．(4)從函數(shù)的周期性，判斷圖像的循環(huán)往復(fù)．(5)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖像．[提能力]【典例】(1)(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝eq\f(sin2x,1－cosx)的部分圖像大致為()(2)如圖，矩形ABCD的周長為8，設(shè)AB＝x(1≤x≤3)，線段MN的兩端點在矩形的邊上滑動，且MN＝1，當(dāng)N沿A→D→C→B→A在矩形的邊上滑動一周時，線段MN的中點P所形成的軌跡為G，記G圍成的區(qū)域的面積為y，則函數(shù)y＝f(x)的圖像大致為()解析：(1)選C令f(x)＝eq\f(sin2x,1－cosx)，∵f(1)＝eq\f(sin2,1－cos1)>0，f(π)＝eq\f(sin2π,1－cosπ)＝0，∴排除選項A，D．由1－cosx≠0得x≠2kπ(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱．又∵f(－x)＝eq\f(sin－2x,1－cos－x)＝－eq\f(sin2x,1－cosx)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，∴排除選項B．故選C．(2)選D方法一由題意可知點P的軌跡為圖中虛線所示，其中四個角均是半徑為eq\f(1,2)的扇形．因為矩形ABCD的周長為8，AB＝x，則AD＝eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以y＝x(4－x)－eq\f(π,4)＝－(x－2)2＋4－eq\f(π,4)(1≤x≤3)，顯然該函數(shù)的圖像是二次函數(shù)圖像的一部分，且當(dāng)x＝2時，y＝4－eq\f(π,4)∈(3,4)，故選D．方法二在判斷出點P的軌跡后，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x＝1時，y＝3－eq\f(π,4)∈(2,3)，故選D．[刷好題]1．下列四個函數(shù)中，圖像如圖所示的只能是()A．y＝x＋lgx B．y＝x－lgxC．y＝－x＋lgx D．y＝－x－lgx解析：選B特殊值法：當(dāng)x＝1時，由圖像知y>0，而C，D中y<0，故排除C，D；又當(dāng)x＝eq\f(1,10)時，由圖像知y>0，而A中y＝eq\f(1,10)＋lgeq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)<0，排除A．故選B．2．函數(shù)y＝sinx2的圖像是()解析：選D排除法：由y＝sinx2為偶函數(shù)判斷函數(shù)圖像的對稱性，排除A，C；當(dāng)x＝eq\f(π,2)時，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))2＝sineq\f(π2,4)≠1，排除B．故選D．3．如圖，矩形ABCD的周長為4，設(shè)AB＝x，AC＝y(tǒng)，則y＝f(x)的大致圖像為()解析：選C方法一由題意得y＝eq\r(x2＋2－x2)＝eq\r(2x2－4x＋4)，x∈(0,2)不是一次函數(shù)，排除A、B．當(dāng)x→0時，y→2，故選C．方法二由法一知y＝eq\r(2x－12＋2)在(0,1]上是減函數(shù)，在[1,2)上是增函數(shù)，且非一次函數(shù)，故選C．函數(shù)圖像的應(yīng)用[析考情]函數(shù)圖像的應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，考查兩圖像的交點、函數(shù)性質(zhì)、方程解的個數(shù)、不等式的解集等，難度中檔或偏上．[提能力]命題點1：利用圖像研究函數(shù)的性質(zhì)【典例1】(2018·長春質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x|x|－2x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0，＋∞)B．f(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(－∞，1)C．f(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(－1,1)D．f(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(－∞，0)解析：選C將函數(shù)f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))畫出函數(shù)f(x)的圖像，如圖，觀察圖像可知，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在(－1,1)上單調(diào)遞減．命題點2：方程的根或函數(shù)圖像的零點【典例2】已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,2|x|，x≤0，))則方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的個數(shù)為________．解析：方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解為f(x)＝eq\f(1,2)或f(x)＝1.作出y＝f(x)的圖像，由圖像知直線y＝eq\f(1,2)與函數(shù)y＝f(x)的圖像有2個公共點；直線y＝1與函數(shù)y＝f(x)的圖像有3個公共點．故方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0有5個解．答案：5命題點3：利用圖像求不等式的解集【典例3】設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)且f(1)＝0，則不等式eq\f(fx－f－x,x)＜0的解集為()A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)解析：選Df(x)為奇函數(shù)，所以不等式eq\f(fx－f－x,x)＜0化為eq\f(fx,x)＜0，即xf(x)＜0，f(x)的大致圖像如圖所示．所以xf(x)＜0的解集為(－1,0)∪(0,1)．命題點4：利用函數(shù)圖像的對稱性解題【典例4】(2016·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝2－f(x)，若函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)與y＝f(x)圖像的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，則eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝()A．0 B．mC．2m D．解析：選B由f(－x)＝2－f(x)可知f(x)的圖像關(guān)于點(0,1)對稱，又易知y＝eq\f(x＋1,x)＝1＋eq\f(1,x)的圖像關(guān)于點(0,1)對稱，所以兩函數(shù)圖像的交點成對出現(xiàn)，且每一對交點都關(guān)于點(0,1)對稱，則x1＋xm＝x2＋xm－1＝…＝0，y1＋ym＝y(tǒng)2＋ym－1＝…＝2，∴eq\i\su(i＝1,m,)(xi＋yi)＝0×eq\f(m,2)＋2×eq\f(m,2)＝m.故選B．命題點5：利用函數(shù)圖像求參數(shù)的取值范圍【典例5】函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x－1，x≤0，,fx－1，x>0，))若方程f(x)＝x＋a有兩個不同實根，則a的取值范圍是________．解析：當(dāng)x≤0時，f(x)＝2－x－1，當(dāng)0<x≤1時，－1<x－1≤0，f(x)＝f(x－1)＝2－(x－1)－1.當(dāng)1<x≤2時，－1<x－2≤0，f(x)＝f(x－1)＝f(x－2)＝2－(x－2)－1.故x>0時，f(x)是周期函數(shù)，如圖，欲使方程f(x)＝x＋a有兩解，即函數(shù)f(x)的圖像與直線y＝x＋a有兩個不同交點，故a<1，則a的取值范圍是(－∞，1)．答案：(－∞，1)[悟技法]函數(shù)圖像應(yīng)用中的幾個問題(1)利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)，一定要注意其對應(yīng)關(guān)系，如：圖像的左右范圍對應(yīng)定義域；上下范圍對應(yīng)值域；上升、下降趨勢對應(yīng)單調(diào)性；對稱性對應(yīng)奇偶性．(2)有關(guān)不等式的問題常常轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的上、下關(guān)系來解．(3)有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的