專項15二次函數(shù)應(yīng)用(4大類型)(原卷版+解析)

專項15二次函數(shù)應(yīng)用（4大類型）考點1運(yùn)動類（1）落地模型最值模型考點2經(jīng)濟(jì)類銷售問題常用等量關(guān)系：利潤=收入-成本；利潤=單件利潤×銷量；考點3面積類考點4拱橋類一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．【考點1落地模型】【典例1】（2020九上·榆次期末）在晉中市中考體育訓(xùn)練期間，某初三學(xué)生對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系式為y=?1A．3米 B．2米 C．10米 D．53【變式1-1】（2021九上·潁上月考）如圖，某運(yùn)動員推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是y＝-x2＋x＋6，則此運(yùn)動員將鉛球推出的距離是．【變式1-2】（2021九上·棲霞期中）如圖，若被擊打的小球飛行高度?（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為?=20t?5t2，則小球從飛出到落地所用的時間為【變式1-3】（2020九上·楊浦期末）廣場上水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的高度y（米）關(guān)于水珠和噴頭的水平距離x（米）的函數(shù)解析式是y=?3A．1米 B．2米 C．5米 D．6米【考點2最值模型】【典例2】（2019九上·蜀山月考）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（米）關(guān)于滑行的時間t（秒）的函數(shù)表達(dá)式是s=60t-1.5t2，則飛機(jī)著陸后滑行直到停下來滑行了米．【變式2-1】（2021秋?信陽期中）煙花廠為建黨成立100周年特別設(shè)計制作了一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度h（m）與飛行時間t（s）的關(guān)系式是h＝﹣t2+8t．若這種禮炮在升空到最高點時引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為（）A．3s B．4s C．5s D．6s【變式2-2】（2021秋?越秀區(qū)期末）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行的時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，則飛機(jī)停下前最后10秒滑行的距離是米．【變式2-3】（2022九上·蕭山期末）豎直向上發(fā)射的小球的高度?(m)關(guān)于運(yùn)動時間t(s)的函數(shù)表達(dá)式為?=atA．第3秒B．第3.5秒C．第4秒 D．第4.5秒【考點3經(jīng)濟(jì)類】【典例3】（2021九上·舟山期末）某公司今年國慶期間在網(wǎng)絡(luò)平臺上進(jìn)行直播銷售獼猴桃，已知獼猴桃的成本價格為8元／kg，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)：每日銷售量y（kg）與銷售單價x（元／kg）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是有關(guān)數(shù)據(jù)，銷售單價不低于成本價且不高于24元／kg．設(shè)公司銷售獼猴桃的日獲利為w（元）.x（元／kg）91011y(kg)210020001900（1）請求出日銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，銷售這種獼猴桃日獲利w最大？最大利潤為多少元？【變式3-1】（2021九上·鄂城期末）綠色生態(tài)農(nóng)場生產(chǎn)并銷售某種有機(jī)生態(tài)水果.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該生態(tài)水果的周銷售量y（千克）是銷售單價x（元/千克）的一次函數(shù).其銷售單價、周銷售量及周銷售利潤w（元）的對應(yīng)值如表.請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：銷售單價x（元/千克）4050周銷售量y（千克）180160周銷售利潤w（元）18003200（1）這種有機(jī)生態(tài)水果的成本為元/千克；（2）求該生態(tài)水果的周銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若農(nóng)場按銷售單價不低于成本價，且不高于60元/千克銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該生態(tài)水果每周獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？【變式3-2】（2021九上·南充期末）在實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略和移動互聯(lián)快速進(jìn)化的大背景下，某電商平臺以10元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，經(jīng)前期銷售發(fā)現(xiàn)日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，整理部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：銷售價格x（元/千克）1213141516日銷售量y（千克）1000900800700600（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.（2）為了穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門規(guī)定這種農(nóng)產(chǎn)品利潤率不得高于50%，該平臺應(yīng)如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤w最大？（利潤=售價－成本，利潤率=利潤÷成本×100%）【變式3-3】（2021九上·萊蕪期末）2022年冬奧會即將在北京召開，某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)了一批以冬奧會為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價每件40元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，設(shè)每月獲得的利潤為W（元）．（1）求出每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）這種文化衫銷售單價定為多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）為了擴(kuò)大冬奧會的影響，物價部門規(guī)定這種文化衫的銷售單價不高于60元，該商店銷售這種文化衫每月要獲得最大利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？每月的最大利潤為多少元？【典例4】（2021九上·硯山期末）某機(jī)械公司經(jīng)銷一種零件，已知這種零件的成本為每件20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)銷售價為24元，平均每天能售出32件，而當(dāng)銷售價每上漲1元，平均每天就少售出2件．（1）若公司每天的銷售價為x元，則每天的銷售量為多少？（2）該公司想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)當(dāng)為多少元？（3）如果物價部門規(guī)定這種零件的銷售價不得高于每件28元，那么銷售價定位多少元時，該公司每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【變式4-1】（2021九上·中山期末）某商場購進(jìn)一批進(jìn)貨價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高價格．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價格銷售，每月能賣出360件，若按每件25元的價格銷售，每月能賣210件，假定每月銷售量y（件）是銷售價格x（元/件）的一次函數(shù)．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）銷售價定為多少元時，該商場每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？【變式4-2】（2021九上·龍江期末）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價為100元時，每月的銷售量為50件，而銷售單價每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價不得低于成本．（1）直接寫出該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求自變量取值范圍）（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實惠，銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為多少元？【考點4面積類】【典例5】（2021九上·朝陽期末）如圖，某矩形花園ABCD一邊靠墻，墻長35m，另外三邊用長為69m的籬笆圍成，其中一邊開有一扇寬為1m的門（不包括籬笆）．設(shè)矩形花園ABCD垂直于墻的一邊AB長為xm，面積為Sm（1）BC的長為m（用含x的代數(shù)式表示）．（2）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．（3）求花園面積S的最大值．【變式5-1】（2021九上·朝陽期末）如圖，一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開.已知籬笆的總長為900m（籬笆的厚度忽略不計），當(dāng)AB＝m時，矩形土地ABCD的面積最大.【變式5-2】（2021九上·歷下期末）如圖，用一段長36米的籬笆，圍成一個矩形花圃，花圃的一邊靠墻（墻足夠長），設(shè)AB邊的長為x米，矩形ABCD的面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時，S有最大值？并求出最大值．【考點4拱橋類】【典例6】（2021九上·百色期末）如圖，一位運(yùn)動員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；（2）該運(yùn)動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？【變式6-1】（2021九上·和平期末）如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（）A．94m B．198m C．【變式6-2】（2020九上·馬山月考）如圖所示，橋拱是拋物線形，其函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣14x2，當(dāng)水位線在AB位置時，水面寬12mA．3m B．m C．4m D．9m【變式6-3】（2021九上·香洲期中）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長OA為12m，寬OB為4m，建立直角坐標(biāo)系，拋物線可用y＝﹣16x2+bx+c（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式和拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車載集裝箱后高為6m，寬為4m，若隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？1．（2020九上·合肥月考）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，安徽省2019年第二季度GDP總值約為7.9千億元人民幣，若我省第四季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y=7.9（1＋2x）B．y=7.9（1－x）2C．y=7.9（1＋x）2D．y=7.9＋7.9（1＋x）＋7.9（1＋x）22．（2020九上·淮北月考）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度y米與小球運(yùn)動的時間x秒之間的關(guān)系式為y=ax2+bx+c(a≠0).若小球在第7秒與第14秒時的高度相同，則在下列時間中小球所在高度最高的是A．第8秒B．第10秒C．第12秒 D．第15秒3．（2021九上·贛州期中）用一根長為100cm的鐵絲，把它折成一個長方形框．設(shè)長方形的寬為xcm，面積為ycm2，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是4．（2021九上·農(nóng)安期末）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加m.5．（2019九上·大同期中）如圖①是一座石拱橋，它是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，若橋拱的最大高度為16米，跨度為40米，圖②為它在坐標(biāo)系中的示意圖，則拋物線的解析式是（寫出頂點式和一般式均可）．6.（2021秋?越秀區(qū)期末）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行的時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，則飛機(jī)停下前最后10秒滑行的距離是米．7．（2021九上·無棣期末）為了迎接2022年春節(jié)，我縣古城風(fēng)景區(qū)內(nèi)開發(fā)了冰上滑雪運(yùn)動項目，某體育用品商店抓住這一商機(jī)購進(jìn)一批滑雪板，若每件進(jìn)價為50元，售價為66元，每星期可賣出40件．為了鼓勵大家多參加冰上滑雪運(yùn)動，同時降低庫存，商家決定降價促銷，根據(jù)市場調(diào)查，每件降價1元，每星期可多賣出4件．（1）若設(shè)每件滑雪板降價x元，每星期的銷售量為y件，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，（不用標(biāo)出x的取值范圍）；（2）降價后，商家要使每星期的利潤最大，應(yīng)將售價定為每件多少元？最大銷售利潤多少？8．（2021九上·吳興期末）為響應(yīng)吳興區(qū)“千里助力，精準(zhǔn)扶貧”活動，某銷售平臺為青川農(nóng)戶銷售農(nóng)產(chǎn)品，平臺銷售農(nóng)產(chǎn)品的總運(yùn)營成本為4元/千克，在銷售過程中要保證農(nóng)戶的售價不低于7元/千克，且不超過15元/千克．如圖記錄了某三周的銷售數(shù)據(jù)，經(jīng)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，每周的農(nóng)產(chǎn)品銷售量y（千克）與售價x（元/千克）（x為正整數(shù)）近似滿足如圖規(guī)律的函數(shù)關(guān)系.（1）試寫出y與x符合的函數(shù)表達(dá)式．（2）若要確保農(nóng)產(chǎn)品一周的銷售量不少于6500千克，問：當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品售價定為多少時，青川農(nóng)戶可獲得最大收入？最大收入為多少？9．（2021九上·東城期末）為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻(墻長25m)的空地上修建一個矩形小花園ABCD，小花園一邊靠墻，另三邊用總長40m的柵欄圍住，如下圖所示．若設(shè)矩形小花園AB邊的長為xm，面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？10．（2021九上·鹽湖期末）某企業(yè)生產(chǎn)了一套健身器材，通過實體店和網(wǎng)上商店兩種途徑進(jìn)行銷售，銷售一段時間后，該企業(yè)對這種健身器材的銷售情況進(jìn)行了為期30天的跟蹤調(diào)查，其中實體店的日銷售量y1（套）與時間x（x為整數(shù)，單位：天）的部分對應(yīng)值如下表：時間x（天）051015202530日銷售量y1（套）025404540250（1）已知y1與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，求y1與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）網(wǎng)上商店的日銷售量y2（套）與時間x（x為整數(shù)，單位：天）的關(guān)系如圖所示，求y2與x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍．（3）在跟蹤調(diào)查的30天中，設(shè)實體店和網(wǎng)上商店的日銷售總量為y（套），求當(dāng)x為何值時，日銷售總量y達(dá)到最大，并求出此時的最大值．11.（2021九上·南召期末）某公司生產(chǎn)A型活動板房成本是每個425元.圖①表示A型活動板房的一面墻，它由長方形和拋物線構(gòu)成，長方形的長AD=4米，寬AB=3米，拋物線的最高點E到BC的距離為4米.（1）按如圖①所示的直角坐標(biāo)系，拋物線可以用y=ax2+c(a≠0)（2）現(xiàn)將A型活動板房改造為B型活動板房.如圖②，在拋物線與AD之間的區(qū)域內(nèi)加裝一扇長方形窗戶FGMN，點G，M在AD上，點N，F(xiàn)在拋物線上，窗戶每平方米的成本為50元.已知GM=2米，直接寫出：每個B型活動板房的成本是元.（每個B型活動板房的成本=每個A型活動板房的成本+一扇窗戶FGMN的成本）（3）根據(jù)市場信息，這樣的B型活動板房公司每月最多能生產(chǎn)160個，若以單價650元銷售B型活動板房，每月能售出100個；若單價每降低10元，每月能多售出20個這樣的B型活動板房.不考慮其他因素，公司將銷售單價n（元）定為多少時，每月銷售B型活動板房所獲利潤w（元）最大？最大利潤是多少？12．（2021九上·寧波期中）某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測，并建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），P與t之間存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)P＝120t+4（0＜t≤8）的圖象與線段AB的組合；設(shè)第t個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q＝（1）當(dāng)8＜t≤24時，求P關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為w（單位：萬元）①求w關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②未來兩年內(nèi)，當(dāng)月銷售量P為時，月毛利潤為w達(dá)到最大.專項15二次函數(shù)應(yīng)用（4大類型）考點1運(yùn)動類（1）落地模型最值模型考點2經(jīng)濟(jì)類銷售問題常用等量關(guān)系：利潤=收入-成本；利潤=單件利潤×銷量；考點3面積類考點4拱橋類一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．【考點1落地模型】【典例1】（2020九上·榆次期末）在晉中市中考體育訓(xùn)練期間，某初三學(xué)生對自己某次實心球訓(xùn)練的錄像進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關(guān)系式為y=?1A．3米 B．2米 C．10米 D．53【答案】C【解答】解：當(dāng)y=0時，y=-112x2+23x+解得：x1=-2(舍去)，x2=10，由此可知該生此次實心球訓(xùn)練的成績?yōu)?0米；故答案為：C.【變式1-1】（2021九上·潁上月考）如圖，某運(yùn)動員推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是y＝-x2＋x＋6，則此運(yùn)動員將鉛球推出的距離是．【答案】3m【解答】解：∵鉛球行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系是y＝-x2＋x＋6，令y=0即-x即x(x?3)(x+2)=0解得x根據(jù)題意，x=3故答案為：3m【變式1-2】（2021九上·棲霞期中）如圖，若被擊打的小球飛行高度?（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有的關(guān)系為?=20t?5t2，則小球從飛出到落地所用的時間為【答案】4【解答】解：依題意，令?=0得：∴0=20t?5得：t(20?5t)=0解得：t=0（舍去）或t=4∴即小球從飛出到落地所用的時間為4s故答案為4．【變式1-3】（2020九上·楊浦期末）廣場上水池中的噴頭微露水面，噴出的水線呈一條拋物線，水線上水珠的高度y（米）關(guān)于水珠和噴頭的水平距離x（米）的函數(shù)解析式是y=?3A．1米 B．2米 C．5米 D．6米【答案】B【解答】解：∵y=-32x2+6x=-32（x2-4x）=-32[（x-2）2-4]=-3∴當(dāng)x=2時，y有最大值，∴水珠的高度達(dá)到最大時，水珠與噴頭的水平距離是2．故答案為：B．【考點2最值模型】【典例2】（2019九上·蜀山月考）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（米）關(guān)于滑行的時間t（秒）的函數(shù)表達(dá)式是s=60t-1.5t2，則飛機(jī)著陸后滑行直到停下來滑行了米．【答案】600【解答】解：s=60t?1.5t則當(dāng)t=20時，s取得最大值，此時s=600，故飛機(jī)著陸后滑行到停下來滑行的距離為：600m．故答案為：600．【變式2-1】（2021秋?信陽期中）煙花廠為建黨成立100周年特別設(shè)計制作了一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度h（m）與飛行時間t（s）的關(guān)系式是h＝﹣t2+8t．若這種禮炮在升空到最高點時引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵禮炮在點火升空到最高點引爆，∴t＝﹣＝﹣＝6，∴從點火升空到引爆需要的時間為6s，故選：D．【變式2-2】（2021秋?越秀區(qū)期末）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行的時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，則飛機(jī)停下前最后10秒滑行的距離是米．【答案】15【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600，﹣＜0，拋物線開口向下，∴當(dāng)t＝20時，s有最大值，此時s＝600，∴飛機(jī)從落地到停下來共需20秒，飛機(jī)前10秒滑行的距離為：s1＝60×10﹣1.5×102＝585（米），∴飛機(jī)停下前最后10秒滑行的距離為：600﹣585＝15（米），故答案為：15．【變式2-3】（2022九上·蕭山期末）豎直向上發(fā)射的小球的高度?(m)關(guān)于運(yùn)動時間t(s)的函數(shù)表達(dá)式為?=atA．第3秒B．第3.5秒C．第4秒 D．第4.5秒【答案】C【解答】解：因為?=at所以此拋物線的對稱軸為直線t=2+6又因為此拋物線的開口向下，所以當(dāng)t=4時，?取得最大值，即小球發(fā)射后第4秒的高度最高，故答案為：C.【考點3經(jīng)濟(jì)類】【典例3】（2021九上·舟山期末）某公司今年國慶期間在網(wǎng)絡(luò)平臺上進(jìn)行直播銷售獼猴桃，已知獼猴桃的成本價格為8元／kg，經(jīng)銷售發(fā)現(xiàn)：每日銷售量y（kg）與銷售單價x（元／kg）滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是有關(guān)數(shù)據(jù)，銷售單價不低于成本價且不高于24元／kg．設(shè)公司銷售獼猴桃的日獲利為w（元）.x（元／kg）91011y(kg)210020001900（1）請求出日銷售量y與銷售單價x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價定為多少時，銷售這種獼猴桃日獲利w最大？最大利潤為多少元？【解答】（1）解：設(shè)y=kx+b則2100=9k+b∴k=?100∴y=?100x+3000(8≤x≤24)（2）解：由題意得：w=∴對稱軸為x=19∵8≤x≤24，a=-100<0∴當(dāng)x=19，即銷售單價定為19時，銷售這種獼猴桃日獲利w最大，最大利潤為12100元.【變式3-1】（2021九上·鄂城期末）綠色生態(tài)農(nóng)場生產(chǎn)并銷售某種有機(jī)生態(tài)水果.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該生態(tài)水果的周銷售量y（千克）是銷售單價x（元/千克）的一次函數(shù).其銷售單價、周銷售量及周銷售利潤w（元）的對應(yīng)值如表.請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：銷售單價x（元/千克）4050周銷售量y（千克）180160周銷售利潤w（元）18003200（1）這種有機(jī)生態(tài)水果的成本為元/千克；（2）求該生態(tài)水果的周銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若農(nóng)場按銷售單價不低于成本價，且不高于60元/千克銷售，則銷售單價定為多少，才能使銷售該生態(tài)水果每周獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少？【解答】（1）30（2）解：設(shè)y=kx+b依題意得：40k+b=18050k+b=160解得∴y=?2x+260（3）解：依題意得w=(x?30)(?2x+260)=?2∵30≤x≤60∴當(dāng)x=60時，w即單價定為60元/千克時獲得最大利潤4200元.【變式3-2】（2021九上·南充期末）在實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略和移動互聯(lián)快速進(jìn)化的大背景下，某電商平臺以10元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行銷售，經(jīng)前期銷售發(fā)現(xiàn)日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，整理部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：銷售價格x（元/千克）1213141516日銷售量y（千克）1000900800700600（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.（2）為了穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門規(guī)定這種農(nóng)產(chǎn)品利潤率不得高于50%，該平臺應(yīng)如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤w最大？（利潤=售價－成本，利潤率=利潤÷成本×100%）【解答】（1）解：設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，則把x=12，y=1000和x=13，y=900代入得：12k+b=100013k+b=900，解得：k=?100∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=?100x+2200（2）解：由（1）及題意得：w=(x?10)(?100x+2200)=?100x∴-100＜0，開口向下，對稱軸為直線x=16，∵這種農(nóng)產(chǎn)品利潤率不得高于50%，∴x?10≤10×50％，解得：x≤15，∴當(dāng)x≤15時，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=15時，w有最大值；答：當(dāng)銷售價格為15元時，才能使日銷售利潤最大.【變式3-3】（2021九上·萊蕪期末）2022年冬奧會即將在北京召開，某網(wǎng)絡(luò)經(jīng)銷商購進(jìn)了一批以冬奧會為主題的文化衫進(jìn)行銷售，文化衫的進(jìn)價每件40元，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，設(shè)每月獲得的利潤為W（元）．（1）求出每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）這種文化衫銷售單價定為多少元時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？（3）為了擴(kuò)大冬奧會的影響，物價部門規(guī)定這種文化衫的銷售單價不高于60元，該商店銷售這種文化衫每月要獲得最大利潤，銷售單價應(yīng)定為多少元？每月的最大利潤為多少元？【解答】（1）解：設(shè)y=kx+b，把x=40，y=600和x=80，y=200代入得：40k+b=60080k+b=200，解得k=?10，b=1000，所以y=?10x+1000（2）解：W=(x?40)y=(x?40)(?10x+1000)=?10x即W與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：W=?10xW=?10x∴當(dāng)x=70時，有最大值9000，當(dāng)這種文化衫銷售單價定為70元時，每月的銷售利潤最大，最大利潤是9000元．解：根據(jù)第二問得：當(dāng)x<70時，W隨x的增大而增大，又因為x≤60，所以當(dāng)x=60時，W=8000，所以當(dāng)銷售單價應(yīng)定為60元，每月的最大利潤為8000元．【典例4】（2021九上·硯山期末）某機(jī)械公司經(jīng)銷一種零件，已知這種零件的成本為每件20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)當(dāng)銷售價為24元，平均每天能售出32件，而當(dāng)銷售價每上漲1元，平均每天就少售出2件．（1）若公司每天的銷售價為x元，則每天的銷售量為多少？（2）該公司想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應(yīng)當(dāng)為多少元？（3）如果物價部門規(guī)定這種零件的銷售價不得高于每件28元，那么銷售價定位多少元時，該公司每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【解答】（1）解：根據(jù)題意，得：32?2(（2）解：由題意可得，(x?20解得x1=25，答：該公司想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價為25元或35元．（3）解：設(shè)公司每天獲得的利潤為y元，根據(jù)題意得y=(x?20)(80?2x)=?2x∵a=?2<0，y有最大值，x=∴當(dāng)x<30時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=28時每天獲得的利潤最大，y最大答：物價部門規(guī)定這種零件的銷售價不得高于每件28元，那么銷售價定位28元時，該公司每天獲得的利潤最大，最大利潤是192元．【變式4-1】（2021九上·中山期末）某商場購進(jìn)一批進(jìn)貨價為16元的日用品，銷售一段時間后，為了獲得更多的利潤，商店決定提高價格．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價格銷售，每月能賣出360件，若按每件25元的價格銷售，每月能賣210件，假定每月銷售量y（件）是銷售價格x（元/件）的一次函數(shù)．（1）求y與x之間的關(guān)系式；（2）銷售價定為多少元時，該商場每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？【解答】（1）解：由題意可知：20k+b=36025k+b=210解得：k=?30b=960∴y與x之間的關(guān)系式為：y=?30x+960（2）解：由（1）可知：y與x的函數(shù)關(guān)系應(yīng)該是y=-30x+960，設(shè)商場每月獲得的利潤為W，由題意可得W=（x-16）（-30x+960）=-30x2+1440x-15360．∵-30＜0，∴當(dāng)x=?14402×(?3)=24時，利潤最大，W答：當(dāng)單價定為24元時，獲得的利潤最大，最大的利潤為1920元．【變式4-2】（2021九上·龍江期末）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價為100元時，每月的銷售量為50件，而銷售單價每降低2元，則每月可多售出10件，且要求銷售單價不得低于成本．（1）直接寫出該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求自變量取值范圍）（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實惠，銷售單價應(yīng)定為多少元？（3）為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為多少元？【解答】（1）y＝﹣5x+550（2）解：∵依題意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵并使顧客獲得更多的實惠，且70＜90，∴當(dāng)該商品每月銷售利潤為4000，為使顧客獲得更多實惠，銷售單價應(yīng)定為70元；（3）解：設(shè)每月總利潤為w，依題意得：w＝y(tǒng)（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，∴當(dāng)x＝80時，w有最大值，最大值為4500元，∴為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價應(yīng)定為80元．【考點4面積類】【典例5】（2021九上·朝陽期末）如圖，某矩形花園ABCD一邊靠墻，墻長35m，另外三邊用長為69m的籬笆圍成，其中一邊開有一扇寬為1m的門（不包括籬笆）．設(shè)矩形花園ABCD垂直于墻的一邊AB長為xm，面積為Sm（1）BC的長為m（用含x的代數(shù)式表示）．（2）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍．（3）求花園面積S的最大值．【解答】（1）70?2x（2）解：∵S=x(70?2x)，∴S=?2x∵0<70?2x≤35，x>1，∴352（3）解：∵S=?2x2+70x∴開口向下，?b∴當(dāng)x=352時，∴花園面積S的最大值為12252【變式5-1】（2021九上·朝陽期末）如圖，一塊矩形土地ABCD由籬笆圍著，并且由一條與CD邊平行的籬笆EF分開.已知籬笆的總長為900m（籬笆的厚度忽略不計），當(dāng)AB＝m時，矩形土地ABCD的面積最大.【答案】150【解答】解：設(shè)AB＝xm，則BC＝12由題意可得，S＝AB×BC＝x×12（900﹣3x）＝﹣32（x2﹣300x）＝﹣32∴當(dāng)x＝150時，S取得最大值，此時，S＝33750，∴AB＝150m，故答案為：150.【變式5-2】（2021九上·歷下期末）如圖，用一段長36米的籬笆，圍成一個矩形花圃，花圃的一邊靠墻（墻足夠長），設(shè)AB邊的長為x米，矩形ABCD的面積為S平方米．（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時，S有最大值？并求出最大值．【解答】（1）解：∵AB邊的長為x米，∴BC邊的長為（36-2x）米，由題意，得S=AB?BC=x（36-2x）=-2x2+36x，x>0，36-2x>0，即0＜x＜18，∴S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-2x2+36x（0＜x＜18）（2）解：S=-2x2+36x=-2（x-9）2+162，∵a=-2＜0，∴當(dāng)x=9米時，S有最大值，最大值為162平方米．【考點4拱橋類】【典例6】（2021九上·百色期末）如圖，一位運(yùn)動員在距籃下4米處跳起投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時，達(dá)到最大高度3.5米，然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05米.（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求拋物線的表達(dá)式；（2）該運(yùn)動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？【解答】（1）解：∵當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為2.5米時，達(dá)到最大高度3.5米，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，3.5），∴設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2由圖知圖象過以下點：（1.5，3.05）.∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴拋物線的表達(dá)式為y=?0.2x（2）解：設(shè)球出手時，他跳離地面的高度為hm，因為（1）中求得y=?0.2x則球出手時，球的高度為h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×(?2.5)2∴h＝0.2（m）.答：球出手時，他跳離地面的高度為0.2m.【變式6-1】（2021九上·和平期末）如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（）A．94m B．198m C．【答案】A【解答】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，∴設(shè)這段拋物線的解析式為y=a（x-1）2+3．∵該拋物線過點（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-34∴y=-34（x-1）2∵當(dāng)x=0時，y=-34（0-1）2+3=-34+3=∴水管應(yīng)長94故答案為：A【變式6-2】（2020九上·馬山月考）如圖所示，橋拱是拋物線形，其函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣14x2，當(dāng)水位線在AB位置時，水面寬12mA．3m B．m C．4m D．9m【答案】D【解答】解：∵AB=12∴點B的橫坐標(biāo)為6當(dāng)x=6時，y=?∴水面寬12m，這時水面離橋頂?shù)母叨葹?m故答案為：D.【變式6-3】（2021九上·香洲期中）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，長方形的長OA為12m，寬OB為4m，建立直角坐標(biāo)系，拋物線可用y＝﹣16x2+bx+c（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式和拱頂D到地面OA的距離；（2）一輛貨運(yùn)汽車載集裝箱后高為6m，寬為4m，若隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？【解答】（1）解：根據(jù)題意將點B（0，4）、C（12，4）代入解析式得：c=4?解得：b=2c=4∴y＝﹣16x2+2x+4＝﹣16（x﹣6）∴拱頂D到地面OA的距離為10m；（2）解：∵隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，故每條車到寬6m，貨運(yùn)汽車寬為4m，x＝6﹣4＝2，代入解析式得y＝﹣16（2﹣6）2+10＝﹣16×16+10＝∴如果隧道內(nèi)設(shè)雙向行車道，那么這輛貨車能安全通過；1．（2020九上·合肥月考）據(jù)省統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，安徽省2019年第二季度GDP總值約為7.9千億元人民幣，若我省第四季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個季度GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y=7.9（1＋2x）B．y=7.9（1－x）2C．y=7.9（1＋x）2D．y=7.9＋7.9（1＋x）＋7.9（1＋x）2【答案】C【解答】設(shè)平均每個季度GDP增長的百分率為x，根據(jù)題意可得：y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：y=7.9(1＋x)2．故答案為：y=7.9(1＋x)2．2．（2020九上·淮北月考）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度y米與小球運(yùn)動的時間x秒之間的關(guān)系式為y=ax2+bx+c(a≠0).若小球在第7秒與第14秒時的高度相同，則在下列時間中小球所在高度最高的是A．第8秒B．第10秒C．第12秒 D．第15秒【答案】B【解答】解：由題意可得：當(dāng)x=7+142=∵二次函數(shù)具有對稱性，離對稱軸越近，對應(yīng)的y值越大，∴t=10時，y取得最大值．故答案為：B．3．（2021九上·贛州期中）用一根長為100cm的鐵絲，把它折成一個長方形框．設(shè)長方形的寬為xcm，面積為ycm2，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是【答案】y=?【解答】由題意得：y=x（50-x）=-x2+50x，故答案為y=-x2+50x4．（2021九上·農(nóng)安期末）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加m.【答案】42-4【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點，拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標(biāo)為(0通過以上條件可設(shè)頂點式y(tǒng)=ax2代入到拋物線解析式得出：a=?0.5，當(dāng)水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y=?2時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y=?2與拋物線相交的兩點之間的距離，可以通過把y=?2代入拋物線解析式得出：?2=?0.5所以水面寬度增加到42米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了故答案是：45．（2019九上·大同期中）如圖①是一座石拱橋，它是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，若橋拱的最大高度為16米，跨度為40米，圖②為它在坐標(biāo)系中的示意圖，則拋物線的解析式是（寫出頂點式和一般式均可）．【答案】y=?【解答】解：由圖象可知拋物線的對稱軸為x=402=20可設(shè)此拋物線的解析式為：y=a(x?20)2又此拋物線過(0,0)點，代入①式得：a(0?20)解得：a=?1所以此拋物線的解析式為：y=?1故答案為：y=?6.（2021秋?越秀區(qū)期末）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：米）關(guān)于滑行的時間t（單位：秒）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，則飛機(jī)停下前最后10秒滑行的距離是米．【答案】150【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600，﹣＜0，拋物線開口向下，∴當(dāng)t＝20時，s有最大值，此時s＝600，∴飛機(jī)從落地到停下來共需20秒，飛機(jī)前10秒滑行的距離為：s1＝60×10﹣1.5×102＝450（米），∴飛機(jī)停下前最后10秒滑行的距離為：600﹣450＝150（米），7．（2021九上·無棣期末）為了迎接2022年春節(jié)，我縣古城風(fēng)景區(qū)內(nèi)開發(fā)了冰上滑雪運(yùn)動項目，某體育用品商店抓住這一商機(jī)購進(jìn)一批滑雪板，若每件進(jìn)價為50元，售價為66元，每星期可賣出40件．為了鼓勵大家多參加冰上滑雪運(yùn)動，同時降低庫存，商家決定降價促銷，根據(jù)市場調(diào)查，每件降價1元，每星期可多賣出4件．（1）若設(shè)每件滑雪板降價x元，每星期的銷售量為y件，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，（不用標(biāo)出x的取值范圍）；（2）降價后，商家要使每星期的利潤最大，應(yīng)將售價定為每件多少元？最大銷售利潤多少？【答案】（1）解：由題意得：y=40+4x（2）解：設(shè)商家的銷售利潤為W，由題意得：W=(66?50?x)(40+4x)=?4=?4(x?3)∵a=–4＜0，∴當(dāng)x=3時W取最大值，為676，∴降價后的價格為：66-3=63（元）答：降價后，商家要使每星期的利潤最大，應(yīng)將售價定為每件63元，最大銷售利潤676元．8．（2021九上·吳興期末）為響應(yīng)吳興區(qū)“千里助力，精準(zhǔn)扶貧”活動，某銷售平臺為青川農(nóng)戶銷售農(nóng)產(chǎn)品，平臺銷售農(nóng)產(chǎn)品的總運(yùn)營成本為4元/千克，在銷售過程中要保證農(nóng)戶的售價不低于7元/千克，且不超過15元/千克．如圖記錄了某三周的銷售數(shù)據(jù)，經(jīng)調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，每周的農(nóng)產(chǎn)品銷售量y（千克）與售價x（元/千克）（x為正整數(shù)）近似滿足如圖規(guī)律的函數(shù)關(guān)系.（1）試寫出y與x符合的函數(shù)表達(dá)式．（2）若要確保農(nóng)產(chǎn)品一周的銷售量不少于6500千克，問：當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品售價定為多少時，青川農(nóng)戶可獲得最大收入？最大收入為多少？【答案】（1）解：∵y是x的一次函數(shù)，設(shè)y=kx+b，由題意得：9k+b=7500解之：k=?500∴y與x的函數(shù)解析式為：y=-500x+12000.（2）解：設(shè)這一周該商場銷售這種商品的利潤為w元，∵蘋果的銷售量不少于6500千克，∴﹣500x+12000≥6500，解得x≤11，∴7≤x≤11，而w＝y(tǒng)（x﹣4）＝（﹣500x+12000）（x﹣4）＝﹣500（x﹣14）2+50000，∵﹣500＜0，拋物線對稱軸為直線x＝14，∴7≤x≤11在對稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，∴x＝11時，w有最大值為45500元9．（2021九上·東城期末）為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定在一塊一邊靠墻(墻長25m)的空地上修建一個矩形小花園ABCD，小花園一邊靠墻，另三邊用總長40m的柵欄圍住，如下圖所示．若設(shè)矩形小花園AB邊的長為xm，面積為ym2．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)x為何值時，小花園的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵AB=xm，∴BC=(40-2x)m，∴花園的面積為：y=AB?BC=x?(40-2x)=-2x2+40x，∵40-2x≤25，x+x<40，∴x≥7.5，x<20，∴7.5≤x<20，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-2x2+40x（7.5≤x<20）；（2）解：∵y=?2(x?10)∴當(dāng)x=10時，ymax答：當(dāng)x為10m時，小花園的面積最大，最大面積是200m2．10．（2021九上·鹽湖期末）某企業(yè)生產(chǎn)了一套健身器材，通過實體店和網(wǎng)上商店兩種途徑進(jìn)行銷售，銷售一段時間后，該企業(yè)對這種健身器材的銷售情況進(jìn)行了為期30天的跟蹤調(diào)查，其中實體店的日銷售量y1（套）與時間x（x為整數(shù)，單位：天）的部分對應(yīng)值如下表：時間x（天）051015202530日銷售量y1（套）025404540250（1）已知y1與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，求y