專題01中線模型(原卷版+解析)

專題01中線模型基本模型：例題精講例1．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．例2．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，可以考慮做“輔助線”——把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點(diǎn)，，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)＝______．例3．如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，已知AE=EF．求證：AC=BF．課后訓(xùn)練1．如圖，已知是的平分線，，若的面積為，則的面積（

）A． B． C． D．2．在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的長(zhǎng)是________．3．如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．4．如圖，已知在中，，是邊上的中線，延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使．求證：．5．如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE，連接DE交BC于點(diǎn)G，若DG=GE，說(shuō)明：△ABC為等腰三角形．6.如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．7．已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．（1）如圖1，①若，請(qǐng)直接寫(xiě)出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，若，試探究線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．專題01中線模型基本模型：例題精講例1．如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．【答案】1＜AD＜7【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=6，AC=8，∴8-6<AE<8+6，即2<2AD<14，∴1<AD<7，故答案為：1<AD<7．例2．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在中，，，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD到E點(diǎn)，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當(dāng)條件中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件時(shí)，可以考慮做“輔助線”——把中線延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問(wèn)題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點(diǎn)，，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：．【問(wèn)題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)＝______．【答案】（1）；；；；（2）見(jiàn)解析；（3）7．【詳解】解：（1）在和中，，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長(zhǎng)ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，，在和中，，，∴，，∵，∴，∵，∴．例3．如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，已知AE=EF．求證：AC=BF．【答案】見(jiàn)解析【詳解】證明：延長(zhǎng)AD到G，使得DG=AD，連接BG，在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC=BG且∠CAD=∠G∵AE=EF，∴∠EFA=∠EAF，∴∠G=∠EFA∵∠EFA=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BG=BF∵AC=BG，∴BF=AC課后訓(xùn)練1．如圖，已知是的平分線，，若的面積為，則的面積（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)C，如圖所示，，∵，∴，∵BP是的角平分線，∴，在和中，，∴，∴,∴，∵和同底等高，∴，∴，∴，故選C．2．在△ABC中，AD是BC邊上的中線，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的長(zhǎng)是________．【答案】3【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB交AD延長(zhǎng)線于E，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，∵AD⊥AB，CE∥AB，∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，∴∠E=90°，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB=EC，AD=ED=2，∴AE=2AD=4，在Rt△AEC中，，∴AB=CE=3．故答案為：3．3．如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1），（2）【詳解】（1）證明：如圖延長(zhǎng)至，使，連接，∵為中邊上的中線，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），在中，由三角形的三邊關(guān)系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．4．如圖，已知在中，，是邊上的中線，延長(zhǎng)到點(diǎn)D，使．求證：．【答案】見(jiàn)解析【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接，則．因?yàn)闉橹芯€，所以．又因?yàn)?，所以，所以，，所以．又因?yàn)椋?，所以，?．如圖，已知△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且BD=CE，連接DE交BC于點(diǎn)G，若DG=GE，說(shuō)明：△ABC為等腰三角形．【答案】見(jiàn)解析．【詳解】解：如圖，過(guò)D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC，∴∠DFC=∠FCE，∵∠DGF=∠CGE，DG=GE，∴△DFG≌△ECG（AAS），∴DF=CE，∵BD=CE，∴BD=DF，∴∠B=∠DFB，∵DF∥AC，∴∠DFB=∠ACB，∴∠B=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC為等腰三角形．6.如圖，在ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E，使BE=BD，連接AE．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）試判斷AE與CD的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2），見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖所示：（2）如圖，判斷：，證明如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接在和中，∵，∴，∴∵，∴∵∴∵AD平分∠BAC，∴在和中，∵，∴，∴又∵，∴7．已知，在中，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，分別交，于點(diǎn)，．（1）如圖1，①若，請(qǐng)直接寫(xiě)出______；②連接，若，求證：；（2）如圖2，連接，