專題10相似綜合篇(原卷版+解析)

專題10相似綜合知識回顧知識回顧比例的性質：①基本性質：兩內項之積等于量外項之積。即若，則。②合比性質：若，則。③分比性質：若，則。④合分比性質：若，則。⑤等比性質：若，則。平行線分線段成比例：三條平行線被兩條直線所截，所得的對應線段成比例。即如圖：有；；。推論：①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。②如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。③平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等。對應邊的比叫做相似比。②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比。相似三角形的判定：①平行線法判定：平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構成的三角形與原三角形相似。②對應邊判定：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似。③兩邊及其夾角判定法：兩組對應邊的比相等，且這兩組對應邊的夾角相等的兩個三角形相似。④兩角判定：有兩組角（三組角）對應相等的兩個三角形相似。專題練習專題練習1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．2．如圖，在△ABC與△A′B′C′中，點D、D′分別在邊BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若，則△ABD∽△A′B′D′．請從①；②；③∠BAD＝∠B′A′D′這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．3．如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ?AB．求證：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF?FQ＝AF?BQ．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點E是DC邊上的任一點（不包括端點D，C），過點A作AF⊥AE交CB的延長線于點F，設DE＝a．（1）求BF的長（用含a的代數式表示）；（2）連接EF交AB于點G，連接GC，當GC∥AE時，求證：四邊形AGCE是菱形．5．如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，．（1）若AB＝8，求線段AD的長．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．6．如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當AB＝6，AC＝4時，求AE的長．7．如圖，矩形ABCD中，點E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點O，BE與AC相交于點F．（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長度．8．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM＝4，點E為BC邊上的動點（不與B、C重合，過點E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．（1）求證：△ABM∽△EBF；（2）當點E為BC的中點時，求DE的長；（3）設BE＝x，△DEF的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并求當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？9．【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．連接BD，CE．（1）求的值；（2）延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．（1）當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．11．在四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AF交BC于F，延長AB到E使BE＝FC，G是AF的中點，GE交BC于O，連接GD．（1）當四邊形ABCD是矩形時，如圖1，求證：①GE＝GD；②BO?GD＝GO?FC．（2）當四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，（1）中的結論都成立．請給出結論②的證明．12．問題背景：一次數學綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現并證明了關于三角形角平分線的一個結論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，構造相似三角形來證明．嘗試證明：（1）請參照小慧提供的思路，利用圖2證明：；應用拓展：（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．13．【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F分別為AB，AC，BC上的點，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點G，求證：DG＝EG．【嘗試應用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC＝45°，AC與BD交于點O，E為AO上一點，EG∥BD交AD于點G，EF⊥EG交BC于點F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的長．14．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作EF⊥CE，交AB于點F．（1）求證：△AEF∽△DCE；（2）如圖2，連接CF，過點B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求AG+GM的最小值；②當AG+GM取最小值時，求線段DE的長．15．已知矩形ABCD，點E為直線BD上的一個動點（點E不與點B重合），連接AE，以AE為一邊構造矩形AEFG（A，E，F，G按逆時針方向排列），連接DG．（1）如圖1，當時，請直接寫出線段BE與線段DG的數量關系與位置關系；（2）如圖2，當時，請猜想線段BE與線段DG的數量關系與位置關系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，EG，分別取線段BG，EG的中點M，N，連接MN，MD，ND，若AB＝，∠AEB＝45°，請直接寫出△MND的面積．專題10相似綜合知識回顧知識回顧比例的性質：①基本性質：兩內項之積等于量外項之積。即若，則。②合比性質：若，則。③分比性質：若，則。④合分比性質：若，則。⑤等比性質：若，則。平行線分線段成比例：三條平行線被兩條直線所截，所得的對應線段成比例。即如圖：有；；。推論：①平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例。②如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。③平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等。對應邊的比叫做相似比。②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比。相似三角形的判定：①平行線法判定：平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構成的三角形與原三角形相似。②對應邊判定：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似。③兩邊及其夾角判定法：兩組對應邊的比相等，且這兩組對應邊的夾角相等的兩個三角形相似。④兩角判定：有兩組角（三組角）對應相等的兩個三角形相似。專題練習專題練習1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．【分析】根據等腰三角形的性質可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．2．如圖，在△ABC與△A′B′C′中，點D、D′分別在邊BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若，則△ABD∽△A′B′D′．請從①；②；③∠BAD＝∠B′A′D′這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．【分析】利用相似三角形的判定：兩角對應相等的兩個三角形相似可證明．【解答】解：③．理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′，∴∠ADC＝∠A'D'C'，∴∠ADB＝∠A'D'B'，又∵∠BAD＝∠B′A′D′，∴△ABD∽△A'B'D'．同理，選①也可以．故答案是：③（答案不唯一）．3．如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點E，F在線段BC上，點Q在線段AB上，且CF＝BE，AE2＝AQ?AB．求證：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF?FQ＝AF?BQ．【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠C，利用SAS證明△ACE≌△ABF，根據全等三角形的性質即可得解；（2）利用全等三角形的性質，結合題意證明△ACE∽AFQ，△CAF∽△BFQ，根據相似三角形的性質即可得解．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵CF＝BE，∴CF﹣EF＝BE﹣EF，即CE＝BF，在△ACE和△ABF中，，∴△ACE≌△ABF（SAS），∴∠CAE＝∠BAF；（2）∵△ACE≌△ABF，∴AE＝AF，∠CAE＝∠BAF，∵AE2＝AQ?AB，AC＝AB，∴＝，∴△ACE∽△AFQ，∴∠AEC＝∠AQF，∴∠AEF＝∠BQF，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE，∴∠BQF＝∠AFE，∵∠B＝∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴＝，即CF?FQ＝AF?BQ．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，點E是DC邊上的任一點（不包括端點D，C），過點A作AF⊥AE交CB的延長線于點F，設DE＝a．（1）求BF的長（用含a的代數式表示）；（2）連接EF交AB于點G，連接GC，當GC∥AE時，求證：四邊形AGCE是菱形．【分析】（1）根據矩形的性質可得∠ADE＝∠ABF，∠∠DAE+∠BAE＝90°，結合題干AF⊥AE可得∠BAF+∠BAE＝90°，進而可得∠DAE＝∠BAF，進而可得△ADE∽△ABF，利用相似三角形的性質可得BF的長度；（2）先根據AG∥CE，GC∥AE進而可得四邊形AGCE是平行四邊形，通過勾股定理可得GF2、EF2、AE2，再過點G作GM⊥AF于點M，易得△MGF∽△AEF，進而利用相似三角形的性質可得GM的長，即可得GM＝GB，進而可得GF是∠AFB的角平分線，最后利用角平分線得性質可得EA＝EC，即可得平行四邊形AGCE是菱形．【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADE＝∠ABF＝∠BAD＝90°，∴∠DAE+∠BAE＝90°，∵AF⊥AE，∴∠BAF+∠BAE＝90°，∴∠DAE＝∠BAF，∴△ADE∽△ABF，∴，即，∴BF＝2a，（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AG∥CE，∵GC∥AE，∴四邊形AGCE是平行四邊形．∴AG＝CE＝8﹣a，∴BG＝AB﹣AG＝8﹣（8﹣a）＝a，在Rt△BGF中，GF2＝a2+（2a）2＝5a2，在Rt△CEF中，EF2＝（2a+4）2+（8﹣a）2＝5a2+80，在Rt△ADE中，AE2＝42+a2＝16+a2，如圖，過點G作GM⊥AF于點M，∴GM∥AE，∴△MGF∽△AEF，∴，∴，∴＝，∴GM＝a，∴GM＝BG，又∵GM⊥AF，GB⊥FC，∴GF是∠AFB的角平分線，∴EA＝EC，∴平行四邊形AGCE是菱形．5．如圖，在△ABC中，點D，E，F分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，．（1）若AB＝8，求線段AD的長．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【分析】（1）證明△ADE∽△ABC，根據相似三角形對應邊的比相等列式，可解答；（2）根據相似三角形面積的比等于相似比的平方可得△ABC的面積是16，同理可得△EFC的面積＝9，根據面積差可得答案．【解答】解：（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面積為1，∴△ABC的面積是16，∵四邊形BFED是平行四邊形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面積＝9，∴平行四邊形BFED的面積＝16﹣9﹣1＝6．6．如圖，四邊形ABCD為菱形，點E在AC的延長線上，∠ACD＝∠ABE．（1）求證：△ABC∽△AEB；（2）當AB＝6，AC＝4時，求AE的長．【分析】（1）根據兩角相等可得兩三角形相似；（2）根據（1）中的相似列比例式可得結論．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠ACD＝∠BCA，∵∠ACD＝∠ABE，∴∠BCA＝∠ABE，∵∠BAC＝∠EAB，∴△ABC∽△AEB；（2）解：∵△ABC∽△AEB，∴＝，∵AB＝6，AC＝4，∴＝，∴AE＝＝9．7．如圖，矩形ABCD中，點E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點O，BE與AC相交于點F．（1）若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；（2）找出圖中與△OBF相似的三角形，并說明理由；（3）若OF＝3，EF＝2，求DE的長度．【分析】（1）根據矩形的性質和角平分線的定義，求得∠3＝∠6，從而求證BF⊥AC；（2）根據相似三角形的判定進行分析判斷；（3）利用相似三角形的性質分析求解．【解答】（1）證明：如圖，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3+∠5＝90°，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6+∠5＝90°，∴BF⊥AC；（2）解：與△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF，∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF；（3）解：在矩形ABCD中，∠4＝∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠4．又∵∠OFB＝∠BFA，∴△OBF∽△BFA．∵∠1＝∠3，∠OFB＝∠EFC，∴△OBF∽△ECF．∴，∴，即3CF＝2BF，∴3（CF+OF）＝3CF+9＝2BF+9，∴3OC＝2BF+9∴3OA＝2BF+9①，∵△ABF∽△BOF，∴，∴BF2＝OF?AF，∴BF2＝3（OA+3）②，聯立①②，可得BF＝1±（負值舍去），∴DE＝BE＝2+1+＝3+．8．如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC邊上的高AM＝4，點E為BC邊上的動點（不與B、C重合，過點E作直線AB的垂線，垂足為F，連接DE、DF．（1）求證：△ABM∽△EBF；（2）當點E為BC的中點時，求DE的長；（3）設BE＝x，△DEF的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并求當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用兩個角對應相等的三角形全等即可證明△ABM∽△EBF；（2）過點E作EN⊥AD于點N，可得四邊形AMEN為矩形，從而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，從而得到ME＝AN＝2，進而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延長FE交DC的延長線于點G．根據，可得，再證得△ABM∽△ECG，可得，從而得到，再根據三角形的面積公式，得到函數關系式，再根據二次函數的性質，即可求解．【解答】（1）證明：∵EF⊥AB，AM是BC邊上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：過點E作EN⊥AD于點N，如圖：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC邊上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四邊形AMEN為矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E為BC的中點，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延長FE交DC的延長線于點G，如圖：∵sinB＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF?DG＝×x?[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴當x＝時，y有最大值為，答：y＝﹣x2+x，當x＝時，y有最大值為．9．【問題呈現】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出的值．【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且．連接BD，CE．（1）求的值；（2）延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．【分析】【問題呈現】證明△BAD≌△CAE，從而得出結論；【類比探究】證明△BAD∽△CAE，進而得出結果；【拓展提升】（1）先證明△ABC∽△ADE，再證得△CAE∽△BAD，進而得出結果；（2）在（1）的基礎上得出∠ACE＝∠ABD，進而∠BFC＝∠BAC，進一步得出結果．【解答】【問題呈現】證明：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；【類比探究】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴＝＝，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝＝；【拓展提升】解：（1）∵＝＝，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE∽△BAD，∴＝＝；（2）由（1）得：△CAE∽△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，∵∠AGC＝∠BGF，∴∠BFC＝∠BAC，∴sin∠BFC＝＝．10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．（1）當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；（2）若＝2，求的值；（3）若MN∥BE，求的值．【分析】（1）根據矩形的性質，利用AAS證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點E為CD的中點，即可證明結論；（2）利用△BMF∽△ECF，得，從而求出BM的長，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的長，可得答案；（3）首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，則tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的長，由（2）同理可得答案．【解答】（1）證明：∵F為BE的中點，∴BF＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵點E為CD的中點，∴CE＝DE，∴BM＝CE＝DE，∵AB＝CD，∴AM＝CE；（2）解：∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；（3）解：∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴＝，由（2）同理得，，∴，解得AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴＝．11．在四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AF交BC于F，延長AB到E使BE＝FC，G是AF的中點，GE交BC于O，連接GD．（1）當四邊形ABCD是矩形時，如圖1，求證：①GE＝GD；②BO?GD＝GO?FC．（2）當四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，（1）中的結論都成立．請給出結論②的證明．【分析】（1）連接CG，過點G作GJ⊥CD于點J．證明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再證明△OBE∽△OGC，推出＝，可得結論；（2）過點D作DT⊥BC于點T，連接GT．證明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再證明△OBE∽△OGT，推出＝，可得結論．【解答】（1）證明：連接CG，過點G作GJ⊥CD于點J．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF＝45°，∴∠AFB＝∠BAF＝45°，∴BA＝BF，∵BE＝CF，∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，∵AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，∵AD∥FC，AG＝GF，∴DJ＝JC，∵GJ⊥CD，∴GD＝GC，∴∠GDC＝∠GCD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG＝∠GCO，∴∠OEB＝∠OCG，∵∠BOE＝∠GOC，∴△OBE∽△OGC，∴＝，∵GC＝GD，BE＝CF，∴BO?GD＝GO?FC；（2）解：過點D作DT⊥BC于點T，連接GT．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB，∵AF平分∠DAB，∴∠DAG＝∠BAF，∴BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD，∵AG＝AG，∴△EAG≌△DAG（SAS），∴∠AEG＝∠ADG，∵AD∥FT，AG＝GF，∴DJ＝JT，∵GJ⊥DT，∴GD＝GT，∴∠GDT＝∠GTD，∵∠ADT＝∠BTD＝90°，∴∠ADG＝∠GTO，∴∠OEB＝∠OTG，∵∠BOE＝∠GOT，∴△OBE∽△OGT，∴＝，∵GT＝GD，BE＝CF，∴BO?GD＝GO?FC．12．問題背景：一次數學綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現并證明了關于三角形角平分線的一個結論．如圖1，已知AD是△ABC的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于點E，構造相似三角形來證明．嘗試證明：（1）請參照小慧提供的思路，利用圖2證明：；應用拓展：（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點．連接AD，將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處．①若AC＝1，AB＝2，求DE的長；②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的長（用含m，α的式子表示）．【分析】（1）證明△CED∽△BAD，由相似三角形的性質得出，證出CE＝CA，則可得出結論；（2）①由折疊的性質可得出∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，由勾股定理求出BC＝，則可求出答案；②由折疊的性質得出∠C＝∠AED＝α，則tan∠C＝tanα＝，方法同①可求出CD＝，則可得出答案．【解答】（1）證明：∵CE∥AB，∴∠E＝∠EAB，∠B＝∠ECB，∴△CED∽△BAD，∴，∵∠E＝∠EAB，∠EAB＝∠CAD，∴∠E＝∠CAD，∴CE＝CA，∴．（2）解：①∵將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，由（1）可知，，又∵AC＝1，AB＝2，∴，∴BD＝2CD，∵∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝，∴BD+CD＝，∴3CD＝，∴CD＝；∴DE＝；②∵將△ACD沿AD所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處，∴∠CAD＝∠BAD，CD＝DE，∠C＝∠AED＝α，∴tan∠C＝tanα＝，由（1）可知，，∴tanα＝，∴BD＝CD?tanα，又∵BC＝BD+CD＝m，∴CD?tanα+CD＝m，∴CD＝，∴DE＝．13．【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D，E，F分別為AB，AC，BC上的點，DE∥BC，BF＝CF，AF交DE于點G，求證：DG＝EG．【嘗試應用】（2）如圖2，在（1）的條件下，連結CD，CG．若CG⊥DE，CD＝6，AE＝3，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，在?ABCD中，∠ADC＝45°，AC與BD交于點O，E為AO上一點，EG∥BD交AD于點G，EF⊥EG交BC于點F．若∠EGF＝40°，FG平分∠EFC，FG＝10，求BF的長．【分析】（1）證明△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，根據相似三角形的性質得到＝，進而證明結論；（2）根據線段垂直平分線的性質求出CE，根據相似三角形的性質計算，得到答案；（3）延長GE交AB于M，連接MF，過點M作MN⊥BC于N，根據直角三角形的性質求出∠EFG，求出∠MFN＝30°，根據直角三角形的性質、勾股定理計算即可．【解答】（1）證明：∵DE∥BC，∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，∴＝，＝，∴＝，∵BF＝CF，∴DG＝EG；（2）解：∵DG＝EG，CG⊥DE，∴CE＝CD＝6，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝；（3）解：延長GE交AB于M，連接MF，過點M作MN⊥BC于N，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OB＝OD，∠ABC＝∠ADC＝45°，∵MG∥BD，∴ME＝GE，∵EF⊥EG，∴FM＝FG＝10，在Rt△GEF中，∠EGF＝40°，∴∠EFG＝90°﹣40°＝50°，∵FG平分∠EFC，∴∠GFC＝∠EFG＝50°，∵FM＝FG，EF⊥GM，∴∠MFE＝∠EFG＝50°，∴∠MFN＝30°，∴MN＝MF＝5，∴NF＝＝5，∵∠ABC＝45°，∴BN＝MN＝5，∴BF＝BN+NF＝5+5．14．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．點E是線段AD上的動點（點E不與點A，D重合），連接CE，過點E作EF⊥CE，交AB于點F．（1）求證：△AEF∽△DCE；（2）如圖2，連接CF，過點B作BG⊥CF，垂足為G，連接AG．點M是線段BC的中點，連接GM．①求AG+GM的最小值；②當AG+GM取最小值時，求線段DE的長．【分析】（1）由矩形的性質及直角三角形的性質證出∠DCE＝∠AEF，根據相似三角形的判定可得出結論；（2）①連接AM，由直角三角形的性質得出MB＝CM＝GM＝，則點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上，當A，G，M三點共線時，AG+GM＝AM，此時，AG+GM取得最小值，由勾股定理求出AM＝5，則可得出答案；②方法一：過點M作MN∥AB交FC于點N，證明△CMN∽△CBF，由相似三角形的性質得出，設AF＝x，則BF＝4﹣x，得出MN＝BF＝（4+x），證明△AFG∽△MNG，得出比例線段，列出方程，解得x＝1，求出AF＝1，由（1）得，設DE＝y(tǒng)，則AE＝6﹣y，得出方程，解得y＝3+或y＝3﹣，則可得出答案．方法二：過點G作GH∥AB交BC于點H，證明△MHG∽△MBA，由相似三角形的性質得出，求出GH＝，MH＝，證明△CHG∽△CBF，得出，求出FB＝3，則可得出AF＝1，后同方法一可求出DE的長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED+∠DCE＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CED+∠AEF＝90°，∴∠DCE＝∠AEF，∴△AEF∽△DCE；（2）解：①連接AM，如圖2，∵BG⊥CF，∴△BGC是直角三角形，∵點M是BC的中點，∴MB＝CM＝GM＝，∴點G在以點M為圓心，3為半徑的圓上，當A，G，M三點不共線時，由三角形兩邊