專題06一次方程(原卷版+解析)

第06講一次方程掌握等式的基本性質(zhì)能解一元一次方程能解可化為一元一次方程的分式方程掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

TOC\o"1-1"\h\u考點1：等式的性質(zhì)與方程的概念 3考點2：解一元一次方程 9考點:3：解二元一次方程 15考點4：一次方程的應(yīng)用 21課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 36分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 37

考點1：等式的性質(zhì)與方程的概念①等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個數(shù)或同一個整式所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c.（2）性質(zhì)2：等式兩邊同乘（或除）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．（3）性質(zhì)3：（對稱性）若a=b,則b=a.（4）性質(zhì)4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.②方程的概念（1）一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，且等式兩邊都是整式的方程．（2）二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程．（3）二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程．（4）二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解．下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個小麗同學(xué)在做作業(yè)時，不小心將方程■中的一個常數(shù)污染了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是，請問這個被污染的常數(shù)■是A．4 B．3 C．2 D．1根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得已知關(guān)于的方程是一元一次方程，則．若是關(guān)于，的二元一次方程，則．

｛一元一次方程的解★｝是下列方程的解的有①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個｛一元一次方程的解★｝若方程的解為，則的值為A．10 B． C． D．｛方程的性質(zhì)★｝下列變形符合等式性質(zhì)的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么｛一元一次方程的概念★｝若是關(guān)于的一元一次方程，則．｛二元一次方程的解★｝若是方程的一個解，則．（2018?河北）有三種不同質(zhì)量的物體“”“”“”，其中，同一種物體的質(zhì)量都相等，現(xiàn)左右手中同樣的盤子上都放著不同個數(shù)的物體，只有一組左右質(zhì)量不相等，則該組是A． B． C． D．（2019?呼和浩特）關(guān)于的方程如果是一元一次方程，則其解為．（2021?金華）已知是方程的一個解，則的值是．考點2：解一元一次方程解一元一次方程的步驟（1）去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)項；（2）去括號：括號外若為負(fù)號，去括號后括號內(nèi)各項均要變號；（3）移項：移項要變號；（4）合并同類項：把方程化成ax=－b(a≠0)；（5）系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=－b/a.

｛解一元一次方程★｝整式的值隨的取值不同而不同，下表是當(dāng)取不同值時對應(yīng)的整式的值：01204則關(guān)于的方程的解為A． B． C． D．｛解一元一次方程-去分母★｝在解方程時，在方程的兩邊同時乘以6，去分母正確的是A． B． C． D．｛解一元一次方程★｝對于兩個不相等的有理數(shù)，，我們規(guī)定符號，表示，兩數(shù)中較大的數(shù)，例如，．則方程，的解為A． B． C．或 D．1或2｛解一元一次方程★｝解方程：（1）；（2）．｛解一元一次方程-新定義★｝定義：若整數(shù)的值使關(guān)于的方程的解為整數(shù)，則稱為此方程的“友好系數(shù)”．（1）判斷，是否為方程的“友好系數(shù)”，寫出判斷過程；（2）方程“友好系數(shù)”的個數(shù)是有限個，還是無窮多？如果是有限個，求出此方程的所有“友好系數(shù)”；如果是無窮多，說明理由．

｛解一元一次方程★｝已知方程和方程的解相同，則的值為．｛解一元一次方程★｝如果方程的解與關(guān)于的方程的解相同，則的值為．｛解一元一次方程★｝整式的值隨的取值不同而不同，如表是當(dāng)取不同值時對應(yīng)的整式的值，則關(guān)于的方程的解是01220A． B． C． D．｛解一元一次方程★｝如果，那么的值為A． B．或1 C．或 D．或｛解一元一次方程★｝解下列方程：（1）；（2）；（3）．｛解一元一次方程-新定義★｝用“”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定．如：．（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若，（其中為有理數(shù)），試比較，的大?。?021?溫州）解方程，以下去括號正確的是A． B． C． D．（2021?廣元）解方程：．

考點:3：解二元一次方程思路消元，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.方法(1)代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達式，再把“它”代入另一個方程，進行求解；(2)加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數(shù)的方法.

｛解二元一次方程★｝若是二元一次方程，則A．1 B．2 C．3 D．1或2｛二元一次方程的定義★｝方程，，，，中二元一次方程的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4｛二元一次方程的解★｝已知關(guān)于，的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當(dāng)每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為．｛解二元一次方程★｝解方程組：（1）；（2）．

｛二元一次方程的解★｝定義一種新的運算：☆，例如：3☆．若☆，且關(guān)于，的二元一次方程，當(dāng)，取不同值時，方程都有一個公共解，那么這個公共解為．｛二元一次方程的定義★｝若是二元一次方程，則．｛解二元一次方程★｝解方程組：（1）；（2）．｛解二元一次方程★｝已知方程組與有相同的解，則．（2021?眉山）解方程組：．（2020?黑龍江）若是二元一次方程組的解，則的算術(shù)平方根為A．3 B．3， C． D．，（2020?朝陽）已知關(guān)于、的方程的解滿足，則的值為．

考點4：一次方程的應(yīng)用①列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列方程(組)：找出等量關(guān)系，列方程（組）；（4）解方程(組)；（5）檢驗：檢驗所解答案是否正確或是否滿足符合題意；（6）作答：規(guī)范作答，注意單位名稱．②常見題型及關(guān)系式：（1）利潤問題：售價=標(biāo)價×折扣，銷售額=售價×銷量，利潤=售價－進價，利潤率=利潤/進價×100%.（2）利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)，本息和=本金+利息.（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間.（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間.①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及問題：a.同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.

｛★★｝（2019年湖北省荊門市中考數(shù)學(xué)試題）欣欣服裝店某天用相同的價格賣出了兩件服裝，其中一件盈利，另一件虧損，那么該服裝店賣出這兩件服裝的盈利情況是A．盈利 B．虧損C．不盈不虧 D．與售價有關(guān)｛★｝（湖北黃石市新建中學(xué)2019年中考一模數(shù)學(xué)試題）某車間原計劃13小時生產(chǎn)一批零件，后來每小時多生產(chǎn)10件，用了12小時不但完成任務(wù)而且還多生產(chǎn)60件，設(shè)原計劃每小時生產(chǎn)x個零件，則所列方程為A．13x12x1060 B．13x12x1060 C． D．｛★｝（2019年湖南省株洲市中考數(shù)學(xué)試題）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走_____步才能追到速度慢的人．｛★｝（黑龍江省哈爾濱市道里區(qū)201屆九年級中考二模數(shù)學(xué)試題）某車間有22名工人，每人每天可生產(chǎn)1200個螺釘或2000個螺母，1個螺釘需配2個螺母，為使生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，若設(shè)x名工人生產(chǎn)螺釘，依題意列方程為A．1200x＝2000（22﹣x） B．1200x＝2×2000（22﹣x）C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）｛★｝（湖南省岳陽市2019年中考數(shù)學(xué)試題）我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會織布，每日加倍增長，5日共織布5尺.問每日各織多少布？根據(jù)此問題中的已知條件，可求得該女子第一天織布__________尺.

｛★｝（2021?陜西）一家商店在銷售某種服裝（每件的標(biāo)價相同）時，按這種服裝每件標(biāo)價的8折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價降低30元銷售11件的銷售額相等．求這種服裝每件的標(biāo)價．｛★｝（2020?山西）2020年5月份，省城太原開展了“活力太原樂購晉陽”消費暖心活動，本次活動中的家電消費券單筆交易滿600元立減128元（每次只能使用一張）．某品牌電飯煲按進價提高后標(biāo)價，若按標(biāo)價的八折銷售，某顧客購買該電飯煲時，使用一張家電消費券后，又付現(xiàn)金568元．求該電飯煲的進價．｛★｝一電商出售運動包時，將一種運動雙肩包按進價提高作為標(biāo)價，然后再按標(biāo)價的8.5折出售，這樣電商每賣出一個運動雙肩包可賺取38元．試問這種運動雙肩包每個進價是多少元？｛★｝（2019?安徽）為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負(fù)責(zé)施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天？｛★｝（2021?泰州）甲、乙兩工程隊共同修建的公路，原計劃30個月完工．實際施工時，甲隊通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了，乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工．甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建多長？｛★｝為了打通城市和景區(qū)的交通線路，某市利用高架橋和鉆隧道等技術(shù)，縮短了城市和景區(qū)的距離，使得兩地總里程比原來縮短了26千米，修建新路線后高鐵行駛速度比原來火車行駛速度的3倍還多9千米，原來的火車行完全程用時3小時，現(xiàn)在高鐵用時50分鐘，求開通后高鐵的平均速度是多少千米小時？｛★｝甲、乙兩人同時從地去地，、兩地相距12千米，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米時，甲到達立刻返回在途中遇到乙，這時距他們出發(fā)時已過了3小時，求乙的速度．｛★｝列方程解應(yīng)用題：甲列車從地開往地，每小時行駛60千米，乙列車同時從地開往地，每小時行駛90千米．已知，兩地相距．（1）經(jīng)過多長時間兩車相遇；（2）兩車相遇的地方離地多遠(yuǎn)？｛★｝張翔從學(xué)校出發(fā)騎自行車去縣城，中途因道路施工步行一段距離，后到達縣城．他騎車的平均速度是，步行的平均速度是，路程長，他騎車與步行各用多少時間？｛★★｝一艘輪船在、兩個港口之間航行，順流需要4個小時，逆流需要5個小時，已知水流速度是每小時2千米，求輪船在靜水中的速度．｛★｝一項工程，甲單獨做要10天，乙單獨做要15天，丙單獨做要20天．三人合做期間，甲因故請假，工程6天完工，請問甲請了幾天假？｛★｝為提高學(xué)生綜合素質(zhì)，親近自然，勵志青春，某學(xué)校組織學(xué)生舉行“遠(yuǎn)足研學(xué)”活動，先以每小時6千米的速度走平路，后又以每小時3千米的速度上坡，共用了3小時；原路返回時，以每小時5千米的速度下坡，又以每小時4千米的速度走平路，共用了4小時，問平路和坡路各有多遠(yuǎn)．｛★★｝（2017?岳陽）我市某校組織愛心捐書活動，準(zhǔn)備將一批捐贈的書打包寄往貧困地區(qū)，其中每包書的數(shù)目相等．第一次他們領(lǐng)來這批書的，結(jié)果打了16個包還多40本；第二次他們把剩下的書全部取來，連同第一次打包剩下的書一起，剛好又打了9個包，那么這批書共有多少本？｛★★｝（2018?長沙）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，對部分品牌粽子進行打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？｛★｝（2017?福建）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞兔各幾何．”其大意是：“有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里，它們一共有35個頭，94條腿．問籠中的雞和兔各有多少只？”試用列方程（組解應(yīng)用題的方法求出問題的解．｛★★｝甲、乙兩個藥業(yè)集團共有藥品庫存50噸，為抗擊疫情支援災(zāi)區(qū)，甲集團捐贈出庫存的藥品，乙集團捐贈出庫存的藥品，組織車輛連夜送往抗疫最前線．若兩個藥業(yè)集團所捐贈的藥品數(shù)量相同，那么甲，乙兩藥業(yè)集團原來各自的藥品庫存量有多少噸？｛★★｝某工廠用如圖①所示的長方形和正方形紙板，做成如圖②所示的豎式與橫式兩種長方形形狀的無蓋紙盒．現(xiàn)有正方形紙板150張，長方形紙板300張，若這些紙板恰好用完，則可制作橫式、豎式兩種紙盒各多少個？｛★★｝某公司需要粉刷一些相同的房間，經(jīng)調(diào)查3名師傅一天粉刷8個房間，還剩刷不完；5名徒弟一天可以粉刷9個房間；每名師傅比徒弟一天多刷的墻面．（1）求每個房間需要粉刷的面積；（2）該公司現(xiàn)有36個這樣的房間需要粉刷，若只聘請1名師傅和2名徒弟一起粉刷，需要幾天完成？（3）若來該公司應(yīng)聘的有3名師傅和10名徒弟，每名師傅和每名徒弟每天的工資分別是240元和200元，該公司要求這36個房間要在2天內(nèi)粉刷完成，問人工費最低是多少？（2021?武漢）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”意思是：現(xiàn)有幾個人共買一件物品，每人出8錢，多出3錢；每人出7錢，還差4錢．問人數(shù)，物價各是多少？若設(shè)共有人，物價是錢，則下列方程正確的是A． B． C． D．（2019?福建）《增刪算法統(tǒng)宗》記載：“有個學(xué)生資性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，問君每日讀多少？”其大意是：有個學(xué)生天資聰慧，三天讀完一部《孟子》，每天閱讀的字?jǐn)?shù)是前一天的兩倍，問他每天各讀多少個字？已知《孟子》一書共有34685個字，設(shè)他第一天讀個字，則下面所列方程正確的是A． B． C． D．（2021?煙臺）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”．把洛書用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，就是一個三階幻方．將數(shù)字分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上的數(shù)字之和都是15，則的值為．（2021?北京）某企業(yè)有，兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線．在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時間為小時；在一天內(nèi)，生產(chǎn)線共加工噸原材料，加工時間為小時．第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到，兩條生產(chǎn)線，兩條生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時間相同，則分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到生產(chǎn)線的噸數(shù)的比為．第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原材料后，又給生產(chǎn)線分配了噸原材料，給生產(chǎn)線分配了噸原材料．若兩條生產(chǎn)線都能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時間相同，則的值為．（2021?綿陽）端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．某商場從6月12日起開始打折促銷，肉粽六折，白粽七折，打折前購買4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后購買5盒肉粽和10盒白粽需360元．軒軒同學(xué)想在今天中考結(jié)束后，為敬老院送肉粽和白粽各5盒，則他6月13日購買的花費比在打折前購買節(jié)省元．（2021?興安盟）《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其中一次方程組是用算籌布置而成，如圖（1）所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組表示出來，就是，類似的，圖（2）所示的算籌圖用方程組表示出來，就是．課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖

分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固1．（2022秋?余慶縣期末）下列方程變形中，正確的是A．方程，去分母得 B．方程，去括號得 C．方程，系數(shù)化為1得 D．方程，移項得2．（2021秋?大方縣校級期末）設(shè)，，是有理數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則3．（2022?六盤水）我國“型”導(dǎo)彈俗稱“東風(fēng)快遞”，速度可達到26馬赫馬赫米秒），則“型”導(dǎo)彈飛行多少分鐘能打擊到12000公里處的目標(biāo)？設(shè)飛行分鐘能打擊到目標(biāo)，可以得到方程A． B． C． D．4．（2022?黔西南州）小明解方程的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得①去括號，得②移項，得③合并同類項，得④以上解題步驟中，開始出錯的一步是A．① B．② C．③ D．④5．（2022?西寧）在數(shù)學(xué)活動課上，興趣小組的同學(xué)用一根質(zhì)地均勻的輕質(zhì)木桿和若干個鉤碼做實驗．如圖所示，在輕質(zhì)木桿處用一根細(xì)線懸掛，左端處掛一重物，右端處掛鉤碼，每個鉤碼質(zhì)量是．若，，掛3個鉤碼可使輕質(zhì)木桿水平位置平衡．設(shè)重物的質(zhì)量為，根據(jù)題意列方程得A． B． C． D．6．（2022?營口）我國元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書是中國較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設(shè)快馬天可以追上慢馬，則下列方程正確的是A． B． C． D．7．（2022?十堰）我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒斗，那么可列方程為A． B． C． D．8．（2022?臺灣）根據(jù)如圖中兩人的對話紀(jì)錄，求出哥哥買游戲機的預(yù)算為多少元？A．3800 B．4800 C．5800 D．68009．（2022秋?林州市期中）已知是關(guān)于的一元一次方程，則的值為A． B． C．2 D．010．（2021秋?開江縣期末）如圖，正方形的軌道上有兩個點甲與乙，開始時甲在處，乙在處，它們沿著正方形軌道順時針同時出發(fā)，甲的速度為每秒，乙的速度為每秒，已知正方形軌道的邊長為，則乙在第2022次追上甲時的位置A．上 B．上 C．上 D．上11．（2021秋?宜春期末）若方程是關(guān)于的一元一次方程，則A．1 B．2 C．3 D．1或312．（2021秋?綦江區(qū)期末）如圖，表中給出的是某月的月歷，任意用“”型框選中7個數(shù)（如陰影部分所示），則這7個數(shù)的和不可能是A．63 B．70 C．98 D．10513．（2022?鄭州二模）《九章算術(shù)》中第七章《盈不足》記載了一個問題：“今有共買物，人出八，贏三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價各幾何？”譯文：“現(xiàn)有一些人合伙購買物品，若每人出8錢，則多出3錢；若每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品價格各是多少？”設(shè)有個人，物品價格為錢，則下列方程組中正確的是A．B．C． D．14．（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)，物價幾何？條件部分的譯文為：現(xiàn)有一些人共同買一個物品，每人出8元，還盈余3元；每人出7元，則還差4元．若設(shè)共有人，物品價格元，則下面所列方程組正確的是A． B． C． D．15．（2022春?廉江市期末）已知有若干片相同的拼圖，其形狀如圖1所示．當(dāng)4片拼圖緊密拼成一列時，總長度為，如圖2所示；當(dāng)10片拼圖緊密拼成一列時，總長度為，如圖3所示，則圖1中的拼圖長度為A． B． C． D．16．（2022春?肇源縣期末）實數(shù)，滿足方程組，則的值為A．3 B． C．5 D．17．（2022?雞冠區(qū)校級一模）新型冠狀病毒傳染性非常強，多是通過飛沫，接觸，還有氣溶膠傳播．所以一定要做好個人防護，盡量少外出，更不要聚集，佩戴醫(yī)用外科口罩是非常有效的個人防護．為了個人防護，小紅用40元錢買了，兩種型號的醫(yī)用外科口罩（兩種型號都買），型每包6元，型每包4元，在40元全部用盡的情況下，有幾種購買方案A．2種 B．3種 C．4種 D．5種18．（2022春?射洪市期中）已知二元一次方程組，若用加減法消去，則正確的是A．①② B．①② C．①② D．①②1．（2022秋?北辰區(qū)校級月考）若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是（）A．ma+1＝mb+1 B．ma﹣3＝mb﹣3 C．a(chǎn)＝b D．﹣ma﹣1＝﹣mb﹣12．（2022秋?臨平區(qū)月考）用“”定義一種新的運算：對于任何有理數(shù)和，規(guī)定．有下列結(jié)論：①；②；③若，則．正確的是A．①③ B．①② C．②③ D．①②③3．（2021秋?防城港期末）根據(jù)等式的性質(zhì)變形正確的是A．若，則 B．若，則 C．，則 D．，則4．（2021秋?承德期末）解一元一次方程的過程就是通過變形，把一元一次方程轉(zhuǎn)化為的形式，下面是解方程的主要過程，方程變形對應(yīng)的依據(jù)錯誤的是解：原方程可化為（①）去分母，得（②）去括號，得（③）移項，得（④）合并同類項，得（合并同類項法則）系數(shù)化為1，得（等式的基本性質(zhì)A．①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) B．②等式的基本性質(zhì)2 C．③乘法對加法的分配律 D．④加法交換律5．（2022春?五華區(qū)期末）一個天平的托盤中形狀相同的物體質(zhì)量相等，如圖①、圖②所示的兩個天平處于平衡狀態(tài)，要使圖③的天平也保持平衡，則需要在它的右盤中放置A．3個〇 B．4個〇 C．5個〇 D．6個〇6．（2021秋?包頭期末）對于兩個不相等的有理數(shù)，，我們規(guī)定符號，表示，兩數(shù)中較大的數(shù)，例如，，，．按照這個規(guī)定，那么方程，的解為A． B．或 C．或 D．7．（2021秋?新吳區(qū)期末）我們稱使成立的一對數(shù)，為“相伴數(shù)對”，記為，如：當(dāng)時，等式成立，記為．若是“相伴數(shù)對”，則的值為A．2 B． C． D．8．（2021秋?濟寧期末）我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運算法則為，如果有，那么的值為A．3 B．2 C． D．09．（2021秋?濟寧期末）小賢在做解方程作業(yè)時，不小心將方程中的一個常數(shù)污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么辦呢？小賢想了想，便翻看書后答案，此方程的解是，于是他很快就補好了這個常數(shù)，你能補出這個常數(shù)嗎？它應(yīng)是A． B． C． D．10．（2021秋?邵陽縣期末）已知關(guān)于的一元一次方程的解為，那么關(guān)于的一元一次方程的解為A． B． C． D．11．（2022春?東方期末）如圖，天平中的物體、、使天平處于平衡狀態(tài)，則物體與物體的重量關(guān)系是A． B． C． D．12．（2021秋?任城區(qū)校級期末）哥哥今年的年齡是弟弟的2倍，弟弟說：“六年前，我們倆的年齡和為15歲”，若用表示哥哥今年的年齡，則可列方程A． B． C． D．13．（2022?鐘山縣模擬）已知是二元一次方程組的解，則m，n的值分別是（）A． B． C． D．14．（2022春?阜平縣期末）已知關(guān)于x，y的方程組，則下列結(jié)論中正確的是（）①當(dāng)a＝1時，方程組的解也是方程x+2y＝﹣2的解；②當(dāng)x＝y(tǒng)時，a＝﹣；③當(dāng)x﹣2y＞8時，a＞；④不論a取什么實數(shù)，2x+y的值始終不變A．①② B．①②③ C．③④ D．②③④15．（2022春?承德縣期末）方程■x﹣2y＝5是二元一次方程，■是被弄污的x的系數(shù)，推斷■的值（）A．不可能是2 B．不可能是1 C．不可能是﹣1 D．不可能是016．（2022秋?江北區(qū)期中）“泡泡瑪特”創(chuàng)立12年之際，推出“森林精靈”、“潘神神話”兩種限量盲盒，每種盲盒均裝有紫色、白色、紅色三種顏色的Molly公仔，每一種盲盒的成本是該盲盒中所有公仔的成本之和（包裝費用不計）．其中，“森林精靈”盲盒分別裝有3個紫色，1個白色，1個紅色公仔，“潘神神話”盲盒分別裝有2個紫色，3個白色，3個紅色公仔．每個“森林精靈”盲盒中所有公仔的成本之和為1個紫色Molly公仔的5倍，每個“潘神神話”盲盒的利潤率為50%，且每個“潘神神話”盲盒的售價比每個“森林精靈”盲盒高20%．店慶當(dāng)天銷售這兩種盲盒的總銷售額為60萬元，總利潤率為60%，則這天銷售“森林精靈”盲盒的總利潤是萬元．1．（2021秋?鎮(zhèn)安縣期末）某商店在某一時間以每雙120元的價格賣出兩雙運動鞋，其中一雙盈利，另一雙虧損，該商店賣這兩雙運動鞋總的是A．虧損 B．盈利 C．不盈不虧 D．盈虧無法計算2．（2021秋?文登區(qū)期末）在解關(guān)于的方程時，小穎在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解為，則方程正確的解是A． B． C． D．3．（2022秋?高郵市期中）若關(guān)于的一元一次方程的解為，則關(guān)于的一元一次方程的解為A． B． C． D．4．（2022春?遷安市期末）橘子是我們常見的一種水果，取5個大小均等的橘子放在同一簡易天平秤，如圖，則估計一個橘子的重量大約是A．20 B．30 C．40 D．455．（2020秋?巫山縣期末）寒假到來，某書店開展學(xué)生優(yōu)惠購買名著活動，凡一次性購買不超過100元的，一律九折優(yōu)惠；超過100元的，其中100元按九折優(yōu)惠，超過100元的部分按八折優(yōu)惠．小青第一次去購買時付款36元，第二次又去購買時享受到了八折優(yōu)惠．他查看了所買名著的定價，發(fā)現(xiàn)兩次共節(jié)省了17元，則小青第二次購買時實際付款元．6．（2020秋?兗州區(qū)期末）今年3.15期間，惠東商場為感謝新老顧客，決定對某產(chǎn)品實行優(yōu)惠政策：購買該產(chǎn)品，另外贈送禮品一份．經(jīng)過與該產(chǎn)品的供應(yīng)商協(xié)調(diào)，供應(yīng)商同意將該產(chǎn)品供貨價格降低，同時免費為顧客提供禮品；而該產(chǎn)品的商場零售價保持不變．這樣一來，該產(chǎn)品的單位利潤率由原來的提高到，則的值是．7．（2014?重慶模擬）某公司生產(chǎn)一種飲料是由，兩種原料液按一定比例配制而成，其中原料液的成本價為15元千克，原料液的成本價為10元千克，按現(xiàn)行價格銷售每千克獲得的利潤率．由于市場競爭，物價上漲，原料液上漲，原料液上漲，配制后的總成本增加了，公司為了拓展市場，打算再投入現(xiàn)總成本的做廣告宣傳，如果要保證每千克利潤不變，則此時這種飲料的利潤率是．8．（2013?江北區(qū)校級模擬）著名瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，曾給出這樣一個問題：父親臨終時立下遺囑，按下述方式分配遺產(chǎn)：老大分的100瑞士法郎和剩下的；老二分的200瑞士法郎和剩下的；老三分的300瑞士法郎和剩下的依此類推，分給其余的孩子．最后發(fā)現(xiàn)，遺產(chǎn)全部分完后所有孩子分的遺產(chǎn)相等．問：這位父親的遺產(chǎn)總數(shù)是瑞士法郎．9．（2013?自貢校級模擬）3月5日到3月9日重慶八中組織了初2013級全體同學(xué)到重慶通訊學(xué)院參加了國防教育活動，3月8日全體同學(xué)進行了軍事拉練．拉練時全年級同學(xué)排成了1000米的隊伍，在行進過程中排尾的一名同學(xué)接到教官的命令到排頭，然后立即返回，當(dāng)這名同學(xué)回到排尾時，全隊已前進了1000米，如果隊伍和這名同學(xué)行進的速度都不改變，那么這名同學(xué)所走的路程為米．10．（2013?重慶模擬）第三屆中國大學(xué)生方程式汽車比賽賽前，甲、乙兩輛參賽小汽車在一個封閉的環(huán)形跑道內(nèi)進行耐久測試．兩車從同一地點沿相同方向同時起步后，乙車速超過甲車速，在第15分鐘時甲車提速，在第18分鐘時甲車追上乙車并且開始超過乙，在第23分鐘時，甲車再次追上乙車．已知在測試中甲、乙兩車均是勻速行駛，那么如果甲車不提速，乙車首次超過甲車所用的時間是分鐘．11．（2013?重慶校級模擬）重慶育才中學(xué)的生活教育實踐農(nóng)場種了一片草莓，現(xiàn)在正是草莓成熟的季節(jié)，農(nóng)場的草莓每天都在勻速的成熟（即每天新成熟的草莓質(zhì)量相等），現(xiàn)在準(zhǔn)備把成熟的草莓包裝成禮盒進行銷售，且每只禮盒的草莓質(zhì)量相等．如果每天銷售24盒，則6天可以把成熟的草莓銷售完畢；如果每天銷售21盒，則8天可以把成熟的草莓銷售完畢；如果每天銷售14盒，則36天可以把成熟的草莓銷售完畢．12．（2013?重慶模擬）甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢，合伙訂購?fù)N規(guī)格的若干件商品，商品買來后，甲、乙分別比丙多拿了7、11件商品，最后結(jié)算時，甲付給丙14元，那么，乙應(yīng)付給丙元．13．（2022春?新樂市校級月考）用圖①中的長方形和正方形紙板作側(cè)面和底面，做成圖②中的豎式和橫式的兩種無蓋紙盒．現(xiàn)有1000張正方形紙板和2000張長方形紙板，如果制作豎、橫式兩種紙盒若干個，恰好將紙板用完，那么制作的豎式禮盒有A．200個 B．400個 C．600個 D．800個14．（2021秋?市中區(qū)期末）在長方形中，放入5個形狀大小相同的小長方形（空白部分），其中，，則陰影部分圖形的總面積為A．27 B．29 C．34 D．3615．（2018秋?南岸區(qū)校級期末）由菜鳥網(wǎng)絡(luò)打造的一個倉庫有相同數(shù)量的工人和機器人，均為名（其中，平時每天都只工作8小時，每名機器人每小時加工包裹（分、揀、包裝一體化）的數(shù)量是每名工人每小時加工包裹數(shù)量的2倍．隨著“春節(jié)”臨近，人工短缺，寄年貨的包裹增多，公司決定再增加2名機器人，且將機器人每天工作時間延長至12小時，并對每名機器人進行升級改造，讓現(xiàn)在每名機器人每小時加工包裹的數(shù)量在原有基礎(chǔ)上增加個，結(jié)果現(xiàn)在所有機器人每天加工包裹的數(shù)量是所有工人平時每天加工包裹數(shù)量的6倍，則該倉庫平時一天加工個包裹．16．（2019?潼南區(qū)模擬）某果蔬飲料由果汁、蔬菜汁和純凈水按一定質(zhì)量比配制而成，純凈水、果汁、蔬菜汁的價格比為，因市場原因，果汁、蔬菜汁的價格漲了，而純凈水的價格降了，但并沒有影響該飲料的成本（只考慮購買費用），那么該種飲料中果汁與蔬菜汁的質(zhì)量和與純凈水的質(zhì)量之比為．17．（2017?下陸區(qū)校級自主招生）一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎．如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛車將能行駛．18．（2017?慈溪市校級自主招生）已知三個非負(fù)實數(shù)，，滿足：和，若，則的最小值為．19．（2022秋?江北區(qū)期中）“泡泡瑪特”創(chuàng)立12年之際，推出“森林精靈”、“潘神神話”兩種限量盲盒，每種盲盒均裝有紫色、白色、紅色三種顏色的Molly公仔，每一種盲盒的成本是該盲盒中所有公仔的成本之和（包裝費用不計）．其中，“森林精靈”盲盒分別裝有3個紫色，1個白色，1個紅色公仔，“潘神神話”盲盒分別裝有2個紫色，3個白色，3個紅色公仔．每個“森林精靈”盲盒中所有公仔的成本之和為1個紫色Molly公仔的5倍，每個“潘神神話”盲盒的利潤率為50%，且每個“潘神神話”盲盒的售價比每個“森林精靈”盲盒高20%．店慶當(dāng)天銷售這兩種盲盒的總銷售額為60萬元，總利潤率為60%，則這天銷售“森林精靈”盲盒的總利潤是萬元．第06講一次方程掌握等式的基本性質(zhì)能解一元一次方程能解可化為一元一次方程的分式方程掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型★簡單；★★易錯；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

TOC\o"1-1"\h\u考點1：等式的性質(zhì)與方程的概念 3考點2：解一元一次方程 9考點:3：解二元一次方程 15考點4：一次方程的應(yīng)用 21課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖 36分層訓(xùn)練：課堂知識鞏固 37

考點1：等式的性質(zhì)與方程的概念①等式的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：等式兩邊加或減同一個數(shù)或同一個整式所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則a±c＝b±c.（2）性質(zhì)2：等式兩邊同乘（或除）同一個數(shù)（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式.即若a＝b，則ac＝bc，(c≠0)．（3）性質(zhì)3：（對稱性）若a=b,則b=a.（4）性質(zhì)4：（傳遞性）若a=b,b=c,則a=c.②方程的概念（1）一元一次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，且等式兩邊都是整式的方程．（2）二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程．（3）二元一次方程組：含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程．（4）二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解．下列式子中：①，②，③，④，⑤．是方程的有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫方程．據(jù)此判斷即可．【解答】解：①，是方程；②，是多項式，不是方程；③，是不等式，不是方程；④，是方程；⑤是方程．所以方程有①④⑤，共3個．故選：．【點評】本題考查了方程的定義，正確區(qū)分方程與整式和不等式是解答本題的關(guān)鍵．小麗同學(xué)在做作業(yè)時，不小心將方程■中的一個常數(shù)污染了，在詢問老師后，老師告訴她方程的解是，請問這個被污染的常數(shù)■是A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)方程的解是，把代入■，解出方程即可．【解答】解：把代入■，得■，解得■；故選：．【點評】本題考查了方程的解，掌握代入計算法是解題關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：、，，原變形錯誤，故此選項不符合題意；、，，原變形正確，故此選項符合題意；、，，原變形錯誤，故此選項不符合題意；、，，原變形錯誤，故此選項不符合題意；故選：．【點評】本題考查了等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)：等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．已知關(guān)于的方程是一元一次方程，則5．【分析】根據(jù)題意得出且，據(jù)此可得的值．【解答】解：關(guān)于的方程是一元一次方程，且，解得．故答案為：5．【點評】本題考查了一元一次方程的定義，列出關(guān)于的方程是解此題的關(guān)鍵．若是關(guān)于，的二元一次方程，則．【分析】從二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數(shù)和最高次項的次數(shù)是1這兩個方面考慮．【解答】解：是關(guān)于，的二元一次方程，且，解得，故答案為：．【點評】本題主要考查二元一次方程的定義，二元一次方程必須符合以下三個條件：（1）方程中只含有2個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)項的最高次數(shù)為一次；（3）方程是整式方程．

｛一元一次方程的解★｝是下列方程的解的有①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】分別求出四個方程的解各是多少，判斷出是所給方程的解的有多少個即可．【解答】解：①，．②，，解得或3．③，或1．④，，是所給方程的解的有3個：②、③、④．故選：．【點評】此題主要考查了方程的解，以及解一元一次方程、解二元一次方程的方法，要熟練掌握．｛一元一次方程的解★｝若方程的解為，則的值為A．10 B． C． D．【分析】把代入已知方程，列出關(guān)于的新方程，通過解新方程來求的值．【解答】解：依題意，得，即，解得，．故選：．【點評】本題考查了方程的解的定義．無論是給出方程的解求其中字母系數(shù)，還有判斷某數(shù)是否為方程的解，這兩個方向的問題，一般都采用代入計算是方法．｛方程的性質(zhì)★｝下列變形符合等式性質(zhì)的是A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么【分析】利用等式的性質(zhì)對每個等式進行變形即可找出答案．【解答】解：、等式的兩邊都加3，可得，原變形錯誤，故此選項不符合題意；、等式的兩邊都乘，可得，原變形正確，故此選項符合題意；、等式的兩邊都除以，可得，原變形錯誤，故此選項不符合題意；、等式的兩邊都加，可得，原變形錯誤，故此選項不符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)：性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．｛一元一次方程的概念★｝若是關(guān)于的一元一次方程，則2或4．【分析】只含有一個未知數(shù)（元，并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常數(shù)且．【解答】解：是關(guān)于的一元一次方程，，解答或4．故答案為：2或4．【點評】本題主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)是1，一次項系數(shù)不是0，這是這類題目考查的重點．｛二元一次方程的解★｝若是方程的一個解，則．【分析】把與的值代入方程計算即可求出的值，再將變形為，整體代入即可求解．【解答】解：是方程的一個解，，．故答案為：．【點評】此題考查了二元一次方程的解，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．（2018?河北）有三種不同質(zhì)量的物體“”“”“”，其中，同一種物體的質(zhì)量都相等，現(xiàn)左右手中同樣的盤子上都放著不同個數(shù)的物體，只有一組左右質(zhì)量不相等，則該組是A． B． C． D．【分析】直接利用已知盤子上的物體得出物體之間的重量關(guān)系進而得出答案．【解答】解：設(shè)的質(zhì)量為，的質(zhì)量為，的質(zhì)量為：，假設(shè)正確，則，，此時，，選項中都是，故選項錯誤，符合題意．故選：．【點評】此題主要考查了等式的性質(zhì)，正確得出物體之間的重量關(guān)系是解題關(guān)鍵．（2019?呼和浩特）關(guān)于的方程如果是一元一次方程，則其解為或或．【分析】利用一元一次方程的定義判斷即可．【解答】解：關(guān)于的方程如果是一元一次方程，當(dāng)時，方程為，解得：；當(dāng)時，方程為，解得：；當(dāng)，即時，方程為，解得：，故答案為：或或．【點評】此題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是解本題的關(guān)鍵．（2021?金華）已知是方程的一個解，則的值是2．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到關(guān)于的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：，，故答案為：2．【點評】本題考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到關(guān)于的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．考點2：解一元一次方程解一元一次方程的步驟（1）去分母:方程兩邊同乘分母的最小公倍數(shù)，不要漏乘常數(shù)項；（2）去括號：括號外若為負(fù)號，去括號后括號內(nèi)各項均要變號；（3）移項：移項要變號；（4）合并同類項：把方程化成ax=－b(a≠0)；（5）系數(shù)化為1：方程兩邊同除以系數(shù)a,得到方程的解x=－b/a.

｛解一元一次方程★｝整式的值隨的取值不同而不同，下表是當(dāng)取不同值時對應(yīng)的整式的值：01204則關(guān)于的方程的解為A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意，可得：，，據(jù)此求出的值是多少；然后根據(jù)解一元一次方程的方法，求出關(guān)于的方程的解為多少即可．【解答】解：、1時，的值分別是、0，，，，，移項，可得：，合并同類項，可得：，系數(shù)化為1，可得：．故選：．【點評】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．｛解一元一次方程-去分母★｝在解方程時，在方程的兩邊同時乘以6，去分母正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，在方程的兩邊同時乘以6即可．【解答】解：在解方程時，在方程的兩邊同時乘以6，去分母正確的是：．故選：．【點評】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，注意等式的性質(zhì)的應(yīng)用．｛解一元一次方程★｝對于兩個不相等的有理數(shù)，，我們規(guī)定符號，表示，兩數(shù)中較大的數(shù)，例如，．則方程，的解為A． B． C．或 D．1或2【分析】分類討論與的大小，利用題中的新定義化簡已知方程，求出解即可．【解答】解：當(dāng)，即時，已知方程變形得：，解得：，舍去；當(dāng)，即時，已知方程變形得：，解得：，則方程的解為．故選：．【點評】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．｛解一元一次方程★｝解方程：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)解一元一次方程的一般步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1解方程；（2）根據(jù)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1解方程；【解答】解：（1），去括號，得，移項，得，合并同類項，得；（2）方程兩邊都乘6，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，把系數(shù)化為1，得．【點評】本題考查解一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．這是解題關(guān)鍵．｛解一元一次方程-新定義★｝定義：若整數(shù)的值使關(guān)于的方程的解為整數(shù)，則稱為此方程的“友好系數(shù)”．（1）判斷，是否為方程的“友好系數(shù)”，寫出判斷過程；（2）方程“友好系數(shù)”的個數(shù)是有限個，還是無窮多？如果是有限個，求出此方程的所有“友好系數(shù)”；如果是無窮多，說明理由．【分析】（1）分別求出方程的解，然后進行判斷即可；（2）求出方程的解，根據(jù)是整數(shù)，也是整數(shù)進行求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)時，，解得：，是方程的友好系數(shù)；當(dāng)時，，解得：，是方程的友好系數(shù)；（2），，，為整數(shù)，，，解得：，要使的值為整數(shù)，則，，，，為整數(shù)，或或2．【點評】本題考查了解一元一次方程，根據(jù)的值為整數(shù)得到，，，是解題的關(guān)鍵．

｛解一元一次方程★｝已知方程和方程的解相同，則的值為．【分析】先求出第一個方程的解，把代入第二個方程，再求出即可．【解答】解：解方程得：，把代入得：，解得：，故答案為：．【點評】本題考查了一元一次方程的解，同解方程，解一元一次方程等知識點，能得出關(guān)于的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．｛解一元一次方程★｝如果方程的解與關(guān)于的方程的解相同，則的值為．【分析】先求出第一個方程的解，然后代入第二個方程得到關(guān)于的一元一次方程，再根據(jù)一元一次方程的解法進行求解即可．【解答】解：解方程得：，由題意：的解為，整理得：，解得：．故答案為：．【點評】本題考查了同解方程，同解方程就是解相同的方程，本題先求出第一個方程的解是解題的關(guān)鍵．｛解一元一次方程★｝整式的值隨的取值不同而不同，如表是當(dāng)取不同值時對應(yīng)的整式的值，則關(guān)于的方程的解是01220A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖表求得一元一次方程為，即可得出答案．【解答】解：當(dāng)時，，，，時，，，，為，解得，．故選：．【點評】本題主要考查解一元一次方程，正確得出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．｛解一元一次方程★｝如果，那么的值為A． B．或1 C．或 D．或【分析】根據(jù)絕對值的意義得到或，然后解兩個一次方程即可．【解答】解：，或，或．故選：．【點評】考查絕對值方程的解法，絕對值方程要轉(zhuǎn)化為整式方程來求解．要注意，所以方程有兩個解．｛解一元一次方程★｝解下列方程：（1）；（2）；（3）．【分析】（1）移項合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解即可；（2）去括號，移項合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解即可；（3）去分母，去括號，移項合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解即可．【解答】解：（1）移項，得：，合并同類項，得：，系數(shù)化為1，得：；（2）去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數(shù)化為1，得：；（3）去分母，得：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數(shù)化為1，得：．【點評】此題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．｛解一元一次方程-新定義★｝用“”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定．如：．（1）求的值；（2）若，求的值；（3）若，（其中為有理數(shù)），試比較，的大?。痉治觥浚?）根據(jù)新運算列出算式是計算；（2）根據(jù)新運算列出方程，解一元一次方程；（3）先新運算列出算式，合并同類項，把、化為最簡的式子，求出它們的差，進行比較大?。窘獯稹拷猓海?）；（2），，，，，解得；（3），，，，，，，，，，．【點評】本題主要考查了解一元一次方程、有理數(shù)混合運算，掌握混合運算順序及解一元一次方程的步驟，對新運算的理解是列式的關(guān)鍵，比較、大小，關(guān)鍵是通過化簡后最簡代數(shù)式差的正負(fù)情況來判斷．（2021?溫州）解方程，以下去括號正確的是A． B． C． D．【分析】可以根據(jù)乘法分配律先將2乘進去，再去括號．【解答】解：根據(jù)乘法分配律得：，去括號得：，故選：．【點評】本題考查了解一元一次方程，去括號法則，解題的關(guān)鍵是：括號前面是減號，把減號和括號去掉，括號的各項都要變號．（2021?廣元）解方程：．【分析】解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1，據(jù)此解答即可．【解答】解：，，，，，．【點評】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵．

考點:3：解二元一次方程思路消元，將二元一次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程.方法(1)代入消元法:從一個方程中求出某一個未知數(shù)的表達式，再把“它”代入另一個方程，進行求解；(2)加減消元法：把兩個方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數(shù)的方法.

｛解二元一次方程★｝若是二元一次方程，則A．1 B．2 C．3 D．1或2【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，從二元一次方程的未知數(shù)次數(shù)為1這一方面考慮，先求出常數(shù)、的值，再進一步計算．【解答】解：由是二元一次方程，得，．解得，，，故選：．【點評】本題考查了二元一次方程的定義，二元一次方程是含有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)都為1，運用二元一次方程的定義可以求出字母常數(shù)的值，同時注意結(jié)合有理數(shù)的運算確定字母的取值．｛二元一次方程的定義★｝方程，，，，中二元一次方程的個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】二元一次方程滿足的條件：只含有2個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程．【解答】解：根據(jù)二元一次方程的定義，則是二元一次方程的是，，共2個．故選：．【點評】本題主要考查二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的整式方程叫做二元一次方程．｛二元一次方程的解★｝已知關(guān)于，的方程組，將此方程組的兩個方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一個新的方程，當(dāng)每取一個值時，就有一個方程，這些方程有一個公共解，這個公共解為．【分析】根據(jù)題意①②得，然后根據(jù)題意列出方程組即可求得公共解．【解答】解：①②得，，，，根據(jù)題意，這些方程有一個公共解，與的取值無關(guān)，，解得．故答案為：．【點評】本題考查了二元一次方程組的解法，二元一次方程組的基本解法有代入消元法和加減消元法．｛解二元一次方程★｝解方程組：（1）；（2）．【分析】（1）方程組利用代入消元法求出解即可；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．【解答】（1），解：由②得：③，將③代入①得，解得，將代入③得：，原方程的解為；（2），解：由①得：③，將③代入①得：，解得，將代入③得：，原方程的解為．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

｛二元一次方程的解★｝定義一種新的運算：☆，例如：3☆．若☆，且關(guān)于，的二元一次方程，當(dāng)，取不同值時，方程都有一個公共解，那么這個公共解為．【分析】根據(jù)“☆，☆”得到，代入方程得到，根據(jù)“當(dāng)，取不同值時，方程都有一個公共解”，得到關(guān)于、的方程組，解之即可．【解答】解：☆，☆，，即，則方程可轉(zhuǎn)化為，則，當(dāng)，取不同值時，方程都有一個公共解，，解得，故答案為：．【點評】本題考查了新定義和二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是得到關(guān)于、的方程組．｛二元一次方程的定義★｝若是二元一次方程，則3．【分析】先根據(jù)二元一次方程的定義得出，，據(jù)此可得、的值，再代入計算可得．【解答】解：是二元一次方程，，，，，則．故答案為：3．【點評】本題主要考查二元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程需滿足三個條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個未知數(shù)．③所有未知項的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個條件的都不叫二元一次方程．｛解二元一次方程★｝解方程組：（1）；（2）．【分析】（1）方程組利用加減消元法求解即可；（2）方程組整理后，再利用加減消元法求解即可．【解答】解：（1），①②，得，解得，把代入②，得，解得，故方程組的解為；（2）方程組整理，得，①②，得，解得，把代入①，得，解得，故方程組的解為．【點評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用．｛解二元一次方程★｝已知方程組與有相同的解，則144．【分析】由題意可知，有一組、值同時滿足于上述四個方程，把已知系數(shù)的方程聯(lián)立為一個方程組，進行求解，將可求出、．然后把所求分別代入令兩個方程，便可求出、，最后代入則中求解即可．【解答】解：因為方程組與有相同的解，所以有，解得．將其代入，，得，解得．則．【點評】本題需要對二元一次方程組的解有深刻的理解，從而明確該題中的四個方程有相同解，進而重新組合方程（2021?眉山）解方程組：．【分析】方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：方程組整理得：，①②得：，解得：，把代入②得：，則方程組的解為．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．（2020?黑龍江）若是二元一次方程組的解，則的算術(shù)平方根為A．3 B．3， C． D．，【分析】把與的值代入方程組計算求出的值，即可求出所求．【解答】解：把代入方程組得：，①②得：，則3的算術(shù)平方根為．故選：．【點評】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數(shù)的值．（2020?朝陽）已知關(guān)于、的方程的解滿足，則的值為5．【分析】①②可得，然后列出關(guān)于的方程求解即可．【解答】解：，①②，得，，，，．故答案為：5．【點評】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，在求二元一次方程組中兩個未知數(shù)的和或差的時候，有時可以采用把兩個方程直接相加或相減的方法，而不必求出兩個未知數(shù)的具體值．解答．

考點4：一次方程的應(yīng)用①列方程(組)解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題：審清題意，分清題中的已知量、未知量；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）列方程(組)：找出等量關(guān)系，列方程（組）；（4）解方程(組)；（5）檢驗：檢驗所解答案是否正確或是否滿足符合題意；（6）作答：規(guī)范作答，注意單位名稱．②常見題型及關(guān)系式：（1）利潤問題：售價=標(biāo)價×折扣，銷售額=售價×銷量，利潤=售價－進價，利潤率=利潤/進價×100%.（2）利息問題：利息=本金×利率×期數(shù)，本息和=本金+利息.（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間.（4）行程問題：路程=速度×?xí)r間.①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及問題：a.同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程；b.同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程.

｛★★｝（2019年湖北省荊門市中考數(shù)學(xué)試題）欣欣服裝店某天用相同的價格賣出了兩件服裝，其中一件盈利，另一件虧損，那么該服裝店賣出這兩件服裝的盈利情況是A．盈利 B．虧損C．不盈不虧 D．與售價有關(guān)【答案】B【解析】設(shè)第一件衣服的進價為元，依題意得：，設(shè)第二件衣服的進價為元，依題意得：，，整理得：，該服裝店賣出這兩件服裝的盈利情況為：，即賠了元，故選B．｛★｝（湖北黃石市新建中學(xué)2019年中考一模數(shù)學(xué)試題）某車間原計劃13小時生產(chǎn)一批零件，后來每小時多生產(chǎn)10件，用了12小時不但完成任務(wù)而且還多生產(chǎn)60件，設(shè)原計劃每小時生產(chǎn)x個零件，則所列方程為A．13x12x1060 B．13x12x1060 C． D．【答案】A【解析】設(shè)原計劃每小時生產(chǎn)x個零件，則實際每小時生產(chǎn)（x+10）個零件．

根據(jù)等量關(guān)系列方程得：12（x+10）=13x+60．即:13x12x1060，故選：A．｛★｝（2019年湖南省株洲市中考數(shù)學(xué)試題）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，問幾何步及之？“其意思為：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，現(xiàn)速度慢的人先走100步，速度快的人去追趕，則速度快的人要走_____步才能追到速度慢的人．【答案】250【解析】設(shè)走路快的人追上走路慢的人所用時間為，根據(jù)題意得：，解得：，∴．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．｛★｝（黑龍江省哈爾濱市道里區(qū)201屆九年級中考二模數(shù)學(xué)試題）某車間有22名工人，每人每天可生產(chǎn)1200個螺釘或2000個螺母，1個螺釘需配2個螺母，為使生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，若設(shè)x名工人生產(chǎn)螺釘，依題意列方程為A．1200x＝2000（22﹣x） B．1200x＝2×2000（22﹣x）C．1200（22﹣x）＝2000x D．2×1200x＝2000（22﹣x）【答案】D【解析】設(shè)每天安排x個工人生產(chǎn)螺釘，則（22-x）個工人生產(chǎn)螺母，利用一個螺釘配兩個螺母．

由題意得：2×1200x=2000（22-x），即2×1200x=2000（22-x），故選D．｛★｝（湖南省岳陽市2019年中考數(shù)學(xué)試題）我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有下列問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日織幾何？”其意思為：今有一女子很會織布，每日加倍增長，5日共織布5尺.問每日各織多少布？根據(jù)此問題中的已知條件，可求得該女子第一天織布__________尺.【答案】【解析】設(shè)第一天織布x尺，則第二天織布2x尺，第三天織布4x尺，第四天織布8x尺，第五天織布16x尺，根據(jù)題意可得：x+2x+4x+8x+16x＝5，解得：，即該女子第一天織布尺，故答案為：.

｛★｝（2021?陜西）一家商店在銷售某種服裝（每件的標(biāo)價相同）時，按這種服裝每件標(biāo)價的8折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價降低30元銷售11件的銷售額相等．求這種服裝每件的標(biāo)價．【分析】設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價是元，根據(jù)“這種服裝每件標(biāo)價的8折銷售10件的銷售額，與按這種服裝每件的標(biāo)價降低30元銷售11件的銷售額相等”從而得出方程，解方程即可求解；【解答】解：設(shè)這種服裝每件的標(biāo)價是元，根據(jù)題意得，，解得，答：這種服裝每件的標(biāo)價為110元．【點評】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，此題應(yīng)用比較廣泛，設(shè)出標(biāo)價得出方程是解決問題的關(guān)鍵．｛★｝（2020?山西）2020年5月份，省城太原開展了“活力太原樂購晉陽”消費暖心活動，本次活動中的家電消費券單筆交易滿600元立減128元（每次只能使用一張）．某品牌電飯煲按進價提高后標(biāo)價，若按標(biāo)價的八折銷售，某顧客購買該電飯煲時，使用一張家電消費券后，又付現(xiàn)金568元．求該電飯煲的進價．【分析】設(shè)該電飯煲的進價為元，則售價為元，根據(jù)某顧客購買該電飯煲時，使用一張家電消費券后，又付現(xiàn)金568元列出方程，求解即可．【解答】解：設(shè)該電飯煲的進價為元，則標(biāo)價為元，售價為元，根據(jù)題意，得，解得．答：該電飯煲的進價為580元．【點評】此題考查一元一次方程的實際運用，找出題目蘊含的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．｛★｝一電商出售運動包時，將一種運動雙肩包按進價提高作為標(biāo)價，然后再按標(biāo)價的8.5折出售，這樣電商每賣出一個運動雙肩包可賺取38元．試問這種運動雙肩包每個進價是多少元？【分析】設(shè)這種運動雙肩包每個進價是元，根據(jù)題意知；利潤總的售價總進價．列方程解可得．【解答】解：設(shè)這種運動雙肩包每個進價是元．由題意得．解得；．答：這種運動雙肩包每個進價是200元．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系．｛★｝（2019?安徽）為實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，解決某山區(qū)老百姓出行難的問題，當(dāng)?shù)卣疀Q定修建一條高速公路．其中一段長為146米的山體隧道貫穿工程由甲乙兩個工程隊負(fù)責(zé)施工．甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米．已知甲工程隊每天比乙工程隊多掘進2米，按此速度完成這項隧道貫穿工程，甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作多少天？【分析】設(shè)甲工程隊每天掘進米，則乙工程隊每天掘進米．根據(jù)“甲工程隊獨立工作2天后，乙工程隊加入，兩工程隊又聯(lián)合工作了1天，這3天共掘進26米”列出方程，然后求工作時間．【解答】解：設(shè)甲工程隊每天掘進米，則乙工程隊每天掘進米，由題意，得，解得，所以乙工程隊每天掘進5米，（天答：甲乙兩個工程隊還需聯(lián)合工作10天．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意得出兩隊的工效，進而得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．｛★｝（2021?泰州）甲、乙兩工程隊共同修建的公路，原計劃30個月完工．實際施工時，甲隊通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了，乙隊施工效率不變，結(jié)果提前5個月完工．甲、乙兩工程隊原計劃平均每月分別修建多長？【分析】設(shè)甲工程隊原計劃平均每月修建，乙工程隊原計劃平均每月修建，則兩隊原計劃平均每月修建，技術(shù)創(chuàng)新后兩隊原計劃平均每月修建，根據(jù)原計劃30個月完工，通過技術(shù)創(chuàng)新提前5個月完工為等量關(guān)系即可列出分式方程，求解即可求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)甲工程隊原計劃平均每月修建，乙工程隊原計劃平均每月修建，根據(jù)題意得，，解得，答：甲工程隊原計劃平均每月修建2，乙工程隊原計劃平均每月修建3．【點評】本題考查了二元一次方程組應(yīng)用，能夠根據(jù)時間找出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．｛★｝為了打通城市和景區(qū)的交通線路，某市利用高架橋和鉆隧道等技術(shù)，縮短了城市和景區(qū)的距離，使得兩地總里程比原來縮短了26千米，修建新路線后高鐵行駛速度比原來火車行駛速度的3倍還多9千米，原來的火車行完全程用時3小時，現(xiàn)在高鐵用時50分鐘，求開通后高鐵的平均速度是多少千米小時？【分析】設(shè)原來火車的速度為千米小時，則高鐵的平均速度是千米小時，再根據(jù)開通高鐵后兩地總里程比原來縮短了26千米列出方程即可．【解答】解：設(shè)原來火車的速度為千米小時，則高鐵的平均速度是千米小時，由題意得：，解得：，當(dāng)時，（千米小時），答：開通后高鐵的平均速度是210千米小時．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)路程相等列出方程．｛★｝甲、乙兩人同時從地去地，、兩地相距12千米，甲騎自行車，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍還快2千米時，甲到達立刻返回在途中遇到乙，這時距他們出發(fā)時已過了3小時，求乙的速度．【分析】根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得乙的速度．【解答】解：設(shè)乙的速度為千米小時，則甲的速度為千米小時，，解得，答：乙的速度為2千米小時．【點評】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．｛★｝列方程解應(yīng)用題：甲列車從地開往地，每小時行駛60千米，乙列車同時從地開往地，每小時行駛90千米．已知，兩地相距．（1）經(jīng)過多長時間兩車相遇；（2）兩車相遇的地方離地多遠(yuǎn)？【分析】（1）設(shè)兩車相遇時間為小時，根據(jù)所行的路程和為，列出方程求得相遇時間即可；（2）用（1）求出的時間乘以甲列車從地開往地速度，即可得出兩車相遇的地方離地的距離．【解答】解：（1）設(shè)經(jīng)過小時兩車相遇，根據(jù)題意得：，解得：，答：經(jīng)過小時兩車相遇；（2）根據(jù)題意得：（千米），答：兩車相遇的地方離地80千米．【點評】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，掌握行程問題中的基本數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．｛★｝張翔從學(xué)校出發(fā)騎自行車去縣城，中途因道路施工步行一段距離，后到達縣城．他騎車的平均速度是，步行的平均速度是，路程長，他騎車與步行各用多少時間？【分析】首先設(shè)他騎車用了小時，根據(jù)騎車時間步行時間小時表示出步行時間，再由騎車路程步行路程千米，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)他騎車所用時間為小時，則他步行的時間為：小時，根據(jù)題意，得：，解得：，則他步行時間為：（小時）．答：他騎車用了1.25小時，步行用了0.25小時．【點評】此題考查一元一次方程的實際運用，關(guān)鍵是弄懂題意，根據(jù)題目中的時間關(guān)系和路程總和為20千米列出方程．｛★★｝一艘輪船在、兩個港口之間航行，順流需要4個小時，逆流需要5個小時，已知水流速度是每小時2千米，求輪船在靜水中的速度．【分析】設(shè)輪船在靜水中的速度為千米小時，則順流的速度為千米小時，逆流的速度為千米小時，根據(jù)路程速度時間結(jié)合、兩個港口之間的路程相等，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)輪船在靜水中的速度為千米小時，則順流的速度為千米小時，逆流的速度為千米小時，依題意，得：，解得：．答：輪船在靜水中的速度為18千米小時．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．｛★｝一項工程，甲單獨做要10天，乙單獨做要15天，丙單獨做要20天．三人合做期間，甲因故請假，工程6天完工，請問甲請了幾天假？【分析】設(shè)甲請了天假，根據(jù)三人的總工作量是“1”列出方程并解答．【解答】解：設(shè)甲請了天假，由題意知，．解得．答：甲請了3天假．【點評】此題主要考查工作時間、工作效率、工作總量三者之間的數(shù)量關(guān)系，搞清每一步所求的問題與條件之間的關(guān)系，選擇正確的數(shù)量關(guān)系解答．｛★｝為提高學(xué)生綜合素質(zhì)，親近自然，勵志青春，某學(xué)校組織學(xué)生舉行“遠(yuǎn)足研學(xué)”活動，先以每小時6千米的速度走平路，后又以每小時3千米的速度上坡，共用了3小時；原路返回時，以每小時5千米的速度下坡，又以每小時4千米的速度走平路，共用了4小時，問平路和坡路各有多遠(yuǎn)．【分析】可以設(shè)平路為千米，坡路為千米，根據(jù)往返的用時不同可得到兩個關(guān)于、的方程，求方程組的解即可【解答】解：設(shè)平路有千米，坡路有千米，由題意可知，解得，答：平路有千米，坡路有千米．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．｛★★｝（2017?岳陽）我市某校組織愛心捐書活動，準(zhǔn)備將一批捐贈的書打包寄往貧困地區(qū)，其中每包書的數(shù)目相等．第一次他們領(lǐng)來這批書的，結(jié)果打了16個包還多40本；第二次他們把剩下的書全部取來，連同第一次打包剩下的書一起，剛好又打了9個包，那么這批書共有多少本？【分析】（方法一）設(shè)這批書共有本，根據(jù)每包書的數(shù)目相等．即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．（方法二）設(shè)第一次領(lǐng)來本書，第二次領(lǐng)來本書，根據(jù)第一次領(lǐng)來全部書的結(jié)合每包書的數(shù)目相等，即可列出關(guān)于、的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（方法一）設(shè)這批書共有本，根據(jù)題意得：，解得：，．答：這批書共有1500本．（方法二）設(shè)第一次領(lǐng)來本書，第二次領(lǐng)來本書，根據(jù)題意得：，解得：，．答：這批書共有1500本．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用（二元一次方程組的應(yīng)用），解題的關(guān)鍵是：（方法一）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（方法二）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組．｛★★｝（2018?長沙）隨著中國傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動，對部分品牌粽子進行打折銷售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？（2）陽光敬老院需購買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了多少錢？【分析】（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根據(jù)“打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出關(guān)于、的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)節(jié)省錢數(shù)甲品牌粽子節(jié)省的錢數(shù)乙品牌粽子節(jié)省的錢數(shù)，即可求出節(jié)省的錢數(shù)．【解答】解：（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒元，乙品牌粽子每盒元，根據(jù)題意得：，解得：．答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）（元．答：打折后購買這批粽子比不打折節(jié)省了3120元．【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計算．｛★｝（2017?福建）我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問題：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足．問雞兔各幾何．”其大意是：“有若干只雞和兔關(guān)在同一籠子里，它們一共有35個頭，94條腿．問籠中的雞和兔各有多少只？”試用列方程（組解應(yīng)用題的方法求出問題的解．【分析】設(shè)雞有只，兔有只，根據(jù)等量關(guān)系：上有三十五頭，下有九十四足，可分別得出方程，聯(lián)立求解即可得出答案．【解答】解：設(shè)雞有只，兔有只，雞有一個頭，兩只腳，兔有1個頭，四只腳，結(jié)合上有三十五頭，下有九十四足可得：，解得：．答：雞有23只，兔有12只．【點評】此題考查了二元一次方程的知識，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題，根據(jù)等量關(guān)系得出方程組，難度一般．｛★★｝甲、乙兩個藥業(yè)集團共有藥品庫存50噸，為抗擊疫情支援災(zāi)區(qū)，甲集團捐贈出庫存的藥品，乙集團捐贈出庫存的藥品，組織車輛連夜送往抗疫最前線．若兩個藥業(yè)集團所捐贈的藥品數(shù)量相同，那么甲，乙兩藥業(yè)集團原來各自的藥品庫存量有多少噸？【分析】設(shè)甲藥業(yè)集團原來的藥品庫存量有噸，乙藥業(yè)集團原來的藥品庫存量有噸，根據(jù)“甲、乙兩個藥業(yè)集團共有藥品庫存50噸，甲集團庫存與乙集團庫存的藥品數(shù)量相同”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設(shè)甲藥業(yè)集團原來的藥品庫存量有噸，乙藥業(yè)集團原來的藥品庫存量有噸，依題意得：，解得：．答：甲藥業(yè)集團原來的藥品庫存量有20噸，乙藥業(yè)集團原來的藥品庫存量