基于數(shù)學(xué)本質(zhì)學(xué)習(xí)的“基本不等式”微專題教學(xué)設(shè)計

摘

要：文章是高三二輪復(fù)習(xí)中“基本不等式”的教學(xué)微專題設(shè)計，精選例題及變式，使學(xué)生靈活使用基本不等式求最值問題。以提升解決數(shù)學(xué)問題為出發(fā)點，讓學(xué)生更加準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系，加深對數(shù)學(xué)思想方法的理解和認(rèn)識。關(guān)鍵詞：微專題；教學(xué)設(shè)計；基本不等式一、關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理性認(rèn)識不少數(shù)學(xué)教師會感慨一節(jié)課時間太短，盡管備課充足，但由于客觀因素的影響，課堂效果仍然不盡如人意，學(xué)生也埋怨課堂教學(xué)信息量太大，難以消化吸收。然而，在實際教學(xué)中，微專題的利用，可以使這一現(xiàn)狀獲得改善，增強課程的講授效果和針對性，但是，要想真正解決這一困局，還需要更多的努力和改進。在教學(xué)設(shè)計中，闡明數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是解題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)本質(zhì)是一種共同的穩(wěn)定屬性，是事件變動中保持穩(wěn)定的特征。所以數(shù)學(xué)本質(zhì)指的是數(shù)學(xué)學(xué)科的實質(zhì)，它決定了數(shù)學(xué)學(xué)科的性質(zhì)、面貌和發(fā)展，換句話說，它是數(shù)學(xué)內(nèi)容的本真意義，是數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展的基石?！皵?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的?！比绾瓮ㄟ^教學(xué)設(shè)計，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落實到課堂中，是數(shù)學(xué)學(xué)科教研的重要課題。本文是以一節(jié)高三數(shù)學(xué)二輪微專題課為例，對“基本不等式”這一重要內(nèi)容的微專題教學(xué)設(shè)計的探索。二、基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的課堂建構(gòu)路徑本專題教學(xué)目標(biāo)：借助數(shù)學(xué)小故事，結(jié)合具體情境，引入基本不等式≤（a≥0，b≥0），了解其結(jié)構(gòu)特征，通過具體實例和適當(dāng)訓(xùn)練，能夠靈活運用基本不等式解決最值問題。本專題內(nèi)容，以基本不等式的生成為起點，關(guān)注數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系和思想方法，注重學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，能把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升解決實際問題的能力，能夠靈活使用基本不等式解決最值問題。本專題設(shè)計分兩部分：第一部分：利用基本不等式求最值，通過一道錯題呈現(xiàn)引起學(xué)生對基本不等式運用過程中細(xì)節(jié)的重視，進而通過三個變式，強化一正、二定、三相等這三個要素；第二部分：二元及多元問題的常見處理方法，如消元法，主要含代入消元法、換元消元法（雙換元、三角換元等）、構(gòu)造消元法（齊次式），待定系數(shù)法及“1”的代換等，以加強學(xué)生對基本不等式的靈活應(yīng)用。（一）知識回顧引出數(shù)學(xué)本質(zhì)1.基本不等式：≤（1）基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0。（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。（3）其中正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)為，正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)為。2.幾個重要的不等式（1）a2+b2≥2ab（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取=。（2）ab≤（a，b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取=。（3）+≥2（a，b同號），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取=。（4）ab≤≤。（5）≤≤≤（a≥0，b≥0）。3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則（1）若積xy是定值p，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，x+y有最小值是2。（簡稱：積定和最?。?）若和x+y是定值s，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，xy有最大值是。（簡稱：和定積最大）細(xì)節(jié)強調(diào)：①在利用基本不等式求最值時：“一定，二正，三相等”，分別指使用條件，式子結(jié)構(gòu)，取等要求，忽略任一條件，就會導(dǎo)致出錯。②在利用基本不等式求最值時，盡可能避免多次使用，如必須多次使用，需關(guān)注取等條件，條件一致時方可傳遞。設(shè)計意圖：通過提問已經(jīng)學(xué)習(xí)的基本不等式的相關(guān)內(nèi)容，幫助學(xué)生回憶基本不等式的內(nèi)容，理清知識間的關(guān)系，形成知識的框架和體系。同時為后面的例題和練習(xí)提供基本的公式參考，揭露基本不等式的本質(zhì)應(yīng)用即求最值問題。（二）課堂導(dǎo)入探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)引例：函數(shù)f（x）=lgx，若0<a<b且f（a）=f（b），求a+2b的取值范圍。<p="">錯解呈現(xiàn)：由f（a）=f（b）得0<a<1<b，=b，所以a+2b=a+≥2。<p="">師：本題解法有錯嗎？如果有，錯在哪里？生（預(yù)設(shè)）：取等條件不滿足0<a<1。<p="">設(shè)計意圖：使用基本不等式時要檢驗取等條件。等號取不到該怎么辦？這時可以通過函數(shù)求導(dǎo)等手段求最值；通過錯題重現(xiàn)強化對基本不等式的認(rèn)識以及如何利用基本不等式準(zhǔn)確求得最值。大多數(shù)學(xué)生可能無法完全理解復(fù)雜的理論知識，需要教師的充分指導(dǎo)，對此，教師需要積極鼓勵學(xué)生針對課堂教學(xué)主要內(nèi)容進行深入分析研究，在小組內(nèi)部共同研究相關(guān)課題或相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，了解基礎(chǔ)不等式例題的計算過程，認(rèn)真分析例題的主要要求以及相關(guān)內(nèi)容，查找例題中的核心要素，提取相應(yīng)的學(xué)科知識點。（三）知識應(yīng)用鞏固數(shù)學(xué)本質(zhì)例1：求函數(shù)f（x）=x+（x<0）的值域。例2：函數(shù)已知x>2，則x+的最小值是（

）。A.2

B.4

C.2

D.6例3：已知函數(shù)f（x）=（a∈R），若對任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，則a的取值范圍是________。例4：求a2++（a>b>0）的最小值。設(shè)計意圖：例1的設(shè)置在于對“一正”的考察?！耙徽笔菓?yīng)用基本不等式的前提條件。形式符合利用基本不等式，但條件不符合，可以通過對條件加工進而使用基本不等式。例2的設(shè)置是對“二定”的考察。這是利用基本不等式求最值的主體，其核心在于通過“湊”（等價變形）找到“定值”，即和為定值積有最大值，積為定值和有最小值。例3的設(shè)置是對“三相等”的考察?；静坏仁降闹黧w運用結(jié)束之后，必須判斷取等條件，檢驗基本不等式是否失效。例4主要針對題目中需要多次使用基本不等式，必須關(guān)注取等的條件，不能出現(xiàn)“不一致”的情況。這幾個例題從幾類典型問題出發(fā)，通過分析糾錯，方法提煉，引出基本不等式應(yīng)用過程中的三個重要條件，幫助學(xué)生梳理知識體系，從而強化對基本不等式的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生理清使用條件和等號能否取到的問題，從而進一步提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。（四）拓展練習(xí)深挖數(shù)學(xué)本質(zhì)練習(xí)1：已知x2+2y2=1，則u=3x2+y2-2x+1的取值范圍。練習(xí)2：設(shè)實數(shù)x，y滿足-y2=1，則3x2-2xy的最小值是________。練習(xí)3：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為________。練習(xí)4：設(shè)a，b>0，a+b=5，則+的最大值為________。設(shè)計意圖：“拓展練習(xí)”模塊，為學(xué)生提供了不同類型的典型例題，在學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)定理之后，為學(xué)生提供相關(guān)知識點，進一步啟發(fā)學(xué)生發(fā)散思維，完善學(xué)生學(xué)科知識體系，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)視野，幫助學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面的學(xué)科知識，了解數(shù)學(xué)的基本定理與性質(zhì)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)定理的基礎(chǔ)之上，解決具體的數(shù)字運算題目，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、學(xué)以致用的能力。從而引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí)，積極地探討和解決教學(xué)中的問題，深入理解數(shù)學(xué)學(xué)科的核心概念和重點知識，熟悉數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容，并能夠運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題。三、基于數(shù)學(xué)本質(zhì)學(xué)習(xí)的微設(shè)計反思感悟教科書中的數(shù)學(xué)知識，是一種“冰冷的知識”，它只是一種表面的概念，但實際上，知識背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)更加深奧，因此，數(shù)學(xué)教師有責(zé)任將其轉(zhuǎn)化為有效的教育形式，以幫助學(xué)生更好地理解這些知識中的數(shù)學(xué)概念，并且讓他們能夠主動、積極地學(xué)習(xí)，深度學(xué)習(xí)的實踐和理論發(fā)展，正是對這一觀點最好的詮釋。（一）關(guān)注核心素養(yǎng)，聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師需要認(rèn)真遵循課程改革的整體要求，逐步優(yōu)化課堂教學(xué)具體流程，在教學(xué)設(shè)計以及教學(xué)研究等方面融入課程教學(xué)的基本教學(xué)理念與相關(guān)思維，在逐步培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)能力以及思辨意識的前提之下，逐步提升課堂教學(xué)整體質(zhì)量與水平。教師不僅要在課堂上培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和專業(yè)素養(yǎng)，還應(yīng)該利用各類教育資源，結(jié)合日常教學(xué)要求，深入淺出地講解數(shù)學(xué)的基本性質(zhì)和定理，并且利用實例幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的變化規(guī)律，同時也要提供具體的解答技巧和全新的解析思路，以此拓展學(xué)生的學(xué)科知識面。高中數(shù)學(xué)學(xué)科與其他類型的學(xué)科有所不同，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及理性發(fā)展能力，更加注重學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)科知識的過程。教師應(yīng)融入新型的學(xué)習(xí)理念與學(xué)習(xí)方法，指導(dǎo)學(xué)生自主調(diào)整當(dāng)前學(xué)習(xí)狀態(tài)，引導(dǎo)學(xué)生著重發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，鼓勵學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特色學(xué)習(xí)方法，學(xué)習(xí)相關(guān)學(xué)科知識點，了解高中數(shù)學(xué)課程的具體教學(xué)內(nèi)容。（二）基于學(xué)情分層設(shè)計微課程不同學(xué)生的理解能力以及接受能力有所不同，不同學(xué)生對同一知識點的理解也可能存在偏差，在此前提之下，教師需要針對課堂教學(xué)改革工作的整體要求，深入分析當(dāng)前教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合具體問題，探索具有針對性的問題解決策略以及教學(xué)方法，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)理論知識，隨后深入研究重難點知識?；跀?shù)學(xué)本質(zhì)學(xué)習(xí)的“基本不等式”課堂設(shè)計工作要求，教師立足于基本不等式定理以及相關(guān)函數(shù)性質(zhì)，為學(xué)生分析基本不等式的主要性質(zhì)，同時也需要由教師結(jié)合基本不等式定理推導(dǎo)具體的數(shù)字運算過程。最后在教學(xué)設(shè)計方案中，合理設(shè)置思維導(dǎo)圖，安排具體的教學(xué)例題，結(jié)合典型例題，揭示基本不等式與函數(shù)之間的密切聯(lián)系，將函數(shù)與基本不等式的理論知識進行有效銜接，鼓勵學(xué)生通過一些例題或者是一部分理論知識發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，了解數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)與特征。由于班級內(nèi)部存在優(yōu)等生和后進生，在講解過程中，教師應(yīng)該充分考慮到每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，靈活調(diào)整教學(xué)策略和進度，尤其是在講解基本不等式定理時，要積極鼓勵并引導(dǎo)優(yōu)等生深入理解課程內(nèi)容，以提高學(xué)習(xí)效果。（三）巧用問題串啟發(fā)深層思考在本次教學(xué)設(shè)計環(huán)節(jié)中，著重提出了新型的教學(xué)策略與方法，其中包含基本不等式以及三角函數(shù)方面的學(xué)科知識點，結(jié)合三角函數(shù)的典型例題，為學(xué)生推出新的學(xué)科知識點，隨后鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)基本不等式定理的基礎(chǔ)之上解答相關(guān)題目，通過例題分析與課程講解等形式鼓勵學(xué)生了解例題的解題方式，不斷調(diào)整自己的解題思路與學(xué)習(xí)方法。大多數(shù)學(xué)生在了解三角函數(shù)之后，對函數(shù)的基本定理以及函數(shù)性質(zhì)有了更全面的認(rèn)識，也有部分學(xué)生可以將三角函數(shù)、一次函數(shù)以及二次函數(shù)的相關(guān)知識點串聯(lián)在一起，通過此種方式，可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)科思維，同時也可以幫助學(xué)生深入研究學(xué)科知識的本質(zhì)與內(nèi)涵，進一步挖掘?qū)W科知識的核心要點。四、結(jié)語高中生需要廣泛學(xué)習(xí)相關(guān)學(xué)科知識點，也需要教師有意識、有目的地培養(yǎng)學(xué)生多方面的學(xué)習(xí)能力以及學(xué)科素養(yǎng)。學(xué)生的個性成長與能力發(fā)展需要教師的指導(dǎo)和幫助，也需要教師充分引導(dǎo)學(xué)生通過自主努力解決相關(guān)問題，或者是通過小組合作的形式共同探討例題的解題思路，結(jié)合例題中的函數(shù)定理進行綜合分析與研究。此外，本次教