2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（配湘教版）3.2.1 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

3.2雙曲線3.2.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.雙曲線x225-y223=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,雙曲線上一點(diǎn)P到F1的距離為8,則點(diǎn)P到FA.2或12 B.2或18 C.18 D.22.若橢圓x225+y2m=1與雙曲線x2-15y2=15的焦點(diǎn)相同,A.3 B.4 C.6 D.93.以F1(-3,0),F2(3,0)為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P(2,1)的雙曲線方程是()A.x22-y2=B.x23-y2C.x24-y2=D.x2-y224.設(shè)m是常數(shù),若F(0,5)是雙曲線y2m-x29=1的一個(gè)焦點(diǎn)5.已知點(diǎn)F1,F2分別是雙曲線x2a2-y29=1(a>0)的左、右焦點(diǎn),P是該雙曲線上的一點(diǎn),且|PF1|=2|PF2|=16,則△PF6.已知點(diǎn)P在雙曲線C:x24-y2m+1=1(m>-1)上,且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m-1,雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2.若|F1F2|=6,則m的值為,△PF7.已知雙曲線x236-y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為雙曲線上一點(diǎn),且PF1⊥PF2,則△PF18.在①m>0,且C的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為3+3,②C的焦距為6,③C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為4這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的橫線上,并解答.已知雙曲線C:x2m-y22m=1,B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,則方程表示的曲線是()A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)滿足(x+2)2+y2-A.橢圓 B.雙曲線C.雙曲線的左支 D.雙曲線的右支11.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(-5,0),點(diǎn)P在雙曲線上,且線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x24-y2=1 B.x2-yC.x22-y23=12.若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)和雙曲線x2m2-y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦點(diǎn)F1,F2A.a-m B.12(aC.a2-m D.a2-m213.已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓14.已知雙曲線x216-y29=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),△F1PF2的內(nèi)切圓圓心為M,若S△FA.27 B.6 C.8 D.1015.過原點(diǎn)的直線l與雙曲線x2-y2=6交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),若直線PA的斜率為2,則直線PB的斜率為()A.4 B.1 C.12 D.16.已知雙曲線2x2-y2=k的焦距為6,則k的值為.

17.若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,|F1F2|=10,P為雙曲線上一點(diǎn),|PF1|=2|PF2|,C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練18.已知F是雙曲線y24-x212=1的下焦點(diǎn),A(4,1)是雙曲線外一點(diǎn),P是雙曲線上支上的動(dòng)點(diǎn),A.9 B.8 C.7 D.6

3.2.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.C由雙曲線定義可知||PF2|-8|=2a=10,解得|PF2|=18或-2(舍),故點(diǎn)P到F2的距離為18,故選C.2.D將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得x215-y2=1,所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(由于橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn),所以由橢圓的方程得m=25-16=9.故選D.3.A由題意得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上且c2=3,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則有a2+b2=c2=3,4a2-1b2=1,解得a2=2,4.16由題意可知c2=25,則m+9=25,解得m=16.5.34∵|PF1|=2|PF2|=16,∴|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,∴a=4.又b2=9,∴c2=25,∴2c=10.∴△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.6.4152由題意可知|F1F2|=2m+5=6,解得m=4,此時(shí)雙曲線的方程為x24-y25=1,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP=3,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為yP=±52,所以△PF1F2的面積為S△PF1F27.16(方法1)由題意得a2=36,b2=16,c2=a2+b2=52.在Rt△PF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,即4c2=4a2+2|PF1|·|PF2|,即4×52=4×36+2|PF1|·|PF2|,得|PF1|·|PF2|=32,故△PF1F2面積為12|PF1|·|PF2|=16(方法2)本題中b2=16,∠F1PF2=90°,因此△PF1F2的面積為S=b2tan45°8.解若選①,因?yàn)閙>0,所以a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以a=m,c=3m因?yàn)镃的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為a+c,所以m+3m=3解得m=3,故C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23-若選②,則c=3.若m>0,則a2=m,b2=2m,c2=a2+b2=3m,所以c=3m=解得m=3,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23若m<0,則a2=-2m,b2=-m,c2=a2+b2=-3m,所以c=-3m解得m=-3,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y26-綜上,C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23-y26=若選③,因?yàn)镃上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為4,所以2a=4,即a=2.若m>0,則a2=m,所以a=m=2,解得m=4,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24若m<0,則a2=-2m,所以a=-2m=2,解得m=-2,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2綜上,C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24-y28=9.D方程mx2-my2=n可化為x2nm因?yàn)閙n<0,所以nm<0,-nm>方程又可化為y2-nm-x2-n10.D(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2表示動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0)的距離之差等于2,11.B根據(jù)已知條件得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則a∵線段PF1的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5,4),將其代入雙曲線的方程,得5a2-16b由①②解得a2=1,b2=4,∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-y24=12.D由題意可得|PF1|+|PF2|=2a,||PF1|-|PF2||=2m,兩式平方相減得4|PF1|·|PF2|=4a2-4m2,∴|PF1|·|PF2|=a2-m2.故選D.13.B如圖所示,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點(diǎn),∴|MF2|=2.∵點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P.由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|.∴||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由雙曲線的定義可得點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線.14.D由雙曲線x216-y29=1得a=4,b=3,可得c=a2+b2=5.設(shè)△F1PF2的內(nèi)切圓的半徑為r,由S△F1PM=S△F2PM+8,可得12r|PF1|=12r|PF2|+8,即12r(|PF1|-|PF2|)=8.易得|PF1|-|PF2|>0,由雙曲線的定義可得|PF15.C由題意可設(shè)A(m,n),B(-m,-n),P(x,y),x≠±m(xù),y≠±n,則m2-n2=6,x2-y2=6,即y2-n2=x2-m2,所以y2-由直線PA的斜率為kPA=y-nx-m,直線PB的斜率為kPB=y+nx+m,可得kPA·kPB=y2-n故選C.16.±6易知k≠0,則由2x2-y2=k,可得x2k2-y2k=1,當(dāng)k>0時(shí),a2=k2,b2=k,由題意知k2+k=9,即k=6;當(dāng)k<0時(shí),a2=-k,b2=-k2,由題意知-k-k2=17.解∵|F1F2|=10,∴2c=10,c=5.又|PF1|-|PF2|=2a,且|PF1|=2|PF2|,∴|PF2|=2a,|PF1|=4a.在Rt△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2