2024-2025學年高二數(shù)學選擇性必修第一冊（配湘教版）3.2.2 雙曲線的簡單幾何性質

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質A級必備知識基礎練1.雙曲線x29-y216=A.2 B.4 C.5 D.82.離心率為2的雙曲線x2a2-y2b2=1(A.5x±y=0 B.x±y=0 C.x±3y=0 D.3x±y=03.已知雙曲線C的離心率為e=43,虛軸長為27,則其標準方程為(A.x24B.x24-y23C.x29-y27D.x29-y274.雙曲線C:x22-y2m=1(m>0)的一條漸近線的方程為2x+y=0,A.2 B.2 C.4 D.55.已知雙曲線的方程為x2-y22=1,則下列敘述正確的是(A.焦點坐標為(±1,0) B.漸近線方程為y=±2xC.離心率為2 D.實軸長為226.(多選題)若雙曲線C的一個焦點為F(5,0),P是雙曲線上一點,且雙曲線的漸近線方程為y=±43x,則下列結論正確的是(A.C的標準方程為x29B.C的離心率為5C.焦點到漸近線的距離為3D.|PF|的最小值為27.已知點(3,0)是雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的一個焦點,則b=,頂點到漸近線的距離為8.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e=233,過點A(0,-b)B級關鍵能力提升練9.[2024甘肅武威高二統(tǒng)考階段練習]已知雙曲線x2m-y26=1的離心率為5,A.2 B.3C.2 D.310.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則實數(shù)m等于()A.-14 B.-4C.4 D.111.(多選題)已知雙曲線x2m-y2m2-A.離心率的最小值為4B.當m=2時,離心率最小C.離心率最小時,雙曲線的標準方程為x22D.離心率最小時,雙曲線的漸近線方程為3x±y=012.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過左焦點F1作垂直于x軸的直線交雙曲線的兩條漸近線于M,N兩點,若∠MFA.(2,+∞) B.(5,+∞) C.(1,2) D.(1,5)13.[2023全國甲,理8]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5,其中一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,A.15 B.5C.255 D14.[2024甘肅白銀高三聯(lián)考階段練習]已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線D:x2-y23=1有相同的焦點F1,F2,且它們的離心率互為倒數(shù),P是C與D的一個公共點,15.焦距為2c的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),如果滿足“2(1)若雙曲線C是“等差雙曲線”,求其漸近線的方程;(2)對于焦距為10的“等差雙曲線”,若過點M(0,2)的直線l與其僅有一個公共點,求直線l的方程.C級學科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.已知F1,F2分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,雙曲線C上的點A滿足|AF1|=2|AF2|,且AF1的中點在yA.3+12 B.3 C.2 D.3

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質1.D由x29-y216=1,知a=3,故選D.2.D由題意,雙曲線x2a2-y2b2=1的離心率為e=ca=2,則a∶b∶所以雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=±bax=±3x,即3.D由題意可得2b=27,所以b=7.又因為e=ca=a2+b2a2=1+b2a2=44.D根據(jù)題意,雙曲線C:x22-y2m=1(則有m2=2,即m=8,則雙曲線的方程為x22-y28=1,其中a=2,b=22,則c=10,5.B由已知得a=1,b=2,c=3,所以實軸長為2a=2,焦點坐標為(±3,0),離心率為e=ca=3,故雙曲線的漸近線方程為y=±2x,故B正確.故選B.6.AD由于雙曲線的焦點在x軸上,故可設雙曲線的標準方程為x2a2-y2所以漸近線的方程為y=±bax,即bx±ay=0,由題意43=ba,再由c2=a2+b2=a2+43a2=259a2=25,可得a2所以雙曲線的標準方程為x29-y216離心率e=ca=53,焦點F到漸近線的距離d=bca2+b2=b=|PF|的最小值為c-a=5-3=2,故D正確.故選AD.7.22223因為點(3,0)是雙曲線x2-y2b2=1(b>0)的一個焦點,所以a=1,c=3,所以b=22,于是雙曲線的漸近線方程為y=±22x,頂點為8.解∵e=233,∴ca=∴a2=3b2.①又直線AB的方程為bx-ay-ab=0,∴直線AB與原點之間的距離d=aba即4a2b2=3(a2+b2).②解①②組成的方程組,得a2=3,b2=1.∴雙曲線的標準方程為x23-y2=9.B由雙曲線x2m-y26=1,得a2所以a=m,c=a2則e=ca=m+6m=5,10.A雙曲線方程化為標準形式y(tǒng)2-x2-1m=1,則有a2=1,b2=-1m,由題設條件知,2=-11.BCD由雙曲線的方程可得a2=m,b2=m2-m+4,所以c2=a2+b2=m+m2-m+4=m2+4,所以雙曲線的離心率e=ca=當且僅當m=4m且m>0,即m=2時,等號成立故A不正確,B正確;離心率最小時m=2,這時雙曲線的標準方程為x22-y26=1,漸近線方程為3x±故選BCD.12.B如圖所示.∵雙曲線x2a2-y2b2=1(過其左焦點F1作x軸的垂線交雙曲線漸近線于M,N兩點,∴|MF1|=|NF1|=bca,|F1F2|=2c∵∠MF2N是鈍角,∴∠MF2F1>45°,∴|F1F2|<|MF1|,即2c<bca,∴2ac<bc整理得4a2<b2,由e2=1+b2a解得e>5或e<-5(舍去),故選B.13.D由e=ca=5,得c=5a,所以b=c2-a2=2a.所以雙曲線的漸近線為y=±bax=±2x.由題意知,雙曲線的一條漸近線與圓(x-2)2+(y-3)2=1交于A,B兩點又圓心(2,3)到漸近線2x-y=0的距離d=|2×2-3|22+(-1)2=5514.6由題可知,F1(-2,0),F2(2,0),D的離心率為2,則C的離心率為12,則a=4,b=23根據(jù)對稱性,不妨設P在第一象限,則|PF則|PF1|2=|PF則△PF1F2的面積為12|PF2||F1F2|=615.解(1)聯(lián)立2b=a+c,c2=a2+(2)根據(jù)題意可知2c=10,所以c=5,由(1)得3b=4a,所以a=3,b=4,故雙曲線的標準方程為x29-又因為過點M(0,2)的直線l與雙曲線僅有一個公共點,所以直線l平行于該雙曲線的漸近線,即直線l的斜率k=±43,故所求直線l的方程為y=43x+2或y=-4316.B設F1(-c,0),F2(c,0),由雙曲線C上的點A滿足|AF1|=2|A