數(shù)學(xué)單元整合學(xué)案：第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一證明等積線段或成比例線段利用相似三角形的性質(zhì)可以得到等積式或比例式,是解決這類問題的基本方法．解決這類問題一般可分為三步：（1)把等積式化為比例式，從而確定相關(guān)的兩個(gè)三角形相似．（2)確定兩個(gè)相關(guān)的三角形的方法是：把比例式橫看或者豎看，將兩條線段中的相同字母消去一個(gè)，由余下的字母組成三角形．(3）設(shè)法找到證明這兩個(gè)三角形相似的條件．【例1】如圖，已知△ABC中,∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D,E是AC的中點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.求證：eq\f（AB，AC）＝eq\f(DF,AF）。提示：由條件知AB∶AC＝BD∶AD，轉(zhuǎn)證BD∶AD＝DF∶AF，即證△FAD∽△FDB.證明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC,∴∠C＝∠BAD，Rt△ADB∽R(shí)t△CAB?！郃B∶AC＝BD∶AD。又∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝EC.∴∠DAE＝∠ADE?！唷螧AD＝∠CDE＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△FDB∽△FAD。∴BD∶AD＝DF∶AF，即AB∶AC＝DF∶AF?！纠?】如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,E為底邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)E作與AD平行的直線，分別交AB，CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，G,求證：eq\f(BE，BF)＝eq\f(CE，CG）.證明：過點(diǎn)C作CH∥AD并交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則eq\f（BA,AH)＝eq\f(BD,DC）。∵EF∥AD，∴eq\f(BE,BD)＝eq\f（BF，AB），∴eq\f(BE,BF)＝eq\f(BD，AB).∵AD∥CH，∴eq\f（BD,CD）＝eq\f（AB，AH)?！逜D平分∠BAC，AD∥CH，∴∠BAD＝∠CAD，∠BAD＝∠H,∠CAD＝∠ACH，∴∠ACH＝∠H，∴AC＝AH.∴eq\f（BD，AB)＝eq\f(CD，AC）.又AD∥EG，∴eq\f(CD,AC）＝eq\f（CE，CG）。∴eq\f（BE,BF）＝eq\f(CE，CG）。專題二利用相似三角形證明線段相等證明兩條線段相等,一般情況下，利用等角對(duì)等邊或全等三角形的性質(zhì)來解決．但有些證明兩條線段相等的幾何題利用前面的方法得不出來，或過程比較煩瑣，此時(shí)可以借助相似三角形的有關(guān)比例線段來解決．【例3】如圖，AD，CF是△ABC的兩條高線，在AB上取一點(diǎn)P,使AP＝AD，再從P點(diǎn)引BC的平行線與AC交于點(diǎn)Q.求證：PQ＝CF。提示：利用相似三角形的性質(zhì)，并結(jié)合AP＝AD進(jìn)行證明．證明：∵AD，CF是△ABC的兩條高線，∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBF。∴eq\f（AD,CF）＝eq\f(AB,CB).又∵PQ∥BC，∴∠APQ＝∠B,∠AQP＝∠ACB，∴△APQ∽△ABC.∴eq\f(PQ,BC）＝eq\f（AP，AB），即eq\f(AP，PQ）＝eq\f(AB，BC).∴eq\f（AD，CF)＝eq\f（AP,PQ).又∵AP＝AD,∴PQ＝CF。【例4】如圖，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，以AB為邊向外作正方形ABDE,連接EC交AB于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q。求證：PQ＝PB。提示：要證PQ＝PB,直接證明不好證，可以通過證明有關(guān)的三角形相似得出比例式，再由等式的性質(zhì)證明其相等．證明：∵PQ∥BC，BC∥AE,∴PQ∥AE.∴∠CPQ＝∠CEA，∠CQP＝∠CAE，∴△CPQ∽△CEA.∴eq\f(PQ，EA)＝eq\f(CP,CE）。同理可得eq\f（PB，ED)＝eq\f(CP,CE），∴eq\f(PQ，EA）＝eq\f（PB，ED）.而由題意知，AE＝DE，∴PQ＝PB。專題三平行線分線段的規(guī)律性質(zhì)平行線分線段的相關(guān)定理即平行線等分線段定理、平行線分線段成比例定理，其實(shí)質(zhì)是揭示一組平行線在與其相交的直線上截得的線段所呈現(xiàn)的規(guī)律；主要用來證明比例式成立,證明直線平行，計(jì)算線段的長(zhǎng)度，也可以作為計(jì)算某些圖形的周長(zhǎng)或面積的重要方法，其中，平行線等分線段定理是線段的比為1的平行線分線段成比例定理的特例．【例5】如圖，在△ABC中，M是AC邊的中點(diǎn)，E是AB邊上的一點(diǎn)，且AE＝eq\f（1，4)AB，連接EM并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。求證：BC＝2CD.證明：過點(diǎn)C作CF∥AB交ED于點(diǎn)F.∴eq\f（CF，AE）＝eq\f（CM,MA）.∵AM＝CM，∴CF＝AE＝eq\f(1,4）AB.∴CF＝eq\f（1，3）BE.∵CF∥AB,∴eq\f(CF,BE)＝eq\f(CD，BD)＝eq\f（1,3）?！郆D＝3CD，即BC＋CD＝3CD?！郆C＝2CD.【例6】如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，一直線平行于兩底,且順次交AD，BD,AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn),G，H.求證：EF＝GH。證明:因?yàn)镋F∥AB,所以eq\f(EF，AB)＝eq\f(