數(shù)學(xué)互動(dòng)課堂：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1。角α與π+α的三角函數(shù)關(guān)系圖1—3-3如圖1-3-1,設(shè)任意角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P1（x,y）,由于角π+α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,角π+α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,因此P2的坐標(biāo)是(-x,—y）,由三角函數(shù)的定義得sinα=y，cosα=x,tanα=，sin(π+α）=-y，cos(π+α）=—x，tan（π+α)==。從而得公式(二）sin(π+α)=-sinαcos(π+α）=-cosαtan(π+α)=tanα2。角α與—α的三角函數(shù)關(guān)系如圖1—3-2，設(shè)單位圓與角α，角（-α）的終邊的交點(diǎn)分別為P1和P2，容易看出點(diǎn)P1和P2關(guān)于x軸對(duì)稱，已知點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（x,y）,則P2的坐標(biāo)為(x,-y)。由三角函數(shù)的定義得sinα=y,cosα=x，tanα=，sin(-α）=-y，sin（—α）=x,tan(—α）=—.圖1—3-2∴公式(三）sin（-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan（-α）=—tanα3。角α與π—α的三角函數(shù)關(guān)系如圖1—3—3,設(shè)單位圓與角α，角π—α的終邊的交點(diǎn)分別為P1和P2,則P1、P2關(guān)于y軸對(duì)稱,已知P1（x，y),則P2的坐標(biāo)為（-x,y)，由三角函數(shù)的定義得sin（π—α)=y,cos(π-α）=-x，tan（π—x)=-。圖1—3—3∴公式（四）sin(π-α）=sinαcos(π-α）=—cosαtan（π—α）=-tanα4。角α與-α的三角函數(shù)關(guān)系如圖1-3—4，設(shè)任意角α與單位圓的交點(diǎn)P1（x，y）,由于角-α的終邊與角α的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱,角-α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與P1關(guān)于直線y=x對(duì)稱，因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（y，x)，于是有cosα=x，sinα=y,cos(-α)=y，sin（—α）=x。圖1-3—4∴公式（五)sin（—α)=cosαcos（-α）=sinα由于+α=π-(—α)，由公式（四)及公式(五）可得公式（六)sin（+α）=cosαcos（+α)=-sinα5.這六組公式必須注意的幾個(gè)問(wèn)題(1）公式中的角α可以是任意角;(2）這六組誘導(dǎo)公式可以敘述為:①α+k·2π，π+α,-α,π—α的三角函數(shù)值等于α的同名三角函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看成銳角是原函數(shù)值的符號(hào)。為了便于記憶，也可簡(jiǎn)單地說(shuō)成:“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限."②α+，-α+的三角函數(shù)值，等于α的余名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角是原函數(shù)值的符號(hào)，記憶口訣為：“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限.”③這兩套公式可以推廣為：k·+α(k∈Z）的三角函數(shù)值,當(dāng)k為偶函數(shù)時(shí)，得α的同名函數(shù)值;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的異名函數(shù)值,然后在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。概括為:“奇變偶不變,符號(hào)看象限.”這里的奇偶是指k的奇偶。活學(xué)巧用1.求下列各三角函數(shù)值.(1)sin(）;（2）cos（)；（3)tan(—405°）.解析：可先利用公式（二)把負(fù)角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成正角的三角函數(shù),再利用公式（一)把絕對(duì)值大于2π（或360°）的角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成絕對(duì)值小于2π(或360°)的角的三角函數(shù)去求值。(1)方法一:sin(）=-sin=—sin(+6π)=—sin=—。方法二：sin（)=sin（—-6π）=sin(—）=—sin=-.(2）cos()=cos=cos(+6π)=cos=;cos()=cos(——6π）=cos（—)=cos=。（3)tan（-405°）=—tan405°=—tan（45°+360°）=-tan45°=-1;tan(-405°）=tan(-45°—360°)=tan(—45°）=—tan45°=-1.2.求下列三角函數(shù)式的值.（1)sin495°·cos（-675°）;（2）3sin(—1200°)·tan(—)-cos585°·tan（）。解析:(1)sin495°·cos（-675°）=sin（135°+360°)·cos675°=sin135°·cos315°=sin(180°—45°)·cos（360°-45°)=sin45°·cos45°=×=.（2)sin(-1200°）·tan（—）-cos585°·tan()=—sin1200°·（-)—cos(720°-135°)·tan（-8π—）=sin(1080°+120°）-cos135°·tan（-)=—（-）·（-1)=。答案：（1);(2).3。已知sinα是方程5x2—7x—6=0的根，求[sin（α+)·sin（-α）·tan2（2π-α)·tan(π—α）］÷[cos(—α)·cos(+α)］的值.解析:5x2—7x-6=0的兩根為x=2或x=，∴sinα=,cosα=±=±.∴tanα=±.∴原式==tanα=±。答案:±。4.若f（sinx）=cos17x，求f()的值.解析：此類題目是誘導(dǎo)公式與函數(shù)之間的一種混合運(yùn)算，在運(yùn)算的過(guò)程中要理解函數(shù)表達(dá)式的意義，靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式。f()=f(sin）=cos=cos（2π+）=cos=cos（π—)=-cos=—.答案:—。5.若sin（180°+α）+cos（90°+α）=—a,則cos（270°-α）+2sin（360°-α）的值是（）A.—B.—C。D.解析：sin