第3節(jié)　向心加速度 教學(xué)設(shè)計

第3節(jié)向心加速度[學(xué)習(xí)目標]1．理解向心加速度的產(chǎn)生及向心加速度是描述線速度方向改變快慢的物理量，知道其方向總是指向圓心且時刻改變．2．知道決定向心加速度的有關(guān)因素，并能利用向心加速度公式進行有關(guān)計算．知識點1勻速圓周運動的加速度方向1．向心加速度：做勻速圓周運動的物體指向圓心的加速度．2．方向：沿半徑方向指向圓心，與線速度方向垂直．[判一判]1．(1)勻速圓周運動是加速度不變的曲線運動．()(2)勻速圓周運動的向心加速度的方向始終與速度方向垂直．()(3)物體做勻速圓周運動時，速度變化量為零．()(4)勻速圓周運動的向心加速度的方向指向圓心，大小不變．()提示：(1)×(2)√(3)×(4)√知識點2勻速圓周運動的加速度大小向心加速度的大小：an＝eq\f(v2,r)或an＝ω2r．[判一判]2．(1)變速圓周運動的向心加速度的方向不指向圓心，大小變化．()(2)根據(jù)a＝eq\f(v2,r)知加速度a與半徑r成反比．()提示：(1)×(2)×[想一想]地球在不停地公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，關(guān)于地球的自轉(zhuǎn)，思考以下問題：地球上各地的角速度大小、線速度大小、向心加速度大小是否相同？提示：地球上各地自轉(zhuǎn)的周期都是24h，所以地球上各地的角速度大小相同，但由于各地自轉(zhuǎn)的半徑不同，根據(jù)v＝ωr可知各地的線速度大小不同．地球上各地自轉(zhuǎn)的角速度相同，半徑不同，根據(jù)an＝ω2r可知，各地的向心加速度大小因自轉(zhuǎn)半徑的不同而不同．1．(對向心加速度的理解)下列關(guān)于向心加速度的說法中，正確的是()A．在勻速圓周運動中，向心加速度的大小不斷變化B．向心加速度的方向始終保持不變C．在勻速圓周運動中，向心加速度是恒定的D．向心加速度的方向始終與速度的方向垂直解析：選D.向心加速度的方向始終沿半徑方向指向圓心，與速度垂直，它的方向始終在改變，故B錯誤，D正確；勻速圓周運動的向心加速度的大小始終不變，但是方向時刻改變，所以勻速圓周運動的向心加速度時刻改變，故A、C錯誤．2．(對向心加速度公式的理解)對于做勻速圓周運動的質(zhì)點，下列說法正確的是()A．根據(jù)公式a＝eq\f(v2,r)，可知其向心加速度a與半徑r成反比B．根據(jù)公式a＝ω2r，可知其向心加速度a與半徑r成正比C．根據(jù)公式ω＝eq\f(v,r)，可知其角速度ω與半徑r成反比D．根據(jù)公式ω＝2πn，可知其角速度ω與轉(zhuǎn)速n成正比解析：選D.物體做勻速圓周運動的向心加速度與物體的線速度、角速度、半徑有關(guān)，但向心加速度與半徑的關(guān)系要在一定前提條件下才能成立．當線速度一定時，向心加速度與半徑成反比；當角速度一定時，向心加速度與半徑成正比．對線速度和角速度與半徑的關(guān)系也可以同樣進行討論．正確選項為D.3．(向心加速度大小的計算)一物體以4m/s的速率沿圓弧運動，角速度為πrad/s，則物體在運動過程中某時刻的速度變化率的大小為()A．2m/s2 B．4m/s2C．0 D．4πm/s2解析：選D.由題意知物體做勻速圓周運動，則在運動過程中某一時刻的速度變化率即加速度的大小均是相同的，由a＝rω2、v＝rω得a＝vω＝4πm/s2，D正確．4．(對圓周運動參量的考查)如圖所示，假設(shè)地球繞地軸自轉(zhuǎn)時，在其表面上有A、B兩物體(圖中陰影平面表示赤道平面)，圖中θ1和θ2已知，則()A．角速度之比ωA∶ωB＝sinθ1∶sinθ2B．線速度之比vA∶vB＝sinθ1∶cosθ2C．周期之比TA∶TB＝sinθ1∶sinθ2D．A、B兩物體的向心加速度之比為sin2θ1∶sin2θ2解析：選B.A、B兩物體隨地球一起轉(zhuǎn)動，角速度相同，根據(jù)T＝eq\f(2π,ω)可知，周期相同，故A、C錯誤；根據(jù)v＝rω可知，角速度相等時，線速度與軌道半徑成正比，則vA∶vB＝(Rsinθ1)∶(Rcosθ2)＝sinθ1∶cosθ2，故B正確；根據(jù)an＝vω可知，角速度相等時，向心加速度與線速度成正比，則aA∶aB＝vA∶vB＝sinθ1∶cosθ2，故D錯誤．探究一對向心加速度的理解【情景導(dǎo)入】1．如圖甲所示，游客乘坐摩天輪做勻速圓周運動時，有加速度嗎？方向向哪？甲乙2．如圖乙所示，小球在拉力作用下做勻速圓周運動，小球受幾個力？合力方向如何？產(chǎn)生的加速度指向哪個方向？提示：1.有加速度指向圓心2．兩個力合力指向軌跡圓心加速度指向軌跡圓心1．向心加速度的物理意義描述勻速圓周運動線速度方向變化的快慢，不表示速度大小變化的快慢．2．向心加速度的方向總是沿著圓周運動的半徑指向圓心，即方向始終與運動方向垂直，方向時刻改變．3．圓周運動的性質(zhì)不論向心加速度an的大小是否變化，an的方向是時刻改變的，所以圓周運動的向心加速度時刻發(fā)生改變，圓周運動一定是非勻變速曲線運動．4．變速圓周運動的向心加速度做變速圓周運動的物體，加速度一般情況下不指向圓心，該加速度有兩個分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向變化的快慢，切向加速度表示速度大小變化的快慢．所以變速圓周運動中，向心加速度的方向也總是指向圓心．【例1】(多選)關(guān)于向心加速度，以下說法正確的是()A．物體做勻速圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度B．物體做圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度C．物體做圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心D．物體做勻速圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心[解析]物體做勻速圓周運動時，向心加速度就是物體的合加速度；物體做變速圓周運動時，向心加速度只是合加速度的一個分量，A正確，B錯誤；物體做勻速圓周運動時，只具有向心加速度，加速度方向始終指向圓心；物體做變速圓周運動時，圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度不再指向圓心，C錯誤，D正確．[答案]AD[針對訓(xùn)練1]如圖所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么()A．加速度為零B．加速度恒定C．加速度大小不變，方向時刻改變，但不一定指向圓心D．加速度大小不變，方向時刻指向圓心解析：選D.由題意知，木塊做勻速圓周運動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤．探究二向心加速度的大小【情景導(dǎo)入】如圖所示，自行車的大齒輪、小齒輪、后輪三個輪子的半徑不一樣，A、B、C是它們邊緣上的三個點，請思考：(1)A和B兩個點的向心加速度與半徑有什么關(guān)系？(2)B和C兩個點的向心加速度與半徑有什么關(guān)系？提示：(1)A、B兩個點的線速度大小相同，向心加速度與半徑成反比．(2)B、C兩個點的角速度相同，向心加速度與半徑成正比．1．向心加速度的公式an＝eq\f(v2,r)＝ω2r＝eq\f(4π2,T2)r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.2．對向心加速度大小與半徑關(guān)系的理解(1)當r一定時，an∝v2，an∝ω2.(2)當v一定時，an∝eq\f(1,r).(3)當ω一定時，an∝r.(4)an與r的關(guān)系圖像如圖所示．要想通過an－r圖像確定an與r成正比還是反比，要看是ω恒定還是v恒定．【例2】(2022·長春外國語學(xué)校期中)如圖所示，一個圓盤在水平面內(nèi)勻速轉(zhuǎn)動，盤面上有兩個小物塊A、B，它們距圓盤中心的距離分別為r和2r，它們隨圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動，關(guān)于小物塊A、B各物理量之比正確的是()A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1B．周期之比TA∶TB＝1∶2C．線速度之比vA∶vB＝1∶1D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1[解析]兩物體同軸轉(zhuǎn)動，則角速度相等，即角速度之比ωA∶ωB＝1∶1；根據(jù)T＝eq\f(2π,ω)可知周期之比TA∶TB＝1∶1；根據(jù)v＝ωr可知，線速度之比vA∶vB＝1∶2；根據(jù)a＝ωv可知向心加速度之比aA∶aB＝1∶2.[答案]A【例3】如圖所示的皮帶傳動裝置中，輪B和C同軸，輪A和B通過皮帶傳動連接(皮帶和輪無相對滑動)，且其半徑RA＝RC＝2RB，則輪A、B、C邊緣上的點的向心加速度之比aA∶aB∶aC等于()A．4∶2∶1 B．2∶1∶2C．1∶2∶4 D．4∶1∶4[解析]由于B輪和A輪是皮帶傳動，皮帶傳動的特點是兩輪與皮帶接觸點的線速度的大小與皮帶的線速度大小相同，故vA＝vB，vB∶vA＝1∶1；由于C輪和B輪共軸，故兩輪角速度相同，即ωC＝ωB，故ωC∶ωB＝1∶1，由角速度和線速度的關(guān)系式v＝ωR可得vC∶vB＝RC∶RB＝2∶1，則vA∶vB∶vC＝1∶1∶2，又因為RA＝RC＝2RB，根據(jù)a＝eq\f(v2,r)得：aA∶aB∶aC＝1∶2∶4，故選C.[答案]C【例4】如圖所示，長為L的細繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球．若給小球一個合適的初速度，小球便可在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，這樣就構(gòu)成了一個圓錐擺．設(shè)細繩與豎直方向的夾角為θ，重力加速度為g，下列說法中正確的是()A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用B．小球的線速度v＝eq\r(gLtanθ)C．小球的角速度ω＝eq\f(gtanθ,L)D．小球的向心加速度an＝gtanθ[解析]小球只受重力和繩的拉力，向心力是根據(jù)力的作用效果命名的，不是實際受到的力，故A錯誤；小球做勻速圓周運動，有mgtanθ＝meq\f(v2,Lsinθ)＝mLω2sinθ，可解得小球的線速度和角速度分別為v＝eq\r(gLsinθ·tanθ)，ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，故B、C錯誤；小球做勻速圓周運動，向心加速度為an＝eq\f(mgtanθ,m)＝gtanθ，故D正確．[答案]D[針對訓(xùn)練2](多選)一個小孩坐在游樂場的旋轉(zhuǎn)木馬上，繞中心軸在水平面內(nèi)做勻速圓周運動，圓周的半徑為4.0m，線速度為2.0m/s，則小孩做圓周運動的()A．角速度ω＝0.5rad/sB．周期T＝8πsC．轉(zhuǎn)速n＝eq\f(1,4π)r/sD．向心加速度a＝2m/s2解析：選AC.圓周的半徑r＝4.0m，線速度v＝2.0m/s，則圓周運動的角速度ω＝eq\f(v,r)＝0.5rad/s，故A正確；圓周運動的周期為T＝eq\f(2πr,v)＝4πs，故B錯誤；轉(zhuǎn)速n＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,4π)r/s，故C正確；向心加速度a＝eq\f(v2,r)＝1m/s2，故D錯誤．[針對訓(xùn)練3]如圖所示，O、O′為兩個皮帶輪，O輪的半徑為r，O′輪的半徑為R，且R>r，M點為O輪邊緣上的一點，N點為O′輪上的任意一點，當皮帶輪轉(zhuǎn)動時，(設(shè)轉(zhuǎn)動過程中不打滑)則()A．M點的向心加速度一定大于N點的向心加速度B．M點的向心加速度一定等于N點的向心加速度C．M點的向心加速度可能小于N點的向心加速度D．M點的向心加速度可能等于N點的向心加速度解析：選A.在O′輪的邊緣上取一點Q，則Q點和N點在同一個輪子上，其角速度相等，即ωQ＝ωN，又rQ>rN，由向心加速度公式an＝ω2r可知aQ>aN；由于皮帶轉(zhuǎn)動時不打滑，Q點和M點都在由皮帶傳動的兩個輪子邊緣上，這兩點的線速度大小相等，即vQ＝vM，又rQ>rM，由向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)可知，aQ<aM，所以aM>aN，A正確．[A級——合格考達標練]1．(多選)下列說法中正確的是()A．勻速圓周運動的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運動的物體沒有加速度B．做勻速圓周運動的物體，雖然速度大小不變，但方向時刻都在改變，所以必有加速度C．做勻速圓周運動的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速曲線運動D．勻速圓周運動的加速度大小雖然不變，但方向始終指向圓心，加速度的方向發(fā)生了變化，所以勻速圓周運動既不是勻速運動，也不是勻變速運動解析：選BD.做勻速圓周運動的物體，速度的大小不變，但方向時刻改變，所以必有加速度，且加速度大小不變，方向時刻指向圓心，加速度不恒定，因此勻速圓周運動既不是勻速運動，也不是勻變速運動，故A、C錯誤，B、D正確．2．中國保護大熊貓研究中心之一的雅安碧峰峽基地位于東經(jīng)103°，北緯30°.地球可以看作半徑為R的球體，則在該中心處的物體與赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度之比為()A.eq\r(3)∶3 B.eq\r(3)∶2C．2∶eq\r(3) D．1∶2解析：選B.向心加速度a＝rω2，在該中心處的物體與赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，所以加速度之比為軌道半徑之比，即Rcos30°∶R＝eq\r(3)∶2，B正確．3．兩架飛機在空中沿水平面上做勻速圓周運動，在相同的時間內(nèi)，它們通過的路徑之比為2∶3，運動方向改變的角度之比為4∶3.它們的向心加速度之比為()A．2∶3 B．8∶9C．2∶1 D．1∶2解析：選B.兩架飛機做勻速圓周運動，由于在相同的時間內(nèi)它們通過的路程之比是2∶3，所以它們的線速度之比為v1∶v2＝2∶3；由于在相同的時間內(nèi)運動方向改變的角度之比是4∶3，所以它們的角速度之比為ω1∶ω2＝4∶3；由于向心加速度a＝vω，故向心加速度之比為a1∶a2＝8∶9.4．如圖所示，兩輪用皮帶傳動，皮帶不打滑．圖中有A、B、C三點，這三點所在處半徑rA>rB＝rC，則這三點的向心加速度aA、aB、aC間的關(guān)系是()A．a(chǎn)A＝aB＝aC B．a(chǎn)C>aA>aBC．a(chǎn)C<aA<aB D．a(chǎn)C＝aB>aA解析：選C.A、B兩點通過同一根皮帶傳動，線速度大小相等，即vA＝vB，由于rA>rB，根據(jù)a＝eq\f(v2,r)可知aA<aB；A、C兩點繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，有ωA＝ωC，由于rA>rC，根據(jù)a＝ω2r可知aC<aA，所以aC<aA<aB，故C正確，A、B、D錯誤．5．如圖所示，細繩的一端固定，另一端系一小球，讓小球在豎直平面內(nèi)做變速圓周運動，關(guān)于小球運動到P點時的加速度方向，下列圖中可能的是()解析：選D.由于圓周運動不是直線運動，故加速度的方向與速度方向不在同一直線上，A錯誤．由于是變速圓周運動，不僅小球的速度方向發(fā)生變化，且在圖示位置速度的大小也發(fā)生變化，故加速度的方向一定不沿半徑指向圓心，B錯誤．在曲線運動中，加速度的方向應(yīng)指向運動軌跡的內(nèi)側(cè)，C錯誤，D正確．6.如圖所示，在光滑水平面上，輕彈簧的一端固定在豎直轉(zhuǎn)軸O上，另一端連接質(zhì)量為m的小球，輕彈簧的勁度系數(shù)為k，原長為L，小球以角速度ω繞豎直轉(zhuǎn)軸做勻速圓周運動(k>mω2)．則小球運動的向心加速度為()A．ω2L B.eq\f(kω2L,k－mω2)C.eq\f(kωL,k－mω2) D.eq\f(ω2L,k－mω2)解析：選B.設(shè)彈簧的形變量為x，則有：kx＝mω2(x＋L)，解得：x＝eq\f(mω2L,k－mω2)，則小球運動的向心加速度為a＝eq\f(kx,m)＝eq\f(kω2L,k－mω2)，B正確．7．如圖所示，轉(zhuǎn)動自行車的腳踏板時，關(guān)于大齒輪、小齒輪、后輪邊緣上的A、B、C三點的向心加速度的說法正確的是()A．A點的向心加速度比B點的大B．B點的向心加速度比C點的大C．C點的向心加速度最大D．以上三種說法都不正確解析：選C.因A、B線速度相等，則應(yīng)用向心加速度公式an＝eq\f(v2,r)，又因A的半徑大于B的半徑，可知，A的向心加速度小于B的向心加速度，故A錯誤；B與C繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，角速度相等，根據(jù)an＝ω2r可知半徑大的向心加速度大，則C的加速度大，故B錯誤；由以上分析可知，C點的向心加速度最大，故C正確，D錯誤．[B級——等級考增分練]8.2021年11月8日，中國載人航天工程空間站順利完成第三次航天員出艙活動，本次出艙先后完成了機械臂懸掛裝置與轉(zhuǎn)接件安裝測試工作．機械臂繞圖中O點旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)臂上A、B兩點的線速度v、角速度ω、周期T、向心加速度a的關(guān)系正確的是()A．vA＞vB、aA＞aB B．vA＜vB、TA＝TBC．ωA＞ωB、aA＞aB D．vA＜vB、ωA＞ωB解析：選B.在旋轉(zhuǎn)過程中，各點都繞O點轉(zhuǎn)動，所以各點的周期是相同的，根據(jù)ω＝eq\f(2π,T)可知，A、B兩點的角速度也是相等的，根據(jù)v＝rω可知，B點線速度要大，故A、C、D錯誤，B正確．9．地下車庫為了限制車輛高度，現(xiàn)已采用如圖所示曲桿道閘．道閘總長3m，由相同長度的轉(zhuǎn)動桿AB與橫桿BC組成．B、C為橫桿的兩個端點，道閘工作期間，橫桿BC始終保持水平，轉(zhuǎn)動桿AB繞A點勻速轉(zhuǎn)動過程中，下列說法正確的是()A．C點加速度大小一直在變B．B點的加速度不變C．C點的運動軌跡為一條直線D．AB桿上各點的角速度均相等解析：選D.轉(zhuǎn)動桿AB繞A點勻速轉(zhuǎn)動過程中，橫桿BC始終保持水平，BC兩個端點相對靜止，因此C端點做勻速圓周運動，加速度大小不變，A錯誤；B點做勻速圓周運動，加速度大小不變，方向指向圓心，時刻改變，B錯誤；根據(jù)前面選項分析，C點做勻速圓周運動，C錯誤；根據(jù)前面選項分析，轉(zhuǎn)動桿AB上各點屬于同軸轉(zhuǎn)動，角速度相等，D正確．10．如圖所示，半徑為R的圓環(huán)豎直放置，一輕彈簧一端固定在環(huán)的最高點A，一端系一帶有小孔穿在環(huán)上的小球，彈簧原長為eq\f(2,3)R.將小球從靜止釋放，釋放時彈簧恰無形變，小球運動到環(huán)的最低點時速率為v，這時小球的向心加速度的大小為()A.eq\f(