專題13相似三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)常考題專練（北師大版）

專題13相似三角形中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題題型一動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．如圖，，，垂足分別為點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的動(dòng)點(diǎn)，增加下列條件，不能得到與相似的是A． B． C． D．【解答】解：，，，、，，，故選項(xiàng)不合題意，、，，故選項(xiàng)不合題意，、，，，故選項(xiàng)不合題意，若，不能判定與相似，故選：．2．如圖，在中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，若與相似，則的長(zhǎng)為5或．【解答】解：，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，則，故，解得．；當(dāng)時(shí)，則，故，解得，．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，與相似．故答案為：5或．3．在中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為．如果，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)它們運(yùn)動(dòng)或時(shí)，由，，三點(diǎn)連成的三角形與相似．【解答】解：根據(jù)題意得：，，，，分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，即，解得：；②當(dāng)時(shí)，即，解得：；綜上所述：當(dāng)或時(shí)，與相似．4．如圖，矩形中，，，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，若，則，，即，解得：；若，則，，即，解得：或9；所以當(dāng)或5或9時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形與以，，為頂點(diǎn)的三角形相似，即這樣的點(diǎn)有三個(gè)．故選：．5．如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿方向以每秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以每秒的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的值為．【解答】解：在中，，，，，由題意可知點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，，，，當(dāng)是直角三角形時(shí)，有兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖1，，，，又，△，，，解得：；②當(dāng)時(shí)，如圖，，，又，△，，，解得：，故答案為：或．6．如圖，在等腰中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，作，射線交邊于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．以上都有可能【解答】解：為等腰三角形，，，即，而，，而，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，，△，原方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，點(diǎn)有且只有一個(gè)，故選：．7．如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)、兩點(diǎn)均不與端點(diǎn)重合），作，交邊于點(diǎn)．若，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，則的值為A．4 B． C． D．5【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，；，，，滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△，．故選：．8．將三角形紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)落在邊上，記為點(diǎn)，折痕為．已知，，若以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的長(zhǎng)度．【解答】解：設(shè)，則，由翻折的性質(zhì)得，當(dāng)△，，即，解得，即．當(dāng)△，，即，解得：．的長(zhǎng)度為：2或．9．如圖，在矩形中，、分別在、上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），連接、，交于點(diǎn)，且滿足．連接，若，，則的最小值為A． B． C．5 D．3【解答】解：四邊形是矩形，，則，又，，，，即，點(diǎn)為以的中點(diǎn)為圓心，為直徑的圓上一點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小值，即的值也為最小值．當(dāng)取最小值時(shí)，，，，，，則，．故選：．10．如圖，在中，，，．是邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，當(dāng)平分時(shí)，的長(zhǎng)度是A． B． C． D．【解答】解：，，．，，，又，，，，，，，，解得，，．故選：．11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線垂直于線段，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，把沿翻折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處．若以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，則所有滿足此條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，．【解答】解：點(diǎn)，點(diǎn)，直線的解析式為直線過(guò)點(diǎn)，且，直線的解析式為；，，軸，，，，，，，設(shè)，則，，，，，如圖1：當(dāng)時(shí)，則，則，，，，，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，如圖2，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖3，若，則，，則，，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，如圖4，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，；故答案為：，，，，，．12．如圖，在正方形中，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作、的垂線，分別交、于點(diǎn)、，交、于點(diǎn)、．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤點(diǎn)在、兩點(diǎn)的連線上．其中正確的是①②③⑤．【解答】解：①四邊形是正方形，，，，在和中，，，故①正確；②，，同理，，正方形中，，又，，，且中四邊形是矩形．，在中，，，為等腰直角三角形，，，又，，，，故②正確；③四邊形是矩形，，在直角中，，，故③正確；④，是等腰直角三角形，而不一定是，與不一定相似，故④錯(cuò)誤；⑤，，是是中垂線，，又，，同理可證，，，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，故⑤正確，故答案為①②③⑤．13．如圖，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，，．（1）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）若時(shí)，點(diǎn)有兩個(gè)符合要求即，，且，求的值；（3）若時(shí)，點(diǎn)有且只有一個(gè)點(diǎn)符合要求，求的值．【解答】解：（1），，，，，，即，解得或12；（2）設(shè)，則，由（1）可知，，即，，設(shè)方程的兩個(gè)根為，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知，，，，，，解得（負(fù)數(shù)舍去），；（3）作，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，△，，，．14．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)、交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)；④當(dāng)時(shí)，．成立的是A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．②④【解答】解：①如圖1，四邊形是正方形，，，，，，，，故①正確；②，，，故②正確；③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖2，是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，設(shè)，則，，，中，，，，，，故③正確；④如圖3，是的中點(diǎn)，，中，，，，中，，，在和中，，，，故④不正確；故選：．15．如圖，在正方形中，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作、的垂線，分別交、于點(diǎn)、，交、于點(diǎn)、．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤四邊形的面積可以為3．其中正確的個(gè)數(shù)是A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：①四邊形是正方形，．，，在和中，，，故①正確；②四邊形是正方形，，，，，四邊形是矩形，，，，是等腰直角三角形，，，故②正確；③在直角中，，由，，故③正確；④，，是等腰直角三角形，而是直角三角形，與不相似；故④錯(cuò)誤；⑤四邊形是矩形，四邊形的面積，設(shè)，則，若四邊形的面積為3，則，，△，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，四邊形的面積不可以為3，故⑤錯(cuò)誤．故選：．16．如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，若，則．【解答】解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，過(guò)作于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，，，為的中點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，．解得．，，，，，，．故答案為：．17．如圖，矩形中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為秒，為何值時(shí)，．【解答】（1）證明：四邊形是矩形，，，，；（2）解：當(dāng)時(shí)，；，，，，，，，解得：，即當(dāng)時(shí)，．18．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)沿邊從點(diǎn)開(kāi)始向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)沿邊從點(diǎn)開(kāi)始向點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果，同時(shí)出發(fā)，用表示移動(dòng)的時(shí)間，那么：（1）當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)為？（2）當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？（3）求四邊形的面積．【解答】解：（1）由題意有：，，，，，根據(jù)勾股定理得，，，或．（2）以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，由（1）有，，且，，①當(dāng)時(shí)，有，，；②當(dāng)時(shí)，有，，．以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，有或．（3）．題型二動(dòng)形問(wèn)題19．如圖，菱形菱形，菱形的頂點(diǎn)在菱形的邊上運(yùn)動(dòng)，與相交于點(diǎn)，，若，，則菱形的邊長(zhǎng)為A．8 B．9 C． D．【解答】解：連接．菱形菱形，，，是等邊三角形，設(shè)，則，，，，，，，，，，，或1（舍棄），，故選：．20．如圖，在正方形中，是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，是的中點(diǎn)．連接，若的最小值是，則正方形的邊長(zhǎng)為．【解答】解：連接，四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，，，故答案為：．21．如圖，在和中，，，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，，則．【解答】解：連接，如圖，，，，，即，，，，，，，在中，，，，，，，，，，故答案為：．22．如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，且點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離．將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△，連接，．若，則的值為．【解答】解：連接、，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到△，，，，即，，，設(shè)，，點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，，，在中，，，即．故答案為：．23．如圖，在等腰中，，的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，現(xiàn)將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)?shù)膬蛇?、分別交直線于點(diǎn)、，把沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，若，則的長(zhǎng)為或或．【解答】解：①如圖1中，當(dāng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，作于，設(shè)，．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，在中，，，解得或（舍棄），．②如圖2中，當(dāng)點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在上時(shí)，連接，作于，設(shè)，．同法可得：，解得（舍棄）或，．③如圖3中，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，作于，設(shè)，．同法可得：，解得或（舍棄），，綜上所述，滿足條件的的值為或或．故答案為或或．24．如圖中，，，，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連接，則的最小值為．【解答】解：，，，，四邊形是平行四邊形，，，最短也就是最短，過(guò)作的垂線，，，△，，，，則的最小值為，方法二：不用相似的方法，只利用等面積得，，求得，而其他部分的步驟共用．故答案為：．25．如圖，已知為正方形的對(duì)角線，點(diǎn)是平面內(nèi)不與點(diǎn)，重合的任意一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，．（1）求證：；（2）當(dāng)線段與相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為，求的值以及的度數(shù)；（3）若正方形的邊長(zhǎng)為3，，當(dāng)點(diǎn)，，在同一直線上時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【解答】解：（1）是正方形的對(duì)角線，，，由旋轉(zhuǎn)知，，，，；（2）在中，，，由（1）知，，，，，，，，，，；（3）如圖，在中，，，點(diǎn)，，在同一條線上，且，，或，由（2）知，，或；即：的長(zhǎng)為或．26．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，四邊形是矩形，點(diǎn)，，，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)（不與、重合），連接，作，交軸于點(diǎn)，以線段、為鄰邊作矩形．（1）是否存在這樣的點(diǎn)，使得是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）求證：；（3）求矩形的面積的最小值？【解答】解：（1）存在；理由如下：點(diǎn)，，，，，，，，分兩種情況：①當(dāng)在線段上時(shí)，是等腰三角形，觀察圖像可知，只有，如圖1所示：，，是等邊三角形，，在中，，，，，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；②當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，是等腰三角形，只有，，如圖2所示：，，綜上所述，滿足條件的的值為2或；（2）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，交于，如圖3所示：設(shè)，，，，，，，，，；（3）作于，