第2講直角三角形八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）

第2講直角三角形目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.掌握直角三角形的性質(zhì)；2.掌握直角三角形的判定條件；3.熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理進(jìn)行計(jì)算和證明知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)1.定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形2.性質(zhì)（1）直角三角形的兩銳角互余（2）勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（3）直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（4）直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半3.判定（1）有一個(gè)角是90°的三角形是直角三角形；（2）有一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；（3）勾股定理逆定理：若一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形【知識(shí)拓展1】直角三角形的兩個(gè)銳角互余.例1．（2021·云南昭通·八年級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝60°，∠BED＝70°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】80°【分析】先根據(jù)AD是△ABC的邊BC上的高得出，再由直角三角形性質(zhì)得出,根據(jù)BE平分∠ABC得出，進(jìn)而得出,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是的高．即，∴，∵在中，，∴．∵平分，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解題關(guān)鍵．例2．（2021·廣西融水·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°；求∠AEC的度數(shù)．【答案】∠AEC=115o．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DAC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠DAE的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求出∠AEC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠BAC=80o，∠B=60o，∴∠C=180o∠BAC∠B=180o80o60o=40o，∵AD⊥BC，∴∠DAC=90o∠C=90o40o=50o，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=×50o=25o，∴∠AEC=∠DAE+∠ADE=25o+90o=115o．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)．熟練掌握各個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西榆林·八年級(jí)期末）如圖，在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接．求證：．

【分析】根據(jù)等角的余角性質(zhì)得出∠BAD=∠C，再根據(jù)∠BED是△ABE的外角，得出∠BED＞∠BAD=∠C即可．【詳解】證明：∵，∴∠BAD+∠DAC=90°，∵，∴∠DAC+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED＞∠BAD=∠C，∴∠BED＞∠C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形兩銳角互余，等角的余角性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握直角三角形兩銳角互余，等角的余角性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，在證明不等關(guān)系中經(jīng)常利用等量轉(zhuǎn)化方法是解題關(guān)鍵．例4．（2021·遼寧鐵西·八年級(jí)階段練習(xí)）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB與DF交于點(diǎn)M，BCEF，求∠BMD的度數(shù)．【答案】75°【分析】首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可算出∠F和∠B的度數(shù)，再由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，可求出∠MDB的度數(shù)，在△BMD中，利用三角形內(nèi)角和可求出∠BMD的度數(shù)．【詳解】解：如圖，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝90°?∠C＝60°，∠F＝90°?∠E＝45°，∵BCEF，∴∠MDB＝∠F＝45°，在△BMD中，∠BMD＝180°?∠B?∠MDB＝75°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)圖形，結(jié)合定理求出每個(gè)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】（2021·安徽長(zhǎng)豐·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E為AD（不與點(diǎn)A，D重合）上的一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥BC于點(diǎn)F．（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度數(shù)．（2）求證：∠C﹣∠B＝2∠DEF．（3）如圖2，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E為AD上一點(diǎn)，EF⊥AD交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠ACB＝m°，∠B＝n°，直接寫出∠F的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)垂直得到，再根據(jù)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)即可得解；（2）由（1）可知，，，即可得解；（3）根據(jù)已知條件得到，，再根據(jù)兩銳角互余和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；【詳解】（1）∵EF⊥BC，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵AD平分∠BAC，∴，∴；（2）由（1）可知，，，，，，∴；（3）∵AD平分∠BAC，∴，，∵，∴，∴，，，，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】（2021·黑龍江建華·八年級(jí)期末）如圖，中，于點(diǎn)D，，，，連接AF．線段AE與AF有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并說(shuō)明理由．【答案】，，見解析【分析】先證明≌，可得，，再利用，從而可得答案.【詳解】解：，理由如下：∵，，∴≌∴，∵于D，∴，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用證明三角形全等”是解本題的關(guān)鍵.【知識(shí)拓展2】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.例1．（2021·河南·八年級(jí)期末）已知：如圖，ABC為等邊三角形，BD為中線，延長(zhǎng)BC至E，使CECD，連接DE．（1）證明：BDE是等腰三角形；（2）若AB＝2，求DE的長(zhǎng)度．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由為等邊三角形，可求出，由是等腰三角形求出，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得；（2）由勾股定理求出BD即可求得．【詳解】（1）證明：為等邊三角形，，，，，為中線，，，是等腰三角形；（2）解：為中線，，，，在中，由勾股定理得：,．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長(zhǎng)．例2．（2021·江蘇·靖江外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知在等邊△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的長(zhǎng)．【答案】【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和AB的長(zhǎng)度求出AD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半求出AE的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出CE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)30°角所對(duì)直角邊是斜邊的一半求出CF的長(zhǎng)度，即可求出BF的長(zhǎng)度．【詳解】∵在等邊△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，∴AD=BD=AB=6，∵∠A=60°，DE⊥AE，∴∠ADE=30°，∴，∴CE=ACAE=123=9，又∵∠C=60°，EF⊥BC，∴∠FEC=30°，∴CF=CE=，∴BF=BCCF=12=．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，30°角直角三角形的性質(zhì)．例3．（2021·山東汶上·八年級(jí)期中）重新定義：1．如圖1和圖2中，點(diǎn)P平面內(nèi)一點(diǎn)，如果或，稱點(diǎn)P是線段AB的強(qiáng)弱點(diǎn)．2．我們都知道，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．那么反過來(lái)，如果在一個(gè)直角三角形中，一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角也為30°．啟發(fā)應(yīng)用：請(qǐng)利用以上材料完成以下問題：（1）如圖2，在Rt△APB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，判斷點(diǎn)B是否是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)？并說(shuō)明理由；（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B是線段AC的強(qiáng)弱點(diǎn)（BA＞BC），BD是Rt△ABC的角平分線，求證：點(diǎn)D是線段AC上的強(qiáng)弱點(diǎn)．【答案】（1）是，理由見解析；（2）見解析【分析】（1）在Rt△PAB中，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：AB和PB的關(guān)系，由新定義即可解決問題；（2）如圖3中，由B是線段AC的強(qiáng)弱點(diǎn)（BA＞BC），推出AB＝2BC，可得∠A＝30°，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定，直角三角形30度角的性質(zhì)可得AD＝2CD，解決問題；【詳解】（1）解：點(diǎn)B是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)，理由是：如圖1中，在Rt△PAB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2PB，∴，∴點(diǎn)B是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)；（2）證明：如圖2中，∵B是線段AC的強(qiáng)弱點(diǎn)（BA＞BC），∴AB＝2BC，∴Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，Rt△BCD中，BD＝2CD，∴＝2，∴點(diǎn)D是線段AC上的強(qiáng)弱點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查新定義：線段的強(qiáng)弱點(diǎn)、角平分線的定義、直角三角形30°角的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，理解新定義并運(yùn)用．【即學(xué)即練1】（2021·浙江瑞安·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形，BD是AC上的高線．作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．取BE的中點(diǎn)M，連結(jié)AM．（1）求證：△AEM是等邊三角形；（2）若AE＝1，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）利用條件可求得∠E＝60°且利用直角三角形的性質(zhì)可得出ME＝AM，可判定△AEM的形狀；

（2）由條件利用勾股定理可求得AB和BD的長(zhǎng)，可求出△ABC的面積．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高線，AE⊥AB，

∴∠ABD＝30°，

∴∠E＝60°，

∵點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，

∵在Rt△ABE中，AM＝BE＝EM，

∴△AEM是等邊三角形；（2）∵AE＝1，∠EAB＝90°，∠ABD＝30°

∴BE＝2AE＝2，

由勾股定理得：AB＝，∴AB＝AC＝BC＝，

∴AD＝AB＝，

∴BD＝，

∴S△ABC＝××＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形中，30°所對(duì)的邊是斜邊的一半，掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】（2021·浙江余杭·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作邊的垂線交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】．【分析】運(yùn)用含角的直角三角形的性質(zhì)得，從而得出答案．【詳解】，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中角所對(duì)的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用例1.如圖，一位同學(xué)做了一個(gè)寫明裝置進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，△ABC是該裝置左視圖，∠ACB=90°，∠B=15°，為了加固斜面，在斜面AB的中點(diǎn)D處連結(jié)一條支撐桿CD，量得CD=6．（1）求斜坡AB長(zhǎng)和∠ADC的度數(shù)；（2）該同學(xué)想用彩紙實(shí)驗(yàn)裝置中的△ABC的表面，請(qǐng)你計(jì)算△ABC的面積.【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AB=2CD，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過C作CE⊥AB于E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=CD=3，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【答案與解析】解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴AB=2CD=2×6=12，∵CD=BD，∴∠ADC=2∠B=30°；（2）過C作CE⊥AB于E，∵∠ADC=30°，∴CE=CD=3，∴S△ABC=×12×3=18.【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練1】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB的中垂線交BC的延長(zhǎng)線于D，交AC于E,已知DE=2.則AC的長(zhǎng)為_________.【答案】3；提示：連接AD，證△ABD為等邊三角形，則DE=AE=2，CE=1，所以AC=3.【知識(shí)拓展3】勾股定理及逆定理的應(yīng)用例1．（2019?仙居縣模擬）如圖，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C為圓心，CB為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，以A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，則AE：AB的值是（）A． B． C． D．【思路點(diǎn)撥】設(shè)AB＝2a，BC＝a，則AC＝a，利用勾股定理求得AE的長(zhǎng)，即可得出AE：AB的值．【答案】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，設(shè)AB＝2a，BC＝a，則AC＝a，∵CD＝BC＝a，∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a，∵AE＝AD，∴AE＝（﹣1）a，∴＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及黃金分割的運(yùn)用，正確掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練1】（2019秋?慈溪市期末）長(zhǎng)度為下列三個(gè)數(shù)據(jù)的三條線段，能組成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．3，5，7 C．1，，3 D．1，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形進(jìn)行分析即可．【答案】解：A、12+22≠32，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、32+52≠72，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、12+（）2≠32，不能組成直角三角形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、12+（）2＝（）2，能組成直角三角形，故此選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【即學(xué)即練2】（2019秋?蕭山區(qū)期末）如圖，以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度線段為邊作一個(gè)正方形，以1為圓心，正方形對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．1﹣ D．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)A表示的數(shù)即可．【答案】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為1，∴BC＝＝，∴AC＝，即|A﹣1|＝，故點(diǎn)A表示1﹣．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及勾股定理和正方形的性質(zhì)，熟知數(shù)軸上各點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】（2019?寧波）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．最大正方形的面積 C．較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積 D．最大正方形與直角三角形的面積和【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理得到c2＝a2+b2，根據(jù)正方形的面積公式、長(zhǎng)方形的面積公式計(jì)算即可．【答案】解：設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為c，較長(zhǎng)直角邊為b，較短直角邊為a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，陰影部分的面積＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），較小兩個(gè)正方形重疊部分的寬＝a﹣（c﹣b），長(zhǎng)＝a，則較小兩個(gè)正方形重疊部分底面積＝a（a+b﹣c），∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．【即學(xué)即練4】（2019?紹興模擬）如圖，已知∠MAN＝30°，點(diǎn)B在邊AM上，且AB＝4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AN方向運(yùn)動(dòng)，在邊AN上取點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)），連結(jié)BP，BC．設(shè)PC＝m，當(dāng)△BPC成為等腰三角形的個(gè)數(shù)恰好有3個(gè)時(shí)，m的值為4或2或4√3＜m≤12．【思路點(diǎn)撥】如圖，作BH⊥AN于H．當(dāng)△BPC是等邊三角形時(shí)，△BPC成為等腰三角形的個(gè)數(shù)恰好有3個(gè)．【答案】解：如圖，作BH⊥AN于H．①當(dāng)△BPC是等邊三角形時(shí)，△BPC成為等腰三角形的個(gè)數(shù)恰好有3個(gè)．在Rt△ABH中，∵AB＝4，∠A＝30°，∴BH＝AB＝2，∵△BPC是等邊三角形，BH⊥PC，∴∠PBH＝30°，PH＝HC＝BH?tan30°＝2，∴PC＝2PH＝4，②當(dāng)PC＝BH＝2時(shí)，△BPC成為等腰三角形的個(gè)數(shù)恰好有3個(gè)．③當(dāng)4√3＜m≤12時(shí)，△BPC成為等腰三角形的個(gè)數(shù)恰好有3個(gè)．故答案為4或2或4√3＜m≤12．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．能力拓展能力拓展模塊一模塊一解特殊直角三角形（1）如圖11，已知中，，，，，求DB的長(zhǎng)為_______．（2）如圖12，在中，，，，，則AD的長(zhǎng)為_______．（3）已知：如圖13，中，，，，求BC．（1）10；（2）；（3）．（1）某樓梯的側(cè)面視圖如圖21所示，其中米，，，因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng)度應(yīng)為__________．（2）如圖22，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若，則折痕CE的長(zhǎng)為（）．A．B． C． D．6圖21圖22（1）米；（2）A，易得．如圖，已知在四邊形ABCD中，，，，，求．連接BD，則是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，為含角的直角三角形。所以：．模塊二模塊二最短路徑問題如圖，長(zhǎng)方體的高為5cm，底面長(zhǎng)為4cm，寬為1cm．（1）點(diǎn)到點(diǎn)之間的距離是多少？（2）若一只螞蟻從點(diǎn)爬到（只能從長(zhǎng)方體表面爬行），則爬行的最短路程是多少？（1）∵長(zhǎng)方體的高為5cm，底面長(zhǎng)為4cm，寬為1cm，∴（cm），∴（cm）；（2）爬行的最短路程是cm．（5與最接近，平方和最?。┤鐖D所示的長(zhǎng)方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為（單位：cm），在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長(zhǎng)為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設(shè)插入吸管后露在盒外面的管長(zhǎng)為hcm，則h的最小值為_________cm．如圖所示：連接DC，CF，由題意：，，，，∴吸管口到紙盒內(nèi)的最大距離，∴．故答案為：．模塊模塊三勾股定理及證明如圖11，分別以直角三角形A、B、C三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用、、表示，則不難證明．（正三角形面積是邊長(zhǎng)平方的）（1）如圖12，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用、、表示，那么、、之間有什么關(guān)系？（不必證明）（2）如圖13，分別以直角三角形A、B、C三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用、、表示，請(qǐng)你確定、、之間的關(guān)系并加以證明．圖11圖12圖13（1）設(shè)BC、CA、AB長(zhǎng)分別為a、b、c，則，；（2）．證明如下：顯然，，，，∴．【點(diǎn)評(píng)】分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作“相似形”，其面積對(duì)應(yīng)用、、表示，則（設(shè)斜邊所做圖形面積為）．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，，，（n為大于1的自然數(shù)），試說(shuō)明為直角三角形．因?yàn)?，．所以，所以為直角三角形．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．（2021·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期中）下列各組數(shù)據(jù)不是直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．5，13，18【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的三邊關(guān)系即可判斷．【詳解】A、32+42=52，故為直角三角形；B、62+82=102，故為直角三角形；C、52+122=132，故為直角三角形；D、5+13=18，故不能圍成三角形；故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的逆定理．2．（2021·湖南·永州市劍橋?qū)W校八年級(jí)期中）已知∠A，∠B為直角△ABC兩銳角，∠B＝54°，則∠A＝（）A．60° B．36° C．56° D．46°【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形中，兩銳角互余計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠A，∠B為直角△ABC兩銳角，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇濱?！ぐ四昙?jí)期中）如圖所示，公路AC、BC互相垂直，點(diǎn)M為公路AB的中點(diǎn)，為測(cè)量湖泊兩側(cè)C、M兩點(diǎn)間的距離，若測(cè)得AB的長(zhǎng)為6km，則M、C兩點(diǎn)間的距離為（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km【答案】D【詳解】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C兩點(diǎn)間的距離為3km，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．二、填空題4．（2021·廣西隆安·八年級(jí)期中）在中，銳角，則另一個(gè)銳角_______．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可求解．【詳解】解：在中，∵銳角，∴另一個(gè)銳角．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）禪城區(qū)某一中學(xué)現(xiàn)有一塊空地ABCD如圖所示，現(xiàn)計(jì)劃在空地上種草皮，經(jīng)測(cè)量，，若每種植1平方米草皮需要300元，總共需投入______元【答案】10800【分析】仔細(xì)分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果，在直角三角形ABC中可求得AC的長(zhǎng)，由AC、AD、DC的長(zhǎng)度關(guān)系可得為直角三角形，CD為斜邊；由此可知，四邊形ABCD由和構(gòu)成，即可求解．【詳解】解：在中，∵，∴AC=5．在中，，，而，即，∴，即：=．所以需費(fèi)用：（元）．故答案為10800．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，逆定理的相關(guān)知識(shí)，以及割補(bǔ)法求圖形的面積，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇濱?！ぐ四昙?jí)期中）若一個(gè)三角形的三邊之比為5：12：13，且周長(zhǎng)為60cm，則它的面積為_____cm2．【答案】【分析】設(shè)三邊的長(zhǎng)是5x，12x，13x，根據(jù)周長(zhǎng)列方程求出x的長(zhǎng)，則三角形的三邊的長(zhǎng)即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，然后利用面積公式求解．【詳解】解：設(shè)三邊分別為5x，12x，13x，則5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三邊分別為10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形為直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查三角形周長(zhǎng)，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解與運(yùn)用，三角形面積，比較基礎(chǔ)，掌握三角形周長(zhǎng)，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解與運(yùn)用，三角形面積是解題關(guān)鍵．7．（2021·黑龍江五?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中成立的有______個(gè)．【答案】1【分析】根據(jù)，得出AC=EB＜BC，可判斷①；根據(jù)，可得∠ADC=∠ECB，得出AD∥BC，根據(jù)BC與BE相交，可判斷②；根據(jù)，得出∠ADC=∠ECB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠ADC+∠ACD=90°，利用等量代換得出∠ECB+∠ACD=90°可判斷③；，得出AD=EC，DC=CB，根據(jù)線段和AD+DE=EC+DE=DC=CB＞BE，可判斷④即可．【詳解】解：∵點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，∴AC=EB＜BC，故①不正確；∵，∴∠ADC=∠ECB，∴AD∥BC，∵BC與BE相交，故②不正確；∵，∴∠ADC=∠ECB，∵∠ADC+∠ACD=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°即∠ACB=90°，故③正確；∵，∴AD=EC，DC=CB，∴AD+DE=EC+DE=DC=CB＞BE，故④不正確；∴其中成立的有1個(gè)．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段和差，平行線判定，掌握全等三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段和差，平行線判定是解題關(guān)鍵．三、解答題8．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）如圖所示的一塊地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，則這塊地的面積為多少?【答案】24平方米【分析】利用割補(bǔ)法，將圖形補(bǔ)齊，連接AC，根據(jù)勾股定理判定是直角三角形，即可求出四邊形面積．【詳解】解：如圖，連接AC，在中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米，又∵，∴是直角三角形，∴這塊地的面積==（平方米）【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的判定，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，再進(jìn)行面積求值，熟練掌握勾股定理的應(yīng)用是本題的關(guān)鍵．9．（2021·陜西臨渭·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以6cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．（1）求∠B的度數(shù)；（2）連接PQ，若運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，求P、Q兩點(diǎn)之間的距離．【答案】（1）∠B＝90°；（2）P、Q兩點(diǎn)之間的距離為【分析】（1）如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．依據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可；（2）依據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間和運(yùn)動(dòng)速度，即可得到BP和BQ的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到PQ的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，∴AB2+BC2＝625＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；（2）運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），Rt△BPQ中，，∴P、Q兩點(diǎn)之間的距離為13cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意求出∠B＝90°．題組B能力提升練一、單選題1．（2022·云南廣南·八年級(jí)期末）若以下列各組數(shù)值作為三角形的三邊長(zhǎng)，則不能圍成直角三角形的是（）A．4、6、8 B．3、4、5C．5、12、13 D．1、3、【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個(gè)就不是直角三角形．【詳解】解：A、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)符合題意；

B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、12+32=，符合勾股定理的逆定理，故本選項(xiàng)符合題意．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．2．（2021·河北·邯鄲市永年區(qū)第八中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行B．對(duì)于有理數(shù)a，如果3a＞0，那么a＞0C．有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形D．在任何一個(gè)直角三角形中，都沒有鈍角【答案】D【分析】先寫出每個(gè)選項(xiàng)中的逆命題，然后判斷真假即可．【詳解】解：A、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行的逆命題為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是真命題，不符合題意；B、對(duì)于有理數(shù)a，如果3a＞0，那么a＞0的逆命題為：對(duì)于有理數(shù)a，如果a＞0，則3a＞0，是真命題，不符合題意；C、有兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形的逆命題為：直角三角形有兩個(gè)內(nèi)角互余的，是真命題，不符合題意；D、在任何一個(gè)直角三角形中，都沒有鈍角的逆命題為：沒有鈍角的三角形是直角三角形，是假命題，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了逆命題，判定命題真假，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．二、填空題3．（2021·江蘇贛榆·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點(diǎn)P′是△ABC外的一點(diǎn)，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為___．【答案】150°【分析】如圖：連接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，進(jìn)而可得△APP′為等邊三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：連接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案為：150°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)點(diǎn)成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·江西九江·八年級(jí)期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因?yàn)辄c(diǎn)P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進(jìn)行分析即可．【詳解】解：∵點(diǎn)P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，①∠APC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠ACP＝90°時(shí)，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）；當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，①∠BPC＝90°，易知點(diǎn)P在原點(diǎn)處坐標(biāo)為（0，0）；②∠BCP＝90°時(shí)，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，0）．綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重復(fù)不遺漏的進(jìn)行分類．三、解答題5．（2021·吉林朝陽(yáng)·八年級(jí)期末）如圖，有一張四邊形紙片，．經(jīng)測(cè)得，，，．（1）求、兩點(diǎn)之間的距離．（2）求這張紙片的面積．【答案】（1）15cm；（2）114cm2【分析】（1）連接，在中利用勾股定理求解即可；（2）先用勾股定理的逆定理證明，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，連結(jié)．∵在中，．∴由勾股定理，得．∴．（2）∵，，∴．∴．∴四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇·贛榆匯文雙語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知a，b，c滿足|a﹣＋（c﹣）2＝0（1）求a，b，c的值；并求出以a，b，c為三邊的三角形周長(zhǎng)；（2）試問以a，b，c為邊能否構(gòu)成直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）a=，b=5，c=，周長(zhǎng)=；（2）不能構(gòu)成直角三角形，理由見解答．【分析】（1）由非數(shù)的性質(zhì)可分別求得a、b、c的值，進(jìn)而解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理可進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：（1）∵|a﹣＋（c﹣）2＝0．∴a=0，b5=0，c=0，∴a=2，b=5，c=3，∴以a，b，c為三邊的三角形周長(zhǎng)=2+3+5=5+5；（2）不能構(gòu)成直角三角形，∵a2+c2=8+18=26，b2=25，∴a2+c2≠b2，∴不能構(gòu)成直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)及勾股定理的逆定理，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練一、解答題1．（2021·山西平定·八年級(jí)期中）通過對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行求解；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，進(jìn)而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進(jìn)而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；（3）過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD交OD延長(zhǎng)線于N，過點(diǎn)C作CM⊥OD交OD延長(zhǎng)線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進(jìn)而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進(jìn)行求解問題．【詳解】解：（1）∵，∴；（2）分別過點(diǎn)D和點(diǎn)E作DH⊥FG于點(diǎn)H，EQ⊥FG于點(diǎn)Q，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴，∵∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；（3），理由如下：如圖所示，過點(diǎn)D作DO⊥AF交AF于O，過點(diǎn)E作EN⊥OD