第2講直角三角形八年級數(shù)學下冊講義（北師大版）

第2講直角三角形目標導航目標導航1.掌握直角三角形的性質(zhì)；2.掌握直角三角形的判定條件；3.熟練運用勾股定理及其逆定理進行計算和證明知識精講知識精講知識點1.定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形2.性質(zhì)（1）直角三角形的兩銳角互余（2）勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（3）直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（4）直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半3.判定（1）有一個角是90°的三角形是直角三角形；（2）有一條邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；（3）勾股定理逆定理：若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形【知識拓展1】直角三角形的兩個銳角互余.例1．（2021·云南昭通·八年級期中）如圖，AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝60°，∠BED＝70°，求∠BAC的度數(shù)．【答案】80°【分析】先根據(jù)AD是△ABC的邊BC上的高得出，再由直角三角形性質(zhì)得出,根據(jù)BE平分∠ABC得出，進而得出,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是的高．即，∴，∵在中，，∴．∵平分，∴，∴，∴【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解題關(guān)鍵．例2．（2021·廣西融水·八年級期中）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠BAC＝80°，∠B＝60°；求∠AEC的度數(shù)．【答案】∠AEC=115o．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DAC的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠DAE的度數(shù)，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求出∠AEC的度數(shù)．【詳解】解：∵∠BAC=80o，∠B=60o，∴∠C=180o∠BAC∠B=180o80o60o=40o，∵AD⊥BC，∴∠DAC=90o∠C=90o40o=50o，∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=×50o=25o，∴∠AEC=∠DAE+∠ADE=25o+90o=115o．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)．熟練掌握各個知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2022·陜西榆林·八年級期末）如圖，在中，，于點，點是上一點，連接．求證：．

【分析】根據(jù)等角的余角性質(zhì)得出∠BAD=∠C，再根據(jù)∠BED是△ABE的外角，得出∠BED＞∠BAD=∠C即可．【詳解】證明：∵，∴∠BAD+∠DAC=90°，∵，∴∠DAC+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∵∠BED是△ABE的外角，∴∠BED＞∠BAD=∠C，∴∠BED＞∠C．【點睛】本題考查直角三角形兩銳角互余，等角的余角性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，掌握直角三角形兩銳角互余，等角的余角性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，在證明不等關(guān)系中經(jīng)常利用等量轉(zhuǎn)化方法是解題關(guān)鍵．例4．（2021·遼寧鐵西·八年級階段練習）兩個直角三角板如圖擺放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AB與DF交于點M，BCEF，求∠BMD的度數(shù)．【答案】75°【分析】首先根據(jù)直角三角形兩銳角互余可算出∠F和∠B的度數(shù)，再由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”，可求出∠MDB的度數(shù)，在△BMD中，利用三角形內(nèi)角和可求出∠BMD的度數(shù)．【詳解】解：如圖，在△ABC和△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，∴∠B＝90°?∠C＝60°，∠F＝90°?∠E＝45°，∵BCEF，∴∠MDB＝∠F＝45°，在△BMD中，∠BMD＝180°?∠B?∠MDB＝75°．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和，平行線的性質(zhì)等內(nèi)容，根據(jù)圖形，結(jié)合定理求出每個角的度數(shù)是解題關(guān)鍵．【即學即練1】（2021·安徽長豐·八年級階段練習）如圖1，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E為AD（不與點A，D重合）上的一動點，EF⊥BC于點F．（1）若∠B＝40°，∠DEF＝20°，求∠C的度數(shù)．（2）求證：∠C﹣∠B＝2∠DEF．（3）如圖2，在△ABC中，∠B＜∠C，AD平分∠BAC，E為AD上一點，EF⊥AD交BC延長線于點F，∠ACB＝m°，∠B＝n°，直接寫出∠F的度數(shù)（用含m，n的代數(shù)式表示）．【答案】（1）；（2）證明過程見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)垂直得到，再根據(jù)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)即可得解；（2）由（1）可知，，，即可得解；（3）根據(jù)已知條件得到，，再根據(jù)兩銳角互余和三角形內(nèi)角和定理計算即可；【詳解】（1）∵EF⊥BC，∴，又∵，∴，又∵，∴，又∵AD平分∠BAC，∴，∴；（2）由（1）可知，，，，，，∴；（3）∵AD平分∠BAC，∴，，∵，∴，∴，，，，，∴．【點睛】本題主要考查了三角內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，準確分析計算是解題的關(guān)鍵．【即學即練2】（2021·黑龍江建華·八年級期末）如圖，中，于點D，，，，連接AF．線段AE與AF有怎樣的關(guān)系？請寫出你的猜想，并說明理由．【答案】，，見解析【分析】先證明≌，可得，，再利用，從而可得答案.【詳解】解：，理由如下：∵，，∴≌∴，∵于D，∴，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用證明三角形全等”是解本題的關(guān)鍵.【知識拓展2】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.例1．（2021·河南·八年級期末）已知：如圖，ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CECD，連接DE．（1）證明：BDE是等腰三角形；（2）若AB＝2，求DE的長度．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由為等邊三角形，可求出，由是等腰三角形求出，根據(jù)等角對等邊即可證得；（2）由勾股定理求出BD即可求得．【詳解】（1）證明：為等邊三角形，，，，，為中線，，，是等腰三角形；（2）解：為中線，，，，在中，由勾股定理得：,．【點睛】此題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點的應用，解題的關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長．例2．（2021·江蘇·靖江外國語學校八年級階段練習）如圖，已知在等邊△ABC中，D是AB的中點，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，AB＝12．求BF的長．【答案】【分析】首先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和AB的長度求出AD的長度，然后根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊的一半求出AE的長度，進而求出CE的長度，然后根據(jù)30°角所對直角邊是斜邊的一半求出CF的長度，即可求出BF的長度．【詳解】∵在等邊△ABC中，D是AB的中點，∴AD=BD=AB=6，∵∠A=60°，DE⊥AE，∴∠ADE=30°，∴，∴CE=ACAE=123=9，又∵∠C=60°，EF⊥BC，∴∠FEC=30°，∴CF=CE=，∴BF=BCCF=12=．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，30°角直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，30°角直角三角形的性質(zhì)．例3．（2021·山東汶上·八年級期中）重新定義：1．如圖1和圖2中，點P平面內(nèi)一點，如果或，稱點P是線段AB的強弱點．2．我們都知道，在直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半．那么反過來，如果在一個直角三角形中，一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角也為30°．啟發(fā)應用：請利用以上材料完成以下問題：（1）如圖2，在Rt△APB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，判斷點B是否是線段AP的強弱點？并說明理由；（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B是線段AC的強弱點（BA＞BC），BD是Rt△ABC的角平分線，求證：點D是線段AC上的強弱點．【答案】（1）是，理由見解析；（2）見解析【分析】（1）在Rt△PAB中，根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得：AB和PB的關(guān)系，由新定義即可解決問題；（2）如圖3中，由B是線段AC的強弱點（BA＞BC），推出AB＝2BC，可得∠A＝30°，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的判定，直角三角形30度角的性質(zhì)可得AD＝2CD，解決問題；【詳解】（1）解：點B是線段AP的強弱點，理由是：如圖1中，在Rt△PAB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2PB，∴，∴點B是線段AP的強弱點；（2）證明：如圖2中，∵B是線段AC的強弱點（BA＞BC），∴AB＝2BC，∴Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，Rt△BCD中，BD＝2CD，∴＝2，∴點D是線段AC上的強弱點．【點睛】本題考查新定義：線段的強弱點、角平分線的定義、直角三角形30°角的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，理解新定義并運用．【即學即練1】（2021·浙江瑞安·八年級階段練習）如圖，已知△ABC是等邊三角形，BD是AC上的高線．作AE⊥AB于點A，交BD的延長線于點E．取BE的中點M，連結(jié)AM．（1）求證：△AEM是等邊三角形；（2）若AE＝1，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）利用條件可求得∠E＝60°且利用直角三角形的性質(zhì)可得出ME＝AM，可判定△AEM的形狀；

（2）由條件利用勾股定理可求得AB和BD的長，可求出△ABC的面積．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高線，AE⊥AB，

∴∠ABD＝30°，

∴∠E＝60°，

∵點M是BE的中點，

∵在Rt△ABE中，AM＝BE＝EM，

∴△AEM是等邊三角形；（2）∵AE＝1，∠EAB＝90°，∠ABD＝30°

∴BE＝2AE＝2，

由勾股定理得：AB＝，∴AB＝AC＝BC＝，

∴AD＝AB＝，

∴BD＝，

∴S△ABC＝××＝．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半，掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．【即學即練2】（2021·浙江余杭·八年級階段練習）如圖，在中，，，是邊上的點，且，過點作邊的垂線交邊于點，求的長．【答案】．【分析】運用含角的直角三角形的性質(zhì)得，從而得出答案．【詳解】，，，，，，．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中角所對的邊是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．【知識拓展3】直角三角形性質(zhì)的應用例1.如圖，一位同學做了一個寫明裝置進行科學實驗，△ABC是該裝置左視圖，∠ACB=90°，∠B=15°，為了加固斜面，在斜面AB的中點D處連結(jié)一條支撐桿CD，量得CD=6．（1）求斜坡AB長和∠ADC的度數(shù)；（2）該同學想用彩紙實驗裝置中的△ABC的表面，請你計算△ABC的面積.【思路點撥】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AB=2CD，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過C作CE⊥AB于E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CE=CD=3，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【答案與解析】解：（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中點，∴AB=2CD=2×6=12，∵CD=BD，∴∠ADC=2∠B=30°；（2）過C作CE⊥AB于E，∵∠ADC=30°，∴CE=CD=3，∴S△ABC=×12×3=18.【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【即學即練1】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,AB的中垂線交BC的延長線于D，交AC于E,已知DE=2.則AC的長為_________.【答案】3；提示：連接AD，證△ABD為等邊三角形，則DE=AE=2，CE=1，所以AC=3.【知識拓展3】勾股定理及逆定理的應用例1．（2019?仙居縣模擬）如圖，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C為圓心，CB為半徑作弧交AC于點D，以A為圓心，AD長為半徑畫弧交AB于點E，則AE：AB的值是（）A． B． C． D．【思路點撥】設AB＝2a，BC＝a，則AC＝a，利用勾股定理求得AE的長，即可得出AE：AB的值．【答案】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，設AB＝2a，BC＝a，則AC＝a，∵CD＝BC＝a，∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a，∵AE＝AD，∴AE＝（﹣1）a，∴＝．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理以及黃金分割的運用，正確掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【即學即練1】（2019秋?慈溪市期末）長度為下列三個數(shù)據(jù)的三條線段，能組成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．3，5，7 C．1，，3 D．1，【思路點撥】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形進行分析即可．【答案】解：A、12+22≠32，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；B、32+52≠72，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；C、12+（）2≠32，不能組成直角三角形，故此選項錯誤；D、12+（）2＝（）2，能組成直角三角形，故此選項正確．故選：D．【點睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理，要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【即學即練2】（2019秋?蕭山區(qū)期末）如圖，以數(shù)軸的單位長度線段為邊作一個正方形，以1為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A，則點A表示的數(shù)是（）A．1 B．﹣1 C．1﹣ D．【思路點撥】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式求出點A表示的數(shù)即可．【答案】解：∵正方形的邊長為1，∴BC＝＝，∴AC＝，即|A﹣1|＝，故點A表示1﹣．故選：C．【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸的對應關(guān)系，以及勾股定理和正方形的性質(zhì)，熟知數(shù)軸上各點與實數(shù)是一一對應關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【即學即練3】（2019?寧波）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．最大正方形的面積 C．較小兩個正方形重疊部分的面積 D．最大正方形與直角三角形的面積和【思路點撥】根據(jù)勾股定理得到c2＝a2+b2，根據(jù)正方形的面積公式、長方形的面積公式計算即可．【答案】解：設直角三角形的斜邊長為c，較長直角邊為b，較短直角邊為a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，陰影部分的面積＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），較小兩個正方形重疊部分的寬＝a﹣（c﹣b），長＝a，則較小兩個正方形重疊部分底面積＝a（a+b﹣c），∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出較小兩個正方形重疊部分的面積，故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．【即學即練4】（2019?紹興模擬）如圖，已知∠MAN＝30°，點B在邊AM上，且AB＝4，點P從點A出發(fā)沿射線AN方向運動，在邊AN上取點C（點C在點P右側(cè)），連結(jié)BP，BC．設PC＝m，當△BPC成為等腰三角形的個數(shù)恰好有3個時，m的值為4或2或4√3＜m≤12．【思路點撥】如圖，作BH⊥AN于H．當△BPC是等邊三角形時，△BPC成為等腰三角形的個數(shù)恰好有3個．【答案】解：如圖，作BH⊥AN于H．①當△BPC是等邊三角形時，△BPC成為等腰三角形的個數(shù)恰好有3個．在Rt△ABH中，∵AB＝4，∠A＝30°，∴BH＝AB＝2，∵△BPC是等邊三角形，BH⊥PC，∴∠PBH＝30°，PH＝HC＝BH?tan30°＝2，∴PC＝2PH＝4，②當PC＝BH＝2時，△BPC成為等腰三角形的個數(shù)恰好有3個．③當4√3＜m≤12時，△BPC成為等腰三角形的個數(shù)恰好有3個．故答案為4或2或4√3＜m≤12．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，等邊三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．能力拓展能力拓展模塊一模塊一解特殊直角三角形（1）如圖11，已知中，，，，，求DB的長為_______．（2）如圖12，在中，，，，，則AD的長為_______．（3）已知：如圖13，中，，，，求BC．（1）10；（2）；（3）．（1）某樓梯的側(cè)面視圖如圖21所示，其中米，，，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的長度應為__________．（2）如圖22，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，E是AB上的點，沿CE折疊后，點B恰好與點O重合，若，則折痕CE的長為（）．A．B． C． D．6圖21圖22（1）米；（2）A，易得．如圖，已知在四邊形ABCD中，，，，，求．連接BD，則是邊長為6的等邊三角形，為含角的直角三角形。所以：．模塊二模塊二最短路徑問題如圖，長方體的高為5cm，底面長為4cm，寬為1cm．（1）點到點之間的距離是多少？（2）若一只螞蟻從點爬到（只能從長方體表面爬行），則爬行的最短路程是多少？（1）∵長方體的高為5cm，底面長為4cm，寬為1cm，∴（cm），∴（cm）；（2）爬行的最短路程是cm．（5與最接近，平方和最?。┤鐖D所示的長方體是某種飲料的紙質(zhì)包裝盒，規(guī)格為（單位：cm），在上蓋中開有一孔便于插吸管，吸管長為13cm，小孔到圖中邊AB距離為1cm，到上蓋中與AB相鄰的兩邊距離相等，設插入吸管后露在盒外面的管長為hcm，則h的最小值為_________cm．如圖所示：連接DC，CF，由題意：，，，，∴吸管口到紙盒內(nèi)的最大距離，∴．故答案為：．模塊模塊三勾股定理及證明如圖11，分別以直角三角形A、B、C三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用、、表示，則不難證明．（正三角形面積是邊長平方的）（1）如圖12，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個半圓，其面積分別用、、表示，那么、、之間有什么關(guān)系？（不必證明）（2）如圖13，分別以直角三角形A、B、C三邊為邊向外作三個正三角形，其面積分別用、、表示，請你確定、、之間的關(guān)系并加以證明．圖11圖12圖13（1）設BC、CA、AB長分別為a、b、c，則，；（2）．證明如下：顯然，，，，∴．【點評】分別以直角三角形ABC三邊為一邊向外作“相似形”，其面積對應用、、表示，則（設斜邊所做圖形面積為）．已知a，b，c是三角形的三邊長，，，（n為大于1的自然數(shù)），試說明為直角三角形．因為，．所以，所以為直角三角形．分層提分分層提分題組A基礎過關(guān)練一、單選題1．（2021·貴州畢節(jié)·八年級期中）下列各組數(shù)據(jù)不是直角三角形的三邊長的是（）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．5，13，18【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的三邊關(guān)系即可判斷．【詳解】A、32+42=52，故為直角三角形；B、62+82=102，故為直角三角形；C、52+122=132，故為直角三角形；D、5+13=18，故不能圍成三角形；故選D．【點睛】此題主要考查勾股定理的逆定理的應用，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理的逆定理．2．（2021·湖南·永州市劍橋?qū)W校八年級期中）已知∠A，∠B為直角△ABC兩銳角，∠B＝54°，則∠A＝（）A．60° B．36° C．56° D．46°【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形中，兩銳角互余計算即可．【詳解】解：∵∠A，∠B為直角△ABC兩銳角，∴，故選：B．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，兩個銳角互余是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇濱?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D所示，公路AC、BC互相垂直，點M為公路AB的中點，為測量湖泊兩側(cè)C、M兩點間的距離，若測得AB的長為6km，則M、C兩點間的距離為（）A．2.5km B．4.5km C．5km D．3km【答案】D【詳解】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CM＝AB，即可求出CM．【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M為AB的中點，∴CM＝AB，∵AB＝6km，∴CM＝3km，即M，C兩點間的距離為3km，故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．二、填空題4．（2021·廣西隆安·八年級期中）在中，銳角，則另一個銳角_______．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可求解．【詳解】解：在中，∵銳角，∴另一個銳角．故答案為：【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．5．（2022·全國·八年級）禪城區(qū)某一中學現(xiàn)有一塊空地ABCD如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種草皮，經(jīng)測量，，若每種植1平方米草皮需要300元，總共需投入______元【答案】10800【分析】仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果，在直角三角形ABC中可求得AC的長，由AC、AD、DC的長度關(guān)系可得為直角三角形，CD為斜邊；由此可知，四邊形ABCD由和構(gòu)成，即可求解．【詳解】解：在中，∵，∴AC=5．在中，，，而，即，∴，即：=．所以需費用：（元）．故答案為10800．【點睛】本題考查了勾股定理，逆定理的相關(guān)知識，以及割補法求圖形的面積，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇濱?！ぐ四昙壠谥校┤粢粋€三角形的三邊之比為5：12：13，且周長為60cm，則它的面積為_____cm2．【答案】【分析】設三邊的長是5x，12x，13x，根據(jù)周長列方程求出x的長，則三角形的三邊的長即可求得，然后利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形，然后利用面積公式求解．【詳解】解：設三邊分別為5x，12x，13x，則5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三邊分別為10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形為直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案為：120．【點睛】本題考查三角形周長，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解與運用，三角形面積，比較基礎，掌握三角形周長，一元一次方程，直角三角形的判定以及勾股定理逆定理的理解與運用，三角形面積是解題關(guān)鍵．7．（2021·黑龍江五?！ぐ四昙壠谀┤鐖D，點是上的一點，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中成立的有______個．【答案】1【分析】根據(jù)，得出AC=EB＜BC，可判斷①；根據(jù)，可得∠ADC=∠ECB，得出AD∥BC，根據(jù)BC與BE相交，可判斷②；根據(jù)，得出∠ADC=∠ECB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠ADC+∠ACD=90°，利用等量代換得出∠ECB+∠ACD=90°可判斷③；，得出AD=EC，DC=CB，根據(jù)線段和AD+DE=EC+DE=DC=CB＞BE，可判斷④即可．【詳解】解：∵點是上的一點，，∴AC=EB＜BC，故①不正確；∵，∴∠ADC=∠ECB，∴AD∥BC，∵BC與BE相交，故②不正確；∵，∴∠ADC=∠ECB，∵∠ADC+∠ACD=90°，∴∠ECB+∠ACD=90°即∠ACB=90°，故③正確；∵，∴AD=EC，DC=CB，∴AD+DE=EC+DE=DC=CB＞BE，故④不正確；∴其中成立的有1個．故答案為1．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段和差，平行線判定，掌握全等三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，線段和差，平行線判定是解題關(guān)鍵．三、解答題8．（2022·全國·八年級）如圖所示的一塊地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，則這塊地的面積為多少?【答案】24平方米【分析】利用割補法，將圖形補齊，連接AC，根據(jù)勾股定理判定是直角三角形，即可求出四邊形面積．【詳解】解：如圖，連接AC，在中，∵AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，∴AC=5米，又∵，∴是直角三角形，∴這塊地的面積==（平方米）【點睛】本題主要考查勾股定理的判定，利用輔助線構(gòu)造直角三角形，再進行面積求值，熟練掌握勾股定理的應用是本題的關(guān)鍵．9．（2021·陜西臨渭·八年級期中）如圖，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，動點P從點A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度運動至點B，動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以6cm/s的速度運動至點C，P、Q兩點同時出發(fā)．（1）求∠B的度數(shù)；（2）連接PQ，若運動2s時，求P、Q兩點之間的距離．【答案】（1）∠B＝90°；（2）P、Q兩點之間的距離為【分析】（1）如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．依據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷即可；（2）依據(jù)運動時間和運動速度，即可得到BP和BQ的長，再根據(jù)勾股定理進行計算，即可得到PQ的長．【詳解】解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，∴AB2+BC2＝625＝AC2，∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；（2）運動2s時，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），Rt△BPQ中，，∴P、Q兩點之間的距離為13cm．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意求出∠B＝90°．題組B能力提升練一、單選題1．（2022·云南廣南·八年級期末）若以下列各組數(shù)值作為三角形的三邊長，則不能圍成直角三角形的是（）A．4、6、8 B．3、4、5C．5、12、13 D．1、3、【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形．【詳解】解：A、42+62≠82，不符合勾股定理的逆定理，故本選項符合題意；

B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本選項不符合題意；

C、52+122=132，符合勾股定理的逆定理，故本選項不符合題意；

D、12+32=，符合勾股定理的逆定理，故本選項符合題意．

故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．2．（2021·河北·邯鄲市永年區(qū)第八中學八年級階段練習）下列命題的逆命題是假命題的是（）A．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行B．對于有理數(shù)a，如果3a＞0，那么a＞0C．有兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形D．在任何一個直角三角形中，都沒有鈍角【答案】D【分析】先寫出每個選項中的逆命題，然后判斷真假即可．【詳解】解：A、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行的逆命題為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，是真命題，不符合題意；B、對于有理數(shù)a，如果3a＞0，那么a＞0的逆命題為：對于有理數(shù)a，如果a＞0，則3a＞0，是真命題，不符合題意；C、有兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形的逆命題為：直角三角形有兩個內(nèi)角互余的，是真命題，不符合題意；D、在任何一個直角三角形中，都沒有鈍角的逆命題為：沒有鈍角的三角形是直角三角形，是假命題，符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了逆命題，判定命題真假，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知相關(guān)知識進行求解．二、填空題3．（2021·江蘇贛榆·八年級期末）如圖，點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若點P′是△ABC外的一點，且△P′AB≌△PAC，則∠APB的度數(shù)為___．【答案】150°【分析】如圖：連接PP′，由△PAC≌△P′AB可得PA＝P′A、∠P′AB＝∠PAC，進而可得△APP′為等邊三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，最后根據(jù)角的和差即可解答．【詳解】解：連接PP′，∵△PAC≌△P′AB，∴PA＝P′A，∠P′AB＝∠PAC，∴∠P′AP＝∠BAC＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝AP′＝6；∵PP′2+BP2＝BP′2，∴△BPP′為直角三角形，且∠BPP′＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故答案為：150°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理逆定理的應用等知識點，靈活應用相關(guān)知識點成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·江西九江·八年級期末）已知在平面直角坐標系中A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，2）．點P在x軸上運動，當點P與點A、B、C三點中任意兩點構(gòu)成直角三角形時，點P的坐標為________．【答案】（0，0），（，0），（﹣2，0）【分析】因為點P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點不能構(gòu)成三角形．再分Rt△PAC和Tt△PBC兩種情況進行分析即可．【詳解】解：∵點P、A、B在x軸上，∴P、A、B三點不能構(gòu)成三角形．設點P的坐標為（m，0）．當△PAC為直角三角形時，①∠APC＝90°，易知點P在原點處坐標為（0，0）；②∠ACP＝90°時，如圖，∵∠ACP＝90°∴AC2＋PC2＝AP2，，解得，m＝，∴點P的坐標為（，0）；當△PBC為直角三角形時，①∠BPC＝90°，易知點P在原點處坐標為（0，0）；②∠BCP＝90°時，∵∠BCP＝90°，CO⊥PB，∴PO＝BO＝2，∴點P的坐標為（﹣2，0）．綜上所述點P的坐標為（0，0），（，0），（﹣2，0）．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想．解題的關(guān)鍵是不重復不遺漏的進行分類．三、解答題5．（2021·吉林朝陽·八年級期末）如圖，有一張四邊形紙片，．經(jīng)測得，，，．（1）求、兩點之間的距離．（2）求這張紙片的面積．【答案】（1）15cm；（2）114cm2【分析】（1）連接，在中利用勾股定理求解即可；（2）先用勾股定理的逆定理證明，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，連結(jié)．∵在中，．∴由勾股定理，得．∴．（2）∵，，∴．∴．∴四邊形的面積．【點睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．6．（2021·江蘇·贛榆匯文雙語學校八年級階段練習）已知a，b，c滿足|a﹣＋（c﹣）2＝0（1）求a，b，c的值；并求出以a，b，c為三邊的三角形周長；（2）試問以a，b，c為邊能否構(gòu)成直角三角形？請說明理由．【答案】（1）a=，b=5，c=，周長=；（2）不能構(gòu)成直角三角形，理由見解答．【分析】（1）由非數(shù)的性質(zhì)可分別求得a、b、c的值，進而解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理可進行判斷即可．【詳解】解：（1）∵|a﹣＋（c﹣）2＝0．∴a=0，b5=0，c=0，∴a=2，b=5，c=3，∴以a，b，c為三邊的三角形周長=2+3+5=5+5；（2）不能構(gòu)成直角三角形，∵a2+c2=8+18=26，b2=25，∴a2+c2≠b2，∴不能構(gòu)成直角三角形．【點睛】本題主要考查非負數(shù)的性質(zhì)及勾股定理的逆定理，利用非負數(shù)的性質(zhì)求得a、b、c的值是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練一、解答題1．（2021·山西平定·八年級期中）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數(shù)學模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；（深入探究）（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進行求解；（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，進而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；（3）過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進行求解問題．【詳解】解：（1）∵，∴；（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，如圖所示：∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴△ABF≌△DAH，∴AF=DH，同理可知AF=EQ，∴DH=EQ，∵DH⊥FG，EQ⊥FG，∴，∵∴△DHG≌△EQG，∴DG=EG，即點G是DE的中點；（3），理由如下：如圖所示，過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD