專題7.2特殊角的三角函數(shù)值專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典

20212022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)題典【蘇科版】專題7.2特殊角的三角函數(shù)值專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022秋?工業(yè)園區(qū)期中）tan45°的值等于（）A． B． C．1 D．【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值進行判斷即可．【解答】解：tan45°＝1，故選：C．2．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝，∠C＝90°，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．60°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，進而利用特殊角的三角函數(shù)值代入求出即可．【解答】解：如圖所示：∵BC＝3，AC＝，∠C＝90°，∴tanA＝＝＝，∴∠A＝60°．故選：D．3．（2022秋?江陰市校級月考）已知tanA＝1.5，則∠A的度數(shù)所屬范圍是（）A．30°＜∠A＜45° B．45°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜75° D．75°＜∠A＜90°【分析】根據(jù)45°與60°的正切值判斷即可．【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，tanA＝1.5，∴45°＜∠A＜60°，故選：B．4．（2022?淮陰區(qū)模擬）如圖，以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OA交于點B，再以B為圓心，BO長為半徑畫弧，兩弧交于點C，畫射線OC，則sin∠AOC的值為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)作圖的方法得出△OBC是等邊三角形，進而利用特殊角的三角函數(shù)值求出答案．【解答】解：連接BC，由題意可得：OB＝OC＝BC，則△OBC是等邊三角形，故sin∠AOC＝sin60°＝．故選：D．5．（2021秋?金壇區(qū)月考）已知銳角α滿足tan（α+10°）＝1，則銳角α的度數(shù)為（）A．20° B．35° C．45° D．50°【分析】根據(jù)45°的正切值為1解答即可．【解答】解：∵tan（α+10°）＝1，tan45°＝1，∴α+10°＝45°，∴α＝35°，故選：B．6．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．3【分析】根據(jù)OP∥AB，證明出△OCP∽△BCA，得到CP：AC＝OC：BC＝1：2，過點P作PQ⊥x軸于點Q，根據(jù)∠AOC＝∠AQP＝90°，得到CO∥PQ，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到OQ：AO＝CP：AC＝1：2，根據(jù)P（1，1），得到PQ＝OQ＝1，得到AO＝2，根據(jù)正切的定義即可得到tan∠OAP的值．【解答】解：如圖，過點P作PQ⊥x軸于點Q，∵OP∥AB，∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．故選：C．7．（2022?宣州區(qū)校級一模）下列計算錯誤的個數(shù)是（）①sin60°﹣sin30°＝sin30°；②sin245°+cos245°＝1；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值以及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系逐個進行進行判斷即可．【解答】解：sin60°﹣sin30°＝﹣＝，而sin30°＝，因此①是錯誤的；sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝1，因此②是正確的；（tan60°）2＝（）2＝3，因此③是錯誤的；tan30°＝，＝＝，因此④是錯誤的；綜上所述，錯誤的有①③④，共3個，故選：C．8．（2020?連城縣校級自主招生）已知有公式：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ且sinθ+cosθ＝，則銳角θ的值為（）A．75° B．60° C．30° D．15°【分析】將sinθ+cosθ＝化成sin60°sinθ+cos60°cosθ＝cos45°，再根據(jù)所提供的公式可得答案．【解答】解：（1）由公式：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ可得，∵sinθ+cosθ＝，即sin60°sinθ+cos60°cosθ＝，∴cos（60°﹣θ）＝cos45°，即60°﹣θ＝45°，∴θ＝15°，故選：D．二．填空題（共8小題）9．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）在△ABC中，若|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，且∠A、∠B為銳角，則∠C的度數(shù)是105°．【分析】根據(jù)絕對值、偶次方的非負性以及特殊銳角三角函數(shù)值可求出∠A，∠B，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠C即可．【解答】解：∵|sinA﹣|+（cosB﹣）2＝0，∴sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，即sinA＝，cosB＝，又∵∠A、∠B為銳角，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故答案為：105°．10．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）計算：tan54°?tan36°＝1．【分析】根據(jù)互余兩角的正切值乘積為1，即可解答．【解答】解：∵54°+36°＝90°，∴tan54°?tan36°＝1，故答案為：1．11．（2017秋?常州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結(jié)論：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正確的結(jié)論有①②③④．【分析】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進行逐項判斷．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sinB，故①正確；sinβ＝sinC，故②正確；∵在Rt△ABC中sinB＝，cosC＝，∴sinB＝cosC，故③正確；∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，∴sinα＝cos∠β，故④正確；故答案為①②③④．12．（2022秋?靖江市校級月考）如果∠α是銳角，且cosα＝，那么sinα的值是．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義以及勾股定理解決此題．【解答】解：如圖，∠B＝90°，∠A＝α．∵，∴AC＝3AB．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴BC＝＝．∴sinα＝．故答案為：．13．（2018秋?靖江市校級期中）已知α，β均為銳角，且滿足|sinα﹣|+（tanβ﹣1）2＝0，則α+β＝75°．【分析】直接利用絕對值的非負性和偶次方的非負性得出sinα﹣＝0，tanβ﹣1＝0，再結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得出答案．【解答】解：∵|sinα﹣|+（tanβ﹣1）2＝0，∴sinα﹣＝0，tanβ﹣1＝0，∴sinα＝，tanβ＝1，∴α＝30°，β＝45°，則α+β＝30°+45°＝75°．故答案為：75°．14．（2021?常州二模）如圖，∠AOB是放置在正方形網(wǎng)格中的一個角，則sin∠AOB的值是．【分析】連接AB，利用勾股定理的逆定理證明△OAB是直角三角形，然后根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解．【解答】解：連接AB，∵AB2＝12+32＝10，OB2＝12+32＝10，OA2＝22+42＝20，∴AB2+OB2＝OA2，∴△OAB是等腰直角三角形，∴sin∠AOB＝＝＝．故答案是：．15．（2022?揚州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為．．【分析】根據(jù)勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∴c2＝a2+b2，∵b2＝ac，∴c2＝a2+ac，等式兩邊同時除以ac得：＝+1，令＝x，則有＝x+1，∴x2+x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝（舍去），當x＝時，x≠0，∴x＝是原分式方程的解，∴sinA＝＝．故答案為：．16．（2020秋?南安市月考）規(guī)定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，sin（x+y）＝sinx?cosy+cosx?siny．據(jù)此判斷下列等式成立的是②③④（填序號）．①cos（﹣60°）＝﹣；②sin2x＝2sinx?cosx；③sin（x﹣y）＝sinx?cosy﹣cosx?siny；④sin90°＝1．【分析】根據(jù)給出的等式，分別對每個結(jié)論進行判斷即可．【解答】解：cos（﹣60°）＝cos60°＝，因此①不正確；sin2x＝sin（x+x）＝sinx?cosx+cosx?sinx＝2sinx?cosx，因此②正確；sin（x﹣y）＝sinx?cos（﹣y）+cosx?sin（﹣y）＝sinx?cosy﹣cosx?siny，因此③正確；sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝×+×＝+＝1，因此④正確；綜上所述，正確的有②③④，故答案為：②③④．三．解答題（共8小題）17．（2022秋?清江浦區(qū)月考）求下列等式中的銳角a：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可解答；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可解答．【解答】解：（1），sin（α﹣10°）＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°；（2），4cos（α+20°）＝2，cos（α+20°）＝，∴α+20°＝45°，∴α＝25°．18．（2022?淮安區(qū)模擬）計算：（1）2cos30°+4sin30°﹣tan60°；（2）3tan30°+tan45°﹣2sin60°．【分析】（1）將各特殊角的三角函數(shù)值代入即可得出答案；（2）將各特殊角的三角函數(shù)值代入即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝2×+4×﹣＝+2﹣＝2；（2）原式＝3×+1﹣2×＝＝1．19．（2022?淮安區(qū)模擬）（1）已知2sin（A+13°）＝1．求銳角A的度數(shù)．（2）已知3tanα﹣＝0．求銳角α的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可解答；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵2sin（A+13°）＝1，∴sin（A+13°）＝，∴A+13°＝30°，∴A＝17°，∴銳角A的度數(shù)為17°；（2）∵3tanα﹣＝0，∴tanα＝，∴α＝30°，∴銳角α的度數(shù)為30°．20．（2021秋?崇川區(qū)校級月考）（1）計算：sin60°?cos230°﹣．（2）在△ABC中，若∠A，∠B滿足|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，求∠C的度數(shù)．【分析】（1）先利用特殊角的三角函數(shù)值得到原式＝×（）2﹣，然后進行二次根式的混合運算；（2）先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)的cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，再利用特殊角的三角函數(shù)值得到∠A和∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算出∠C的度數(shù)．【解答】解：（1）原式＝×（）2﹣＝×﹣＝﹣；（2）∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2＝0，∴cosA﹣＝0，sinB﹣＝0，即cosA＝，sinB＝，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．21．（2021秋?姑蘇區(qū)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊．（1）已知c＝2，b＝，求∠A；（2）已知c＝12，sinA＝，求b．【分析】（1）根據(jù)cosA＝求值，再根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值得出答案；（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出a的值，再根據(jù)勾股定理求出答案即可．【解答】解：（1）∵cosA＝＝＝，∴∠A＝45°；（2）∵sinA＝＝＝，∴a＝6，∴b＝＝6．22．（2016?連云港）如圖，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．（1）求BC的長；（2）利用此圖形求tan15°的值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.2）【分析】（1）過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，由含30°的直角三角形性質(zhì)得AD＝AC＝2，由三角函數(shù)求出CD＝2，在Rt△ABD中，由三角函數(shù)求出BD＝16，即可得出結(jié)果；（2）在BC邊上取一點M，使得CM＝AC，連接AM，求出∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝即可得出結(jié)果．【解答】解：（1）過A作AD⊥BC，交BC的延長線于點D，如圖1所示：在Rt△ADC中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝2，CD＝AC?cos30°＝4×＝2，在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，∴BD＝16，∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；（2）在BC邊上取一點M，使得CM＝AC，連接AM，如圖2所示：∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2﹣≈0.3．23．（2020?江陰市模擬）如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）繞其直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′于點E，連接BE．易知，在旋轉(zhuǎn)過程中，△BDE為直角三角形．設(shè)BC＝1，AD＝x，△BDE的面積為S．（1）當α＝30°時，求x的值．（2）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）以點E為圓心，BE為半徑作⊙E，當S＝S△ABC時，判斷⊙E與A′C的位置關(guān)系，并求相應(yīng)的tanα值．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定，∠A＝∠α＝30°，得出x＝1；（2）由直角三角形的性質(zhì)，AB＝2，AC＝，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得△ADC∽△BCE，根據(jù)比例關(guān)系式，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當S＝時，求得x的值，判斷⊙E和DE的長度大小，確定⊙E與A′C的位置關(guān)系，再求tanα值．【解答】解：（1）∵∠A＝a＝30°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠BCD＝60°．∴AD＝BD＝BC＝1．∴x＝1；（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝∠CBE＝30°．∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC＝A′C，BC＝B′C，∠ACD＝∠BCE，∴△ADC∽△BEC，∴＝，∴BE＝x．∵BD＝2﹣x，∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）（3）∵s＝s△ABC∴﹣+＝，∴4x2﹣8x+3＝0，∴，．①當x＝時，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．∴DE＝＝．∵DE∥A′B′，∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．∴EC＝DE＝＞BE，∴此時⊙E與A′C相離．過D作DF⊥AC于F，則，．∴．∴．（12分）②當時，，．∴，∴，∴此時⊙E與A'C相交．同理可求出．24．（2022?廣陵區(qū)一模）學(xué)習過三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小