專題08一元二次方程(原卷版+解析)

專題08一元二次方程【專題目錄】技巧1：一元二次方程的解法歸類技巧2：根的判別式的六種常見應(yīng)用技巧3：根與系數(shù)的關(guān)系的四種應(yīng)用類型【題型】一、一元二次方程的概念【題型】二、解一元二次方程：直接開平方法【題型】三、解一元二次方程：配方法【題型】四、解一元二次方程：公式法【題型】五、解一元二次方程：因式分解法【考綱要求】1、理解一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的解法．2、會判斷一元二次方程根的情況；了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系并能簡單應(yīng)用．3、會列一元二次方程解決實際問題.【考點總結(jié)】一、一元二次方程一元二次方程方程一元二次方程概念（1）只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，且系數(shù)不為0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數(shù)項，a是二次項的系數(shù)，b是一次項的系數(shù)，注意a≠0.解法（降次）①直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，當b2-4ac≥0時，用直接開平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為因式分解法:將方程右邊化為0，左邊化為兩個一次因式的積，令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程就得到原方程的解根的判別式（1）當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;

（3）當b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.【注意】判斷一個方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個標準：一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數(shù)．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步驟一化：化二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)；二移：移項，使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數(shù)項；3、三配：①配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，方程化為的形式；②方程左邊變形為一次二項式的完全平方式，右邊合并為一個常數(shù)；4、四解：①用直接開平方法解變形后的方程，此時需保證方程右邊是非負數(shù)。②分別解這兩個一元二次方程，求出兩根。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法選擇（1）當b=0時，首選直接開平法（2）當c=0時，首選因式分解法或配方法（3）當a=1,b≠0,c≠0時，首選配方法或因式分解法（4）當a≠1,b≠0,c≠0時，首選公式法或因式分解法一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的兩類應(yīng)用（1）求含有兩根的代數(shù)式的值：設(shè)法將所求代數(shù)式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果（2）構(gòu)造以兩數(shù)為根的一元二次方程：:由已知兩數(shù)x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫出方程【技巧歸納】技巧1：一元二次方程的解法歸類【類型】一、限定方法解一元二次方程題型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接開平方法求解1．方程4x2－25＝0的解為()A．x＝eq\f(2,5)B．x＝eq\f(5,2)C．x＝±eq\f(5,2)D．x＝±eq\f(2,5)2．用直接開平方法解下列一元二次方程，其中無解的方程為()A．x2－5＝5B．－3x2＝0C．x2＋4＝0D．(x＋1)2＝0題型2：當二次項系數(shù)為1，且一次項系數(shù)為偶數(shù)時，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程變?yōu)?)A．(x－2)2＝7B．(x＋2)2＝1C．(x－2)2＝1D．(x＋2)2＝24．解方程：x2＋4x－2＝0.5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求eq\f(x,y)的值．題型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是()A．－1B．0C．1和2D．－1和27．解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝0；(2)16x2－9＝0；(3)4x2＝4x－1.題型4：如果一個一元二次方程易于化為它的一般式，則用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－eq\f(1,4)＝2x，方程的解應(yīng)是()A．x＝eq\f(－2±\r(5),2)B．x＝eq\f(2±\r(5),2)C．x＝eq\f(1±\r(5),2)D．x＝eq\f(1±\r(3),2)9．用公式法解下列方程．(1)3(x2＋1)－7x＝0；(2)4x2－3x－5＝x－2.【類型】二、選擇合適的方法解一元二次方程10．方程4x2－49＝0的解為()A．x＝eq\f(2,7)B．x＝eq\f(7,2)C．x1＝eq\f(7,2)，x2＝－eq\f(7,2)D．x1＝eq\f(2,7)，x2＝－eq\f(2,7)11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是()A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝－4C．x1＝3和x2＝－4D．x1＝3和x2＝412．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是()A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝213．解下列方程．(1)3y2－3y－6＝0；(2)2x2－3x＋1＝0.【類型】三、用特殊方法解一元二次方程題型1：構(gòu)造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.15．若m，n，p滿足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．題型2：換元法a．整體換元16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.17．x2＋eq\f(1,x2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))－1＝0.b．降次換元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒數(shù)換元19．解方程：eq\f(x－2,x)－eq\f(3x,x－2)＝2.題型3：特殊值法20．解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016.技巧2：根的判別式的六種常見應(yīng)用【類型】一、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況1．已知方程x2－2x－m＝0沒有實數(shù)根，其中m是實數(shù)，試判斷方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有無實數(shù)根．2．已知關(guān)于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判別方程根的情況；(2)若方程有一個根為3，求m的值．【類型】二、利用根的判別式求字母的值或取值范圍3．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)證明：不論m為何值，方程總有實數(shù)根；(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．【類型】三、利用根的判別式求代數(shù)式的值4．已知關(guān)于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有兩個相等的實數(shù)根，求eq\f(m－1,（2m－1）2＋2m)的值．【類型】四、利用根的判別式解與函數(shù)綜合問題5．y＝eq\r(k－1)x＋1是關(guān)于x的一次函數(shù)，則一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情況為()A．沒有實數(shù)根B．有一個實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根D．有兩個相等的實數(shù)根【類型】五、利用根的判別式確定三角形的形狀6．已知a，b，c是三角形的三邊長，且關(guān)于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋eq\f(a－c,4)＝0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷此三角形的形狀．【類型】六、利用根的判別式探求菱形條件7．已知?ABCD的兩邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程x2－mx＋eq\f(m,2)－eq\f(1,4)＝0的兩個根．(1)m為何值時，?ABCD是菱形？并求出菱形的邊長．(2)若AB的長為2，求?ABCD的周長是多少？技巧3：根與系數(shù)的關(guān)系的四種應(yīng)用類型【類型】一、利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值1．設(shè)方程4x2－7x－3＝0的兩根為x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)eq\f(x2,x1＋1)＋eq\f(x1,x2＋1)；(3)x1－x2.【類型】二、利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程2．構(gòu)造一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x2＋2x－3＝0各根的負倒數(shù)．【類型】三、利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或取值范圍3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿足5x1＋2x2＝2，求實數(shù)m的值．【類型】四、巧用根與系數(shù)的關(guān)系確定字母系數(shù)的存在性4．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq\f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．【題型講解】【題型】一、一元二次方程的概念例1、若方程是一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．–1【題型】二、解一元二次方程：直接開平方法例2、解下列方程：（1）；（2）．【題型】三、解一元二次方程：配方法例3、用配方法解方程．（1）；（2）．【題型】四、解一元二次方程：公式法例4、解方程【題型】五、解一元二次方程：因式分解法例5、用因式分解法解下列方程：（1）；（2）．一元二次方程（達標訓(xùn)練）一、單選題1．（2022·四川瀘州·一模）方程x2﹣6x＝0的解是（）A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝02．（2022·福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測）一元二次方程在用求根公式求解時，a，b，c的值是（

）A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―13．（2022·浙江溫州·一模）用配方法解方程時，配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．4．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學(xué)校模擬預(yù)測）方程的兩個根為（

）A．＝﹣3，＝3 B．＝﹣9，＝9 C．＝﹣1，＝9 D．＝﹣9，＝15．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學(xué)校模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程a﹣5ax+4＝0，有一個根為1．則a的值為（

）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能確定二、填空題6．（2022·江蘇·南京市花園中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個根，，則_____．7．（2022·廣東·樂昌市新時代學(xué)校二模）比亞迪汽車銷售公司3月份銷售新上市一種新能源汽車8輛，由于該型汽車既環(huán)保，又經(jīng)濟，銷量快速上升，5月份該公司銷售該型汽車達18輛．設(shè)該公司銷售該型汽車4月份和5月份的平均增長率為x，可列方程為：_________．三、解答題8．（2022·四川南充·一模）已知關(guān)于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求證：無論m取何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)設(shè)非0實數(shù)m，n是方程的兩根，試求m﹣n的值．一元二次方程（提升測評）一、單選題1．（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學(xué)校三模）關(guān)于的一元二次方程兩個相等的實數(shù)根，則關(guān)于的一元二次方程的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判定2．（2022·云南·昆明八中模擬預(yù)測）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是（

）A． B． C． D．3．（2022·貴州·仁懷市教育研究室三模）若和是關(guān)于x的方程的兩根，且，則b的值是（

）A．－3 B．3 C．－5 D．54．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學(xué)校模擬預(yù)測）關(guān)于x的方程有兩個解，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k5．（2022·重慶巴蜀中學(xué)一模）對于二次三項式（m為常數(shù)），下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①當時，若，則②無論x取任何實數(shù)，等式都恒成立，則③若，，則④滿足的整數(shù)解共有8個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題6．（2022·遼寧本溪·二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是_______．7．（2022·廣東番禺中學(xué)三模）已知x2＝2x+15，則代數(shù)式=__________．三、解答題8．（2022·廣東順德德勝學(xué)校三模）我們把一個函數(shù)圖象上橫坐標與縱坐標相等的點稱為這個函數(shù)的不動點．(1)請直接寫出函數(shù)的不動點的坐標；(2)若函數(shù)有兩個關(guān)于原點對稱的不動點，，求的值；(3)已知函數(shù)，若對任意實數(shù)，函數(shù)恒有兩個相異的不動點，請直接寫出的取值范圍．專題08一元二次方程【專題目錄】技巧1：一元二次方程的解法歸類技巧2：根的判別式的六種常見應(yīng)用技巧3：根與系數(shù)的關(guān)系的四種應(yīng)用類型【題型】一、一元二次方程的概念【題型】二、解一元二次方程：直接開平方法【題型】三、解一元二次方程：配方法【題型】四、解一元二次方程：公式法【題型】五、解一元二次方程：因式分解法【考綱要求】1、理解一元二次方程的概念，熟練掌握一元二次方程的解法．2、會判斷一元二次方程根的情況；了解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系并能簡單應(yīng)用．3、會列一元二次方程解決實際問題.【考點總結(jié)】一、一元二次方程一元二次方程方程一元二次方程概念（1）只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，且系數(shù)不為0的整式方程，叫做一元二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次項，bx叫做一次項，c叫做常數(shù)項，a是二次項的系數(shù)，b是一次項的系數(shù)，注意a≠0.解法（降次）①直接開平方法:(x+m)2=n(n≥0)的根是配方法:將ax2+bx+c=0(a≠0)化成的形式，當b2-4ac≥0時，用直接開平方法求解公式法:ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為因式分解法:將方程右邊化為0，左邊化為兩個一次因式的積，令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程就得到原方程的解根的判別式（1）當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;

（2）當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;

（3）當b2-4ac<0時,方程無實數(shù)根.【注意】判斷一個方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個標準：一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數(shù)．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步驟一化：化二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)；二移：移項，使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數(shù)項；3、三配：①配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，方程化為的形式；②方程左邊變形為一次二項式的完全平方式，右邊合并為一個常數(shù)；4、四解：①用直接開平方法解變形后的方程，此時需保證方程右邊是非負數(shù)。②分別解這兩個一元二次方程，求出兩根。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）)的解法選擇（1）當b=0時，首選直接開平法（2）當c=0時，首選因式分解法或配方法（3）當a=1,b≠0,c≠0時，首選配方法或因式分解法（4）當a≠1,b≠0,c≠0時，首選公式法或因式分解法一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的兩類應(yīng)用（1）求含有兩根的代數(shù)式的值：設(shè)法將所求代數(shù)式通過因式分解或配方等恒等變形，變形為含有兩根和與兩根積的式子，再代入由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到的值，求出結(jié)果（2）構(gòu)造以兩數(shù)為根的一元二次方程：:由已知兩數(shù)x1+x2和x1x2的值，然后依照所求方程是x2（x1+x2）x+x1x2=0寫出方程【技巧歸納】技巧1：一元二次方程的解法歸類【類型】一、限定方法解一元二次方程題型1：形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接開平方法求解1．方程4x2－25＝0的解為()A．x＝eq\f(2,5)B．x＝eq\f(5,2)C．x＝±eq\f(5,2)D．x＝±eq\f(2,5)2．用直接開平方法解下列一元二次方程，其中無解的方程為()A．x2－5＝5B．－3x2＝0C．x2＋4＝0D．(x＋1)2＝0題型2：當二次項系數(shù)為1，且一次項系數(shù)為偶數(shù)時，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程變?yōu)?)A．(x－2)2＝7B．(x＋2)2＝1C．(x－2)2＝1D．(x＋2)2＝24．解方程：x2＋4x－2＝0.5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求eq\f(x,y)的值．題型3：能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是()A．－1B．0C．1和2D．－1和27．解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝0；(2)16x2－9＝0；(3)4x2＝4x－1.題型4：如果一個一元二次方程易于化為它的一般式，則用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－eq\f(1,4)＝2x，方程的解應(yīng)是()A．x＝eq\f(－2±\r(5),2)B．x＝eq\f(2±\r(5),2)C．x＝eq\f(1±\r(5),2)D．x＝eq\f(1±\r(3),2)9．用公式法解下列方程．(1)3(x2＋1)－7x＝0；(2)4x2－3x－5＝x－2.【類型】二、選擇合適的方法解一元二次方程10．方程4x2－49＝0的解為()A．x＝eq\f(2,7)B．x＝eq\f(7,2)C．x1＝eq\f(7,2)，x2＝－eq\f(7,2)D．x1＝eq\f(2,7)，x2＝－eq\f(2,7)11．一元二次方程x2－9＝3－x的根是()A．x1＝x2＝3B．x1＝x2＝－4C．x1＝3和x2＝－4D．x1＝3和x2＝412．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是()A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝4，x2＝－2C．x1＝－1，x2＝3D．x1＝－4，x2＝213．解下列方程．(1)3y2－3y－6＝0；(2)2x2－3x＋1＝0.【類型】三、用特殊方法解一元二次方程題型1：構(gòu)造法14．解方程：6x2＋19x＋10＝0.15．若m，n，p滿足m－n＝8，mn＋p2＋16＝0，求m＋n＋p的值．題型2：換元法a．整體換元16．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.17．x2＋eq\f(1,x2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))－1＝0.b．降次換元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒數(shù)換元19．解方程：eq\f(x－2,x)－eq\f(3x,x－2)＝2.題型3：特殊值法20．解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016.參考答案1．C2.C3.C4．解：x2＋4x－2＝0，x2＋4x＝2，(x＋2)2＝6，x＋2＝±eq\r(6)，∴x1＝－2＋eq\r(6)，x2＝－2－eq\r(6).5．解：x2－10x＋y2－16y＋89＝0，(x2－10x＋25)＋(y2－16y＋64)＝0，(x－5)2＋(y－8)2＝0，∴x＝5，y＝8.∴eq\f(x,y)＝eq\f(5,8).6．D7．解：(1)x2－2x＝0，x(x－2)＝0，∴x1＝0，x2＝2.(2)16x2－9＝0，(4x＋3)(4x－3)＝0，∴x1＝－eq\f(3,4)，x2＝eq\f(3,4).(3)4x2＝4x－1，4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝0，∴x1＝x2＝eq\f(1,2).8．B9．解：(1)3(x2＋1)－7x＝0，3x2－7x＋3＝0，∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×3＝13.∴x＝eq\f(7±\r(13),2×3)＝eq\f(7±\r(13),6).∴x1＝eq\f(7＋\r(13),6)，x2＝eq\f(7－\r(13),6).(2)4x2－3x－5＝x－2，4x2－4x－3＝0，∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×(－3)＝64.∴x＝eq\f(4±\r(64),2×4)＝eq\f(1±2,2).∴x1＝eq\f(3,2)，x2＝－eq\f(1,2).10．C11.C12.B13．解：(1)3y2－3y－6＝0，y2－y－2＝0，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)，y－eq\f(1,2)＝±eq\f(3,2)，∴y1＝2，y2＝－1.(2)2x2－3x＋1＝0，∵b2－4ac＝(－3)2－4×2×1＝1，∴x＝eq\f(3±\r(1),2×2)＝eq\f(3±1,4)，即x1＝1，x2＝eq\f(1,2).14．解：將原方程兩邊同乘6，得(6x)2＋19×(6x)＋60＝0.解得6x＝－15或6x＝－4.∴x1＝－eq\f(5,2)，x2＝－eq\f(2,3).15．解：因為m－n＝8，所以m＝n＋8.將m＝n＋8代入mn＋p2＋16＝0中，得n(n＋8)＋p2＋16＝0，所以n2＋8n＋16＋p2＝0，即(n＋4)2＋p2＝0.又因為(n＋4)2≥0，p2≥0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋4＝0，,p＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝－4，,p＝0.))所以m＝n＋8＝4.所以m＋n＋p＝4＋(－4)＋0＝0.16．解：原方程可變?yōu)閇(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.設(shè)y＝x2－5x＋5，則原方程變?yōu)?y－1)(y＋1)＝48.解得y1＝7，y2＝－7.當x2－5x＋5＝7時，解得x1＝eq\f(5＋\r(33),2)，x2＝eq\f(5－\r(33),2)；當x2－5x＋5＝－7時，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程無實數(shù)根．∴原方程的根為x1＝eq\f(5＋\r(33),2)，x2＝eq\f(5－\r(33),2).17．解：x2＋eq\f(1,x2)－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))－1＝0，設(shè)x＋eq\f(1,x)＝y(tǒng)，則原方程為y2－2y－3＝0.∴y1＝3，y2＝－1.當y＝3時，x＋eq\f(1,x)＝3，∴x1＝eq\f(3＋\r(5),2)，x2＝eq\f(3－\r(5),2).當y＝－1時，x＋eq\f(1,x)＝－1，無實數(shù)解．經(jīng)檢驗，x1＝eq\f(3＋\r(5),2)，x2＝eq\f(3－\r(5),2)都是原方程的根，∴原方程的根為x1＝eq\f(3＋\r(5),2)，x2＝eq\f(3－\r(5),2).18．解：經(jīng)驗證x＝0不是方程的根，原方程兩邊同除以x2，得6x2－35x＋62－eq\f(35,x)＋eq\f(6,x2)＝0，即6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))－35eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＋62＝0.設(shè)y＝x＋eq\f(1,x)，則x2＋eq\f(1,x2)＝y(tǒng)2－2，原方程可變?yōu)?(y2－2)－35y＋62＝0.解得y1＝eq\f(5,2)，y2＝eq\f(10,3).當x＋eq\f(1,x)＝eq\f(5,2)時，解得x1＝2，x2＝eq\f(1,2)；當x＋eq\f(1,x)＝eq\f(10,3)時，解得x3＝3，x4＝eq\f(1,3).經(jīng)檢驗，均符合題意．∴原方程的解為x1＝2，x2＝eq\f(1,2)，x3＝3，x4＝eq\f(1,3).19．解：設(shè)eq\f(x－2,x)＝y(tǒng)，則原方程化為y－eq\f(3,y)＝2，整理得y2－2y－3＝0，∴y1＝3，y2＝－1.當y＝3時，eq\f(x－2,x)＝3，∴x＝－1；當y＝－1時，eq\f(x－2,x)＝－1，∴x＝1.經(jīng)檢驗，x＝±1都是原方程的根，∴原方程的根為x1＝1，x2＝－1.20．解：方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2013＝2016，,x－2014＝2015))的解一定是原方程的解，解得x＝4029.方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2013＝－2015，,x－2014＝－2016))的解也一定是原方程的解，解得x＝－2.∵原方程最多有兩個實數(shù)解，∴原方程的解為x1＝4029，x2＝－2.點撥：解本題也可采用換元法．設(shè)x－2014＝t，則x－2013＝t＋1，原方程可化為t(t＋1)＝2015×2016，先求出t的值，進而求出x的值．技巧2：根的判別式的六種常見應(yīng)用【類型】一、利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況1．已知方程x2－2x－m＝0沒有實數(shù)根，其中m是實數(shù)，試判斷方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有無實數(shù)根．2．已知關(guān)于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判別方程根的情況；(2)若方程有一個根為3，求m的值．【類型】二、利用根的判別式求字母的值或取值范圍3．已知關(guān)于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)證明：不論m為何值，方程總有實數(shù)根；(2)m為何整數(shù)時，方程有兩個不相等的正整數(shù)根．【類型】三、利用根的判別式求代數(shù)式的值4．已知關(guān)于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有兩個相等的實數(shù)根，求eq\f(m－1,（2m－1）2＋2m)的值．【類型】四、利用根的判別式解與函數(shù)綜合問題5．y＝eq\r(k－1)x＋1是關(guān)于x的一次函數(shù)，則一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情況為()A．沒有實數(shù)根B．有一個實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根D．有兩個相等的實數(shù)根【類型】五、利用根的判別式確定三角形的形狀6．已知a，b，c是三角形的三邊長，且關(guān)于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋eq\f(a－c,4)＝0有兩個相等的實數(shù)根，試判斷此三角形的形狀．【類型】六、利用根的判別式探求菱形條件7．已知?ABCD的兩邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程x2－mx＋eq\f(m,2)－eq\f(1,4)＝0的兩個根．(1)m為何值時，?ABCD是菱形？并求出菱形的邊長．(2)若AB的長為2，求?ABCD的周長是多少？參考答案1．解：∵x2－2x－m＝0沒有實數(shù)根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.對于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4，∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有兩個不相等的實數(shù)根．2．解：(1)Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4m2－4m2＋4＝4＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．(2)將x＝3代入方程中，得9＋2m×3＋m2－1＝0，即m2＋6m＋9＝1，∴(m＋3)2＝1.∴m＋3＝±1.∴m1＝－2，m2＝－4.3．(1)證明：Δ＝[－(m＋2)]2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2.∵不論m為何值，(m－2)2≥0，即Δ≥0.∴不論m為何值，方程總有實數(shù)根．(2)解：解關(guān)于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，得x＝eq\f(m＋2±\r(Δ),2m)＝eq\f(m＋2±（m－2）,2m).∴x1＝eq\f(2,m)，x2＝1.∵方程的兩個根都是正整數(shù)，∴eq\f(2,m)是正整數(shù)，∴m＝1或m＝2.又∵方程的兩個根不相等，∴m≠2，∴m＝1.4．解：∵關(guān)于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0，即2m－1＝±4.∴m＝eq\f(5,2)或m＝－eq\f(3,2).當m＝eq\f(5,2)時，eq\f(m－1,（2m－1）2＋2m)＝eq\f(\f(5,2)－1,16＋5)＝eq\f(1,14)；當m＝－eq\f(3,2)時，eq\f(m－1,（2m－1）2＋2m)＝eq\f(－\f(3,2)－1,16－3)＝－eq\f(5,26).5．A點撥：∵y＝eq\r(k－1)x＋1是關(guān)于x的一次函數(shù)，∴eq\r(k－1)≠0.∴k－1>0，解得k>1.又一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判別式Δ＝4－4k，∴Δ<0.∴一元二次方程kx2＋2x＋1＝0無實數(shù)根，故選A.6．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋eq\f(a－c,4)＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·eq\f(a－c,4)＝b2－(a2－c2)＝0.即b2＋c2＝a2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵?ABCD是菱形，∴AB＝AD.∴Δ＝0，即m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－\f(1,4)))＝m2－2m＋1＝0，∴m＝1.此時原方程為x2－x＋eq\f(1,4)＝0，∴x1＝x2＝eq\f(1,2)，∴當m＝1時，?ABCD是菱形，菱形ABCD的邊長為eq\f(1,2).(2)∵AB＝2，∴將x＝2代入原方程得4－2m＋eq\f(m,2)－eq\f(1,4)＝0，解得m＝eq\f(5,2)，故原方程為x2－eq\f(5,2)x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝eq\f(1,2)，∴AD＝eq\f(1,2).故?ABCD的周長為2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(1,2)))＝5.技巧3：根與系數(shù)的關(guān)系的四種應(yīng)用類型【類型】一、利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值1．設(shè)方程4x2－7x－3＝0的兩根為x1，x2，不解方程求下列各式的值．(1)(x1－3)(x2－3)；(2)eq\f(x2,x1＋1)＋eq\f(x1,x2＋1)；(3)x1－x2.【類型】二、利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程2．構(gòu)造一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程5x2＋2x－3＝0各根的負倒數(shù)．【類型】三、利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值或取值范圍3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.(1)若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若方程兩實數(shù)根分別為x1，x2，且滿足5x1＋2x2＝2，求實數(shù)m的值．【類型】四、巧用根與系數(shù)的關(guān)系確定字母系數(shù)的存在性4．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq\f(3,2)成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．參考答案1．解：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有x1＋x2＝eq\f(7,4)，x1x2＝－eq\f(3,4).(1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－eq\f(3,4)－3×eq\f(7,4)＋9＝3.(2)eq\f(x2,x1＋1)＋eq\f(x1,x2＋1)＝eq\f(x2（x2＋1）＋x1（x1＋1）,（x1＋1）（x2＋1）)＝eq\f(x12＋x22＋x1＋x2,x1x2＋x1＋x2＋1)＝eq\f(（x1＋x2）2－2x1x2＋（x1＋x2）,x1x2＋（x1＋x2）＋1)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)))\s\up12(2)－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋\f(7,4),－\f(3,4)＋\f(7,4)＋1)＝eq\f(101,32).(3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)))eq\s\up12(2)－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝eq\f(97,16)，∴x1－x2＝±eq\r(\f(97,16))＝±eq\f(1,4)eq\r(97).2．解：設(shè)方程5x2＋2x－3＝0的兩根為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(2,5)，x1x2＝－eq\f(3,5).設(shè)所求方程為y2＋py＋q＝0，其兩根為y1，y2，令y1＝－eq\f(1,x1)，y2＝－eq\f(1,x2).∴p＝－(y1＋y2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(2,3)，q＝y(tǒng)1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x1)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)))＝eq\f(1,x1x2)＝－eq\f(5,3).∴所求的方程為y2＋eq\f(2,3)y－eq\f(5,3)＝0，即3y2＋2y－5＝0.3．解：(1)∵方程x2－4x＋m＝0有實數(shù)根，∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0，∴m≤4.(2)∵方程x2－4x＋m＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，∴x1＋x2＝4，①又∵5x1＋2x2＝2，②聯(lián)立①②解方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－2，,x2＝6.))∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12.4．解：不存在．理由如下：∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有兩個實數(shù)根，∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k≥0，∴k＜0.∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個實數(shù)根，∴x1＋x2＝1，x1x2＝eq\f(k＋1,4k).∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－eq\f(k＋9,4k).又∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq\f(3,2)，∴－eq\f(k＋9,4k)＝－eq\f(3,2).∴k＝eq\f(9,5).經(jīng)檢驗，k＝eq\f(9,5)是該分式方程的根．又∵k<0，∴不存在實數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－eq\f(3,2)成立．【題型講解】【題型】一、一元二次方程的概念例1、若方程是一元二次方程，則m的值為（）A．0 B．±1 C．1 D．–1【答案】D【詳解】因為方程是一元二次方程,所以,,解得且所以,故選D.【題型】二、解一元二次方程：直接開平方法例2、解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；

（2）利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：（1）方程變形得

，

開平方，得

，

∴；（2）由原方程，得，開平方，得，∴．【點睛】考查了直接開平方法解一元二次方程．解這類問題要移項，把所含未知數(shù)的項移到等號的左邊，把常數(shù)項移項等號的右邊，化成x2=a（a≥0）的形式，利用數(shù)的開方直接求解．【題型】三、解一元二次方程：配方法例3、用配方法解方程．（1）；（2）．【答案】（1），；（2），【分析】（1）直接利用配方法進行求解；（2）直接利用配方法進行求解．【詳解】解：(1)方程變形為x2-4x=2．兩邊都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解這個方程，得，或．于是，原方程的根為，或．(2)將常數(shù)項移到方程右邊x2+6x=-8．兩邊都加“一次項系數(shù)一半的平方”，得x2+6x+32=-8+32，∴(x+3)2=1．用直接開平方法，得x+3=±1，∴x=-2或x=-4．【點睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握配方法的基本步驟．【題型】四、解一元二次方程：公式法例4、解方程【答案】，．【分析】先求出，，，根據(jù)一元二次方程判別式，可得到方程有兩個不相等的實數(shù)根，然后代入求根公式即可解答【詳解】解：∵，，，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．∴∴，．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解法——公式法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求根公式，即．【題型】五、解一元二次方程：因式分解法例5、用因式分解法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）移項后利用完全平方公式得到，然后利用直接開方法解方程；（2）先變形得到，然后利用因式分解方法解方程．【詳解】解：（1）移項，合并同類項，得，因式分解，得，所以，原方程的根為；（2）移項，得，即，提公因式，得，于是，得或，所以，原方程的根為．【點睛】本題考查了解一元二次方程?因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．一元二次方程（達標訓(xùn)練）一、單選題1．（2022·四川瀘州·一模）方程x2﹣6x＝0的解是（）A．x＝6 B．x＝0 C．x1＝6，x2＝0 D．x1＝﹣6，x2＝0【答案】C【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：因式分解得：x（x﹣6）＝0，則x﹣6＝0或x＝0，所以x1＝6，x2＝0，故選：C．【點睛】本題考查了解一元二次方程，能夠根據(jù)方程特點靈活選用不同的解法是解題關(guān)鍵．2．（2022·福建省福州第十九中學(xué)模擬預(yù)測）一元二次方程在用求根公式求解時，a，b，c的值是（

）A．3，―1，―2 B．―2，―1，3 C．―2，3，1 D．―2，3，―1【答案】D【分析】先按照未知數(shù)x的降冪排列，據(jù)此可得答案．【詳解】∵，∴，則a=-2，b=3，c=-1,故選：D．【點睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江溫州·一模）用配方法解方程時，配方結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把常數(shù)項移到等式右邊后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：只有選項C符合題意；故選C．【點睛】此題考查了一元二次方程的配方法，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．4．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學(xué)校模擬預(yù)測）方程的兩個根為（

）A．＝﹣3，＝3 B．＝﹣9，＝9 C．＝﹣1，＝9 D．＝﹣9，＝1【答案】A【分析】先將9移到方程右邊，再開平方解方程即可．【詳解】解：，x＝±3，所以＝3，＝﹣3．故選：A．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學(xué)校模擬預(yù)測）關(guān)于x的一元二次方程a﹣5ax+4＝0，有一個根為1．則a的值為（

）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．不能確定【答案】A【分析】根據(jù)方程的解代入方程滿足等式關(guān)系，將方程的根代入一元二次方程計算求值即可；【詳解】解：將x＝1代入到方程可得：a﹣5a+4＝0，-4a=-4，∴a＝1，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，等式的性質(zhì)，掌握方程的解的意義是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·江蘇·南京市花園中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個根，，則_____．【答案】【分析】運用根與系數(shù)關(guān)系定理，具體化求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的兩個根，，∴＝k，＝k﹣2，∴＝1﹣2＝﹣1．故答案為﹣1．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握定理并靈活運用是解題的關(guān)鍵．7．（2022·廣東·樂昌市新時代學(xué)校二模）比亞迪汽車銷售公司3月份銷售新上市一種新能源汽車8輛，由于該型汽車既環(huán)保，又經(jīng)濟，銷量快速上升，5月份該公司銷售該型汽車達18輛．設(shè)該公司銷售該型汽車4月份和5月份的平均增長率為x，可列方程為：_________．【答案】【分析】汽車銷售公司3月份銷售新上市一種新能源汽車8輛，設(shè)該公司銷售該型汽車4月份和5月份的平均增長率為x，則4月份的銷售額是8（1+x），5月份的銷售額是，據(jù)此即可列出方程．【詳解】解：根據(jù)題意可列方程：，故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)量平均變化率問題，解題的關(guān)鍵是正確列出一元二次方程．增長用“+”，下降用“-”．三、解答題8．（2022·四川南充·一模）已知關(guān)于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求證：無論m取何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)設(shè)非0實數(shù)m，n是方程的兩根，試求m﹣n的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根的判別式為，將系數(shù)代入即可證得．（2）把代入方程可求得，由根與系數(shù)的關(guān)系可求得n值，即可求解．(1)證明：

．

無論m取何實數(shù)時，總有．

∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．(2)把代入方程，得．

即．

∵，∴．

由根與系數(shù)的關(guān)系，．

∴．∴．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握上述知識點是解答本題的關(guān)鍵．一元二次方程（提升測評）一、單選題1．（2022·廣東·深圳市寶安第一外國語學(xué)校三模）關(guān)于的一元二次方程兩個相等的實數(shù)根，則關(guān)于的一元二次方程的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判定【答案】C【分析】根據(jù)兩個相等的實數(shù)根，計算出k的值，再根據(jù)k的取值范圍計算出方程的根的判別式，即可進行解答．【詳解】解：∵方程兩個相等的實數(shù)根，∴，解得：k=5，一元二次方程中，a=1，b=-4，c=k，∴，∵k=5，∴=-4<0，∴無實數(shù)根．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容的