期中真題必刷壓軸60題（14個(gè)考點(diǎn)專練）

期中真題必刷壓軸60題（14個(gè)考點(diǎn)專練）一．三角形內(nèi)角和定理（共10小題）1．（2022秋?青山湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，OE⊥BC于點(diǎn)E（1）若∠BAC＝90°①求∠BOC的度數(shù)②如果∠DOE＝15°，求∠EOC的度數(shù)（2）設(shè)∠OBC＝α，∠OCB＝β，求∠DOE（用α、β表示）【分析】（1）①由三角形的內(nèi)角和得到∠ABC+∠ACB＝90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACB，于是得到∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，即可得到結(jié)論；②由O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，得到∠ABO＝∠ABC，∠BAO＝∠BAC，∠OCB＝∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB，推出∠BOD＝∠BAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的性質(zhì)得到∠EOC＝90°﹣∠ACB，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件得到DOE＝（∠ACB﹣∠ABC），再根據(jù)角平分線的定義代入即可求解．【解答】解：（1）①∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCD＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°；②∵O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∴∠ABO＝∠ABC，∠BAO＝∠BAC，∠OCB＝∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB，∴∠BOD＝∠BAO+∠ABO＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，∵∠OEC＝90°，∠OCB＝∠ACB，∴∠EOC＝90°﹣∠ACB，∴∠BOD＝∠EOC＝（135°﹣15°）＝60°；（2）∠DOE＝（∠ACB﹣∠ABC）＝β﹣α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?碭山縣校級(jí)期中）如圖，D，E分別是銳角△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，P是與△ABC在同一平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且與點(diǎn)D，點(diǎn)E不在同一直線上，令∠CDP＝∠1，∠BEP＝∠2．（1）如圖1，當(dāng)P是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)時(shí)，已知∠C＝60°，∠1＝110°，∠2＝65°，求∠DPE的度數(shù)．（2）當(dāng)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，直接寫出∠1，∠2，∠C和∠DPE之間的數(shù)量關(guān)系．（3）如圖2，當(dāng)P是AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，探索∠1，∠2，∠C和∠DPE之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【分析】（1）利用四邊形的內(nèi)角和求∠DPE即可；（2）分兩種情況討論：當(dāng)P點(diǎn)在DE的下方時(shí)，同（1）的方法即可；當(dāng)P點(diǎn)在DE的下方時(shí)，利用四邊形CDPE的內(nèi)角和求解，注意∠DPE是大于180°的角，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（3）利用三角形的外角和三角形的內(nèi)角定理求解即可．【解答】解：（1）∵∠2＝65°，∴∠CEP＝180°﹣∠2＝115°，∴∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣60°﹣110°﹣115°＝75°；（2）∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2或∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P位于DE下方時(shí)，∠DPE＝360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CEP＝360°﹣∠C﹣∠1﹣（180°﹣∠2），∴∠1+∠C+∠DPE＝180°+∠2；當(dāng)點(diǎn)P位于DE上方時(shí)，∠DPE＝360°﹣（360°﹣∠C﹣∠1﹣∠CPE）＝∠C+∠1+（180°﹣∠2）＝∠C+∠1+180°﹣∠2，∴∠DPE+∠2＝∠1+∠C+180°；（3）∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°，理由如下：設(shè)DP與BC交于點(diǎn)Q，∴∠CQD＝∠2+∠DPE，∵∠1+∠C+∠CQD＝180°，∴∠1+∠C+∠2+∠DPE＝180°，∴∠1+∠2+∠C+∠DPE＝180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是四邊形的內(nèi)角和定理和三角形的外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，靈活運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵，在畫圖時(shí)，要全面考慮問題，不要只畫出一種．3．（2022秋?余慶縣期中）已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度數(shù)．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC+∠B+∠C＝180°，而∠B＝30°，∠C＝50°，可求得∠BAC＝100°，根據(jù)△ABC的角平分線的定義得到∠EAC＝∠BAC＝50°，而AD為高線，則∠ADC＝90°，而∠C＝50°，于是∠DAC＝40°，然后利用∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC計(jì)算即可．【解答】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，而∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵AE是△ABC的角平分線，∴∠EAC＝∠BAC＝50°又∵AD為高線，∴∠ADC＝90°，而∠C＝50°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝50°﹣40°＝10°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了角平分線的定義．4．（2022秋?荔城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線．a(chǎn)、當(dāng)∠A＝50°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．b、當(dāng)∠A＝n°時(shí)，求∠BPC的度數(shù)．【分析】延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D．在△ABC中，根據(jù)角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理，先求得∠ABD+∠ACE的值，從而求得∠CBD+∠ECB的值；然后在△BPC中利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BPC度數(shù)．【解答】解：a：延長(zhǎng)CP交AB于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)D．∵BP、CP分別是△ABC的角平分線∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠ECB；∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠CBD+2∠ECB＝180°；∵∠A＝50°，∴∠CBD+∠ECB＝65°；在△BPC中，又∵∠BPC+∠CBP+∠PCB＝180°，∴∠BPC＝115°．b：同理∵∠A＝n°，∴∠CBD+∠ECB＝°；在△BPC中，又∵∠BPC+∠CBP+∠PCB＝180°，∴∠BPC＝（180﹣）°＝（90+）°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的三邊關(guān)系、內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，解答本題時(shí)要靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)．5．（2022秋?蚌埠期中）如圖，在△ABC中，內(nèi)角平分線BP和外角平分線CP相交于點(diǎn)P，根據(jù)下列條件求∠P的度數(shù)．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，則∠P＝25°，若∠ABC+∠ACB＝110°，則∠P＝35°；（2）若∠BAC＝90°，則∠P＝45°；（3）從以上的計(jì)算中，你能發(fā)現(xiàn)∠P與∠BAC的關(guān)系是∠P＝∠A；（4）證明第（3）題中你所猜想的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)互為鄰補(bǔ)角的和等于180°求出∠ACD的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC、∠PCD，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可求出∠P的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠PCD，整理即可得解；（2）根據(jù)（1）的思路可以求出∠P＝∠BAC；（3）根據(jù)計(jì)算得出關(guān)系式即可；（4）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出∠ACD與∠PCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，然后整理即可得證．【解答】（1）解：∵∠ACB＝80°，∴∠ACD＝180°﹣80°＝100°，∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，∴∠PBC＝∠ABC＝×50°＝25°，∠PCD＝∠ACD＝×100°＝50°，在△PCD中，∠PBC+∠P＝∠PCD，即25°+∠P＝50°，解得∠P＝25°；∵∠ABC+∠ACB＝110°，∴∠A＝180°﹣110°＝70°，∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠A+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠A＝2∠P，∠P＝∠A＝×70°＝35°；（2）解：∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠BAC＝2∠P，∠P＝∠BAC，∵∠BAC＝90°，∴∠P＝45°；（3）由計(jì)算可知，∠P＝∠A；（4）證明：∵BP、CP分別為∠ABC、∠ACD的平分線，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠PBC+∠P）＝2∠PBC+2∠P，∴∠BAC＝2∠P，∠P＝∠BAC．故答案為：（1）25°，35°；（2）45°；（3）∠P＝∠A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，規(guī)律性較強(qiáng)，但難度不大，用兩種方法表示出∠PCD是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋?源匯區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠A＝40°∠B＝76°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于點(diǎn)D，DF⊥CE于點(diǎn)F，求∠CDF的度數(shù)．【分析】首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)CE平分∠ACB求得∠ACE的度數(shù)，則根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)就可求得∠CED＝∠A+∠ACE，再結(jié)合CD⊥AB，DF⊥CE就可求解．【解答】解：∵∠A＝40°，∠B＝76°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣76°＝64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE＝32°，∴∠CED＝∠A+∠ACE＝72°，∴∠CDE＝90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD＝∠ECD+∠CED＝90°，∴∠CDF＝72°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)以及角平分線定義和垂直定義，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．7．（2022秋?陽(yáng)東區(qū)期中）直線MN與直線PQ垂直相交于點(diǎn)O，點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)B在射線OM上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)B不與點(diǎn)O重合）．（1）如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，①當(dāng)∠ABO＝60°時(shí)，求∠AEB的度數(shù)；②點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明變化的情況：若不發(fā)生變化，試求出∠AEB的大??；（2）如圖2，延長(zhǎng)BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，在△AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，請(qǐng)直接寫出∠ABO的度數(shù)．【分析】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角分線定義即可求得∠AEB的度數(shù)；②與①同理，只是把具體度數(shù)轉(zhuǎn)化為角表示出來(lái)即可得結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，利用角的和差計(jì)算即可求得結(jié)果．【解答】解：（1）如圖1，①∵M(jìn)N⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∵AE、BE分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，∴∠ABE＝∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°，∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°．答：∠AEB的度數(shù)是135°．②∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化．理由如下：同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°．答：∠AEB的大小不會(huì)發(fā)生變化，∠AEB的度數(shù)是135°．（2）∠ABO的度數(shù)為60°或45°．理由如下：如圖2，∵∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線所在的直線分別相交于E、F，∴∠OAE+∠OAF＝（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°，又∠BOQ＝90°，∴由題意：①∠E＝∠EAF＝30°，或②∠E＝∠F．①∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝15°，∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）∴∠ABO＝60°．②∠E＝∠F，∵∠E+∠F＝90°，∴∠E＝22.5°，∠EOQ＝45°，∴∠OAE＝22.5°，∴∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°．故答案為60°或45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理及外角的性質(zhì)、角分線定義，解決本題的關(guān)鍵是綜合三角形內(nèi)角和及外角的關(guān)系列式計(jì)算．8．（2022秋?三臺(tái)縣期中）如圖，∠MBC和∠NCB是△ABC的外角，點(diǎn)O是∠MBC和∠NCB的平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)O叫做△ABC的旁心．（1）已知∠A＝100°，那么∠BOC＝40度．（2）猜想∠BOC與∠A有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．【分析】（1）根據(jù)BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，即可得到∠OBC＝∠MBC，∠OCB＝∠NCB，利用三角形外角性質(zhì)，即可得出∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），再根據(jù)∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB進(jìn)行計(jì)算即可．（2）利用（1）中的方法，即可得到∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，∴∠OBC＝∠MBC，∠OCB＝∠NCB，∵∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣×100°＝40°，故答案為：40；（2）猜想：∠BOC＝90°﹣∠A．證明：∵BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，∴∠OBC＝∠MBC，∠OCB＝∠NCB，∵∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用．解題時(shí)注意：三角形內(nèi)角和是180°．9．（2022秋?東莞市校級(jí)期中）如圖，AF是△ABC的高，AD是△ABC的角平分線，∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度數(shù)．【分析】在△ADF中，由三角形的外角性質(zhì)知：∠ADF＝∠B+∠BAC，所以∠B+∠BAC+∠FAD＝90°，聯(lián)立△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得到的式子，即可推出∠DAF，∠B，∠C的關(guān)系，再代值求解即可．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)知：∠ADF＝∠B+∠BAC，故∠B+∠BAC+∠DAF＝90°；①在△ABC中，由三角形內(nèi)角和定理得：∠C+∠B+∠BAC＝180°，即：∠C+∠B+∠BAC＝90°，②由②﹣①，得：∠DAF＝（∠C﹣∠B）＝20°．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，熟記三角形內(nèi)角和是180°，是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022秋?鳳陽(yáng)縣期中）已知，如圖，在△ABC中，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線，若∠B＝30°，∠C＝50°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）試寫出∠DAE與∠C﹣∠B有何關(guān)系？（不必證明）【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可求得∠BAC＝100°，由角平分線的性質(zhì)知∠BAE＝50°，在Rt△ABD中，可得∠BAD＝60°，故∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE；（2）由（1）可知∠C﹣∠B＝2∠DAE．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°．∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝50°．在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣50＝10°；（2）∠C﹣∠B＝2∠DAE．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求解．二．全等三角形的性質(zhì)（共1小題）11．（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊AC→CB→BA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為3cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）如圖（1），當(dāng)t＝或時(shí)，△APC的面積等于△ABC面積的一半；（2）如圖（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的邊上，若另外有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，與點(diǎn)P同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊AB→BC→CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，分別畫出圖形，利用三角形的面積之間的關(guān)系，求出點(diǎn)P移動(dòng)的距離，從而求出時(shí)間即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；于是分兩種情況進(jìn)行解答，①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②當(dāng)點(diǎn)P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分別求出P移動(dòng)的距離和時(shí)間，進(jìn)而求出Q的移動(dòng)速度．【解答】解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，如圖①﹣1，若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則CP＝BC＝cm，此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CP＝12+＝，移動(dòng)的時(shí)間為：÷3＝秒，②當(dāng)點(diǎn)P在BA上時(shí)，如圖①﹣2若△APC的面積等于△ABC面積的一半；則PD＝AB，即點(diǎn)P為BA中點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為AC+CB+BP＝12+9+＝cm，移動(dòng)的時(shí)間為：÷3＝秒，故答案為：或；（2）△APQ≌△DEF，即，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為A與D，P與E，Q與F；①當(dāng)點(diǎn)P在AC上，如圖②﹣1所示：此時(shí)，AP＝4，AQ＝5，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為5÷（4÷3）＝cm/s，②當(dāng)點(diǎn)P在AB上，如圖②﹣2所示：此時(shí)，AP＝4，AQ＝5，即，點(diǎn)P移動(dòng)的距離為9+12+15﹣4＝32cm，點(diǎn)Q移動(dòng)的距離為9+12+15﹣5＝31cm，∴點(diǎn)Q移動(dòng)的速度為31÷（32÷3）＝cm/s，綜上所述，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一時(shí)刻，恰好△APQ≌△DEF，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s或cm/s．【點(diǎn)評(píng)】考查直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，畫出相應(yīng)圖形，求出各點(diǎn)移動(dòng)的距離是正確解答的關(guān)鍵．三．全等三角形的判定（共2小題）12．（2022秋?交城縣期中）某產(chǎn)品的商標(biāo)如圖所示，O是線段AC、DB的交點(diǎn)，且AC＝BD，AB＝DC，小華認(rèn)為圖中的兩個(gè)三角形全等，他的思考過程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO你認(rèn)為小華的思考過程對(duì)嗎？如果正確，指出他用的是判別三角形全等的哪個(gè)條件；如果不正確，寫出你的思考過程．【分析】顯然小華的思考不正確，因?yàn)锳C和BD不是這兩個(gè)三角形的邊．我們可以連接BC，先利用SSS判定△ABC≌△DBC，從而得到∠A＝∠D，然后再根據(jù)AAS來(lái)判定△AOB≌△DOB．【解答】解：小華的思考不正確，因?yàn)锳C和BD不是這兩個(gè)三角形的邊；正確的解答是：連接BC，在△ABC和△DBC中，，∴△ABC≌△DBC（SSS）；∴∠A＝∠D，在△AOB和△DOC中，∵，∴△AOB≌△DOC（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS等．13．（2022秋?源城區(qū)期中）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？【分析】（1）經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即據(jù)SAS可證得△BPD≌△CQP．（2）可設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等，則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，據(jù)（1）同理可得當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC時(shí)兩三角形全等，求x的解即可．【解答】解：（1）結(jié)論：△BPD與△CQP全等．理由：經(jīng)過1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，∵△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴在△BPD和△CQP中，，∴△BPD≌△CQP（SAS）．（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x（x≠3）cm/s，經(jīng)過ts△BPD與△CQP全等；則可知PB＝3tcm，PC＝（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS可知，有兩種情況：①當(dāng)BD＝PC，BP＝CQ時(shí)，②當(dāng)BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，兩三角形全等；①當(dāng)BD＝PC且BP＝CQ時(shí)，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情況；②BD＝CQ，BP＝PC時(shí)，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x＝；故若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．四．全等三角形的判定與性質(zhì)（共26小題）14．（2022秋?余慶縣期中）已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD．（1）求證：△BAD≌△CAE；（2）請(qǐng)判斷BD、CE有何大小、位置關(guān)系，并證明．【分析】（1）要證△BAD≌△CAE，現(xiàn)有AB＝AC，AD＝AE，需它們的夾角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易證得．（2）BD、CE有何特殊位置關(guān)系，從圖形上可看出是垂直關(guān)系，可向這方面努力．要證BD⊥CE，需證∠BDE＝90°，需證∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，則BD⊥CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；全等問題要注意找條件，有些條件需在圖形是仔細(xì)觀察，認(rèn)真推敲方可．做題時(shí)，有時(shí)需要先猜后證．15．（2022秋?永春縣期中）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿A→B→A方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿D→E方向以lcm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）求證：AB∥DE．（2）寫出線段AP的長(zhǎng)（用含t的式子表示）．（3）連接PQ，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求t的值．【分析】（1）證明△ABC≌△EDC（SAS），可得∠A＝∠E，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可得出結(jié)論；（2）分兩種情況討論：當(dāng)0≤t≤4時(shí)，AP＝2tcm，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，BP＝（2t﹣8）cm，可得AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，進(jìn)而可以解決問題；（3）先證△ACP≌△ECQ（ASA），得AP＝EQ，再分兩種情況列方程求解即可．【解答】（1）證明：在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，∴AB∥DE；（2）解：當(dāng)0≤t≤4時(shí)，AP＝2tcm，當(dāng)4＜t≤8時(shí)，BP＝（2t﹣8）cm，∴AP＝8﹣（2t﹣8）＝（16﹣2t）cm，∴線段AP的長(zhǎng)為2tcm或（16﹣2t）cm；（3）解：根據(jù)題意得DQ＝tcm，則EQ＝（8﹣t）cm，由（1）得：∠A＝∠E，ED＝AB＝8cm，在△ACP和△ECQ中，，∴△ACP≌△ECQ（ASA），∴AP＝EQ，當(dāng)0≤t≤4時(shí)，2t＝8﹣t，解得：t＝；當(dāng)4＜t≤8時(shí)，16﹣2t＝8﹣t，解得：t＝8；綜上所述，當(dāng)線段PQ經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t的值為或8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到△ACP≌△ECQ．16．（2022秋?新昌縣校級(jí)期中）如圖，已知AD為△ABC的中線，延長(zhǎng)AD，分別過點(diǎn)B，C作BE⊥AD，CF⊥AD．（1）求證：△BED≌△CFD．（2）若∠EAC＝45°，AF＝12，DC＝13，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)AAS即可證明結(jié)論；（2）結(jié)合（1）證明△AFC是等腰直角三角形，可得AF＝FC，再根據(jù)勾股定理即可求出EF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90°，∵∠FDC＝∠EDB，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）；（2）解：由（1）可知：△BED≌△CFD，∠AFC＝90°，∴ED＝FD，∵∠EAC＝45°，∴△AFC是等腰直角三角形，∴AF＝FC，∵AF＝12，DC＝13，在Rt△DFC中，，∴EF＝2DF＝10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．17．（2022秋?荊門校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在邊BC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合），作∠ADE＝∠B，DE交邊AC于點(diǎn)E．（1）求證：∠BAD＝∠CDE；（2）若DC＝AB，求證：△ABD≌△DCE；（3）當(dāng)∠B＝50°，且△ADE是等腰三角形時(shí)，直接寫出∠BDA的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；（3）分三種情況討論：①當(dāng)DA＝DE時(shí)，②當(dāng)AD＝AE時(shí)，③當(dāng)EA＝ED時(shí)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∠ADE＝∠B，∠BAD+∠B＝∠ADC，∠CDE+∠ADE＝∠ADC，∴∠BAD＝∠CDE；（2）證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DC＝AB，∠BAD＝∠CDE；在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS）；（3）解：∵∠B＝∠C＝50°，∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣50°＝80°，分三種情況討論：①當(dāng)DA＝DE時(shí)，∠DAE＝∠DEA，∵∠ADE＝∠B＝50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA＝180°，∴∠DAE＝（180°﹣50°）÷2＝65°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣65°＝15°，∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣15°＝115°；②當(dāng)AD＝AE時(shí)，∠AED＝∠ADE＝50°，∵∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∵∠BAC＝80°，∴∠DAE＝∠BAE，∴點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，不合題意．③當(dāng)EA＝ED時(shí)，∠DAE＝∠ADE＝50°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝80°﹣50°＝30°，∵∠B+∠BAD+∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝180°﹣50°﹣30°＝100°，綜上所述，當(dāng)∠BDA的度數(shù)為115°或100°時(shí)，△ADE是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平角的意義，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．18．（2022秋?德城區(qū)校級(jí)期中）已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過點(diǎn)A的一條直線，且BD⊥AE，垂足為點(diǎn)D，CE⊥AE，垂足為點(diǎn)E．（1）當(dāng)直線AE處于如圖①的位置時(shí)，有BD＝DE+CE，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）當(dāng)直線AE處于如圖②的位置時(shí)，則BD、DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠1＝∠2，證明△ABD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；（2）利用與（1）相同的證明方法證明即可．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝AD+DE，∴BD＝DE+CE；（2）BD＝DE﹣CE，理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵BD⊥AE，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，∵AE＝DE﹣AD，∴BD＝DE﹣CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?潮安區(qū)期中）如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD＝2BF+DE．【分析】（1）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△ABC≌△ADE的條件；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到∠FAE的度數(shù)；（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識(shí)，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成立．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；（3）延長(zhǎng)BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．20．（2022秋?肇源縣校級(jí)期中）如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．【分析】（1）先由條件可以得出∠EAC＝∠BAE，再證明△EAC≌△BAF就可以得出結(jié)論；（2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；【解答】（1）解：結(jié)論：EC＝BF，EC⊥BF．理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB＝∠CAF＝90°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，∴∠EAC＝∠BAF．在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF（SAS），∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，∴∠ABF+∠BGM＝90°，∴∠EMB＝90°，∴EC⊥BF．∴EC＝BF，EC⊥BF．（2）證明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．∵△EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）．∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的判定定理、垂直的判定的運(yùn)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．21．（2022秋?藍(lán)山縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C→B→C做勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)B出發(fā)沿BD向點(diǎn)D勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．（1）證明：AD∥BC．（2）在移動(dòng)過程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△DEG與△BFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)△DEG與△BFG全等的情況．【分析】（1）由AD＝BC＝4，AB＝CD，BD為公共邊，所以可證得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB＝∠CBD，所以AD∥BC；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【解答】（1）證明：在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為v，當(dāng)時(shí)，若△DEG≌△BGF，則，∴，∴，∴v＝3；若△DEG≌△BGF，則，∴，∴（舍去）；當(dāng)時(shí)，若△DEG≌△BFG，則，∴，∴，∴；若△DEG≌△BGF，則，∴，∴，∴v＝1．綜上，當(dāng)點(diǎn)G的速度為3或1.5或1時(shí)．會(huì)出現(xiàn)△DEG與△BFG全等的情況．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，第（2）題解題的關(guān)鍵是利用好三角形全等．22．（2022秋?中山市校級(jí)期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點(diǎn)F，BF＝AC．（1）求證：△BDF≌△ADC；（2）若∠CAD＝20°則∠ABE＝25°．（直接寫出結(jié)果）【分析】（1）根據(jù)AAS即可證明；（2）利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC，又∵∠BFD＝∠AFE，∴∠CAD＝∠FBD，在△BDF和△ACD中，∴△BDF≌△ACD（AAS）（2）∵△BDF≌△ACD，∴∠DBF＝∠CAD＝20°，∵DB＝DA，∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠ABE＝∠ABD﹣∠DBF＝25°故答案為25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．23．（2022秋?黃驊市校級(jí)期中）如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD交于點(diǎn)O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．【分析】因?yàn)镃D⊥AB于D點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)E，所以∠BDO＝∠CEO＝90°，因此可根據(jù)AAS判定△BDO≌△CEO，則有OD＝OE，又因?yàn)镺D⊥AB，OE⊥AC，所以∠1＝∠2．【解答】證明：∵CD⊥AB于D點(diǎn)，BE⊥AC于點(diǎn)E∴∠BDO＝∠CEO＝90°在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OD＝OE，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OA平分∠BAC，∴∠1＝∠2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△BDO≌△CEO．24．（2022秋?龍海市期中）如圖，已知：點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，BF＝CE，AC∥DF．∠A＝∠D；求證：AB∥DE．【分析】欲證明AB∥DE，只需證得∠B＝∠FED．由t△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推知該結(jié)論即可．【解答】證明：∵FB＝CE，∴FB+FC＝CE+FC，即BC＝EF．又∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴∠B＝∠FED，∴AB∥DE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行的判定定理的熟練應(yīng)用，要證明AB∥DE，就得先找出判定的條件，如∠B＝∠FED．25．（2022秋?玉林期中）已知：如圖，D為△ABC外角∠ACP平分線上一點(diǎn)，且DA＝DB，DM⊥BP于點(diǎn)M（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面積；（2）求證：AC＝BM+CM．【分析】（1）如圖作DN⊥AC于N．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得DM＝DN＝2，由此即可解決問題；（2）由Rt△CDM≌Rt△CDN，推出CN＝CM，由Rt△ADN≌Rt△BDM，推出AN＝BM，由此即可解決問題；【解答】（1）解：如圖作DN⊥AC于N．∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，DN⊥CA，∴DM＝DN＝2，∴S△ADC＝?AC?DN＝×6×2＝6．（2）∵CD＝CD，DM＝DN，∴Rt△CDM≌Rt△CDN，∴CN＝CM，∵AD＝BD，DN＝DM，∴Rt△ADN≌Rt△BDM，∴AN＝BM，∴AC＝AN+CN＝BM+CM【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．26．（2022秋?洛龍區(qū)期中）如圖，已知：AD是BC上的中線，BE∥CF．求證：DF＝DE．【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠FCD＝∠EBD，由BD＝DC，∠CDF＝∠BDE，根據(jù)ASA推出△CDF≌△BDE，即可得出結(jié)論．【解答】證明：CF∥BE，∴∠FCD＝∠EBD，∵AD是BC上的中線，∴BD＝DC，在△CDF和△BDE中，，∴△CDF≌△BDE（ASA），∴CF＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．27．（2022秋?陽(yáng)東區(qū)期中）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且BD＝CD．（1）圖中與△BDE全等的三角形是△CFD，請(qǐng)加以證明；（2）若AE＝8cm，AC＝5cm，求BE的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再利用HL證明Rt△BED與Rt△CFD全等，（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BE＝CF，進(jìn)而解答即可．【解答】解：（1）△BED與△DFC全等，理由如下：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，∴DE＝DF，在Rt△BED與Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）；故答案為：△DFC；（2）∵Rt△BED≌Rt△DFC，AE＝8cm，AC＝5cm，∴BE＝CF，AF＝8cm，∴BE＝CF＝AB﹣AC＝8﹣5＝3cm．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF．28．（2022秋?陽(yáng)新縣期中）已知△ABC和△DEF為等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在射線AC上．（1）如圖1，若∠BAC＝60°，點(diǎn)F與點(diǎn)C重合，求證：AF＝AE+AD；（2）如圖2，若AD＝AB，求證：AF＝AE+BC．【分析】（1）由∠BAC＝∠EDF＝60°，推出△ABC、△DEF為等邊三角形，于是得到∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝BE，即可得到結(jié)論；（2）在FA上截取FM＝AE，連接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，證得∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝BC，即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC、△DEF為等邊三角形，∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，在△BCE和△ACD中∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF；（2）在FA上截取FM＝AE，連接DM，∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．即AF＝AE+BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋?三臺(tái)縣期中）如圖，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中線，求證：AC＝2AE．【分析】延長(zhǎng)AE至F，使AE＝EF，連接BF，于是證得△AED≌△FEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF＝DA，∠FBE＝∠ADE，推出∠ABF＝∠ABD+∠ADB＝∠ABD+∠BAD＝∠ADC，證得△ABF≌△CDA，于是得到AC＝AF，等量代換即可得到結(jié)論．【解答】證明：延長(zhǎng)AE至F，使AE＝EF，連接BF，在△ADE與△BFE中，，∴△AED≌△FEB（SAS），∴BF＝DA，∠FBE＝∠ADE，∵∠ABF＝∠ABD+∠FBE，∴∠ABF＝∠ABD+∠ADB＝∠ABD+∠BAD＝∠ADC，在△ABF與△ADC中，，∴△ABF≌△CDA（SAS），∴AC＝AF，∵AF＝2AE，∴AC＝2AE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．30．（2022秋?潮安區(qū)期中）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，交AB于點(diǎn)F，且EF⊥AB于點(diǎn)F，AB＝DE．（1）求證：△ACB≌△EBD．（2）若DB＝10，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）易證∠DEB＝∠A，即可證明△ACB≌△EBD，即可解題；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可得BC＝DB，AC＝EB，根據(jù)BD長(zhǎng)度即可求得BC長(zhǎng)度，即可解題．【解答】（1）證明：∵∠DEB+∠ABC＝90°，∠A+∠ABC＝90°，∴∠DEB＝∠A，在△ACB和△EBD中，，∴△ACB≌△EBD，（AAS）；（2）解：∵△ACB≌△EBD，∴BC＝DB，AC＝EB，∵E是BC的中點(diǎn)，∴EB＝BC，∵DB＝10，BC＝DB，∴BC＝10，∴AC＝EB＝BC＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACB≌△EBD是解題的關(guān)鍵．31．（2022秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組求得答案即可．【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時(shí)，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，，解得；綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想的滲透．32．（2022秋?泰寧縣期中）如圖，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的長(zhǎng)．【分析】連接BE，根據(jù)已知條件先證出∠BCE＝∠ACD，根據(jù)SAS證出△ACD≌△BCE，得出AD＝BE，再根據(jù)勾股定理求出AB，然后根據(jù)∠BAC＝∠CAE＝45°，求出∠BAE＝90°，在Rt△BAE中，根據(jù)AB、AE的值，求出BE，從而得出AD．【解答】解：如圖，連接BE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，又∵AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AC＝BC＝6，∴AB＝6，∵∠BAC＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，∴BE＝＝＝＝9，∴AD＝9．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，證出△ACD≌△BCE．33．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，CD與BM相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接MD，過點(diǎn)D作DN⊥MD，交BM于點(diǎn)N．（1）求證：△DBN≌△DCM；（2）請(qǐng)?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)兩角夾邊相等的兩個(gè)三角形全等即可證明．（2）結(jié)論：NE﹣ME＝CM．作DF⊥MN于點(diǎn)F，由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN，由△DEF≌△CEM，推出ME＝EF，CM＝DF，由此即可證明．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠ABC＝∠DCB＝45°，∴BD＝DC，∵∠BDC＝∠MDN＝90°，∴∠BDN＝∠CDM，∵CD⊥AB，BM⊥AC，∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD，在△DBN和△DCM中，，∴△DBN≌△DCM．（2）結(jié)論：NE﹣ME＝CM．證明：由（1）△DBN≌△DCM可得DM＝DN．作DF⊥MN于點(diǎn)F，又ND⊥MD，∴DF＝FN，在△DEF和△CEM中，，∴△DEF≌△CEM，∴ME＝EF，CM＝DF，∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．34．（2022秋?上杭縣期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BD＝AD．（1）求證：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E為AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE＝CA．①求證：DE平分∠BDC；②若點(diǎn)M在DE上，且DC＝DM，請(qǐng)判斷ME、BD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；③若N為直線AE上一點(diǎn)，且△CEN為等腰三角形，直接寫出∠CNE的度數(shù)．【分析】（1）利用線段的垂直平分線的性質(zhì)即可證明；（2）①易證BD＝AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD＝∠BCD＝45°即可解題；②連接MC，易證△MCD為等邊三角形，即可證明△BDC≌△EMC即可解題；③分三種情形討論即可；【解答】（1）證明：∵CB＝CA，DB＝DA，∴CD垂直平分線段AB，∴CD⊥AB．（2）①證明：∵AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB，又∵∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，又∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴∠BDE＝30°+30°＝60°，∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，BD＝AD，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠CDE＝60°，∵∠CDE＝∠BDE＝60°，∴DE平分∠BDC；②解：結(jié)論：ME＝BD，理由：連接MC，∵DC＝DM，∠CDE＝60°，∴△MCD為等邊三角形，∴CM＝CD，∵EC＝CA，∠EMC＝120°，∴∠ECM＝∠BCD＝45°在△BDC和△EMC中，，∴△BDC≌△EMC（SAS），∴ME＝BD．③當(dāng)EN＝EC時(shí)，∠ENC＝7.5°或82.5°；當(dāng)EN＝CN時(shí)，∠ENC＝150°；當(dāng)CE＝CN時(shí)，∠CNE＝15°，所以∠CNE的度數(shù)為7.5°、15°、82.5°、150°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．35．（2022秋?金華期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF．求證：AE＝AF．【分析】方法一：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE＝CE，再由AE∥BC可知∠ACB＝∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE＝CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)AE＝CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結(jié)論．方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE＝OF，進(jìn)而得到AC垂直平分EF，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE＝AF．【解答】【解答】證明：連接CE，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE，OA＝OC，∵AE∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，在△AOE與△COF中，∵，∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AE＝CE，∴四邊形AFCE是菱形，∴AE＝AF．另法：∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AC垂直平分EF，∴AE＝AF【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及菱形的判定定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行四邊形是解答此題的關(guān)鍵．36．（2022秋?瀏陽(yáng)市期中）如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB交AB于E，F(xiàn)在AC上，∠B＝∠CFD．證明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．【分析】（1）證明△CFD≌△BED即可；（2）由AB＝AE+BE，結(jié)合條件可知AE＝AC且BE＝CF，代入可證得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAD＝∠DAE，由已知有：∠ADC＝90°﹣∠CAD，∠ADE＝90°﹣∠DAE，∴∠ADC＝∠ADE，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED（ASA），∴CD＝DE，∵∠CFD＝∠B，∠C＝∠DEB＝90°，∴△CFD≌△BED（AAS），∴CF＝BE．（2）由（1）知FC＝EB，AC＝AE，∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．37．（2022秋?天門期中）如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．求證：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF．【分析】（1）欲證明EC＝BF，只要證明△AEC≌△ABF即可；（2）設(shè)AC交BF于O，利用“8字型”證明∠OMC＝∠OAF即可解決問題；【解答】證明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∠EAB＝∠FAC＝90°，∴∠EAC＝∠BAF，在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF，∴EC＝BF．（2）設(shè)AC交BF于O．∵△EAC≌△BAF，∴∠AFO＝∠OCM，∵∠AOF＝∠MOC，∴∠OMC＝∠OAF＝90°，∴EC⊥BF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用“8字型”證明角相等，屬于中考?？碱}型．38．（2022秋?大理市校級(jí)期中）如圖（1）AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t＝1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線段PC和線段PQ的位置關(guān)系；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出結(jié)論即可；（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程組求得答案即可．【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠A＝∠B＝90°∵AP＝BQ＝2∴BP＝6∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ，∴∠C＝∠QPB，∵∠APC+∠C＝90°，∴∠APC+∠QPB＝90°，∴PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP與△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，可得：6＝8﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，可得：6＝xt，2t＝8﹣2t解得：x＝3，t＝2；【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想的滲透．39．（2022秋?邢臺(tái)期中）在四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在直線AB上，且DE＝CE．（1）如圖（1），若∠DEC＝∠A＝90°，BC＝3，AD＝2，求AB的長(zhǎng)；（2）如圖（2），若DE交BC于點(diǎn)F，∠DFC＝∠AEC，猜想AB、AD、BC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【分析】（1）推出∠ADE＝∠BEC，根據(jù)AAS證△AED≌△CEB，推出AE＝BC，BE＝AD，代入求出即可；（2）推出∠A＝∠EBC，∠AED＝∠BCE，根據(jù)AAS證△AED≌△BCE，推出AD＝BE，AE＝BC，即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：∵∠DEC＝∠A＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∠AED+∠BEC＝90°，∴∠ADE＝∠BEC，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B+∠A＝180°，∴∠B＝∠A＝90°，在△AED和△CEB中，∴△AED≌△CEB（AAS），∴AE＝BC＝3，BE＝AD＝2，∴AB＝AE+BE＝2+3＝5．（2）AB+AD＝BC，證明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠EBC，∵∠DFC＝∠AEC，∠DFC＝∠BCE+∠DEC，∠AEC＝∠AED+∠DEC，∴∠AED＝∠BCE，在△AED和△BCE中，∴△AED≌△BCE（AAS），∴AD＝BE，AE＝BC，∵BC＝AE＝AB+BE＝AB+AD，即AB+AD＝BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，題型較好，難度適中．五．全等三角形的應(yīng)用（共1小題）40．（2022秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)期中）【問題背景】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF＝BE+FD．【探索延伸】在四邊形ABCD中如圖2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【分析】探索延伸：延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，證明△ABE≌△ADG和△AEF≌△AGF，得到答案；結(jié)論運(yùn)用：連接EF，延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C，得到EF＝AE+BF，根據(jù)距離、速度和時(shí)間的關(guān)系計(jì)算即可．【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD，探索延伸：結(jié)論仍然成立，證明：如圖2，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；結(jié)論運(yùn)用：解：如圖3，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，注意要正確作出輔助線．六．等腰三角形的性質(zhì)（共5小題）41．（2022秋?隆回縣期中）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D在底邊BC上，AE＝AD，連接DE．（1）當(dāng)∠BAD＝60°時(shí)，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC（點(diǎn)B、C除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；（2）設(shè)∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠AED＝45°+，于是得到結(jié)論；（3）設(shè)∠CDE＝x，∠C＝y(tǒng)，由等腰三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠BAD＝60°，∴∠DAE＝30°，∵AD＝AE，∴∠AED＝75°，∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；（2）設(shè)∠BAD＝x，∴∠CAD＝90°﹣x，∵AE＝AD，∴∠AED＝45°+，∴∠CDE＝x，∴∠BAD＝2∠CDE；（3）設(shè)∠CDE＝x，∠C＝y(tǒng)，∵AB＝AC，∠C＝y(tǒng)，∴∠B＝∠C＝y(tǒng)，∵∠CDE＝x，∴∠AED＝y(tǒng)+x，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝y(tǒng)+x，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴y+∠BAD＝y(tǒng)+x+x，∴∠BAD＝2∠CDE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵．42．（2022秋?枝江市校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD為△ABC的角平分線；（1）若AB＝BD，則∠A的度數(shù)為72°（直接寫出結(jié)果）；（2）如圖1，若E為線段BC上一點(diǎn)，∠DEC＝∠A；求證：AB＝EC．（3）如圖2，若E為線段BD上一點(diǎn)，∠DEC＝∠A，求證：AB＝EC．【分析】（1）如圖1中，設(shè)∠C＝x．則可證∠A＝∠ADB＝2x，利用三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)建方程求出x即可解決問題；（2）證明△ABD≌△ECD（AAS），可得結(jié)論；（3）如圖2中，延長(zhǎng)BD到T，使得CD＝CT．證明△ABD≌△ECT（AAS），可得結(jié)論．【解答】（1）解：如圖1中，設(shè)∠C＝x．∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝2x，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝x，∵AB＝BD，∴∠A＝∠ADB＝∠DBC+∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝2x＝72°，故答案為：72．（2）證明：如圖1中，∵∠ABD＝∠DBC＝∠C，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（AAS），∴AB＝EC．（3）證明：如圖2中，延長(zhǎng)BD到T，使得CD＝CT．∵CD＝CT，∴∠T＝∠CDT＝∠ADB，∵BD＝CD，∴BD＝CT，在△ABD和△ECT中，，∴△ABD≌△ECT（AAS），∴AB＝EC．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問題．43．（2022秋?金湖縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、E兩點(diǎn)在BC邊上，且AD＝AE．求證：BD＝CE．【分析】先過A作AP⊥BC于P，而AB＝AC，根據(jù)三角形三線合一定理可得BP＝CP，同理可得DP＝EP，再根據(jù)等式性質(zhì)易證BD＝CE．【解答】證明：過A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP，同理有DP＝EP，∴BP﹣DP＝CP﹣EP，即BD＝CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形三線合一定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線AP⊥BC．44．（2022秋?余姚市期中）若a、b是△ABC的兩邊且|a﹣3|+（b﹣4）2＝0（1）試求a、b的值，并求第三邊c的取值范圍．（2）若△ABC是等腰三角形，試求此三角形的周長(zhǎng)．（3）若另一等腰△DEF，其中一內(nèi)角為x°，另一個(gè)內(nèi)角為（2x﹣20）°試求此三角形各內(nèi)角度數(shù)．【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求得a、b的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求得c的范圍；（2）分腰長(zhǎng)為3或4兩種情況進(jìn)行計(jì)算；（3）分這兩個(gè)內(nèi)角一個(gè)為頂角和兩個(gè)都是底角三種情況，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求得x，可得出三個(gè)角的度數(shù)．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+（b﹣4）2＝0，∴a＝3b＝4，∵b﹣a＜c＜b+a，∴1＜c＜7；（2）當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，此時(shí)三角形的三邊為3、3、4，滿足三角形三邊關(guān)系，周長(zhǎng)為10；當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，此時(shí)三角形的三邊長(zhǎng)為4、4、3，滿足三角形三邊關(guān)系，周長(zhǎng)為11；綜上可知等腰三角形的周長(zhǎng)為10或11；（3）當(dāng)?shù)捉菫閤°、頂角為（2x﹣20）°時(shí)，則根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得x+x+2x﹣20＝180，解得x＝50，此時(shí)三個(gè)內(nèi)角分別為50°、50°、80°；當(dāng)頂角為x°、底角為（2x﹣20）°時(shí)，則根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得x+2x﹣20+2x﹣20＝180，解得x＝44，此時(shí)三個(gè)內(nèi)角分別為44°、68°、68°；當(dāng)?shù)捉菫閤°、（2x﹣20）°時(shí)，則等腰三角形性質(zhì)可得x＝2x﹣20，解得x＝20，此時(shí)三個(gè)內(nèi)角分別為20°、20°、140°；綜上可知三角形三個(gè)內(nèi)角為50度、50度、80度或44度、68度、68度或20度、20度、140度．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等、兩底角相等是解題的關(guān)鍵．45．（2017秋?鄞州區(qū)校級(jí)月考）已知如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，DG⊥CE于G，CD＝AE．求證：CG＝EG．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到結(jié)論．【解答】證明：如圖，連接DE，∵AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線，∴DE＝AB＝AE＝CD，∵DG⊥CE于G，由“等腰三角形三線合一”知，CG＝EG．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．七．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）46．（2022秋?拱墅區(qū)校級(jí)期中）（1）如圖1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F．①求證：OE＝BE；②若△ABC的周長(zhǎng)是25，BC＝9，試求出△AEF的周長(zhǎng)；（2）如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點(diǎn)P，連接AP，試探求∠BAC與∠PAC的數(shù)量關(guān)系式．【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：（1）①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴OE＝BE；②△AEF的周長(zhǎng)＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；（2）解：延長(zhǎng)BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝