【北京卷中考數(shù)學(xué)壓軸題模擬預(yù)測】專題1圓綜合壓軸大題模擬預(yù)測題強化訓(xùn)練(尖子生難題突破)原卷版+解析

【北京卷中考數(shù)學(xué)壓軸題模擬預(yù)測】專題1圓綜合壓軸大題模擬預(yù)測題強化訓(xùn)練（尖子生難題突破）一、解答題1．（2022·北京市十一學(xué)校二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O在AC上，過點C作⊙O的切線，與AB延長線交于點D，過點O作OEBC，交⊙O于點E，連接CE交AB于點F．(1)求證：CE平分∠ACB；(2)連接OD，若CF=CD=6，求OD的長．2．（2022·北京東城·一模）如圖，在中，，以AB為直徑作，交BC于點D，交AC于點E，過點B作的切線交OD的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，求AE的長．3．（2022·北京海淀·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，連接DO并延長交⊙O于點F，連接AF交CD于點G，CG=AG，連接AC．(1)求證：AC∥DF；(2)若AB=12，求AC和GD的長．4．（2022·北京昌平·二模）如圖，在中，，，與交于點，，為直徑，點在上，連接，，．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長．5．（2022·北京房山·二模）如圖，在中，的平分線交于點E，過點E作直線的垂線于交于點F，是的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)過點E作于點H，若，求的長度．6．（2022·北京房山·二模）下面是小文設(shè)計的“過圓外一點作圓的切線”的作圖過程．已知：和圓外一點P．求作：過點P的的切線．作法：①連接；作的垂直平分線與交于點M；②以半徑作，交于點A，B；③作直線；所以直線為的切線．請利用尺規(guī)作圖補全小文的作圖過程，并完成下面的證明．證明：連接．∵為的直徑，∴__________=__________（__________）（填推理的依據(jù)）．∴∵為半徑，∴直線為的切線．（__________）（填推理的依據(jù)）．7．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，AB是的弦，C為上一點，過點C作AB的垂線與AB的延長線交于點D，連接BO并延長，與交于點E，連接EC，CD是的切線．(1)求證：；(2)若，，求BD的長．8．（2022·北京順義·二模）如圖，內(nèi)接于，AB是的直徑，點D在AB的延長線上，且，點E為AC的中點，連接OE并延長與DC的延長線交于點F．(1)求證：CD是的切線；(2)若，，求CF的長．9．（2022·北京順義·二模）在平面直角坐標系xOy中，對于點R和線段PQ，給出如下定義：M為線段PQ上任意一點，如果R，M兩點間的距離的最小值恰好等于線段PQ的長，則稱點R為線段PQ的“等距點”．(1)已知點．①在點，，，中，線段OA的“等距點”是______；②若點C在直線上，并且點C是線段OA的“等距點”，求點C的坐標；(2)已知點，點，圖形W是以點為圓心，1為半徑的位于x軸及x軸上方的部分．若圖形W上存在線段DE的“等距點”，直接寫出t的取值范圍．10．（2022·北京門頭溝·二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計的“作圓的內(nèi)接正方形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，⊙O．求作：⊙O的內(nèi)接正方形．作法：①作⊙O的直徑AB；②分別以點A，B為圓心，大于AB同樣長為半徑作弧，兩弧交于M，N；③作直線MN交⊙O于點C，D；④連接AC，BC，AD，BD．∴四邊形ACBD就是所求作的正方形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵MN是AB的，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．∴

AC=BC=BD=AD．（）（填推理依據(jù)）∴四邊形ACBD是菱形．又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．（）（填推理依據(jù)）∴四邊形ACBD是正方形．11．（2022·北京豐臺·二模）已知：如圖，射線AM．求作：△ABC，使得，．作法：①在射線AM上任取一點O（不與點A重合）；②以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線AM于A，C兩點；③以點C為圓心，CO長為半徑畫弧，交于點B；④連接AB，BC．△ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明：證明：連接OB．在⊙O中，OB＝OC在⊙C中，OC＝＝BC∴OB＝OC＝BC∴△OCB是等邊三角形∴∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝_________°（_________）（填推理的依據(jù)）．∴∴．12．（2022·北京西城·二模）如圖，AB是的直徑，CB，CD分別與相切于點B，D，連接OC，點E在AB的延長線上，延長AD，EC交于點F．(1)求證：；(2)若，，，求FA的長．13．（2022·北京大興·二模）如圖，在中，，AD是的平分線，O是AB上一點，以O(shè)A為半徑的經(jīng)過點D．(1)求證：BC是切線；(2)若，求AC的長．14．（2022·北京密云·二模）如圖，在中，，以BC為直徑的⊙O與AC交于點D，DE是⊙O的切線．(1)計算的度數(shù)；(2)若，，求線段DE的長．15．（2022·北京北京·二模）如圖，為的直徑，，過點A作的切線，交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求的長．16．（2022·北京平谷·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，過B作⊙O的切線，與弦AD的延長線交于點C，，E是直徑AB上一點，連接DE并延長與直線BC交于點F，連接AF．(1)求證：；(2)若，⊙O的半徑長為6，求EF的長．17．（2022·北京東城·二模）如圖，在中，，，在上截取，過點作于點，連接AD，以點為圓心、的長為半徑作．(1)求證：是⊙A的切線；(2)若，，求的長．18．（2022·北京朝陽·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，交AC于點E，．(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若，，求cosD．19．（2022·北京豐臺·二模）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點，B為⊙O上任意一點，給出如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在⊙O上時，），最大值為q，那么把的值稱為點A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）(1)如圖，點D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標都是整數(shù)①d（D，⊙O）＝__________；②若點M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；(2)若點N在直線上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；(3)正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運動時，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．20．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P在線段AD上，由點D向點A運動，當(dāng)點P與點A重合時，停止運動．以點P為圓心，PD為半徑作⊙P，⊙P與AD交于點M點Q在⊙P上且在矩形ABCD外，∠QPD＝120°．(1)當(dāng)時PC＝，扇形QPD的面積＝，點C到⊙P的最短距離＝；(2)⊙P與AC相切時求PC的長？(3)如圖⊙P與AC交于點E、F當(dāng)EF＝6.4時，求PD的長？(4)請從下面兩問中，任選一道進行作答．①當(dāng)⊙P與△ABC有兩個公共點時，直接寫出PD的取值范圍；②直接寫出點Q的運動路徑長以及BQ的最短距離．21．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐標系中，對于線段MN及P、Q，若且線段MN關(guān)于點P的中心對稱線段恰好經(jīng)過點Q，則稱Q是點P的線段對經(jīng)點.(1)設(shè)點，①，，，其中為某點的線段對經(jīng)點的是___________.②選出①中一個符合題意的點Q，則此時所對應(yīng)的對稱中心的坐標為.③已知，設(shè)的半徑是r，若上存在某點P的線段對經(jīng)點，求r的取值范圍.(2)已知，，若點同時是相異兩點，的線段對經(jīng)點，直接寫出的取值范圍.22．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標系xOy中，點P不在坐標軸上，點P關(guān)于x軸的對稱點為P1，點P關(guān)于y軸的對稱點為P2，稱△P1PP2為點P的“關(guān)聯(lián)三角形”．(1)已知點A(1，2)，求點A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；(2)如圖，已知點B(m，n)，⊙T的圓心為T(2，2)，半徑為2．若點B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點，直接寫出m的取值范圍；(3)已知⊙O的半徑為r，OP=2r，若點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點，直接寫出∠PP1P2的取值范圍．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于和直線給出如下定義：若的一條邊關(guān)于直線的對稱線段是的弦，則稱是的關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)三角形”，直線是“關(guān)聯(lián)軸”．(1)如圖1，若是的關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)三角形”，請畫出與的“關(guān)聯(lián)軸”（至少畫兩條）；(2)若中，點坐標為，點坐標為，點在直線的圖像上，存在“關(guān)聯(lián)軸”使是的關(guān)聯(lián)三角形，求點橫坐標的取值范圍；(3)已知，將點向上平移2個單位得到點，以為圓心為半徑畫圓，，為上的兩點，且（點在點右側(cè)），若與的關(guān)聯(lián)軸至少有兩條，直接寫出的最小值和最大值，以及最大時的長．24．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：點P為圖形G上任意一點，將點P到原點O的最大距離與最小距離之差定義為圖形G的“全距”．特別地，點P到原點O的最大距離與最小距離相等時，規(guī)定圖形G的“全距”為0．(1)已知，點，．①原點O到線段AB上一點的最大距離為_______，最小距離為_______；②當(dāng)點C的坐標為時，且的“全距”為4，求m的取值范圍；(2)已知，等邊的三個頂點均在半徑為3的上．求的“全距”d的取值范圍．25．（2022·北京東城·一模）對于平面直角坐標系中的點C及圖形G，有如下定義：若圖形G上存在A，B兩點，使得為等腰直角三角形，且，則稱點C為圖形G的“友好點”．(1)已知點，，在點，，中，線段OM的“友好點”是_______；(2)直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點，若點為線段PQ的“友好點”，求b的取值范圍；(3)已知直線分別交x軸、y軸于E，F(xiàn)兩點，若線段EF上的所有點都是半徑為2的的“友好點”，直接寫出d的取值范圍．26．（2022·北京密云·二模）對于平面直角坐標系xOy中的點與圖形T，給出如下定義：在點P與圖形T上各點連接的所有線段中，線段長度的最大值與最小值的差，稱為圖形T關(guān)于點P的“寬距”．(1)如圖，⊙O的半徑為2，且與x軸分別交于A，B兩點．①線段AB關(guān)于點P的“寬距”為______；⊙O關(guān)于點P的“寬距”為______．②點為x軸正半軸上的一點，當(dāng)線段AM關(guān)于點P的“寬距”為2時，求m的取值范圍．(2)已知一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于D、E兩點，⊙C的圓心在x軸上，且⊙C的半徑為1．若線段DE上的任意一點K都能使得⊙C關(guān)于點K的“寬距”為2，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．27．（2022·北京豐臺·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，過點C作⊙O的切線，切點為D，過點B作BE⊥CD于點E，連接AD，BD．(1)求證：；(2)如果CA＝AB，BD＝4，求BE的長．28．（2022·北京平谷·二模）對于平面直角坐標系xOy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點，N為圖形Q上任意一點，如果M，N兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作．已知點，，連接AB．(1)d（點O，AB）＝；(2)⊙O半徑為r，若，直接寫出r的取值范圍；(3)⊙O半徑為r，若將點A繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點．①當(dāng)時，求出此時r的值；②對于取定的r值，若存在兩個α使，直接寫出r的范圍．29．（2022·北京東城·二模）在平面直角坐標系中，對于圖形及過定點的直線，有如下定義：過圖形上任意一點作于點，若有最大值，那么稱這個最大值為圖形關(guān)于直線的最佳射影距離，記作，此時點稱為圖形關(guān)于直線的最佳射影點．(1)如圖1，已知，，寫出線段關(guān)于軸的最佳射影距離____________；(2)已知點，⊙C的半徑為，求⊙C關(guān)于軸的最佳射影距離d（⊙C，x軸），并寫出此時⊙C關(guān)于軸的最佳射影點的坐標；(3)直接寫出點關(guān)于直線的最佳射影距離的最大值．30．（2022·北京朝陽·二模）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，，且A，B兩點中至少有一點在⊙O外．給出如下定義：平移線段AB，得到線段（，分別為點A，B的對應(yīng)點），若線段上所有的點都在⊙O的內(nèi)部或⊙O上，則線段長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．(1)如圖1，點，的坐標分別為（－3，0），（－2，0），線段到⊙O的“平移距離”為___，點，的坐標分別為（－，），（，），線段到⊙O的“平移距離”為___；(2)若點A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為d，求d的最小值；(3)如圖2，若點A坐標為（1，），線段AB到⊙O的“平移距離”為1，畫圖并說明所有滿足條件的點B形成的圖形（不需證明）．【北京卷中考數(shù)學(xué)壓軸題模擬預(yù)測】專題1圓綜合壓軸大題模擬預(yù)測題強化訓(xùn)練（尖子生難題突破）一、解答題1．（2022·北京市十一學(xué)校二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O在AC上，過點C作⊙O的切線，與AB延長線交于點D，過點O作OEBC，交⊙O于點E，連接CE交AB于點F．(1)求證：CE平分∠ACB；(2)連接OD，若CF=CD=6，求OD的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)OC=OE，可得∠OCE=∠E，再由OEBC，可得∠E=∠BCE，從而得到∠OCE=∠BCE，即可求證；（2）根據(jù)CD=CF，可得∠BCD=∠BCE=∠OCE，再由CD是⊙O的切線，可得∠BCD=30°，再證得∠A=∠BCD=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．(1)證明：∵OC=OE，∴∠OCE=∠E，∵OEBC，∴∠E=∠BCE，∴∠OCE=∠BCE，∴CE平分∠ACB；(2)解：如圖，∵CD=CF，∴∠BCD=∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCD=∠BCE=∠OCE，∵CD是⊙O的切線，∴∠ACD=90°，即∠BCD+∠ACB=90°，∴∠BCD=30°，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠A=∠BCD=30°，∵CD=6，∴AD=2CD=12，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·北京東城·一模）如圖，在中，，以AB為直徑作，交BC于點D，交AC于點E，過點B作的切線交OD的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，求AE的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】(1)首先根據(jù)等邊對等角可證得，再根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，即可證得結(jié)論；(2)首先根據(jù)圓周角定理及切線的性質(zhì)，可證得，即可證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．(1)證明：(2)解：如圖：連接BE是的直徑，AB=4，是的切線又又，解得【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，證得是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·北京海淀·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，連接DO并延長交⊙O于點F，連接AF交CD于點G，CG=AG，連接AC．(1)求證：AC∥DF；(2)若AB=12，求AC和GD的長．【答案】(1)見解析(2)AC=6，【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠C=∠F，由GA=GC推出∠CAF=∠C，得到∠CAF=∠F，即可得到結(jié)論AC∥DF．

（2）連接AD，利用AC∥DF推出∠C=∠1，根據(jù)圓周角定理得到，進而證得△AOD是等邊三角形，得到．利用垂徑定理求出AC=AD=6，利用三角函數(shù)求出AG．(1)證明：∵C，F(xiàn)都在⊙O上，∴∠C=∠F．∵GA=GC，∴∠CAF=∠C．∴∠CAF=∠F．∴AC∥DF．(2)解：連接AD．∵AC∥DF，∴∠C=∠1，∵，∴．∴．①∵AB⊥CD于E，∴∠BED=90°．∴．②∴由①，②得∠1=30°，∠2=60°．

∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形．∴．∵直徑AB⊥CD于E，∴．∴AC=AD=6．

∵△AOD是等邊三角形，∴∠ADO=60°，∠1=30°．∴∠3=∠AOD-∠1=30°∵DF是⊙O的直徑，∴∠FAD=90°．∴在Rt△GAD中，．【點睛】此題考查了圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，平行線的判定定理，熟記圓周角定理及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·北京昌平·二模）如圖，在中，，，與交于點，，為直徑，點在上，連接，，．(1)求證：是的切線；(2)若，的半徑為3，求的長．【答案】(1)過程見詳解(2)【解析】【分析】（1）連接OD，OD=OB=OE，即有∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，再根據(jù)BE是直徑，得到∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，即有∠DBE+∠ODE=90°，再根據(jù)∠ADE=∠DBE，有∠ADE+∠ODE=90°，即有OD⊥AC，則結(jié)論得證；（2）先證，則有，利用=可求出OA，即可求出BC的值．(1)連接OD，如圖，∵OD=OB=OE，∴∠OBD=∠ODB，∠ODE=∠OED，∵BE是直徑，∴∠BDE=90°=∠DBE+∠DEB=∠ODB+∠ODE，∴∠DBE+∠ODE=90°，∵∠ADE=∠DBE，∴∠ADE+∠ODE=90°，∴OD⊥AC，∵OD為半徑，∴AC是⊙O的切線；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，有OD⊥AC，∵∠C=90°，∴BC⊥AC，∴，∴，∵在中，=，又∵OD=OB=3，∴OA=5，∴AB=OA+OB=8，∵，∴．即BC為．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、直徑作對圓周角為90°、平行的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識，證明切線是解答本題的關(guān)鍵．5．（2022·北京房山·二模）如圖，在中，的平分線交于點E，過點E作直線的垂線于交于點F，是的外接圓．(1)求證：是的切線；(2)過點E作于點H，若，求的長度．【答案】(1)見詳解(2)2【解析】【分析】（1）連接OE，先證明BF是圓的直徑，OE是圓的半徑，再證明在，則有∠OEA=∠C=90°，結(jié)論得證；（2）連接ED，根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明EH=EC，再證△EHF≌△ECD，則HF可求．(1)連接OE，如圖，∵EF⊥BE，∴∠BEF=90°，∵⊙O是△BEF的外接圓，∴BF是⊙O的直徑，OE是⊙O的半徑，∴∠OEB=∠OBE，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠OBE=∠CBE，∴∠OEB=∠CBE，∴，∴∠OEA=∠C=90°，即OE⊥AC，∵OE是半徑，∴AC是⊙O的切線；(2)連接ED，如圖，∵BE平分∠ABC，且EH⊥BA，EC⊥BC，∴EH=EC，∵四邊形BDEF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠EFH=∠EDC，∵∠EHF=∠C=90°，∴△EHF≌△ECD，∴HF=CD=2，即HF的值為2．【點睛】此題考查了圓的切線的判定、圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確的作出所需輔助線．6．（2022·北京房山·二模）下面是小文設(shè)計的“過圓外一點作圓的切線”的作圖過程．已知：和圓外一點P．求作：過點P的的切線．作法：①連接；作的垂直平分線與交于點M；②以半徑作，交于點A，B；③作直線；所以直線為的切線．請利用尺規(guī)作圖補全小文的作圖過程，并完成下面的證明．證明：連接．∵為的直徑，∴__________=__________（__________）（填推理的依據(jù)）．∴∵為半徑，∴直線為的切線．（__________）（填推理的依據(jù)）．【答案】OBP，90，直徑所對圓周角為直角，過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線【解析】【分析】根據(jù)題目要求作圖即可，根據(jù)作圖方法可知OP為⊙M的直徑，即可得OA⊥AP，OB⊥BP，根據(jù)OA、OB為⊙O半徑即可求證結(jié)論．【詳解】尺規(guī)作圖如下：連接OA，OB．∵OP為⊙M的直徑，∴根據(jù)直徑所對圓周角為直角有∠OAP=∠OBP=90°．∴OA⊥AP，OB⊥BP∵OA、OB為⊙O半徑，又∵過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線，∴直線PA、PB為⊙O的切線．故答案為：OBP，90，直徑所對圓周角為直角，過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線．【點睛】本題考查了作圖—基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解答本題的關(guān)鍵，本題還考查了圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)．7．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，AB是的弦，C為上一點，過點C作AB的垂線與AB的延長線交于點D，連接BO并延長，與交于點E，連接EC，CD是的切線．(1)求證：；(2)若，，求BD的長．【答案】(1)證明見解析(2)1【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)易得，由平行線的性質(zhì)得到，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到，由三角形外角性質(zhì)易得即可求解；（2）連接BC和AC，CO，根據(jù)BE是的直徑和切線的性質(zhì)易得，由圓周角定理得到，結(jié)合得到，進而可得，將，代入即可求解．(1)證明：連接OC，如下圖．∵CD是的切線，過點C作AB的垂線與AB的延長線交于點D，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴；(2)解：連接BC和AC，CO，如下圖．∵BE是的直徑，∴，∴．∵CD是的切線，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．∵，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值的求法，作出輔助線是解答關(guān)鍵．8．（2022·北京順義·二模）如圖，內(nèi)接于，AB是的直徑，點D在AB的延長線上，且，點E為AC的中點，連接OE并延長與DC的延長線交于點F．(1)求證：CD是的切線；(2)若，，求CF的長．【答案】(1)見解析(2)6【解析】【分析】（1）根據(jù)AB是的直徑，可得，由得，結(jié)合已知條件，根據(jù)可得，即可得證；（2）證明，得出，根據(jù)，可得，從而求得的長，進而求得的長，由點E為AC的中點，根據(jù)垂徑定理以及，證明，根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．(1)證明：如圖，連接，，，，AB是的直徑，,，，即，是半徑，CD是的切線；(2)，，，，，可得，，，，點E為AC的中點，，又，，，即，．【點睛】本題考查了切線的判定，直徑所對的圓周角是直角，垂徑定理的推論，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．9．（2022·北京順義·二模）在平面直角坐標系xOy中，對于點R和線段PQ，給出如下定義：M為線段PQ上任意一點，如果R，M兩點間的距離的最小值恰好等于線段PQ的長，則稱點R為線段PQ的“等距點”．(1)已知點．①在點，，，中，線段OA的“等距點”是______；②若點C在直線上，并且點C是線段OA的“等距點”，求點C的坐標；(2)已知點，點，圖形W是以點為圓心，1為半徑的位于x軸及x軸上方的部分．若圖形W上存在線段DE的“等距點”，直接寫出t的取值范圍．【答案】(1)①；②或；(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)定義求解即可求解；（2）求得，根據(jù)定義作出圖形，圖形W上存在線段DE的“等距點”，則與線段，有交點，進而即可求解．(1)①如圖，，，點，，，，，是線段OA的“等距點”；②如圖，根據(jù)定義可知，點C在直線上，并且點C是線段OA的“等距點”，，且在上，，，解得，或；(2)點，點如圖，根據(jù)定義，以為半徑，D,E為圓心，作，分別交軸負半軸，軸正半軸于點，則，設(shè)與正半軸交于點，，上的點到的距離為圖形W上存在線段DE的“等距點”，則與線段，有交點根據(jù)題意可知，當(dāng)半與只有一個交點時，在負半軸時，，當(dāng)在正半軸時，，當(dāng)與內(nèi)切時，當(dāng)與外切時，，綜上所述，．【點睛】本題考查了新定義，勾股定理求兩點距離，圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，理解新定義是解題的關(guān)鍵．10．（2022·北京門頭溝·二模）下面是小明同學(xué)設(shè)計的“作圓的內(nèi)接正方形”的尺規(guī)作圖過程．已知：如圖，⊙O．求作：⊙O的內(nèi)接正方形．作法：①作⊙O的直徑AB；②分別以點A，B為圓心，大于AB同樣長為半徑作弧，兩弧交于M，N；③作直線MN交⊙O于點C，D；④連接AC，BC，AD，BD．∴四邊形ACBD就是所求作的正方形．根據(jù)小明設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵MN是AB的，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．∴

AC=BC=BD=AD．（）（填推理依據(jù)）∴四邊形ACBD是菱形．又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．（）（填推理依據(jù)）∴四邊形ACBD是正方形．【答案】(1)見解析(2)垂直平分線；同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等；直徑所對的圓周角是90°【解析】【分析】（1）根據(jù)題目要求進行作圖即可得到答案；（2）根據(jù)題意可知MN⊥AB則∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°，由圓心角與弦之間的關(guān)系可得AC=BC=BD=AD即可證明四邊形ACBD是菱形，再由直徑所對的圓心角是90度即可證明四邊形ACBD是正方形．(1)解：如下圖所示，即為所求；(2)證明：∵MN是AB的垂直平分線，∴∠AOC=∠COB=∠BOD=∠DOA=90°．∴

AC=BC=BD=AD．（同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等），∴四邊形ACBD是菱形．又∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．（直徑所對的圓周角是90°），∴四邊形ACBD是正方形．故答案為：垂直平分線；同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等；直徑所對的圓周角是90°．【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—線段垂直平分線，直徑所對的圓周角是90°，菱形的判定，正方形的判定，圓心角與弦直徑的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．11．（2022·北京豐臺·二模）已知：如圖，射線AM．求作：△ABC，使得，．作法：①在射線AM上任取一點O（不與點A重合）；②以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線AM于A，C兩點；③以點C為圓心，CO長為半徑畫弧，交于點B；④連接AB，BC．△ABC就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明：證明：連接OB．在⊙O中，OB＝OC在⊙C中，OC＝＝BC∴OB＝OC＝BC∴△OCB是等邊三角形∴∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝_________°（_________）（填推理的依據(jù)）．∴∴．【答案】(1)見解析(2)90，直徑所對的圓周角是直角【解析】【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）證明△OCB是等邊三角形，求出∠ABC＝90°即可．(1)解：如圖，△ABC即為所作；

(2)證明：連接OB．在⊙O中，OB＝OC，在⊙C中，OC＝BC，∴OB＝OC＝BC，∴△OCB是等邊三角形，∴，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°（直徑所對的圓周角是直角），∴，∴．故答案為：90，直徑所對的圓周角是直角．【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直角，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．12．（2022·北京西城·二模）如圖，AB是的直徑，CB，CD分別與相切于點B，D，連接OC，點E在AB的延長線上，延長AD，EC交于點F．(1)求證：；(2)若，，，求FA的長．【答案】(1)見解析(2)3【解析】【分析】（1）連接OD，證明△CDO≌△CBO（SSS），得∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，又因為OD=OA，得∠OAD=∠ODA，所以∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，即可證得∠COB=∠OAD，即可由平行線的判定定理，得出結(jié)論；（2）由FA=FE，得∠FAE=∠FEA，又由（1）知：∠COB=∠OAD，所以∠COE=∠CEO，則CO=CE，又由切線的性質(zhì)得OB⊥CB，根據(jù)等腰三角形“三線合一”性質(zhì)得OB=BE=2，從而求出AE=6，OE=4，再由切線性質(zhì)得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得CF=，最后證△EOC∽△EAF，得，即，可求得FE=3，即可由FA=FE得出答案．(1)證明：如圖，連接OD，∵CB，CD分別與相切于點B，D，∴CD=CB，∵OD=OB，OC=OC，∴△CDO≌△CBO（SSS），∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，∴FAOC；(2)解：∵FA=FE，∴∠FAE=∠FEA，由（1）知：∠COB=∠OAD，∴∠COE=∠CEO，∴CO=CE，∵CB是⊙O的切線，∴OB⊥CB，∴OB=BE=2，∴OA=OB=2，∴AE=6，OE=4，∵CB、CD是⊙O的切線，∴CB=CD=4，在Rt△CBE中，由勾股定理，得CE=，∵FAOC，∴△EOC∽△EAF，∴，即，∴FE=3，∴FA=FE=3．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13．（2022·北京大興·二模）如圖，在中，，AD是的平分線，O是AB上一點，以O(shè)A為半徑的經(jīng)過點D．(1)求證：BC是切線；(2)若，求AC的長．【答案】(1)見解析(2)6【解析】【分析】（1）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可．（2）過點D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長，再通過證明△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AC的長．(1)連接OD；∵AD是∠BAC的平分線，∴∠1=∠3．∵OA=OD，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3．∴OD∥AC．∴∠ODB=∠ACB=90°．∴OD⊥BC．∵OD是⊙O的半徑，∴BC是⊙O切線．(2)過點D作DE⊥AB，∵AD是∠BAC的平分線，∴CD=DE=3．在Rt△BDE中，∠BED=90°，由勾股定理得：∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC．∴．∴．∴AC=6．【點睛】^$本題綜合性較強，既考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理得到BE的長，及相似三角形的性質(zhì)．14．（2022·北京密云·二模）如圖，在中，，以BC為直徑的⊙O與AC交于點D，DE是⊙O的切線．(1)計算的度數(shù)；(2)若，，求線段DE的長．【答案】(1)90°(2)【解析】【分析】（1）連接OD，BD，由直徑所對圓周角等于90度得∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°，再由切線的性質(zhì)得∠BDE+∠BDO=∠ODE=90°，所以∠BDE=∠ODC，∠ADE=∠BDO，然后由OB-OC，則∠C=∠ODC，BA=BC，則∠C=∠A，所以∠A+∠ADE=90°，最后由三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）由（1）知：∠AED=∠ADB=90°，則tan∠A===，所以AD=2BD，AE=2DE，又因為AB=BC=2，在Rt△ADB中，由勾股定理，可求出BD=2，AD=4，再在Rt△ADE中，由勾股定理可求出DE長．(1)解：如圖，連接OD，BD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BDO+∠ODC=∠BDC=90°，∴∠BDE+∠ADE=∠BDA=90°，∵DE是⊙O的切線，∴∠BDE+∠BDO=∠ODE=90°，∴∠BDE=∠ODC，∠ADE=∠BDO，∵OD=OC，∴∠C=∠ODC，∴∠C+∠ADE=∠C+∠BDO=90°，∵BA=BC，∴∠C=∠A，∴∠A+∠ADE=90°，∴∠AED=180°-（∠A+∠ADE）=90°；(2)解：由（1）知：∠AED=∠ADB=90°，∴tan∠A===，∴AD=2BD，AE=2DE，∵AB=BC=2，∴在Rt△ADB中，由勾股定理，得AD2+BD2=AB2，∴（2BD）2+BD2=（2）2，∴BD=2，∴AD=4，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD2，（2DE）2+DE2=42，∴DE=．【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理，正切的定義，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理的推論、正切的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2022·北京北京·二模）如圖，為的直徑，，過點A作的切線，交的延長線于點E．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)5【解析】【分析】（1）根據(jù)同圓中，等弧相等性質(zhì)可得，再利用等邊對等角及等量代換即可證得從而證得結(jié)論．（2）連接，利用直徑所對的圓周角是直角結(jié)合（1）中平行線的性質(zhì)可求得，從而得到，根據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的值結(jié)合勾股定理即可求得答案．(1)證明：，∴，∵，∴，∴，∴．(2)如圖，連接，∵為的直徑，∴，∵，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，∴，在中，，，∴，解得，，∴，∵在中，，∴，解得，∴．【點睛】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)值及勾股定理解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握圓周角定理及平行線的判定及銳角三角函數(shù)值及勾股定理解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．16．（2022·北京平谷·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，過B作⊙O的切線，與弦AD的延長線交于點C，，E是直徑AB上一點，連接DE并延長與直線BC交于點F，連接AF．(1)求證：；(2)若，⊙O的半徑長為6，求EF的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理、切線性質(zhì)以及題中可得，從而得出結(jié)論；（2）連接，由（1）知，得出，得出，在中，，⊙O的半徑長為6，解得，從而，設(shè)，則，解得，即，在中，利用勾股定理得結(jié)論．(1)證明：連接，如圖所示：AB是⊙O的直徑，，即，過B作⊙O的切線，，，，，；(2)解：連接，如圖所示：在等腰中，，，，，，在中，，⊙O的半徑長為6，則，解得，，設(shè)，則，解得，在中，，，則利用勾股定理得．【點睛】本題考查圓綜合，涉及到圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、正切函數(shù)求線段長、勾股定理等知識點，根據(jù)題意準確作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．17．（2022·北京東城·二模）如圖，在中，，，在上截取，過點作于點，連接AD，以點為圓心、的長為半徑作．(1)求證：是⊙A的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）過點作于，根據(jù)同旁內(nèi)角互補證得，可證得，利用可證得，則可證得，根據(jù)切線的判定即可求證結(jié)論．（2）根據(jù)角相等即可得，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．(1)過點作于，如圖所示，，，，，，，，，，在和中，，，，且為的半徑，是的半徑，是的切線．(2)，，，，，，，，解得，的長為．【點睛】本題考查了切線判定、三角形全等的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)，切線的判定及相似三角形判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（2022·北京朝陽·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，交AC于點E，．(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若，，求cosD．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）連接OC．證∠OCD=90°，即可得出結(jié)論；（2）先求出．再同由勾股定理求出DC=3，OD=5，最后由余弦定義求解．(1)證明：如圖，連接OC．∵交AC于點E，∴,∴．∵，∴．∵，∴,∵，∴，∴∠OCD=，∴，∴DC是⊙O的切線，(2)解：∵，∴，∵，∴．設(shè)，∵，∴．解得，∴，．∴在Rt△OCD中，．【點睛】本師考查切線的判定，解直角三角形，掌握切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．19．（2022·北京豐臺·二模）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，A為任意一點，B為⊙O上任意一點，給出如下定義：記A，B兩點間的距離的最小值為p（規(guī)定：點A在⊙O上時，），最大值為q，那么把的值稱為點A與⊙O的“關(guān)聯(lián)距離”，記作d（A，⊙O）(1)如圖，點D，E，F(xiàn)的橫、縱坐標都是整數(shù)①d（D，⊙O）＝__________；②若點M在線段EF上，求d（M，⊙O）的取值范圍；(2)若點N在直線上，直接寫出d（N，⊙O）的取值范圍；(3)正方形的邊長為m，若點P在該正方形的邊上運動時，滿足d（P，⊙O）的最小值為1，最大值為，直接寫出m的最小值和最大值．【答案】(1)①2，②2≤d（M，⊙O）≤3(2)d（N，⊙O）≥(3)m的最小值為1，最大值為【解析】【分析】（1）①因為D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，根據(jù)關(guān)聯(lián)距離的定義可求；②先求d（E，⊙O）和d（F，⊙O），則d（M，⊙O）在其之間即可；（2）當(dāng)過O的直線ON⊥AB時，d（N，⊙O）最小，根據(jù)三角形的面積公式可求ON的值，而ON無最大值，即可求出d（N，⊙O）的取值范圍；（3）當(dāng)正方形是⊙O的外切正方形時，m的最小值是1，當(dāng)如圖3時，m取最大值，即，可求m的值，從而求得m的最小值和最大值．(1)解：①∵D到⊙O的最小值p=1，最大值q=3，∴d（D，⊙O）=，故答案為2；②當(dāng)M在點E處，d（E，⊙O）=2，當(dāng)M在點F處，d（F，⊙O）=，∴2≤d（M，⊙O）≤3．(2)解：設(shè)ON=d，∴p=d-r=d-1，q=d+r=d+1，∴d（N，⊙O）=，∵N在直線上，設(shè)直線交x軸于B，交y軸于A，如圖，則x=0時，y=，y=0時，x=-2，∴A，B，∴OA=，OB=2，∴AB=，當(dāng)ON⊥AB時，d（N，⊙O）最小，∵，∴ON=，∵ON無最大值，∴d（N，⊙O）≥．(3)解：如圖2，當(dāng)正方形是⊙O的外切正方形時，m的最小值是1，如圖3，d（P，⊙O）有最大值，則，∴∴m的最小值為1，最大值為．【點睛】本題是新定義題，考查了對新定義的理解，點到直線的距離，勾股定理，解題的關(guān)鍵是準確理解關(guān)聯(lián)距離這個新定義．20．（2022·北京師大附中模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P在線段AD上，由點D向點A運動，當(dāng)點P與點A重合時，停止運動．以點P為圓心，PD為半徑作⊙P，⊙P與AD交于點M點Q在⊙P上且在矩形ABCD外，∠QPD＝120°．(1)當(dāng)時PC＝，扇形QPD的面積＝，點C到⊙P的最短距離＝；(2)⊙P與AC相切時求PC的長？(3)如圖⊙P與AC交于點E、F當(dāng)EF＝6.4時，求PD的長？(4)請從下面兩問中，任選一道進行作答．①當(dāng)⊙P與△ABC有兩個公共點時，直接寫出PD的取值范圍；②直接寫出點Q的運動路徑長以及BQ的最短距離．【答案】(1)，，；(2)；(3)4；(4)①PD的范圍為：3＜PD＜6或；②點Q的運動路徑長是，BQ的最短距離是．【解析】【分析】（1）根據(jù)已知直接可求；（2）⊙P與AC相切時，設(shè)切點為點H，連接PH，則PH⊥AC，在Rt△ADC中，AB＝6，BC＝8，得AC＝10；在Rt△ADC中，，設(shè)⊙P半徑為x，則PH＝PD＝x，AP＝8－x，在Rt△AHP中，，可求x＝3，在Rt△PDC中，CD＝6，PD＝3，求得；（3）過點P作PH⊥AC，連接PF；則∠PHA＝∠ADC＝90°，可證△AHP∽△ADC，設(shè)⊙P半徑為x，則PF＝PD＝x，AP＝8－x，則，在⊙P中，F(xiàn)H⊥AC，EF＝6.4，HF＝3.2，在Rt△PHF中，，求得PD＝4；（4）①作PM⊥AC于M，作PN⊥BC于N，易知PM＝PD時，⊙P與AC相切，與△ABC只有一個公共點，PM＜PD時⊙P與△ABC沒有公共點；當(dāng)PN＝PD時，⊙P與BC相切，⊙P與△ABC有三個公共點，當(dāng)PB＝PD時，⊙P與△ABC有三個公共點；當(dāng)PB＜PD≤AD時，⊙P與△ABC有且只有兩個公共點；故3＜PD＜6或；②由∠QPD＝120°，PQ＝PD可得：∠ADQ＝30°，即Q的路徑是一條線段，且線段DQ位于AD上方，易求得，BQ的最短距離即點B到DQ的垂線段長度，可求得DQ的最小值；(1)解：如圖1，連接PC，QP，PC交⊙P于T，∵矩形ABCD∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，在Rt△CDP中，由勾股定理得：，∵∠QPD＝120°，∴，故答案為：，，；(2)解∶如圖2，⊙P與AC相切時，設(shè)切點為點H，連接PH，則PH⊥AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，在Rt△ADC中，，設(shè)⊙P半徑為x，則PH＝PD＝x，AP＝8－x，在Rt△AHP中，，∴，∴x＝3，在Rt△PDC中，CD＝6，PD＝3，∴；(3)解∶如圖3，過點P作PH⊥AC，連接PF；則∠PHA＝∠ADC＝90°，∵∠PAH＝∠DAC，∴△AHP∽△ADC，∴，設(shè)⊙P半徑為x，則PF＝PD＝x，AP＝8－x，∴，在⊙P中，F(xiàn)H⊥AC，EF＝6.4，∴HF＝3.2，在Rt△PHF中，，∴x＝4或x＝－13（舍去），∴PD＝4；(4)解∶①如圖4，作于M，作于N，當(dāng)時，與AC相切，只有1個公共點，由（2）知，此時PD＝3，當(dāng)時，與△ABC有3個公共點；當(dāng)6＜PN≤PB時，⊙P與△ABC有3個公共點；，∴，解得：綜上所述，PD的范圍為：3＜PD＜6或；②如圖5，∵∠QPD＝120°，當(dāng)點P與點A重合時，AQ＝AD∴點Q的運動路徑是線段DQ，∠DAQ＝120°，∠ADQ＝∠AQD＝30°，BQ的最短距離是點B到直線CQ的距離；過點B作BK⊥CQ于K，BK交AD于S，過A作AL⊥CQ于L，連接BD，AQ，∵AL⊥CQ，∴∠ALD＝∠ALQ＝90°，∵AQ＝AD，AL＝AL∴Rt△ADL≌Rt△AQL∴DL＝QL，∠DAL＝∠QAL＝60°，∴，即∴在Rt△BCD中，設(shè)SD＝m，則，∵∠ASB＝∠DSK＝90°－∠ADQ＝90°－30°＝60°，∴∠ABS＝30°∴，即8－m＝6tan30°，解得：∴，∴故點Q的運動路徑長是，BQ的最短距離是．【點睛】本題考查圓的有關(guān)概念；解直角三角形，垂徑定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握圓中的相關(guān)概念，垂徑定理，切線的性質(zhì)，靈活運用直角三角形的知識解題是關(guān)鍵．21．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐標系中，對于線段MN及P、Q，若且線段MN關(guān)于點P的中心對稱線段恰好經(jīng)過點Q，則稱Q是點P的線段對經(jīng)點.(1)設(shè)點，①，，，其中為某點的線段對經(jīng)點的是___________.②選出①中一個符合題意的點Q，則此時所對應(yīng)的對稱中心的坐標為.③已知，設(shè)的半徑是r，若上存在某點P的線段對經(jīng)點，求r的取值范圍.(2)已知，，若點同時是相異兩點，的線段對經(jīng)點，直接寫出的取值范圍.【答案】(1)①，②或或③(2)．【解析】【分析】（1）①按定義，根據(jù)“定角定弦”確定出P點軌跡及對稱點的軌跡（優(yōu)?。?，逐一判斷即可；②根據(jù)兩點間距離公式，根據(jù)Q點確定出P點坐標，再根據(jù)中心對稱性質(zhì)推理出O’，A’坐標，判斷Q是否在其上即可；③根據(jù)題意作出P點軌跡及對稱后點O’，A’軌跡，判斷出r的最大值，為通過圓心M的直徑的線段，借助勾股定理求解；（2）根據(jù)，坐標，確定出P點軌跡及圓心位置，借助輔助線，推理出Q點位置與F、T的位置關(guān)系，得到不等式組，求解．(1)解：①由∠APO=45°知，P點軌跡為以E（1,1）或(-1,1)為圓心，以AE的長為半徑的兩個優(yōu)弧上，題目中給的Q點坐標均在y軸右側(cè)，則其對應(yīng)的P點軌跡為右側(cè)優(yōu)弧如圖1所示，由題意知，AE==EH=EF，∴P點橫坐最大值為+1，縱坐標取值范圍為：1－≤y≤1+，設(shè)P（m，n），由PE=得：（m-1）2+（n-1）2=2，∴A（0,2）關(guān)于P對稱的點為A’（2m，2n-2）O（0,0）關(guān)于P對稱的點為O’（2m，2n）∴線段A’O’y軸當(dāng)Q1（4,0）在A’O’上時，2m=4，即m=2∴n=0或n=2，即此時P（2，0）或P（2,2）對應(yīng)的A’（4,-2），O’（4,0），Q2在O’A’上，符合題意或?qū)?yīng)的A’（4,2），O’（4,4），Q2不在O’A’上，不符合題意當(dāng)Q2（2,2）在A’O’上時，2m=2，即m=1∴，n=1+或n=1－P（1，1+），A’（2,2），O’（2,2+2），Q2不在O’A’上，不符題意當(dāng)在A’O’上時，2m=2+，即m=∴，解得：n=或n=此時P（，）或（，）A’（,1），O’（,3）或A’（,-1），O’（,1）∴Q3在A’O’上，滿足題意綜上所述，答案為：Q1、Q3．②由①知，Q1對應(yīng)的P點坐標為（2,2）；Q3對應(yīng)的P點的坐標為：（，）或（，）③由上知，設(shè)P（m，n），由PE=得：（m-1）2+（n-1）2=2，A（0,2）關(guān)于P對稱的點為A’（2m，2n-2）O（0,0）關(guān)于P對稱的點為O’（2m，2n）P點軌跡為以E為圓心，為半徑的優(yōu)弧如圖2，O關(guān)于P對稱的點為O’，OP:OO’=1:2，OE：OM=1：2，∴△OEP∽△OMO’∴PE：O’M=1:2∴O’的軌跡為以M（2,2）為圓心，以2為半徑的優(yōu)弧同理，A’的軌跡為以（2,0）為圓心，以2為半徑的優(yōu)弧，如圖3，故連接BM交圓M于N，此時BN的長度最大，該最大值為r的最大值，∴r≤2+由圖知，r>1綜上所述，滿足題意的r的取值范圍為：1<r≤2+．(2)解：由題意，知：P的軌跡為以（0，t）為圓心，以t為半徑的優(yōu)弧上（藍色），如圖4，D關(guān)于P對稱的D’的軌跡為以（2t，-t）為圓心，以2t為半徑的優(yōu)弧上C關(guān)于P對稱的C’的軌跡為以（2t，t）為圓心，以2t為半徑的優(yōu)弧上作y軸平行線，當(dāng)該直線與紅色優(yōu)弧相切時，交x軸于F，則OF=2t+2tC’的軌跡交x軸于T，則OT=OH+HT=2t+=2t+t，∵點同時是相異兩點，的線段對經(jīng)點，∴OT≤4≤OF即2t+t≤4≤2t+2t，解得：【點睛】本題考查了等腰直角三角形、中心對稱、勾股定理、圓等相關(guān)知識，理解題意并確定出動點軌跡是解題關(guān)鍵．22．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐標系xOy中，點P不在坐標軸上，點P關(guān)于x軸的對稱點為P1，點P關(guān)于y軸的對稱點為P2，稱△P1PP2為點P的“關(guān)聯(lián)三角形”．(1)已知點A(1，2)，求點A的“關(guān)聯(lián)三角形”的面積；(2)如圖，已知點B(m，n)，⊙T的圓心為T(2，2)，半徑為2．若點B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點，直接寫出m的取值范圍；(3)已知⊙O的半徑為r，OP=2r，若點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點，直接寫出∠PP1P2的取值范圍．【答案】(1)4(2)0<m≤4(3)0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°【解析】【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)三角形”的定義求得A1(1，-2)，A2(-1，2)，利用三角形的面積公式求解即可；（2）找到四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，且D(2，2)，畫出圖形，利用“關(guān)聯(lián)三角形”的定義、數(shù)形結(jié)合即可求解；（3）分兩種情況，當(dāng)PP2與⊙O相切時，PP1與⊙O相切時，利用“關(guān)聯(lián)三角形”的定義、數(shù)形結(jié)合即可求解．(1)解：∵點A(1，2)關(guān)于x軸的對稱點為A1(1，-2)，點A關(guān)于y軸的對稱點為A2(-1，2)，∴S△AA1A2的面積=×2×4=4；(2)解：∵⊙T的圓心為T(2，2)，半徑為2．∴四邊形OADC是⊙T的外接四邊形，∴D(2，2)，∵點B的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙T有公共點，且點B(m，n)，∴0<m≤4；(3)解：當(dāng)PP2與⊙O相切于點E時，如圖：∵OE=r，OP=2r，∴∠OPE=30°，∴∠OPP1=∠OP1P=60°，∴當(dāng)60°<∠OP1P<90°時，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點；當(dāng)PP1與⊙O相切于點F時，如圖：∵OF=r，OP=2r，∴∠OPE=∠OP1P=30°，∴當(dāng)0°<∠OP1P<30°時，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點；綜上，點P的“關(guān)聯(lián)三角形”與⊙O有四個公共點，∠PP1P2的取值范圍為：0°<∠OP1P<30°或60°<∠OP1P<90°．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐標系中，的半徑為1，對于和直線給出如下定義：若的一條邊關(guān)于直線的對稱線段是的弦，則稱是的關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)三角形”，直線是“關(guān)聯(lián)軸”．(1)如圖1，若是的關(guān)于直線的“關(guān)聯(lián)三角形”，請畫出與的“關(guān)聯(lián)軸”（至少畫兩條）；(2)若中，點坐標為，點坐標為，點在直線的圖像上，存在“關(guān)聯(lián)軸”使是的關(guān)聯(lián)三角形，求點橫坐標的取值范圍；(3)已知，將點向上平移2個單位得到點，以為圓心為半徑畫圓，，為上的兩點，且（點在點右側(cè)），若與的關(guān)聯(lián)軸至少有兩條，直接寫出的最小值和最大值，以及最大時的長．【答案】(1)見解析(2)(3)，，【解析】【分析】(1)根據(jù)A（1，2），B（2，1），C（4，1），計算AB=，確定圓O長為的弦，再確定其對稱軸即可．(2)根據(jù)A（2，3），B（4，1），計算AB=，故AB不能落在圓的內(nèi)部；過點A作AN⊥y軸，垂足為N，則AN=2，等于圓的直徑，存在“關(guān)聯(lián)軸”使是的關(guān)聯(lián)三角形，此時；作點B關(guān)于x軸的對稱點P，此時BP=2，等于圓的直徑，存在“關(guān)聯(lián)軸”使是的關(guān)聯(lián)三角形，此時，綜上所述，點C橫坐標的范圍是．(3)如圖，連接OM，交圓M于點C，此時OC最小，根據(jù)勾股定理，得OM=，圓M的半徑為2，計算OC的最小值；OC=，此時AC=4．(1)如圖1，作BM⊥x軸，垂足為M，根據(jù)題意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°，∴∠EFB=90°，∴四邊形ABFE是正方形，∴邊AE，BF的中點所在直線就是與的一條“關(guān)聯(lián)軸”；∵的半徑為1，∴EH=GH=FG=EF==，且∠EFG=90°，∴四邊形EFGH是正方形，∵∠EFG+∠EFB=180°，∴B、F、G三點共線，∴直線EF是與的一條“關(guān)聯(lián)軸”．(2)如圖2，根據(jù)A（2，3），B（4，1），C（4，1），計算AB=，故AB不能落在圓的內(nèi)部；過點A作AN⊥y軸，垂足為N，則AN=2，等于圓的直徑，存在“關(guān)聯(lián)軸”使是的關(guān)聯(lián)三角形，此時；作點B關(guān)于x軸的對稱點P，此時BP=2，等于圓的直徑，存在“關(guān)聯(lián)軸”使是的關(guān)聯(lián)三角形，此時，綜上所述，點C橫坐標的范圍是．(3)如圖，連接OM，交圓M于點C，此時OC最小，根據(jù)勾股定理，得OM=，圓M的半徑為2，故OC的最小值為；當(dāng)點C是直徑AC的一個端點時,OC最大,根據(jù)勾股定理，得OC=，此時AC=4.【點睛】本題考查了新定義問題，軸對稱的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握圓的性質(zhì)，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．24．（2022·北京市十一學(xué)校模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：點P為圖形G上任意一點，將點P到原點O的最大距離與最小距離之差定義為圖形G的“全距”．特別地，點P到原點O的最大距離與最小距離相等時，規(guī)定圖形G的“全距”為0．(1)已知，點，．①原點O到線段AB上一點的最大距離為_______，最小距離為_______；②當(dāng)點C的坐標為時，且的“全距”為4，求m的取值范圍；(2)已知，等邊的三個頂點均在半徑為3的上．求的“全距”d的取值范圍．【答案】(1)①6，2；②2<m≤6；(2)≤d≤.【解析】【分析】（1）①畫出直線AB的圖象即可得解；②結(jié)合圖象及全距的意義可得解；（2）當(dāng)點O與等邊三角形的一邊共線時，△DEF的“全距”為，當(dāng)?shù)冗叀鱀EF的一個頂點在線段OM的延長線上時，△DEF的“全距”為，因此得解．(1)如圖，設(shè)直線AB為y=kx+b，由題意可得：，解之可得：k=0，b=2，∴直線AB即y=2，可知OA>OB，①由勾股定理可得：OA=，∴原點O到線段AB上一點的最大距離為6，最小距離為2，故答案為6，2；②如圖，由全距的意義可知，當(dāng)2<m≤6時，的“全距”為4；(2)O與等邊三角形的一邊共線時，如圖，△DEF的“全距”為，當(dāng)?shù)冗叀鱀EF的一個頂點在線段OM的延長線上時，如圖，△DEF的“全距”為，∴△DEF的“全距”的范圍為≤d≤.【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了兩點間的距離公式，點與線段的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系等知識，準確理解新定義是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．25．（2022·北京東城·一模）對于平面直角坐標系中的點C及圖形G，有如下定義：若圖形G上存在A，B兩點，使得為等腰直角三角形，且，則稱點C為圖形G的“友好點”．(1)已知點，，在點，，中，線段OM的“友好點”是_______；(2)直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點，若點為線段PQ的“友好點”，求b的取值范圍；(3)已知直線分別交x軸、y軸于E，F(xiàn)兩點，若線段EF上的所有點都是半徑為2的的“友好點”，直接寫出d的取值范圍．【答案】(1)C1、C3(2)1≤b<3或b>3(3)≤d≤【解析】【分析】（1）根據(jù)“友好點”的定義逐個判斷即可；（2）分兩種情況討論，直線PQ在點C上方或下方．過B作PQ的垂線，垂足為B，交x軸于H，根據(jù)題目中的定義知：BQ或BP的長度要大于或等于BC的長度，求解即可；（3）首先分析得到E點的運動范圍，作出圖形知OE≥2，當(dāng)EH平分∠FEO時，其中H（2，0），是其最大臨界值，根據(jù)勾股定理求出最大值為，即得結(jié)論．(1)解：如圖所示，由題意知三角形OC1M為等腰直角三角形，C1符合題意；過C2作C2A⊥OM于A，則AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合題意；過C3作C3B⊥OM于B，則C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合題意；故答案為：C1、C3．(2)解：分兩種情況討論，當(dāng)直線PQ在C點上方時，過C作CB⊥PQ于B，延長BC交x軸于H，如圖所示，則△BPH為等腰直角三角形，BP=BH>BC，故在線段PQ上必存在A點，使得∠ABC=90°，AB=BC，將x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，即b>3；當(dāng)直線PQ在C點下方時，過C作CB⊥PQ于B，CB延長線交x軸于H，則當(dāng)BQ≥BC時，符合題意，當(dāng)直線PQ過H點時，BQ=BC，如圖所示，此時，－1+b=0，即b=1，即1≤b<3，綜上所述，b的取值范圍為：1≤b<3或b>3．(3)解：根據(jù)題意，為的弦，根據(jù)定義可知，，當(dāng)取得最小，點在上，此時則則當(dāng)取得最大值時，為的直徑，當(dāng)?shù)拈L度變化時，總能在上找到點使得，則符合題意的點在如圖中陰影部分中運動，通過分析可知，當(dāng)直線EF在下圖中的位置時，d取得最大值，此時，∠HEO=22.5°，即EH為∠EHF的平分線，過H作HM⊥EF于M，則HM=OH=2，∴FM=2，由勾股定理得：FH=，即OE=OF=，即d=∴≤d≤．【點睛】本題考查了新定義的問題，涉及到一次函數(shù)與圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，所用到的數(shù)學(xué)思想方法為數(shù)形結(jié)合、分類討論，該題綜合性較強．解題關(guān)鍵是讀懂題意，借助定義作出符合題意的圖形．26．（2022·北京密云·二模）對于平面直角坐標系xOy中的點與圖形T，給出如下定義：在點P與圖形T上各點連接的所有線段中，線段長度的最大值與最小值的差，稱為圖形T關(guān)于點P的“寬距”．(1)如圖，⊙O的半徑為2，且與x軸分別交于A，B兩點．①線段AB關(guān)于點P的“寬距”為______；⊙O關(guān)于點P的“寬距”為______．②點為x軸正半軸上的一點，當(dāng)線段AM關(guān)于點P的“寬距”為2時，求m的取值范圍．(2)已知一次函數(shù)的圖象分別與x軸、y軸交于D、E兩點，⊙C的圓心在x軸上，且⊙C的半徑為1．若線段DE上的任意一點K都能使得⊙C關(guān)于點K的“寬距”為2，直接寫出圓心C的橫坐標的取值范圍．【答案】(1)①2；4②2≤m≤6(2)xC≤-2或xC≥-1【解析】【分析】（1）①連接PA，PB，求出PA=5，PB=4，證PB⊥x軸，則PA是最大值，PB是最小值，即可由“寬距”定義求解第一空；作直線OP交⊙O于G、H，線段PH長度最大，PG長度最小，即可由“寬距”定義求解第二空；②當(dāng)0<m<2時，PA長度是最大值，PM長度是最小值，“寬距”=PA-PM<2，不符合題意，當(dāng)m≥2時，則點P到x軸的最短距離為3,即點P到AM的最短距離為3，所當(dāng)PM長度是最大時，最大值為2+3=5，則求得m=6，即可得出答案；（2）分兩種情況：當(dāng)點C(xC，0）在點D的左側(cè)，且⊙C經(jīng)過點D時，當(dāng)點C(xC，0）在點D的右側(cè)，且⊙C與直線y=x+1相切于點N時，分別求解即可．(1)解：①如圖1，連接PA，PB，由圖可知：A（-2，0），B（2，0），∴AB=4，∵P（2，3），∴PB⊥x軸，∴PB=3，PA==5，∴線段AB關(guān)于點P的“寬距”為5-3=2；作直線OP交⊙O于G、H，則點這與⊙O上各點連接的所有線段中，線段PH長度最大，PG長度最小，∴⊙O關(guān)于點P的“寬距”為PH-PG=GH=4；故答案為：2，4；②∵點為x軸正半軸上的一點，∴m>0，當(dāng)0<m<2時，PA長度是最大值，PM長度是最小值，“寬距”=PA-PM<2，不符合題意，當(dāng)m≥2時，∵P（2，3），∴點P到x軸的最短距離為3,即點P到AM的最短距離為3，又∵線段AM關(guān)于點P的“寬距”為2，∴當(dāng)PM長度是最大時，最大值為2+3=5，∴PM最大==5，解得m=6或m=-2，∴2≤m≤6．(2)解：如圖2，在直線y=x+1中，令x=0，則y=1，令y=0，則x=-1，∴D（-1，0），E（0，1），∴OD=OE=1，∴∠ODE=45°，當(dāng)點C(xC，0）在點D的左側(cè)，且⊙C經(jīng)過點D時，∵⊙C半徑為1，∴xC=-2，由（1）①第二空可知，當(dāng)xC≤-2時，線段DE上任意一點K都能使得⊙C關(guān)于K的“寬距”為2；當(dāng)點C(xC，0）在點D的右側(cè)，且⊙C與直線y=x+1相切于點N時，則CN⊥DE，∴CN=1，∵∠ODE=45°，∴∠DCN=90°-∠ODE=45°，∴DN=CN=1，∴CD==，∴OC=CD-OD=-1，由（1）①第二空可知，當(dāng)xC≥-1時，線段DE上任意一點K都能使得⊙C關(guān)于K的“寬距”為2；綜上，圓心C的橫坐標的取值范圍為xC≤-2或xC≥-1．【點睛】本題考查新定義，點與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，屬圓的綜合題目，新定義的理解和正確運用是解題的關(guān)鍵．27．（2022·北京豐臺·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，過點C作⊙O的切線，切點為D，過點B作BE⊥CD于點E，連接AD，BD．(1)求證：；(2)如果CA＝AB，BD＝4，求BE的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】（1）如圖1，連接OD，由CD切⊙O于點A得，從而得，進而得，另外由即可得出結(jié)論；（2）解：設(shè)OA=x，則CA=AB=2x，CO=CA+OA=3x，先證明，得從而有，另外由得，即可求得．(1)證明：如圖，連接OD，CD切⊙O于點A，，BE⊥CD，，，OD=OB，，；(2)解：如圖，設(shè)OA=x，則CA=AB=2x，CO=CA+OA=3x，，，，即，，AB是⊙O的直徑，，BE⊥CD，，，，，BD＝4，，解得．【點睛】本題主要考查了圓的切線、勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行線的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．（2022·北京平谷·二模）對于平面直角坐標系xOy中的圖形P，Q，給出如下定義：M為圖形P上任意一點，N為圖形Q上任意一點，如果M，N兩點間的距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形P，Q間的“非常距離”，記作．已知點，，連接AB．(1)d（點O，AB）＝；(2)⊙O半徑為r，若，直接寫出r的取值范圍；(3)⊙O半徑為r，若將點A繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點．①當(dāng)時，求出此時r的