第九講一次函數(原卷版+解析)

第九講一次函數【命題點1一次函數的圖像與性質】類型一與圖像有關的判定1．（2022?沈陽）在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+1的圖象是（）A． B． C． D．2．（2022?安徽）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+a2與y＝a2x+a的圖象可能是（）A． B． C． D．類型二一次函數解析式與象限的關系3．（2022?涼山州）一次函數y＝3x+b（b≥0）的圖象一定不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022?六盤水）如圖是一次函數y＝kx+b的圖象，下列說法正確的是（）A．y隨x增大而增大 B．圖象經過第三象限 C．當x≥0時，y≤b D．當x＜0時，y＜05．（2022?包頭）在一次函數y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值隨x值的增大而增大，且ab＞0，則點A（a，b）在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限類型三與一次函數增減性、最值有關的問題6．（2022?柳州）如圖，直線y1＝x+3分別與x軸、y軸交于點A和點C，直線y2＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于點B和點C，點P（m，2）是△ABC內部（包括邊上）的一點，則m的最大值與最小值之差為（）A．1 B．2 C．4 D．67．（2022?蘭州）若一次函數y＝2x+1的圖象經過點（﹣3，y1），（4，y2），則y1與y2的大小關系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y28．（2022?宿遷）甲、乙兩位同學各給出某函數的一個特征，甲：“函數值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數圖象經過點（0，2）”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的函數，其表達式是．類型四一次函數圖像的交點問題9.（2022?株洲）在平面直角坐標系中，一次函數y＝5x+1的圖象與y軸的交點的坐標為（）A．（0，﹣1） B．（﹣，0） C．（，0） D．（0，1）10．（2022?遼寧）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點D為OB的中點，?OCDE的頂點C在x軸上，頂點E在直線AB上，則?OCDE的面積為．11.（2014?宜賓）如圖，過A點的一次函數的圖象與正比例函數y＝2x的圖象相交于點B，則這個一次函數的解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+312．（2020?南通）如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2交于點C（1，m），與x軸交于點B．（1）求直線l2的解析式；（2）點M在直線l1上，MN∥y軸，交直線l2于點N，若MN＝AB，求點M的坐標．【命題點2一次函數圖像的平移、旋轉與對稱】13．（2022?廣安）在平面直角坐標系中，將函數y＝3x+2的圖象向下平移3個單位長度，所得的函數的解析式是（）A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣114．（2021?陜西）在平面直角坐標系中，若將一次函數y＝2x+m﹣1的圖象向左平移3個單位后，得到一個正比例函數的圖象，則m的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．615．（2020?南京）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象繞原點O逆時針旋轉90°，所得到的圖象對應的函數表達式是．16．（2022?阜新）當我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關于“一次函數圖象平移的性質”的探究過程，請補充完整．（1）如圖1，將一次函數y＝x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向右平移了個單位長度；（2）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）平移了個單位長度；（3）綜上，對于一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）（k＞0時）或將它向（填“左”或“右”）（k＜0時）平移了n（n＞0）個單位長度，且m，n，k滿足等式．【命題點3一次函數與方程、不等式結合】類型一一次函數與方程（組）的關系17．（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+b與直線y＝﹣3x+6相交于點A，則關于x，y的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．18．（2022?貴陽）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b與y＝mx+n（a＜m＜0）的圖象如圖所示．小星根據圖象得到如下結論：①在一次函數y＝mx+n的圖象中，y的值隨著x值的增大而增大；②方程組的解為；③方程mx+n＝0的解為x＝2；④當x＝0時，ax+b＝﹣1．其中結論正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4類型二一次函數與不等式（組）的關系19．（2022?南通）根據圖象，可得關于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞120．（2022?鄂州）數形結合是解決數學問題常用的思想方法．如圖，一次函數y＝kx+b（k、b為常數，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經過點A（3，1），當kx+b＜x時，根據圖象可知，x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞121．（2022?徐州）若一次函數y＝kx+b的圖象如圖所示，則關于kx+b＞0的不等式的解集為．22．（2022?揚州）如圖，函數y＝kx+b（k＜0）的圖象經過點P，則關于x的不等式kx+b＞3的解集為．23．（2022?襄陽）探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數y＝﹣|x|的圖象，并探究該函數性質．（1）繪制函數圖象①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中a＝1．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點：根據表中的數值描點（x，y），請補充描出點（2，a）；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數圖象；（2）探究函數性質請寫出函數y＝﹣|x|的一條性質：；（3）運用函數圖象及性質①寫出方程﹣|x|＝5的解；②寫出不等式﹣|x|≤1的解集．【命題點4一次函數與幾何圖形結合】24．（2022?黑龍江）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個實數根．（1）求C點坐標；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．25．（2022?攀枝花）如圖，直線y＝x+6分別與x軸、y軸交于點A、B，點C為線段AB上一動點（不與A、B重合），以C為頂點作∠OCD＝∠OAB，射線CD交線段OB于點D，將射線OC繞點O順時針旋轉90°交射線CD于點E，連結BE．（1）證明：＝；（用圖1）（2）當△BDE為直角三角形時，求DE的長度；（用圖2）（3）點A關于射線OC的對稱點為F，求BF的最小值．（用圖3）命題點5一次函數的實際應用類型一行程問題26．（2022?鹽城）小麗從甲地勻速步行去乙地，小華騎自行車從乙地勻速前往甲地，同時出發(fā)．兩人離甲地的距離y（m）與出發(fā)時間x（min）之間的函數關系如圖所示．（1）小麗步行的速度為m/min；（2）當兩人相遇時，求他們到甲地的距離．27．（2022?牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，到達A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計）按原路原速前往C地，結果乙比甲早2分鐘到達C地，兩人均勻速運動，如圖是兩人距B地路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數圖象．請解答下列問題：（1）填空：甲的速度為米/分鐘，乙的速度為米/分鐘；（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．28．（2022?齊齊哈爾）在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲、乙二人同時出發(fā)，甲從A地步行勻速前往B地，到達B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙從B地步行勻速前往A地（甲、乙二人到達A地后均停止運動），甲、乙二人之間的距離y（米）與出發(fā)時間x（分鐘）之間的函數關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：（1）A、B兩地之間的距離是米，乙的步行速度是米/分；（2）圖中a＝，b＝，c＝；（3）求線段MN的函數解析式；（4）在乙運動的過程中，何時兩人相距80米？（直接寫出答案即可）29．（2022?新疆）A，B兩地相距300km，甲、乙兩人分別開車從A地出發(fā)前往B地，其中甲先出發(fā)1h．如圖是甲，乙行駛路程y甲（km），y乙（km）隨行駛時間x（h）變化的圖象，請結合圖象信息，解答下列問題：（1）填空：甲的速度為km/h；（2）分別求出y甲，y乙與x之間的函數解析式；（3）求出點C的坐標，并寫出點C的實際意義．30．（2022?成都）隨著“公園城市”建設的不斷推進，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個超大型“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風尚．甲、乙兩人相約同時從綠道某地出發(fā)同向騎行，甲騎行的速度是18km/h，乙騎行的路程s（km）與騎行的時間t（h）之間的關系如圖所示．（1）直接寫出當0≤t≤0.2和t＞0.2時，s與t之間的函數表達式；（2）何時乙騎行在甲的前面？31．（2022?麗水）因疫情防控需要，一輛貨車先從甲地出發(fā)運送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是330km，貨車行駛時的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數表達式；（3）問轎車比貨車早多少時間到達乙地？32．（2022?黑龍江）2008年5月12日14時28分四川汶川發(fā)生里氏8.0級強力地震．某市接到上級通知，立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點480千米的災區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災物資，比甲組遲出發(fā)1.25小時（從甲組出發(fā)時開始計時）．圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）與時間x（小時）之間的函數關系對應的圖象．請根據圖象所提供的信息，解決下列問題：（1）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了小時；（2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災區(qū)．請問甲組的汽車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是多少千米？（3）為了保證及時聯(lián)絡，甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不超過25千米，請通過計算說明，按圖象所表示的走法是否符合約定？類型二方案問題考向1方案設計問題33．（2022?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產品、某經銷商購進甲、乙兩種產品，甲種產品進價為8元/kg；乙種產品的進貨總金額y（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．已知甲、乙兩種產品的售價分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數關系式；（2）若該經銷商購進甲、乙兩種產品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設銷售完甲、乙兩種產品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請求出w（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的函數關系式，并為該經銷商設計出獲得最大利潤的進貨方案；（3）為回饋廣大客戶，該經銷商決定對兩種產品進行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進貨方案下，甲、乙兩種產品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．34．（2022?黑龍江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）240160已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．（1）求m的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價﹣進價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？考向2方案選取問題35．（2022?內蒙古）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．（1）求購進A、B兩種紀念品的單價；（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且購進B種紀念品數量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．36．（2022?通遼）為落實“雙減”政策，豐富課后服務的內容，某學校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：甲：所有商品按原價8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折．設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實付y甲元，去乙商店購買實付y乙元，其函數圖象如圖所示．（1）分別求y甲，y乙關于x的函數關系式；（2）兩圖象交于點A，求點A坐標；（3）請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．37．（2022?恩施州）某校計劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學基地開展綜合實踐活動．已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元．甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生．（1）租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？（2）若學校計劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費用最少？類型三費用或利潤最值問題38．（2022?衡陽）冰墩墩（BingDwenDwen）、雪容融（ShueyRhonRhon）分別是2022年北京冬奧會、冬殘奧會的吉祥物．冬奧會來臨之際，冰墩墩、雪容融玩偶暢銷全國．小雅在某網店選中兩種玩偶．決定從該網店進貨并銷售．第一次小雅用1400元購進了冰墩墩玩偶15個和雪容融玩偶5個，已知購進1個冰墩墩玩偶和1個雪容融玩偶共需136元，銷售時每個冰墩墩玩偶可獲利28元，每個雪容融玩偶可獲利20元．（1）求兩種玩偶的進貨價分別是多少？（2）第二次小雅進貨時，網店規(guī)定冰墩墩玩偶進貨數量不得超過雪容融玩偶進貨數量的1.5倍．小雅計劃購進兩種玩偶共40個，應如何設計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？39．（2022?黔西南州）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風光”景區(qū)今年計劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費用為300元．（1）每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費用各是多少元？（2）若該景區(qū)今年計劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補的盆數不多于80盆，應如何安排這兩種花卉的種植數量，才能使今年該項的種植費用最低？并求出最低費用．其他類型40．（2022?吉林）李強用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質量的水，甲壺比乙壺加熱速度快．在一段時間內，水溫y（℃）與加熱時間x（s）之間近似滿足一次函數關系，根據記錄的數據，畫函數圖象如下：（1）加熱前水溫是℃．（2）求乙壺中水溫y關于加熱時間x的函數解析式．（3）當甲壺中水溫剛達到80℃時，乙壺中水溫是℃．41．（2022?天津）在“看圖說故事”活動中，某學習小組結合圖象設計了一個問題情境．已知學生公寓、閱覽室、超市依次在同一條直線上，閱覽室離學生公寓1.2km，超市離學生公寓2km．小琪從學生公寓出發(fā)，勻速步行了12min到閱覽室；在閱覽室停留70min后，勻速步行了10min到超市；在超市停留20min后，勻速騎行了8min返回學生公寓．給出的圖象反映了這個過程中小琪離學生公寓的距離ykm與離開學生公寓的時間xmin之間的對應關系．請根據相關信息，解答下列問題：（Ⅰ）填表：離開學生公寓的時間/min585087112離學生公寓的距離/km0.501.6（Ⅱ）填空：①閱覽室到超市的距離為km；②小琪從超市返回學生公寓的速度為km/min；③當小琪離學生公寓的距離為1km時，他離開學生公寓的時間為min．（Ⅲ）當0≤x≤92時，請直接寫出y關于x的函數解析式．第九講一次函數【命題點1一次函數的圖像與性質】類型一與圖像有關的判定1．（2022?沈陽）在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+1的圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：一次函數y＝﹣x+1中，令x＝0，則y＝1；令y＝0，則x＝1，∴一次函數y＝﹣x+1的圖象經過點（0，1）和（1，0），∴一次函數y＝﹣x+1的圖象經過一、二、四象限，故選：C．2．（2022?安徽）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+a2與y＝a2x+a的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵y＝ax+a2與y＝a2x+a，∴x＝1時，兩函數的值都是a2+a，∴兩直線的交點的橫坐標為1，若a＞0，則一次函數y＝ax+a2與y＝a2x+a都是增函數，且都交y軸的正半軸，圖象都經過第一、二、三象限；若a＜0，則一次函數y＝ax+a2經過第一、二、四象限，y＝a2x+a經過第一、三、四象限，且兩直線的交點的橫坐標為1；故選：D．類型二一次函數解析式與象限的關系3．（2022?涼山州）一次函數y＝3x+b（b≥0）的圖象一定不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解答】解：∵函數y＝3x+b（b≥0）中，k＝3＞0，b≥0，∴當b＝0時，此函數的圖象經過一、三象限，不經過第四象限；當b＞0時，此函數的圖象經過一、二、三象限，不經過第四象限．則一定不經過第四象限．故選：D．4．（2022?六盤水）如圖是一次函數y＝kx+b的圖象，下列說法正確的是（）A．y隨x增大而增大 B．圖象經過第三象限 C．當x≥0時，y≤b D．當x＜0時，y＜0【答案】C【解答】解：由圖象得：圖象過一、二、四象限，則k＜0，b＞0，當k＜0時，y隨x的增大而減小，故A、B錯誤，由圖象得：與y軸的交點為（0，b），所以當x≥0時，從圖象看，y≤b，故C正確，符合題意；當x＜0時，y＞b＞0，故D錯誤．故選：C．5．（2022?包頭）在一次函數y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值隨x值的增大而增大，且ab＞0，則點A（a，b）在（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【答案】B【解答】解：∵在一次函數y＝﹣5ax+b中，y隨x的增大而增大，∴﹣5a＞0，∴a＜0．∵ab＞0，∴a，b同號，∴b＜0．∴點A（a，b）在第三象限．故選：B．類型三與一次函數增減性、最值有關的問題6．（2022?柳州）如圖，直線y1＝x+3分別與x軸、y軸交于點A和點C，直線y2＝﹣x+3分別與x軸、y軸交于點B和點C，點P（m，2）是△ABC內部（包括邊上）的一點，則m的最大值與最小值之差為（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【解答】解：∵點P（m，2）是△ABC內部（包括邊上）的一點，∴點P在直線y＝2上，如圖所示，當P為直線y＝2與直線y2的交點時，m取最大值，當P為直線y＝2與直線y1的交點時，m取最小值，∵y2＝﹣x+3中令y＝2，則x＝1，y1＝x+3中令y＝2，則x＝﹣1，∴m的最大值為1，m的最小值為﹣1．則m的最大值與最小值之差為：1﹣（﹣1）＝2．故選：B．7．（2022?蘭州）若一次函數y＝2x+1的圖象經過點（﹣3，y1），（4，y2），則y1與y2的大小關系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2【答案】A【解答】解：∵一次函數y＝2x+1中，k＝2＞0，∴y隨著x的增大而增大．∵點（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函數y＝2x+1圖象上的兩個點，﹣3＜4，∴y1＜y2．故選：A．8．（2022?宿遷）甲、乙兩位同學各給出某函數的一個特征，甲：“函數值y隨自變量x增大而減小”；乙：“函數圖象經過點（0，2）”，請你寫出一個同時滿足這兩個特征的函數，其表達式是．【答案】y＝﹣x+2（答案不唯一）【解答】解：∵函數值y隨自變量x增大而減小，且該函數圖象經過點（0，2），∴該函數為一次函數．設一次函數的表達式為y＝kx+b（k≠0），則k＜0，b＝2．取k＝﹣1，此時一次函數的表達式為y＝﹣x+2．故答案為：y＝﹣x+2（答案不唯一）．類型四一次函數圖像的交點問題9.（2022?株洲）在平面直角坐標系中，一次函數y＝5x+1的圖象與y軸的交點的坐標為（）A．（0，﹣1） B．（﹣，0） C．（，0） D．（0，1）【答案】D【解答】解：∵當x＝0時，y＝1，∴一次函數y＝5x+1的圖象與y軸的交點的坐標為（0，1），故選：D．10．（2022?遼寧）如圖，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點B，點D為OB的中點，?OCDE的頂點C在x軸上，頂點E在直線AB上，則?OCDE的面積為．【答案】2【解答】解：當x＝0時，y＝2×0+4＝4，∴點B的坐標為（0，4），OB＝4．∵點D為OB的中點，∴OD＝OB＝×4＝2．∵四邊形OCDE為平行四邊形，點C在x軸上，∴DE∥x軸．當y＝2時，2x+4＝2，解得：x＝﹣1，∴點E的坐標為（﹣1，2），∴DE＝1，∴OC＝1，∴?OCDE的面積＝OC?OD＝1×2＝2．故答案為：2．11.（2014?宜賓）如圖，過A點的一次函數的圖象與正比例函數y＝2x的圖象相交于點B，則這個一次函數的解析式是（）A．y＝2x+3 B．y＝x﹣3 C．y＝2x﹣3 D．y＝﹣x+3【答案】D【解答】解：∵B點在正比例函數y＝2x的圖象上，橫坐標為1，∴y＝2×1＝2，∴B（1，2），設一次函數解析式為：y＝kx+b，∵一次函數的圖象過點A（0，3），與正比例函數y＝2x的圖象相交于點B（1，2），∴可得出方程組，解得，則這個一次函數的解析式為y＝﹣x+3，故選：D．12．（2020?南通）如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2交于點C（1，m），與x軸交于點B．（1）求直線l2的解析式；（2）點M在直線l1上，MN∥y軸，交直線l2于點N，若MN＝AB，求點M的坐標．【答案】（1）y＝﹣2x+6（2）M（3，6）或（﹣1，2）【解答】解：（1）把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），設直線l2的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線l2的解析式為y＝﹣2x+6；（2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝3﹣（﹣3）＝6，設M（a，a+3），由MN∥y軸，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．【命題點2一次函數圖像的平移、旋轉與對稱】13．（2022?廣安）在平面直角坐標系中，將函數y＝3x+2的圖象向下平移3個單位長度，所得的函數的解析式是（）A．y＝3x+5 B．y＝3x﹣5 C．y＝3x+1 D．y＝3x﹣1【答案】D【解答】解：將函數y＝3x+2的圖象向下平移3個單位長度后，所得圖象的函數關系式為y＝3x+2﹣3＝3x﹣1，故選：D．14．（2021?陜西）在平面直角坐標系中，若將一次函數y＝2x+m﹣1的圖象向左平移3個單位后，得到一個正比例函數的圖象，則m的值為（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【答案】A【解答】解：將一次函數y＝2x+m﹣1的圖象向左平移3個單位后，得到y(tǒng)＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故選：A．15．（2020?南京）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象繞原點O逆時針旋轉90°，所得到的圖象對應的函數表達式是．【答案】y＝x+2【解答】解：在一次函數y＝﹣2x+4中，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2，∴直線y＝﹣2x+4經過點（0，4），（2，0）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象繞原點O逆時針旋轉90°，則點（0，4）的對應點為（﹣4，0），（2，0）的對應點是（0，2）設對應的函數解析式為：y＝kx+b，將點（﹣4，0）、（0，2）代入得，解得，∴旋轉后對應的函數解析式為：y＝x+2，故答案為y＝x+2．16．（2022?阜新）當我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發(fā)生著變化．下面是關于“一次函數圖象平移的性質”的探究過程，請補充完整．（1）如圖1，將一次函數y＝x+2的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向右平移了個單位長度；（2）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）平移了個單位長度；（3）綜上，對于一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個單位長度，相當于將它向（填“左”或“右”）（k＞0時）或將它向（填“左”或“右”）（k＜0時）平移了n（n＞0）個單位長度，且m，n，k滿足等式．【解答】解：（1）∵將一次函數y＝x+2的圖象向下平移1個單位長度得到y(tǒng)＝x+2﹣1＝（x﹣1）+2，∴相當于將它向右平移了1個單位長度，故答案為：1；（2）將一次函數y＝﹣2x+4的圖象向下平移1個單位長度得到y(tǒng)＝﹣2x+4﹣1＝﹣2（x+）+4，∴相當于將它向左平移了個單位長度；故答案為：左；；（3）綜上，對于一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象而言，將它向下平移m（m＞0）個單位長度，相當于將它向右（填“左”或“右”）（k＞0時）或將它向左（填“左”或“右”）（k＜0時）平移了n（n＞0）個單位長度，且m，n，k滿足等式m＝n|k|．故答案為：右；左；m＝n|k|（或：當k＞0時，m＝nk，當k＜0時，m＝﹣nk）【命題點3一次函數與方程、不等式結合】類型一一次函數與方程（組）的關系17．（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝2x+b與直線y＝﹣3x+6相交于點A，則關于x，y的二元一次方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由圖象可得直線的交點坐標是（1，3），∴方程組的解為．故選：B．18．（2022?貴陽）在同一平面直角坐標系中，一次函數y＝ax+b與y＝mx+n（a＜m＜0）的圖象如圖所示．小星根據圖象得到如下結論：①在一次函數y＝mx+n的圖象中，y的值隨著x值的增大而增大；②方程組的解為；③方程mx+n＝0的解為x＝2；④當x＝0時，ax+b＝﹣1．其中結論正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：①由函數圖象可知，直線y＝mx+n從左至右呈下降趨勢，所以y的值隨著x值的增大而減小，故①錯誤；②由函數圖象可知，一次函數y＝ax+b與y＝mx+n（a＜m＜0）的圖象交點坐標為（﹣3，2），所以方程組的解為，故②正確；③由函數圖象可知，直線y＝mx+n與x軸的交點坐標為（2，0），所以方程mx+n＝0的解為x＝2，故③正確；④由函數圖象可知，直線y＝ax+b過點（0，﹣2），所以當x＝0時，ax+b＝﹣2，故④錯誤；故選：B．類型二一次函數與不等式（組）的關系19．（2022?南通）根據圖象，可得關于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．x＜1 D．x＞1【答案】D【解答】解：根據圖象可知：兩函數圖象的交點為（1，2），所以關于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集為x＞1，故選：D．20．（2022?鄂州）數形結合是解決數學問題常用的思想方法．如圖，一次函數y＝kx+b（k、b為常數，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經過點A（3，1），當kx+b＜x時，根據圖象可知，x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【答案】A【解答】解：由圖象可得，當x＞3時，直線y＝x在一次函數y＝kx+b的上方，∴當kx+b＜x時，x的取值范圍是x＞3，故選：A．21．（2022?徐州）若一次函數y＝kx+b的圖象如圖所示，則關于kx+b＞0的不等式的解集為．【答案】x＞3【解答】解：∵一次函數y＝kx+b的圖象過點（2，0），∴2k+b＝0，∴b＝﹣2k，∴關于kx+b＞0∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，∵k＞0，∴x＞3．故答案為：x＞3．22．（2022?揚州）如圖，函數y＝kx+b（k＜0）的圖象經過點P，則關于x的不等式kx+b＞3的解集為．【答案】x＜﹣1【解答】解：由圖象可得，當x＝﹣1時，y＝3，該函數y隨x的增大而減小，∴不等式kx+b＞3的解集為x＜﹣1，故答案為：x＜﹣1．23．（2022?襄陽）探究函數性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫出函數圖象，觀察分析圖象特征，概括函數性質的過程．結合已有經驗，請畫出函數y＝﹣|x|的圖象，并探究該函數性質．（1）繪制函數圖象①列表：下列是x與y的幾組對應值，其中a＝1．x……﹣5﹣4﹣3﹣2﹣112345……y……﹣3.8﹣2.5﹣1155a﹣1﹣2.5﹣3.8……②描點：根據表中的數值描點（x，y），請補充描出點（2，a）；③連線：請用平滑的曲線順次連接各點，畫出函數圖象；（2）探究函數性質請寫出函數y＝﹣|x|的一條性質：；（3）運用函數圖象及性質①寫出方程﹣|x|＝5的解；②寫出不等式﹣|x|≤1的解集．【解答】解：（1）①列表：當x＝2時，a＝﹣|2|＝1，故答案為：1；②描點，③連線如下：（2）觀察函數圖象可得：y＝﹣|x|的圖象關于y軸對稱，故答案為：y＝﹣|x|的圖象關于y軸對稱（答案不唯一）；（3）①觀察函數圖象可得：當y＝5時，x＝1或x＝﹣1，∴﹣|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，故答案為：x＝1或x＝﹣1；②觀察函數圖象可得，當x≤﹣2或x≥2時，y≤1，∴﹣|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，故答案為：x≤﹣2或x≥2．【命題點4一次函數與幾何圖形結合】24．（2022?黑龍江）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個實數根．（1）求C點坐標；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．【解答】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8．∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的兩個實數根，∴OC＝6，OA＝8．∴C（0，6）；（2）設直線MN的解析式是y＝kx+b（k≠0）．由（1）知，OA＝8，則A（8，0）．∵點A、C都在直線MN上，∴，解得，，∴直線MN的解析式為y＝﹣x+6；（3）∵A（8，0），C（0，6），∴根據題意知B（8，6）．∵點P在直線MNy＝﹣x+6上，∴設P（a，﹣a+6）當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：①當PC＝PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P1（4，3）；②當PC＝BC時，a2+（﹣a+6﹣6）2＝64，解得，a＝，則P2（﹣，），P3（，）；③當PB＝BC時，（a﹣8）2+（a﹣6+6）2＝64，解得，a＝，則﹣a+6＝﹣，∴P4（，﹣）．綜上所述，符合條件的點P有：P1（4，3），P2（﹣，）P3（，），P4（，﹣）．25．（2022?攀枝花）如圖，直線y＝x+6分別與x軸、y軸交于點A、B，點C為線段AB上一動點（不與A、B重合），以C為頂點作∠OCD＝∠OAB，射線CD交線段OB于點D，將射線OC繞點O順時針旋轉90°交射線CD于點E，連結BE．（1）證明：＝；（用圖1）（2）當△BDE為直角三角形時，求DE的長度；（用圖2）（3）點A關于射線OC的對稱點為F，求BF的最小值．（用圖3）【解答】（1）證明：∵OC⊥OE，∴∠COE＝90°，∴∠AOB＝∠COE＝90°，∵∠OCD＝∠OAB，∴∠ABO＝∠CEO，∵∠BDC＝∠EDO，∴△BDC∽△EDO，∴＝；（2）解：當x＝0時，y＝6，∴B（0，6），∴OB＝6，當y＝0時，x+6＝0，∴x＝﹣8，∴A（﹣8，0），∴OA＝8，如圖2，∠BDE＝90°，∴∠ODC＝∠BDE＝90°，∵∠OCD＝∠OAB，∴tan∠OCD＝tan∠OAB，∴＝＝＝，∴設OD＝3m，CD＝4m，∵∠CDB＝∠AOB＝90°，∴CD∥OA，∴△CDB∽△AOB，∴＝，即＝，∴BD＝3m，∴OB＝BD+OD＝3m+3m＝6，∴m＝1，∴BD＝3，CD＝4，由（1）知：＝，∴＝，∴DE＝；（3）解：如圖3，由對稱得：OA＝OF，∵動點F在以O為圓心，以OA為半徑的半圓AFA'上運動，∴當F在y軸上，且在B的上方時，BF的值最小，如圖4，此時BF＝OF﹣OB＝8﹣6＝2，即BF的最小值是2．命題點5一次函數的實際應用類型一行程問題26．（2022?鹽城）小麗從甲地勻速步行去乙地，小華騎自行車從乙地勻速前往甲地，同時出發(fā)．兩人離甲地的距離y（m）與出發(fā)時間x（min）之間的函數關系如圖所示．（1）小麗步行的速度為m/min；（2）當兩人相遇時，求他們到甲地的距離．【解答】解：（1）由圖象可知，小麗步行的速度為＝80（m/min），故答案為：80；（2）由圖象可得，小華騎自行車的速度是＝120（m/min），∴出發(fā)后需要＝12（min）兩人相遇，∴相遇時小麗所走的路程為12×80＝960（m），即當兩人相遇時，他們到甲地的距離是960m．27．（2022?牡丹江）在一條平坦筆直的道路上依次有A，B，C三地，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，到達A地后因故停留1分鐘，然后立即掉頭（掉頭時間忽略不計）按原路原速前往C地，結果乙比甲早2分鐘到達C地，兩人均勻速運動，如圖是兩人距B地路程y（米）與時間x（分鐘）之間的函數圖象．請解答下列問題：（1）填空：甲的速度為米/分鐘，乙的速度為米/分鐘；（2）求圖象中線段FG所在直線表示的y（米）與時間x（分鐘）之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）出發(fā)多少分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米？請直接寫出答案．【解答】解：（1）根據題意可知D（1，800），E（2，800），∴乙的速度為：800÷1＝800（米/分鐘），∴乙從B地到C地用時：2400÷800＝3（分鐘），∴G（6，2400）．∴H（8，2400）．∴甲的速度為2400÷8＝300（米/分鐘），故答案為：300；800；（2）設直線FG的解析式為：y＝kx+b（k≠0），且由圖象可知F（3，0），由（1）知G（6，2400）．∴，解得，．∴直線FG的解析式為：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．（3）由題意可知，AB相距800米，BC相距2400米．∵O（0，0），H（8，2400），∴直線OH的解析式為：y＝300x，∵D（1，800），∴直線OD的解析式為：y＝800x，當0≤x≤1時，甲從B地騎電瓶車到C地，同時乙從B地騎摩托車到A地，即甲乙朝相反方向走，∴令800x+300x＝600，解得x＝．∵當x＞2時，甲從B繼續(xù)往C地走，乙從A地往C地走，∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，解得x＝或x＝6．綜上，出發(fā)分鐘或分鐘或6分鐘后，甲乙兩人之間的路程相距600米．28．（2022?齊齊哈爾）在一條筆直的公路上有A、B兩地，甲、乙二人同時出發(fā)，甲從A地步行勻速前往B地，到達B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙從B地步行勻速前往A地（甲、乙二人到達A地后均停止運動），甲、乙二人之間的距離y（米）與出發(fā)時間x（分鐘）之間的函數關系如圖所示，請結合圖象解答下列問題：（1）A、B兩地之間的距離是米，乙的步行速度是米/分；（2）圖中a＝，b＝，c＝；（3）求線段MN的函數解析式；（4）在乙運動的過程中，何時兩人相距80米？（直接寫出答案即可）【解答】解：（1）由圖象知：當x＝0時，y＝1200，∴A、B兩地之間的距離是1200米；由圖象知：乙經過20分鐘到達A，∴乙的速度為＝60（米/分）．故答案為：1200；60；（2）由圖象知：當x＝時，y＝0，∴甲乙二人的速度和為：1200÷＝140（米/分），設甲的速度為x米/分，則乙的速度為（140﹣x）米/分，∴140﹣x＝＝60，∴x＝80．∴甲的速度為80（米/分），∵點M的實際意義是經過c分鐘甲到達B地，∴c＝1200÷80＝15（分鐘），∴a＝60×15＝900（米）．∵點N的實際意義是經過20分鐘乙到達A地，∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；故答案為：900；800；15；（3）由題意得：M（15，900），N（20，800），設線段MN的解析式為y＝kx+n，∴，解得：，∴線段MN的解析式為y＝﹣20x+1200（15≤x≤20）；（4）在乙運動的過程中，二人出發(fā)后第8分鐘和第分鐘兩人相距80米．理由：①相遇前兩人相距80米時，二人的所走路程和為1200﹣80＝1120（米），∴1120÷140＝8（分鐘）；②相遇后兩人相距80米時，二人的所走路程和為1200+80＝1280（米），∴1280÷140＝（分鐘）．綜上，在乙運動的過程中，二人出發(fā)后第8分鐘和第分鐘兩人相距80米．29．（2022?新疆）A，B兩地相距300km，甲、乙兩人分別開車從A地出發(fā)前往B地，其中甲先出發(fā)1h．如圖是甲，乙行駛路程y甲（km），y乙（km）隨行駛時間x（h）變化的圖象，請結合圖象信息，解答下列問題：（1）填空：甲的速度為km/h；（2）分別求出y甲，y乙與x之間的函數解析式；（3）求出點C的坐標，并寫出點C的實際意義．【解答】解：（1）甲的速度為：300÷5＝60（km/h），故答案為：60；（2）由（1）可知，y甲與x之間的函數解析式為y甲＝60x（0＜x≤5）；設y乙與x之間的函數解析式為y乙＝kx+b，根據題意得：，解得，∴y乙＝100x﹣100（1≤x≤4）；（3）根據題意，得60x＝100x﹣100，解得x＝2.5，60×2.5＝150（km），∴點C的坐標為（2.5，150），故點C的實際意義是甲車出發(fā)2.5小時后被乙車追上，此時兩車行駛了150km．30．（2022?成都）隨著“公園城市”建設的不斷推進，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個超大型“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風尚．甲、乙兩人相約同時從綠道某地出發(fā)同向騎行，甲騎行的速度是18km/h，乙騎行的路程s（km）與騎行的時間t（h）之間的關系如圖所示．（1）直接寫出當0≤t≤0.2和t＞0.2時，s與t之間的函數表達式；（2）何時乙騎行在甲的前面？【解答】解：（1）當0≤t≤0.2時，設s＝at，把（0.2，3）代入解析式得，0.2a＝3，解得：a＝15，∴s＝15t；當t＞0.2時，設s＝kt+b，把（0.2，3）和（0.5，9）代入解析式，得，解得，∴s＝20t﹣1，∴s與t之間的函數表達式為s＝；（2）由（1）可知0≤t≤0.2時，乙騎行的速度為15km/h，而甲的速度為18km/h，則甲在乙前面；當t＞0.2時，乙騎行的速度為20km/h，甲的速度為18km/h，設t小時后，乙騎行在甲的前面，則18t＜20t﹣1，解得：t＞0.5，答：0.5小時后乙騎行在甲的前面31．（2022?麗水）因疫情防控需要，一輛貨車先從甲地出發(fā)運送防疫物資到乙地，稍后一輛轎車從甲地急送防疫專家到乙地．已知甲、乙兩地的路程是330km，貨車行駛時的速度是60km/h．兩車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數圖象如圖．（1）求出a的值；（2）求轎車離甲地的路程s（km）與時間t（h）的函數表達式；（3）問轎車比貨車早多少時間到達乙地？【解答】解：（1）∵貨車的速度是60km/h，∴a＝＝1.5（h）；（2）由圖象可得點（1.5，0），（3，150），設直線的表達式為s＝kt+b，把（1.5，0），（3，150）代入得：，解得，∴s＝100t﹣150；（3）由圖象可得貨車走完全程需要+0.5＝6（h），∴貨車到達乙地需6h，∵s＝100t﹣150，s＝330，解得t＝4.8，∴兩車相差時間為6﹣4.8＝1.2（h），∴貨車還需要1.2h才能到達，即轎車比貨車早1.2h到達乙地．32．（2022?黑龍江）2008年5月12日14時28分四川汶川發(fā)生里氏8.0級強力地震．某市接到上級通知，立即派出甲、乙兩個抗震救災小組乘車沿同一路線趕赴距出發(fā)點480千米的災區(qū)．乙組由于要攜帶一些救災物資，比甲組遲出發(fā)1.25小時（從甲組出發(fā)時開始計時）．圖中的折線、線段分別表示甲、乙兩組的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）與時間x（小時）之間的函數關系對應的圖象．請根據圖象所提供的信息，解決下列問題：（1）由于汽車發(fā)生故障，甲組在途中停留了小時；（2）甲組的汽車排除故障后，立即提速趕往災區(qū)．請問甲組的汽車在排除故障時，距出發(fā)點的路程是多少千米？（3）為了保證及時聯(lián)絡，甲、乙兩組在第一次相遇時約定此后兩車之間的路程不超過25千米，請通過計算說明，按圖象所表示的走法是否符合約定？【解答】解：（1）1.9；（2）設直線EF的解析式為y乙＝kx+b，∵點E（1.25，0）、點F（7.25，480）均在直線EF上，∴，解得∴直線EF的解析式是y乙＝80x﹣100；∵點C在直線EF上，且點C的橫坐標為6，∴點C的縱坐標為80×6﹣100＝380；∴點C的坐標是（6，380）；設直線BD的解析式為y甲＝mx+n；∵點C（6，380）、點D（7，480）在直線BD上，∴；解得；∴BD的解析式是y甲＝100x﹣220；∵B點在直線BD上且點B的橫坐標為4.9，代入y甲得B（4.9，270），∴甲組在排除故障時，距出發(fā)點的路程是270千米．（3）符合約定；由圖象可知：甲、乙兩組第一次相遇后在B和D相距最遠．在點B處有y乙﹣y甲＝80×4.9﹣100﹣（100×4.9﹣220）＝22千米＜25千米，在點D有y甲﹣y乙＝100×7﹣220﹣（80×7﹣100）＝20千米＜25千米，∴按圖象所表示的走法符合約定．類型二方案問題考向1方案設計問題33．（2022?襄陽）為了振興鄉(xiāng)村經濟，我市某鎮(zhèn)鼓勵廣大農戶種植山藥，并精加工成甲、乙兩種產品、某經銷商購進甲、乙兩種產品，甲種產品進價為8元/kg；乙種產品的進貨總金額y（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的關系如圖所示．已知甲、乙兩種產品的售價分別為12元/kg和18元/kg．（1）求出0≤x≤2000和x＞2000時，y與x之間的函數關系式；（2）若該經銷商購進甲、乙兩種產品共6000kg，并能全部售出．其中乙種產品的進貨量不低于1600kg，且不高于4000kg，設銷售完甲、乙兩種產品所獲總利潤為w元（利潤＝銷售額﹣成本），請求出w（單位：元）與乙種產品進貨量x（單位：kg）之間的函數關系式，并為該經銷商設計出獲得最大利潤的進貨方案；（3）為回饋廣大客戶，該經銷商決定對兩種產品進行讓利銷售．在（2）中獲得最大利潤的進貨方案下，甲、乙兩種產品售價分別降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所獲總利潤不低于15000元，求a的最大值．【解答】解：（1）當0≤x≤2000時，設y＝k′x，根據題意可得，2000k′＝30000，解得k′＝15，∴y＝15x；當x＞2000時，設y＝kx+b，根據題意可得，，解得，∴y＝13x+4000．∴y＝．（2）根據題意可知，購進甲種產品（6000﹣x）千克，∵1600≤x≤4000，當1600≤x≤2000時，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）?x＝﹣x+24000，∵﹣1＜0，∴當x＝1600時，w的最大值為﹣1×1600+24000＝22400（元）；當2000＜x≤4000時，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，∵1＞0，∴當x＝4000時，w的最大值為4000+20000＝24000（元），綜上，w＝；當購進甲產品2000千克，乙產品4000千克時，利潤最大為24000元．（3）根據題意可知，降價后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，當x＝4000時，w取得最大值，∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．∴a的最大值為0.9．34．（2022?黑龍江）為了迎接“十?一”小長假的購物高峰．某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：運動鞋價格甲乙進價（元/雙）mm﹣20售價（元/雙）240160已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．（1）求m的值；（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價﹣進價）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進貨方案？（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？【解答】解：（1）依題意得，＝，整理得，3000（m﹣20）＝2400m，解得m＝100，經檢驗，m＝100是原分式方程的解，所以，m＝100；（2）設購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋（200﹣x）雙，根據題意得，，解不等式①得，x≥95，解不等式②得，x≤105，所以，不等式組的解集是95≤x≤105，∵x是正整數，105﹣95+1＝11，∴共有11種方案；（3）設總利潤為W，則W＝（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），①當50＜a＜60時，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，所以，當x＝105時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋105雙，購進乙種運動鞋95雙；②當a＝60時，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案獲利都一樣；③當60＜a＜70時，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，所以，當x＝95時，W有最大值，即此時應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙．答：冰墩墩購進24個，雪容融購進16個時才能獲得最大利潤，最大利潤是992元．考向2方案選取問題35．（2022?內蒙古）某商店決定購進A、B兩種北京冬奧會紀念品．若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品5件，B種紀念品3件，需要550元．（1）求購進A、B兩種紀念品的單價；（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且購進B種紀念品數量不少于20件，那么該商店共有幾種進貨方案？（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？求出最大利潤．【解答】解：（1）設該商店購進A種紀念品每件需a元，購進B種紀念品每件需b元，由題意，得，解得，∴該商店購進A種紀念品每件需50元，購進B種紀念品每件需100元；（2）設該商店購進A種紀念品x個，購進B種紀念品y個，根據題意，得50x+100y＝10000，由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，∵y≥20，∴20≤y≤25且為正整數，∴y可取得的正整數值是20，21，22，23，24，25，與y相對應的x可取得的正整數值是160，158，156，154，152，150，∴共有6種進貨方案；（3）設總利潤為W元，則W＝20x+30y＝﹣10y+4000，∵﹣10＜0，∴W隨y的增大而減小，∴當y＝20時，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），∴當購進A種紀念品160件，B種紀念品20件時，可獲得最大利潤，最大利潤是3800元．36．（2022?通遼）為落實“雙減”政策，豐富課后服務的內容，某學校計劃到甲、乙兩個體育專賣店購買一批新的體育用品，兩個商店的優(yōu)惠活動如下：甲：所有商品按原價8.5折出售；乙：一次購買商品總額不超過300元的按原價付費，超過300元的部分打7折．設需要購買體育用品的原價總額為x元，去甲商店購買實付y甲元，去乙商店購買實付y乙元，其函數圖象如圖所示．（1）分別求y甲，y乙關于x的函數關系式；（2）兩圖象交于點A，求點A坐標；（3）請根據函數圖象，直接寫出選擇去哪個體育專賣店購買體育用品更合算．【解答】解：（1）由題意可得，y甲＝0.85x，當0≤x≤300時，y乙＝x，當x＞300時，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，則y乙＝；（2）令0.85x＝0.7x+90，解得x＝600，將x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，即點A的坐標為（600，510）；（3）由圖象可得，當x＜600時，去甲體育專賣店購買體育用品更合算；當x＝600時，兩家體育專賣店購買體育用品一樣合算；當x＞600時，去乙體育專賣店購買體育用品更合算．37．（2022?恩施州）某校計劃租用甲、乙兩種客車送180名師生去研學基地開展綜合實踐活動．已知租用一輛甲型客車和一輛乙型客車共需500元，租用2輛甲型客車和3輛乙型客車共需1300元．甲型客車每輛可坐15名師生，乙型客車每輛可坐25名師生．（1）租用甲、乙兩種客車每輛各多少元？（2）若學校計劃租用8輛客車，怎樣租車可使總費用最少？【解答】解：（1）設租用甲種客車每輛x元，租用乙種客車每輛y元，根據題意可得，，解得．∴租用甲種客車每輛200元，租用乙種客車每輛300元．（2）設租用甲型客車m輛，則租用乙型客車（8﹣m）輛，租車總費用為w元，根據題意可知，w＝200m+300（8﹣m）＝﹣100m+2400，∵15m+25（8﹣m）≥180，∴0＜m≤2，∵﹣1