專題08【五年中考+一年模擬】圓的綜合題-備戰(zhàn)2023年廣東中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編(原卷版+解析)

專題08圓的綜合題1．（2022?廣東）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．（1）試判斷的形狀，并給出證明；（2）若，，求的長(zhǎng)度．2．（2020?廣東）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．（1）求證：直線與相切；（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為，為優(yōu)弧上一點(diǎn)，，．求的值．3．（2019?廣東）如圖1，在中，，是的外接圓，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）如圖2，若點(diǎn)是的內(nèi)心，，求的長(zhǎng)．4．（2018?廣東）如圖，四邊形中，，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，證明：與相切；（3）在（2）條件下，連接交于點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)．5．（2022?東莞市一模）如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)、交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．6．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，是的外接圓，，為圓上一點(diǎn)，且，兩點(diǎn)位于異側(cè)，連接，交于，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，使得．（1）求證：為的切線；（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．7．（2022?東莞市一模）如圖，已知點(diǎn)是的外接圓的圓心，，點(diǎn)是弧上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)且平行于的射線于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明；（3）若，，，求的長(zhǎng)．8．（2022?東莞市一模）如圖1，將矩形紙片沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好與邊上的動(dòng)點(diǎn)重合（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），折痕為，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）①在圖2中，作出經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；②隨著點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)①中的恰好與，同時(shí)相切，如圖3，若，求的長(zhǎng)．（3）在②的條件下，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．9．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的切線，于點(diǎn)，分別交，于，兩點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求圖中兩處（點(diǎn)左側(cè)與點(diǎn)右側(cè)）陰影部分的面積之和．10．（2022?東莞市一模）如圖，是的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在上，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．11．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖1，在四邊形中，，，，以為直徑作恰好與相切于點(diǎn)．（1）求證：．（2）連接、，求證：．（3）如圖2，若為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，當(dāng)時(shí)，求出的值．12．（2022?東莞市一模）如圖，在中，，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．13．（2022?東莞市一模）如圖，已知是的直徑，為上一點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)，在直線上，且，垂足為，連接、．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．14．（2022?中山市一模）如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接交于點(diǎn)，已知．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的直徑．15．（2022?中山市二模）如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，且與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，使得．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，判斷形狀，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)且時(shí)，求的長(zhǎng)．16．（2022?中山市模擬）如圖，已知，，為的直徑，斜邊交于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．（1）求證：是切線；（2）求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．17．（2022?中山市校級(jí)一模）如圖所示，是的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連結(jié)．為的切線．（1）求證：平分．（2）若，，求弧的長(zhǎng)度（用含的代數(shù)式表示）．18．（2022?中山市三模）如圖，以線段為直徑的交的邊于點(diǎn)，連接，作平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，連接，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）若，的面積為2，求的面積．19．（2022?中山市三模）如圖，是的外接圓，為的直徑，為圓外一點(diǎn)，連接、，且滿足，．連接并延長(zhǎng)交于、兩點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）證明：；（3）過(guò)點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，連接，若，求的值．20．（2022?珠海二模）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)，在邊上，且，，以點(diǎn)為圓心，為半徑在其左側(cè)作半圓，分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）；（2）如圖2，將半圓繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)為半圓上一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求點(diǎn)與線段之間的最短距離；②當(dāng)半圓交于，兩點(diǎn)時(shí)，若的長(zhǎng)為，求此時(shí)半圓與正方形重疊部分的面積；③當(dāng)半圓與正方形的邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，直接寫出的值．21．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，為的內(nèi)接三角形，為的直徑，將沿直線折疊得到，交于點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若，，求的值．22．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，以的邊上一點(diǎn)為圓心，為半徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)與交于點(diǎn)，連，已知，．（1）求證：為的切線；（2）求；（3）設(shè)為的平分線，，求的度數(shù)及的半徑．23．（2022?珠海一模）如圖，在中，，為邊上的一點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的弦交于點(diǎn)不是直徑），點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，連結(jié)，恰好為的切線．（1）求證：是的切線；（2）求證：平分；（3）若，，求四邊形的面積．24．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知是的直徑，銳角的平分線交于點(diǎn)，作，垂足為，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：直線為的切線；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．25．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形中，，垂足為點(diǎn)，以為直徑的與邊相切于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）若，求的值．26．（2022?香洲區(qū)一模）如圖，中，，為上的一點(diǎn)，以為直徑的交于，連接交于，交于，連接，．（1）求證：與相切；（2）若，，求的半徑；（3）若，，求（用的代數(shù)式表示）．27．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長(zhǎng)．28．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是外一點(diǎn)，分別連接，、，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）連接，若的半徑為6，，求的長(zhǎng)．29．（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，直線與相離，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．點(diǎn)、在直線上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的半徑和弦的長(zhǎng)．30．（2022?潮南區(qū)模擬）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，連接．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，，求的直徑．31．（2022?龍湖區(qū)一模）如圖，已知點(diǎn)在的直徑延長(zhǎng)線上，為的切線，過(guò)作，與的延長(zhǎng)線相交于．（1）求證：；（2）若，，求的面積；（3）在（2）的條件下，作的平分線與交于點(diǎn)，為的內(nèi)心，求的長(zhǎng)．32．（2022?金平區(qū)一模）如圖，、為的直徑，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．連接，交于點(diǎn)．（1）證明：為的切線；（2）證明：；（3）若的半徑為2，為的中點(diǎn)，的長(zhǎng)．33．（2022?南海區(qū)一模）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．34．（2022?佛山二模）如圖1，的直徑為，點(diǎn)在上，的平分線與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，．（1）求．（2）求證：．（3）如圖2，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．求證：是的切線，并求線段的長(zhǎng)．35．（2022?南海區(qū)二模）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，，連接．（1）求證：是的切線；（2）連接，求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．專題08圓的綜合題1．（2022?廣東）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，．（1）試判斷的形狀，并給出證明；（2）若，，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）是等腰直角三角形，證明過(guò)程如下：為的直徑，，，，，又，是等腰直角三角形．（2）在中，，，在中，，，．即的長(zhǎng)為：．2．（2020?廣東）如圖1，在四邊形中，，，是的直徑，平分．（1）求證：直線與相切；（2）如圖2，記（1）中的切點(diǎn)為，為優(yōu)弧上一點(diǎn)，，．求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：作于，如圖1所示：則，，，，，平分，，在和中，，，，又，直線與相切；（2）解：作于，連接，如圖2所示：則四邊形是矩形，，，，，，，，、是的切線，由（1）得：是的切線，，，，，，，平分，，，，，，．3．（2019?廣東）如圖1，在中，，是的外接圓，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．（1）求證：；（2）求證：是的切線；（3）如圖2，若點(diǎn)是的內(nèi)心，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）3【詳解】（1），，又，，，；（2）如圖1，連接，，，，，，，，，，，，為的切線；（3），，，，，，，如圖2，連接，如圖2，連接，，，點(diǎn)為內(nèi)心，，又，，即，．4．（2018?廣東）如圖，四邊形中，，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，證明：與相切；（3）在（2）條件下，連接交于點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）連接，在和中，，，，又，，為的直徑，，即，；（2），設(shè)、則，，，且，，，在中，，在中，，，，，則與相切；（3）連接，是的直徑，，，，，即①，又，，，，即②，由①②可得，即，又，，，、、、、，，即，解得：．方法二：連接、，由（2）得，，，，，為的切線，，又，為等腰直角三角形，，，為的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，為等腰直角三角形，，．5．（2022?東莞市一模）如圖，是的直徑，、是上兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)、交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，的半徑為2，，，如圖，連接，是的直徑，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，在中，，，，．6．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，是的外接圓，，為圓上一點(diǎn)，且，兩點(diǎn)位于異側(cè)，連接，交于，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，使得．（1）求證：為的切線；（2）當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）8【詳解】（1）證明：連接．是直徑，，，，，，，，為的切線．（2）證明：，，，，，，，，，，．（3）解：過(guò)點(diǎn)作于．是直徑，，，可以假設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．7．（2022?東莞市一模）如圖，已知點(diǎn)是的外接圓的圓心，，點(diǎn)是弧上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交過(guò)點(diǎn)且平行于的射線于點(diǎn)．（1）求證：平分；（2）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明；（3）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）證明：，，，．又，，平分（2）解：相切，理由如下：如圖，作，連接，，，，，為的角平分線，等腰三角形平分線和垂線重合，、、共線，且，，是半徑，與相切，（3）解：由（1）可知，又，，，，，，，．8．（2022?東莞市一模）如圖1，將矩形紙片沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好與邊上的動(dòng)點(diǎn)重合（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），折痕為，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，，，與相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）①在圖2中，作出經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；②隨著點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)①中的恰好與，同時(shí)相切，如圖3，若，求的長(zhǎng)．（3）在②的條件下，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②3；（3）【詳解】（1）證明：將矩形紙片沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好與邊上的動(dòng)點(diǎn)重合，，四邊形是矩形，，又，；（2）解：①作出經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的如下：②設(shè)與相切于，連接，過(guò)作于，如圖：，在上，與相切，，，將矩形紙片沿直線折疊，頂點(diǎn)恰好與邊上的動(dòng)點(diǎn)重合，，，，，，設(shè)，則，，，與相切，，四邊形是矩形，，，，，，，即，解得，的長(zhǎng)是3；（3）解：過(guò)作于，連接交于，如圖：由（2）知，，，，半徑為，為中點(diǎn)，，是的中位線，，，，在中，，當(dāng)為與交點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，故答案為：．9．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖，的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，為的切線，于點(diǎn)，分別交，于，兩點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，求圖中兩處（點(diǎn)左側(cè)與點(diǎn)右側(cè)）陰影部分的面積之和．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，為的切線，，，，，，，，，，，；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，是的直徑，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，陰影部分的面積之和的面積扇形的面積扇形的面積的面積，陰影部分的面積之和為．10．（2022?東莞市一模）如圖，是的直徑，是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在上，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接，是的中點(diǎn)，．，．．．，．，．又為半圓的半徑，是的切線；（2）設(shè)的半徑為，，，，由勾股定理得：，解得：．．，．，，．11．（2022?東莞市校級(jí)一模）如圖1，在四邊形中，，，，以為直徑作恰好與相切于點(diǎn)．（1）求證：．（2）連接、，求證：．（3）如圖2，若為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，當(dāng)時(shí)，求出的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）證明：連接，，，，，與都與相切，與相切于點(diǎn)，，，；（2）證明：連接、，在和中，，，，同理，，，，，，，，又，；（3）解：，，是等腰直角三角形，，，，又，是等腰直角三角形，，作于點(diǎn)，，，，，，，設(shè)，，為的中點(diǎn)，，，，，，在中，，，，．12．（2022?東莞市一模）如圖，在中，，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，，于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，，，，，是的半徑，直線是的切線．（2）解：如圖，，，是的直徑，，由（1），可得，，，，在和中，，，，，，，，解得，，即的長(zhǎng)是3．13．（2022?東莞市一模）如圖，已知是的直徑，為上一點(diǎn)，的角平分線交于點(diǎn)，在直線上，且，垂足為，連接、．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為3，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）如圖，連接，，，平分，，，，，，，，即，是的切線；（2）是的直徑，，，則，在中，，，，即，解得，由（1）知是的切線，，，，，則，在中，，由勾股定理可得，，即，解得，則，由（1）知，，即，解得．14．（2022?中山市一模）如圖，在中，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，連接交于點(diǎn)，已知．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的直徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：，，是直徑，，，，，，，又是直徑，是的切線；（2），，，，，，，，，，，．15．（2022?中山市二模）如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，，連接，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，且與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，使得．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，判斷形狀，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)且時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）證明：為的直徑，，，，，，，，，，，為的半徑，是的切線；（2）解：是等邊三角形；理由：如圖1，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形；（3）解：如圖2，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，過(guò)點(diǎn)作于，，，在中，，，在中，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，或，，，，根據(jù)勾股定理得，．16．（2022?中山市模擬）如圖，已知，，為的直徑，斜邊交于點(diǎn)，平分，于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)．（1）求證：是切線；（2）求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）連接，平分，，，，，，，，點(diǎn)在上，是的切線；（2）連接，為的直徑，，，為的直徑，為的切線，又是的切線，，，，，，又，；（3），，，，，，，．17．（2022?中山市校級(jí)一模）如圖所示，是的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，連結(jié)．為的切線．（1）求證：平分．（2）若，，求弧的長(zhǎng)度（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：與相切于點(diǎn)，，，，，，，，即平分；（2）解：，，，，，是正三角形，弧的長(zhǎng)度為．18．（2022?中山市三模）如圖，以線段為直徑的交的邊于點(diǎn)，連接，作平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，連接，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）若，的面積為2，求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）72【詳解】（1）證明：為的直徑，點(diǎn)在上，，，，，，是的直徑，是的切線；（2）證明：連接，過(guò)點(diǎn)作交于，平分，，，，，是等腰直角三角形，，，、、三點(diǎn)共線，；（3）解：，，，設(shè)，則，，由（2）知，，，，，，，，，，，，．19．（2022?中山市三模）如圖，是的外接圓，為的直徑，為圓外一點(diǎn)，連接、，且滿足，．連接并延長(zhǎng)交于、兩點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）證明：；（3）過(guò)點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，連接，若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）證明：為的直徑，，，．．，，，是半徑，是的切線：（2）證明：，，為的垂直平分線，，由（1）得：，，，，，，；（3）解：設(shè)的面積為，則的面積為，，的面機(jī)為，的面積為，，，，，，，，的面積為，，設(shè)，則．，，．20．（2022?珠海二模）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)，在邊上，且，，以點(diǎn)為圓心，為半徑在其左側(cè)作半圓，分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）；（2）如圖2，將半圓繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)為半圓上一點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求點(diǎn)與線段之間的最短距離；②當(dāng)半圓交于，兩點(diǎn)時(shí)，若的長(zhǎng)為，求此時(shí)半圓與正方形重疊部分的面積；③當(dāng)半圓與正方形的邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，直接寫出的值．【答案】（1）6；（2）①1；②；③【詳解】（1）連接，如圖1，正方形中，，，，，，，，，故答案為：6；（2）①如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)，反向延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，根據(jù)三點(diǎn)共線及垂線段最短可得此時(shí)點(diǎn)到的距離最短，，四邊形是矩形，，．點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，即半圓的半徑為5，，即點(diǎn)到的最短距離為1；②由①可知半圓的半徑為5，如圖3，設(shè)的度數(shù)為，由題意得，的長(zhǎng)為，，，，，△是等邊三角形，，此時(shí)半圓與正方形重疊部分的面積為；③當(dāng)半圓與正方形的邊相切時(shí)，如圖4，過(guò)點(diǎn)作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，則，，，，，，，，，；當(dāng)半圓與正方形的邊相切時(shí)，如圖5，此時(shí)與重合，則，，，，綜上，．21．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，為的內(nèi)接三角形，為的直徑，將沿直線折疊得到，交于點(diǎn)．連接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若，，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）證明：將沿直線折疊得到，．點(diǎn)在的垂直平分線上．同理得：點(diǎn)在的垂直平分線上．即，．．是的半徑，直線是的切線；（2）證明：為的直徑，．．，．．，．．．，；（3）解：，，．．，．，．，．．，．，，．，．．解得：或（舍去）．，，．22．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，以的邊上一點(diǎn)為圓心，為半徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)與交于點(diǎn)，連，已知，．（1）求證：為的切線；（2）求；（3）設(shè)為的平分線，，求的度數(shù)及的半徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：是的直徑，，即，，，，，，，，為半徑，為的切線；（2）解：，，，，，，，設(shè)，，，，；（3）解：設(shè)與相交于點(diǎn)，為的平分線，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，由（2）得，，，，，，，，的半徑為．23．（2022?珠海一模）如圖，在中，，為邊上的一點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的弦交于點(diǎn)不是直徑），點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，連結(jié)，恰好為的切線．（1）求證：是的切線；（2）求證：平分；（3）若，，求四邊形的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）20【詳解】（1）證明：連接，，為直徑，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，，垂直平分，，，，，，為的切線，，，，是的半徑，是的切線；（2）證明：，，，，，，平分；（3）解：為的直徑，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，，，，設(shè)，則，，，，或（不合題意舍去），，四邊形的面積．24．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知是的直徑，銳角的平分線交于點(diǎn)，作，垂足為，直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證：直線為的切線；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：如圖，連接，平分，，，，，，，，是直徑且在半徑外端，為的切線；（2）解：，，，設(shè)，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，，，．25．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平行四邊形中，，垂足為點(diǎn)，以為直徑的與邊相切于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．（1）求證：．（2）若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，是的半徑，是的切線，又是的切線，，同理可得，，．（2）解：連接，相交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，，．，設(shè)，則，，，在中，，，，是的兩條切線，，，，，在中，，，，，，，．26．（2022?香洲區(qū)一模）如圖，中，，為上的一點(diǎn)，以為直徑的交于，連接交于，交于，連接，．（1）求證：與相切；（2）若，，求的半徑；（3）若，，求（用的代數(shù)式表示）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【詳解】（1）證明：，，，，，，，即，，是半徑，與相切；（2）解：，，，，，，，，的直徑為；（3）解：為的直徑，，，又，，，，，，，，．，又，，，．．27．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，在中，，與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．（1）求證：是的切線．（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3【詳解】（1）證明：連接，如圖，，．，．與相切于點(diǎn)，．．．在和中，，．．是的切線．（2）由（1）得：，，．．，，，，．．在中，．28．（2022?香洲區(qū)校級(jí)一模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是外一點(diǎn)，分別連接，、，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，，且．（1）求證：是的切線；（2）連接，若的半徑為6，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1），，，，，即，是的切線；（2）過(guò)點(diǎn)作于，的半徑為6，，，，，在中，，由三角形的面積公式可得，，即，，又，在中，．29．（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，直線與相離，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．點(diǎn)、在直線上，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的半徑和弦的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；【詳解】（1）證明：連接，如圖，，，，．，，．，，即，．為圓的半徑，是的切線；（2）解：連接，如圖，圓的半徑為，，，．．，，，，．解得：．．是的直徑，，．，，．，，．30．（2022?潮南區(qū)模擬）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為直徑的與邊交于點(diǎn)，連接．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，，求的直徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）直線與相切