專題09【五年中考+一年模擬】幾何壓軸題-備戰(zhàn)2023年成都中考數(shù)學(xué)真題模擬題分類匯編(原卷版+解析)

專題09幾何壓軸題1．（2022?成都）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．【嘗試初探】（1）在點的運(yùn)動過程中，與始終保持相似關(guān)系，請說明理由．【深入探究】（2）若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點時，求的值．【拓展延伸】（3）連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．2．（2021?成都）在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，其中點，的對應(yīng)點分別為點，．（1）如圖1，當(dāng)點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當(dāng)點落在的延長線上時，連接，交于點，求的長；（3）如圖3，連接，，直線交于點，點為的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．3．（2020?成都）在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，且時，求的長；（3）如圖3，延長，與的角平分線交于點，交于點，當(dāng)時，求的值．4．（2019?成都）如圖1，在中，，，點為邊上的動點（點不與點，重合）．以為頂點作，射線交邊于點，過點作交射線于點，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)時（如圖，求的長；（3）點在邊上運(yùn)動的過程中，是否存在某個位置，使得？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．5．（2018?成都）在中，，，，過點作直線，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△（點，的對應(yīng)點分別為，，射線，分別交直線于點，．（1）如圖1，當(dāng)與重合時，求的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)與的交點為，當(dāng)為的中點時，求線段的長；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點，分別在，的延長線上時，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請說明理由．6．（2022?武侯區(qū)校級模擬）在菱形中，，，是射線上一點，連接，將沿折疊，得到△．（1）如圖，當(dāng)點在左側(cè)，且時，求的度數(shù)；（2）當(dāng)時，求線段的長；（3）連接，當(dāng)時，求線段的長．7．（2022?武侯區(qū)模擬）如圖，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在線段上取一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）如圖1，若．（?。┊?dāng)，且時，求的度數(shù)；（ⅱ）試探究線段與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若，當(dāng)時，求的值．8．（2022?成華區(qū)模擬）在中，，，點為斜邊上一動點，將沿直線折疊，使得點的對應(yīng)點為．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的值；（3）連接，是否存在點，使，若存在，請直接寫出此時的值；若不存在，請說明理由．9．（2022?錦江區(qū)模擬）如圖1，在矩形中，平分交于，過點作交的延長線于點，連接交于點，連接交于點．（1）求證：①；②；（2）求證：；（3）如圖2，將繞點旋轉(zhuǎn)得到，連接，．若，，當(dāng)有最大值時，求的長．10．（2022?金牛區(qū)模擬）已知是矩形的對角線，將沿折疊得到，與交點為．（1）如圖1，求證：；（2）連接交于點，連接交于點，連接，如圖2，①若，，求的值；②若，求的值．11．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖1，和中，，，邊與相交于點，且，連接，．（1）求的值；（2）如圖2，連接，，將繞著點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）在（2）的條件下，若，，當(dāng)，，三點在一條直線上時，求的長度．12．（2022?青羊區(qū)模擬）在中，，，是邊上一點，連接．（1）如圖1，是延長線上一點，與垂直，求證：；（2）如圖2，過點作，為垂足，連接并延長交于點，求證：；（3）如圖3，將（1）中的以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得△，，對應(yīng)點分別是，，為上任意一點，為的中點，連接，若，，最大值為，最小值為，求的值．13．（2022?高新區(qū)模擬）在中，，，點，分別是，邊上的動點，連接，作關(guān)于對稱的圖形△．（1）如圖1，當(dāng)點恰好與點重合，求的長；（2）如圖2，當(dāng)點落在的延長線上，且，求的長；（3）如圖3，若，連接，是的中點，連接，在點的運(yùn)動過程中，求線段長度的最大值．14．（2022?雙流區(qū)模擬）如圖，在菱形中，過點作于點，菱形的對角線交于點，連接．已知，．（1）求證：；（2）連接交于點，求的值；（3）已知點為折線上一動點，連接．當(dāng)線段的長為何值時，與互為余角，并求此時直線與直線所夾銳角的正切值．15．（2022?溫江區(qū)模擬）在中，，點為邊上一動點（不與點、重合），連接，若，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接和，與交于點．（1）求證：；（2）若，點在邊上運(yùn)動的過程中，求的最小值；（3）試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示），并證明．16．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，在中，，，，點為邊的中點．點從點出發(fā)，沿方向以每秒1個單位長度的速度向終點運(yùn)動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度先沿方向運(yùn)動到點，再沿方向向終點運(yùn)動，以、為鄰邊構(gòu)造，設(shè)點運(yùn)動的時間為秒．（1）當(dāng)點落在邊上時，求和的面積；（2）當(dāng)點在邊上時，設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）連接，直接寫出將分成的兩部分圖形面積相等時的值．17．（2022?青羊區(qū)校級模擬）（1）如圖①，在三角形紙片中，，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，求的長；（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，求的值；（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過頂點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．（?。┣缶€段的長；（ⅱ）若點是邊的中點，點為線段上的一個動點，將沿折疊得到△，點的對應(yīng)點為點，與交于點，求的取值范圍．18．（2022?龍泉驛區(qū)模擬）圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無比．問題情景：數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以等腰三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動．如圖，已知為等腰三角形，，，為邊上一點（不與，重合），將沿翻折后得到，連接．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與交于點，求證：；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；探究拓廣：（3）若，當(dāng)時，求的面積．19．（2022?錦江區(qū)校級模擬）（1）模型研究如圖①，在中，，為邊延長線上一點，且．則；（2）模型應(yīng)用如圖②，在中，．若，，求的長；（3）模型遷移如圖③，點為邊上一點，，，交的延長線于．若，，求的面積．20．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，和是有公共頂點的等腰直角三角形，，把繞點旋轉(zhuǎn)，點為射線與的交點．（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，求證：；（2）若，，①如圖2，當(dāng)點在延長線上時，求的長；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)四邊形為正方形時，直接寫出線段長度的值．21．（2022?錦江區(qū)校級模擬）如圖1，在正方形中，，點是射線上一動點，連接，以為邊在上方作正方形，連接，，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，延長，交于點．若，求線段的長；（3）在點的運(yùn)動過程中，求的最小值．22．（2022?高新區(qū)校級模擬）（1）問題探究：如圖1，在正方形中，點，分別在邊、上，于點，點，分別在邊、上，．①判斷與的數(shù)量關(guān)系：；②推斷：的值為；（無需證明）（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形中，，，，，點、分別在邊、上，求的值．23．（2022?郫都區(qū)模擬）在四邊形中，點，分別是邊，上的點，連接、并延長，分別交，的延長線于點、．（1）如圖1，若四邊形是正方形，，連接，求證：；（2）如圖2，若四邊形是菱形，，，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，若四邊形是矩形，，，，求的長．24．（2022?成都模擬）如圖，在矩形中，，，平分交于點．連接，點是上一動點，過點作交于點．將繞點旋轉(zhuǎn)得到△．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）當(dāng)點恰好落在直線上時，若，求的值；（3）如圖3，連接，當(dāng)與交于點時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．25．（2022?青羊區(qū)校級模擬）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，已知四邊形是正方形，點為邊上一點（不與端點重合）．連接，作點關(guān)于直線的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，．①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點在上移動時，，并給出如下不完整的證明過程，請幫他補(bǔ)充完整．證明：延長交于點．②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點與點重合時，的度數(shù)為．【類比遷移】（2）如圖②，四邊形為矩形，點為邊上一點，連接，作點關(guān)于直線的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，，，當(dāng)，，時，求的長；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，已知四邊形為菱形，，，點為線段上一動點，連接，作點關(guān)于直線的對稱點，若恰好落在菱形的邊上（不與頂點重合），求的長．26．（2022?錦江區(qū)校級模擬）取一張矩形紙片，為邊上一動點，將沿直線折疊得．（1）如圖1，連接，，，當(dāng)時，試判斷的形狀；（2）如圖2，連接，當(dāng)，的最大值與最小值的和為20時，求線段的值；（3）如圖3，當(dāng)點落在邊上，分別延長，交于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得△，分別連接，，取中點連接，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系．27．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，矩形中，點為對角線上一點，過點作交邊于點．（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時，連接，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若面積的最大值為6，求的長．28．（2022?雙流區(qū)校級模擬）如圖1，在菱形中，是對角線，，點、分別是邊、上的動點，且滿足，連接與相交于點．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交于點，若，，求的值．（3）如圖3，點為線段中點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時，請直接寫出的長．29．（2022?簡陽市模擬）已知在正方形中，是邊上一動點，作點關(guān)于的對稱點，交于點，連結(jié)．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，過點作交的延長線于點，連結(jié)，．若，試探究四邊形的形狀，并說明理由；（3）如圖3，連結(jié)，在上截取，點，分別是，上的動點．若正方形的面積為32，直接寫出周長的最小值．30．（2022?武侯區(qū)校級模擬）在矩形中，點為射線上一動點，連接．（1）當(dāng)點在邊上時，將沿翻折，使點恰好落在對角線上點處，交于點．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)，且時，求的長．（2）在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點的對應(yīng)點為，當(dāng)點，，三點共線時，求的長．31．（2022?青羊區(qū)校級模擬）在中，，，點為線段上一動點（點不與、重合），連接，分別以，為斜邊向右側(cè)作等腰直角三角形和等腰直角三角形，連接．（1）當(dāng)點在的外部時，求證：；（2）如圖1，當(dāng)，，三點共線時，求的面積；（3）如圖2，當(dāng)點在的延長線上時，其它條件不變，連接，若，求的長．32．（2022?成都模擬）如圖，在等腰中，，，點在上，點在上，過點作分別交，于點，，連接，，且滿足．（1）求證：；（2）當(dāng)時，求的值；（3）當(dāng)點在邊上運(yùn)動的過程中，是否存在某個位置，使得？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．33．（2022?郫都區(qū)模擬）（1）如圖①，已知四邊形是正方形，點為邊上一點（不與端點重合），連接，作點關(guān)于的對稱點，的延長線與的延長線交于點，延長交于點，連接，．求證：；（2）如圖②，四邊形為矩形，點為邊上一點，連接，作點關(guān)于的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，，．如果，，，求的長；（3）如圖③，已知四邊形為方形，，，點為線段上一動點，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點落在菱形的邊上時（頂點除外），如果，請直接寫出此時的長．34．（2022?青白江區(qū)模擬）（1）如圖1，在正方形中，點、分別在邊和上，于點，求證：；（2）如圖2，在矩形中，將矩形折疊，得到四邊形，交于點，點落在邊上的點處，折痕交邊于，交邊于，連接交于點；①若，且，，求與的長；②先閱讀下面內(nèi)容，再解決提出的問題，當(dāng)時，我們可以利用配方法求出此時的取值范圍．由題意可知，即，顯然此時或，所以或，如圖3，若，，請根據(jù)前述方法直接寫出的最大值及此時的長．專題09幾何壓軸題1．（2022?成都）如圖，在矩形中，，點是邊上一動點（點不與，重合），連接，以為邊在直線的右側(cè)作矩形，使得矩形矩形，交直線于點．【嘗試初探】（1）在點的運(yùn)動過程中，與始終保持相似關(guān)系，請說明理由．【深入探究】（2）若，隨著點位置的變化，點的位置隨之發(fā)生變化，當(dāng)是線段中點時，求的值．【拓展延伸】（3）連接，，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，求的值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】見解析【詳解】解：（1）四邊形和四邊形是矩形，，，，，在點的運(yùn)動過程中，與始終保持相似關(guān)系；（2）如圖1，是線段中點，，設(shè)，，則，，，由（1）知：，，即，，，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；綜上，的值是．（3）分兩種情況：①如圖2，，設(shè)，，四邊形是矩形，，，，，矩形矩形，，，，由（1）知：，，，，，；②如圖3，，矩形矩形，，，，，，，，共線，，，，，，，，，由①可知：，，，由勾股定理得：，，（負(fù)值舍），，綜上，的值是或．2．（2021?成都）在中，，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，其中點，的對應(yīng)點分別為點，．（1）如圖1，當(dāng)點落在的延長線上時，求的長；（2）如圖2，當(dāng)點落在的延長線上時，連接，交于點，求的長；（3）如圖3，連接，，直線交于點，點為的中點，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】解：（1），，，，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，點落在的延長線上，，，△中，，；（2）過作交于，過作于，如圖：繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，，，，中，，，，，，中，，同理，，，，，，；（3）存在最小值1，理由如下：過作交延長線于，連接，如圖：繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△，，，，，而，，，，，，，，在和△中，，△，，即是中點，點為的中點，是△的中位線，，要使最小，只需最小，此時、、共線，的最小值為，最小為．3．（2020?成都）在矩形的邊上取一點，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，當(dāng)，且時，求的長；（3）如圖3，延長，與的角平分線交于點，交于點，當(dāng)時，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）四邊形是矩形，，將沿翻折，使點恰好落在邊上點處，，，，，，，四邊形是矩形，，，；（2）將沿翻折，使點恰好落在邊上點處，，，又矩形中，，，，，，，，，，，，，，，．（3）過點作于點，，，，，，，，，設(shè)，平分，，，，，設(shè)，則，，，解得．．．4．（2019?成都）如圖1，在中，，，點為邊上的動點（點不與點，重合）．以為頂點作，射線交邊于點，過點作交射線于點，連接．（1）求證：；（2）當(dāng)時（如圖，求的長；（3）點在邊上運(yùn)動的過程中，是否存在某個位置，使得？若存在，求出此時的長；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，．（2）解：如圖2中，作于．在中，設(shè)，則，由勾股定理，得到，，或（舍棄），，，，，，，，，，，，，，，．（3）點在邊上運(yùn)動的過程中，存在某個位置，使得．理由：作于，于，于．則，四邊形為矩形，，，，，，，，在中，由勾股定理，得，，，，，，，，，，當(dāng)時，由點不與點重合，可知為等腰三角形，，，，點在邊上運(yùn)動的過程中，存在某個位置，使得，此時．5．（2018?成都）在中，，，，過點作直線，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到△（點，的對應(yīng)點分別為，，射線，分別交直線于點，．（1）如圖1，當(dāng)與重合時，求的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)與的交點為，當(dāng)為的中點時，求線段的長；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點，分別在，的延長線上時，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，，，；（2）為的中點，，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，，，，；（3），最小，即最小，，法一：（幾何法）取的中點，，，即，當(dāng)最小時，最小，，即與重合時，最小，，，的最小值，；法二（代數(shù)法）設(shè)，，由射影定理得：，當(dāng)最小時，最小，，當(dāng)時，“”成立，，的最小值，．6．（2022?武侯區(qū)校級模擬）在菱形中，，，是射線上一點，連接，將沿折疊，得到△．（1）如圖，當(dāng)點在左側(cè)，且時，求的度數(shù)；（2）當(dāng)時，求線段的長；（3）連接，當(dāng)時，求線段的長．【答案】見解析【詳解】解：（1）如圖1中，設(shè)交于點．由翻折的性質(zhì)可知，，，，，；（2）如圖2中，過點作于點．四邊形是菱形，，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，在中，，，，；（3）如圖3中，連接，，過點作于，過點作于點，過點作于點，設(shè)交于點．，，，，，，，，，可以假設(shè)，，，，，，在中，則有，解得或（舍去），，，，設(shè)，則，，，，，，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，．如圖4中，當(dāng)點在的延長線上時，同法可得，，，，設(shè)，則，，，，，，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，，綜上所述，滿足條件的的值為或．7．（2022?武侯區(qū)模擬）如圖，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，在線段上取一點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接．（1）如圖1，若．（ⅰ）當(dāng)，且時，求的度數(shù)；（ⅱ）試探究線段與之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，若，當(dāng)時，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，；，理由如下：過點作于，過點作于，，，，，，又，，，，，，，，，又，，；（3）過點作于，過點作于，，，，，，又，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，．8．（2022?成華區(qū)模擬）在中，，，點為斜邊上一動點，將沿直線折疊，使得點的對應(yīng)點為．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的值；（3）連接，是否存在點，使，若存在，請直接寫出此時的值；若不存在，請說明理由．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，沿直線折疊，點的對應(yīng)點為，，，；（2）解：設(shè)，、交于點，過點作于點，如圖：，，，，，，，由折疊可知，，，又，，又，．，設(shè)，則，，，，，解答，，，，△是等腰直角三角形，，，，答：的值為；（3）解：存在點，使，理由如下：①當(dāng)在左側(cè)時，過作于，如圖：沿直線折疊，點的對應(yīng)點為，，，，△是等邊三角形，，，，，，，在中，設(shè)，則，，、是等腰直角三角形，，，，；②當(dāng)在右側(cè)時，過作于，如圖：同理可得，△是等邊三角形，，，、是等腰直角三角形，，在中，設(shè)，則，，，，，，綜上所述，的值為或．9．（2022?錦江區(qū)模擬）如圖1，在矩形中，平分交于，過點作交的延長線于點，連接交于點，連接交于點．（1）求證：①；②；（2）求證：；（3）如圖2，將繞點旋轉(zhuǎn)得到，連接，．若，，當(dāng)有最大值時，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：①如圖1中，四邊形是矩形，，，平分，，，，．②證明：連接交于點，連接，，，四邊形是矩形，，，，，，，，五點共圓，．（2）證明：，又，，，，都是等腰直角三角形，，，，，；（3）解：四邊形是矩形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，當(dāng)，，共線時，的值最大，如圖中，當(dāng)點在線段上時，在中，，；如圖中，當(dāng)點在線段的延長線上時，同法可得，綜上所述，的長為或．10．（2022?金牛區(qū)模擬）已知是矩形的對角線，將沿折疊得到，與交點為．（1）如圖1，求證：；（2）連接交于點，連接交于點，連接，如圖2，①若，，求的值；②若，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：將沿折疊得到，，，，四邊形是矩形，，，，，，，；（2）解：①如圖，連接，將沿折疊得到，，平分，垂直平分，，四邊形是矩形，，，，，在中，，①設(shè)與相交于點，則，，，，，，，在中，，，的值為，②由①知，是的中位線，，，設(shè)，，則，，，，，解得，，，．11．（2022?天府新區(qū)模擬）如圖1，和中，，，邊與相交于點，且，連接，．（1）求的值；（2）如圖2，連接，，將繞著點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（3）在（2）的條件下，若，，當(dāng)，，三點在一條直線上時，求的長度．【答案】見解析【詳解】解：（1）不妨設(shè)，，，，，，；（2），理由如下：，，即：，，，，，即：，又，，；（3）如圖1，當(dāng)點在上是，由（2）得，，，，，同理可得：，，，，如圖2，當(dāng)點在的延長線上，，綜上所述：或．12．（2022?青羊區(qū)模擬）在中，，，是邊上一點，連接．（1）如圖1，是延長線上一點，與垂直，求證：；（2）如圖2，過點作，為垂足，連接并延長交于點，求證：；（3）如圖3，將（1）中的以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得△，，對應(yīng)點分別是，，為上任意一點，為的中點，連接，若，，最大值為，最小值為，求的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1，設(shè)的延長線交于，，，，，，在和中，，，；（2）證明：如圖2，作交的延長線于，，，，，，，，，，，在和中，，，，，；（3）解：如圖3，點運(yùn)動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)上的高是，垂足為，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，運(yùn)動的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，當(dāng)點運(yùn)動與小圓交于，此時最小，為，，延長交大圓于，最大，，，，，，，．13．（2022?高新區(qū)模擬）在中，，，點，分別是，邊上的動點，連接，作關(guān)于對稱的圖形△．（1）如圖1，當(dāng)點恰好與點重合，求的長；（2）如圖2，當(dāng)點落在的延長線上，且，求的長；（3）如圖3，若，連接，是的中點，連接，在點的運(yùn)動過程中，求線段長度的最大值．【答案】見解析【詳解】解：（1）由題意可得：，，，，，；（2）如圖，過點作于，延長交于點，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，，由題意可得：，，，；（3）如圖，過點作于，取的中點，連接，，過點作于，，，點是的中點，點是的中點，，點在以點為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)點在的延長線上時，有最大值，，點是的中點，，，，又，，，，，，在中，由勾股定理可得：，的最大值為．14．（2022?雙流區(qū)模擬）如圖，在菱形中，過點作于點，菱形的對角線交于點，連接．已知，．（1）求證：；（2）連接交于點，求的值；（3）已知點為折線上一動點，連接．當(dāng)線段的長為何值時，與互為余角，并求此時直線與直線所夾銳角的正切值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，，，在和中，，，；（2）解：如圖1中，延長交于點，交的延長線于點．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）如圖2中，當(dāng)點在上時，連接，連接交于點，設(shè)交于點．與互為余角，，，，，，，，，，，，，，，，，．如圖3中，當(dāng)點在上時，連接交于點，設(shè)交于點．，，，，，，，，，，，，，，，，綜上所述，滿足條件的直線與直線所夾銳角的正切值為或1．15．（2022?溫江區(qū)模擬）在中，，點為邊上一動點（不與點、重合），連接，若，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接和，與交于點．（1）求證：；（2）若，點在邊上運(yùn)動的過程中，求的最小值；（3）試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系（用含的式子表示），并證明．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，，，，；（2）解：如圖2，，，，，，，，，，，，，取的中點，連接，，，設(shè)，，，，，，，，，，當(dāng)時，的最小值為；（3）解：．證明：如圖2，取的中點，，，，，，，，，為的中點，，，在中，，．16．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，在中，，，，點為邊的中點．點從點出發(fā)，沿方向以每秒1個單位長度的速度向終點運(yùn)動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度先沿方向運(yùn)動到點，再沿方向向終點運(yùn)動，以、為鄰邊構(gòu)造，設(shè)點運(yùn)動的時間為秒．（1）當(dāng)點落在邊上時，求和的面積；（2）當(dāng)點在邊上時，設(shè)的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）連接，直接寫出將分成的兩部分圖形面積相等時的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）當(dāng)點落在邊上時，，，，，，為的中位線，，；（2）①如圖1，當(dāng)時，作于，則，，；②如圖，當(dāng)時，作于，則，，同法可得；綜上：；（3）當(dāng)點落在直線上時，將分成的兩部分面積相等，有兩種情況：①當(dāng)點在上，且點在上時，如圖，過點作于，過點作于，，，，四邊形是平行四邊形，，在與中，，，，，，，，，解得，當(dāng)點在上時，此時點在上符合題意，作于，，，，，，，，解得，綜上：或．17．（2022?青羊區(qū)校級模擬）（1）如圖①，在三角形紙片中，，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，求的長；（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點與點重合，折痕為，求的值；（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過頂點的直線折疊，使點落在邊上的點處，折痕為．（ⅰ）求線段的長；（ⅱ）若點是邊的中點，點為線段上的一個動點，將沿折疊得到△，點的對應(yīng)點為點，與交于點，求的取值范圍．【答案】見解析【詳解】解：（1），，，，將折疊，使點與點重合，，，，，，，；（2）如圖②中，，，由題意垂直平分線段，，，，，，，，，，；（3）（ⅰ）如圖③中，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，；（ⅱ）如圖③中，，，，，，，點在線段上運(yùn)動，，，，．18．（2022?龍泉驛區(qū)模擬）圖形的世界豐富且充滿變化，用數(shù)學(xué)的眼光觀察它們，奇妙無比．問題情景：數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以等腰三角形紙片為背景進(jìn)行探究性活動．如圖，已知為等腰三角形，，，為邊上一點（不與，重合），將沿翻折后得到，連接．操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與交于點，求證：；探究發(fā)現(xiàn)：（2）如圖2，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系；探究拓廣：（3）若，當(dāng)時，求的面積．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，將沿翻折后得到，，，，，，；（2）延長到，使，連接，過點作于點，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，將沿翻折后得到，，又，，，，又，△，，又，，，即，，即；（3）①在上截取，使，連接，過點作于，設(shè)，，，，，解得，，，，，，，折疊，，，，，，，，，，是直角三角形，，，，，，，，；②如圖，在上截取，使，連接，過點作于點，同理求出，，，是直角三角形，，，．19．（2022?錦江區(qū)校級模擬）（1）模型研究如圖①，在中，，為邊延長線上一點，且．則；（2）模型應(yīng)用如圖②，在中，．若，，求的長；（3）模型遷移如圖③，點為邊上一點，，，交的延長線于．若，，求的面積．【答案】見解析【詳解】解：（1）在中，，，，是的外角，，故答案為：；（2）如圖1，以為圓心，長為半徑畫弧交于，作于，，，由（1）得，，，，，，，；（3）如圖2，作交延長線于，以點為圓心，為半徑畫弧，交于，作于，，，，設(shè)，則，，，由（1）知：，，，由（2）模型知：，，四邊形是矩形，，，，，，．20．（2022?新都區(qū)模擬）如圖，和是有公共頂點的等腰直角三角形，，把繞點旋轉(zhuǎn)，點為射線與的交點．（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時，求證：；（2）若，，①如圖2，當(dāng)點在延長線上時，求的長；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)四邊形為正方形時，直接寫出線段長度的值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：和是等腰直角三角形，，，，，，，，又是等腰直角三角形，，；（2）解：①和是等腰直角三角形，，，，，，，，，又，，，，，，；②當(dāng)四邊形為正方形時，點在線段上，，，，，；如圖，當(dāng)點在線段的延長線上時，同理．綜上所述可得的長為或．21．（2022?錦江區(qū)校級模擬）如圖1，在正方形中，，點是射線上一動點，連接，以為邊在上方作正方形，連接，，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，延長，交于點．若，求線段的長；（3）在點的運(yùn)動過程中，求的最小值．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，四邊形是正方形，，，，在和中，，；（2）解：作于，，，，，，，設(shè)，，，，，，解得（負(fù)值舍去），；（3）解：四邊形是正方形，，作點關(guān)于的對稱點，連接，則的最小值為的長，由勾股定理得，，的最小值為．22．（2022?高新區(qū)校級模擬）（1）問題探究：如圖1，在正方形中，點，分別在邊、上，于點，點，分別在邊、上，．①判斷與的數(shù)量關(guān)系：；②推斷：的值為；（無需證明）（2）類比探究：如圖（2），在矩形中，為常數(shù)）．將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處，得到四邊形，交于點，連接交于點．試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，四邊形中，，，，，點、分別在邊、上，求的值．【答案】見解析【詳解】解：（1）①證明：四邊形是正方形，，．．，．．，．故答案為：．②結(jié)論：．理由：，，，，四邊形是平行四邊形，，，，．故答案為：1．（2）結(jié)論：．理由：如圖2，作于．，，，，，，，，四邊形是矩形，，．（3）如圖3，過點作，交的延長線于點，過點作，連接，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，且，，且，，，，，，，（不合題意，舍去），，，由（2）的結(jié)論可知：．23．（2022?郫都區(qū)模擬）在四邊形中，點，分別是邊，上的點，連接、并延長，分別交，的延長線于點、．（1）如圖1，若四邊形是正方形，，連接，求證：；（2）如圖2，若四邊形是菱形，，，設(shè)，，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖3，若四邊形是矩形，，，，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，同理，，，，，，，，，；（2）解：四邊形是菱形，，，，，，，同理，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖，取中點，過點作，交于點，交于點，連接，，，且是中點，，，，，，，，，，，，，，，，且，四邊形是平行四邊形，且，，四邊形是正方形，，四邊形是正方形，且，由（2）可得：，，，，，，，，故的長為．24．（2022?成都模擬）如圖，在矩形中，，，平分交于點．連接，點是上一動點，過點作交于點．將繞點旋轉(zhuǎn)得到△．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）當(dāng)點恰好落在直線上時，若，求的值；（3）如圖3，連接，當(dāng)與交于點時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】見解析【詳解】（1）證明：，，，，，，即，；（2）如圖1，四邊形是矩形，，平分，，，，，，由（1）知：，，，，在中，由勾股定理得，，，，綜上所述：；（3）如圖2，，理由如下：于，（1）得，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，，，．25．（2022?青羊區(qū)校級模擬）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖①，已知四邊形是正方形，點為邊上一點（不與端點重合）．連接，作點關(guān)于直線的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，．①小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點在上移動時，，并給出如下不完整的證明過程，請幫他補(bǔ)充完整．證明：延長交于點．②進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點與點重合時，的度數(shù)為．【類比遷移】（2）如圖②，四邊形為矩形，點為邊上一點，連接，作點關(guān)于直線的對稱點，的延長線與的延長線交于點，連接，，，當(dāng)，，時，求的長；【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，已知四邊形為菱形，，，點為線段上一動點，連接，作點關(guān)于直線的對稱點，若恰好落在菱形的邊上（不與頂點重合），求的長．【答案】見解析【詳解】（1）①證明：如圖①，延長由對稱可知，，，，四邊形是正方形，，，在和中，，．②解：如圖1，當(dāng)點與點重合時，由對稱可知，四邊形是正方形，，，由①得到，，故答案為：．（2）解：如圖2，延長交于點，由對稱可知，點是的中點，，，，是的中位線，點是的中點，，，由（1）①得，，，，，，，，是的中位線，．（3）解：如圖3，當(dāng)落在上時，延長交于點，四邊形是菱形，，，，，，同理證得，，，；如圖4，當(dāng)落在上時，延長交于點，由軸對稱的性質(zhì)得出，，，四邊形是菱形，，，，，，，，，又，，，，設(shè)，則，，，解得，，綜上所述，或．26．（2022?錦江區(qū)校級模擬）取一張矩形紙片，為邊上一動點，將沿直線折疊得．（1）如圖1，連接，，，當(dāng)時，試判斷的形狀；（2）如圖2，連接，當(dāng)，的最大值與最小值的和為20時，求線段的值；（3）如圖3，當(dāng)點落在邊上，分別延長，交于點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得△，分別連接，，取中點連接，試探究線段與的數(shù)量關(guān)系．【答案】見解析【詳解】解：（1）結(jié)論：是等邊三角形．理由：如圖1中，由翻折變換的性質(zhì)可知，，四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，，，是等邊三角形；（2）如圖2中，連接，由題意，的最大值為線段的長，設(shè)，則最小值為，當(dāng)，，共線時，的值最小，，，，，，；（3）結(jié)論：．理由：如圖3中，延長到，使得，連接，，．，，，△，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，，又，，，△，，，，，，，，△是等腰直角三角形，．27．（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，矩形中，點為對角線上一點，過點作交邊于點．（1）如圖1，當(dāng)時，求證：；（2）如圖2，當(dāng)時，連接，探究線段、、的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，若面積的最大值為6，求的長．【答案】見解析【詳解】（1）證明：如圖1，連接，四邊形是矩形，，四邊形是正方形，，，，在和中，，，，，，，在四邊形中，，，，，，；（2）如圖2，作于，作于，，四邊形是矩形，，四邊形是矩形，，，，即：，，，，，，，，，，在中，設(shè)，，，，，，，，，；（3）如圖3，作于，設(shè)，，，，，，，，，，，，．28．（2022?雙流區(qū)校級模擬）如圖1，在菱形中，是對角線，，點、分別是邊、上的動點，且滿足，連接與相交于點．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交于點，若，，求的值．（3）如圖3，點為線段中點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時，請直接寫出的長．【答案】見解析【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，，，是等邊三角形．，，，，；（2）如圖2中，延長至點使得．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，；（3）如圖中，當(dāng)時，連接交于點，連接，．，點在的垂直平分線上，垂直平分線段，點在上，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．如圖中，當(dāng)點與重合時，，延長交于點，設(shè)，，，，，，，，，，在中，，，在中，，，整理得，，解得或（舍棄），，．綜上所述，或．29．（2022?簡陽市模擬）已知在正方形中，是邊上一動點，作點關(guān)于的對稱點，交于點，連結(jié)．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，過點作交的延長線于點，連結(jié)，．若，試探究四邊形的形狀，并說明理由；（3）如圖3，連結(jié)，在上截取，點，分別是，上的動點．若正方形的面積為32，直接寫出周長的最小值．【答案】見解析【詳解】解：（1）如圖1，連結(jié)，點、關(guān)于對稱，，四邊形是正方形，，．．，．在四邊形中，，．即；（2）四邊形是平行四邊形，理由如下：如圖2，連接．，．，．在中，，，又四邊形是正方形，，，又，．．，．．又．四邊形是平行四邊形；（3）周長的最小值為．如圖3，作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連結(jié)，，．連結(jié)交于點，交于點，連結(jié)．，則周長的最小值為的長，由對稱知．．．，．．．，．．，．，．于點，點在以為直徑的圓弧上運(yùn)動，取中點，則．當(dāng)、、三點共線時最小．最小值為，最小值為．周長的最小值為．30．（2022?武侯區(qū)校級模擬）在矩形中，點為射線上一動點，連接．（1）當(dāng)點在邊上時，將沿翻折，使點恰好落在對角線上點處，交于點．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)，且時，求的長．（2）在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點的對應(yīng)點為，當(dāng)點，，三點共線