江蘇省常州2024高三數(shù)學(xué)下學(xué)期1月月考試題

江蘇常州市2024高三下學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．集合，，則（

）A． B．C． D．2．已知為虛數(shù)單位，下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（

）A． B． C． D．3．已知圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5.若球在圓錐內(nèi)，則球的體積的最大值為（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A． B． C． D．5．已知兩個(gè)單位向量，的夾角為60°，設(shè)（其中x，y∈R），若||＝3，則xy的最大值（

）A．2 B． C．3 D．6．曲線在處的切線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，在點(diǎn)P處的切線恰好過點(diǎn)，則點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為（

）A． B．1 C． D．28．在一個(gè)質(zhì)地勻稱的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務(wù)為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事務(wù)為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事務(wù)為“其次次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事務(wù)與事務(wù)是對(duì)立事務(wù) B．事務(wù)與事務(wù)不是相互獨(dú)立事務(wù)C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．關(guān)于一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、頻率分布直方圖和方差，下列說法正確的是（

）A．變更其中一個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)和中位數(shù)都會(huì)發(fā)生變更B．頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)當(dāng)相等C．若數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對(duì)稱，且在左邊“拖尾”，則平均數(shù)小于中位數(shù)D．樣本數(shù)據(jù)的方差越小，說明樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小10．下列式子的運(yùn)算結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．11．已知A（4，2），B（0，4），圓，P為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．的最小值為C．的最小值為D．最大時(shí)，12．如圖，點(diǎn)是正四面體底面的中心，過點(diǎn)且平行于平面的直線分別交，于點(diǎn)，，是棱上的點(diǎn)，平面與棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，與棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，則（

）A．若平面，則B．存在點(diǎn)與直線，使C．存在點(diǎn)與直線，使平面D．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是__________.14．已知拋物線的方程為，且過點(diǎn)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為______．15．函數(shù)的值域?yàn)開________.16．“垛積術(shù)”（隙積術(shù)）是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有茭草垛、方垛、芻童垛、三角垛等等.某倉(cāng)庫(kù)中部分貨物堆放成如圖所示的“茭草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最終一層是件.已知第一層貨物單價(jià)1萬元，從其次層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的，第層的貨物的價(jià)格為______，若這堆貨物總價(jià)是萬元，則的值為______.四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．對(duì)于數(shù)列，若存在正整數(shù)M，同時(shí)滿意如下兩個(gè)條件：①對(duì)隨意，都有成立；②存在，使得．則稱數(shù)列為數(shù)列．(1)若，，推斷數(shù)列和是否為數(shù)列，并說明理由；（5分）(2)若數(shù)列滿意，，求實(shí)數(shù)p的取值集合．（5分）18．敏捷就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競(jìng)、電商這些新興產(chǎn)業(yè)上．只要有網(wǎng)絡(luò)、有電腦，隨時(shí)隨地都可以辦公．這些崗位出現(xiàn)的背后都離不開互聯(lián)網(wǎng)的加速發(fā)展和短視頻時(shí)代的大背景．甲、乙兩人同時(shí)競(jìng)聘某公司的主播崗位，實(shí)行三局兩勝制進(jìn)行競(jìng)賽，假設(shè)甲每局競(jìng)賽獲勝的概率為，且每局競(jìng)賽都分出了輸贏．(1)求競(jìng)賽結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；（6分）(2)競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，記甲獲勝的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列．（6分）19．在①，②，③．這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．（7分）問題：在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，________．注：假如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．20．如圖，空間幾何體中，四邊形是梯形，，四邊形是矩形，且平面平面，M是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）試確定點(diǎn)M的位置，使平面，并說明理由；（7分）（2）在（1）的條件下，平面將幾何體分成兩部分，求空間幾何體與空間幾何體的體積的比值.（7分）21．已知圓，點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交直線于點(diǎn)（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（5分）（2）過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線和的傾斜角互補(bǔ)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.（6分）22．設(shè)函數(shù)，其中．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；（5分）(2)若，（ⅰ）證明：恰有一個(gè)極值點(diǎn)；（5分）（ⅱ）設(shè)為的極值點(diǎn)，若為的零點(diǎn)，且，證明：．（6分）數(shù)學(xué)答案及解析1．A【分析】化簡(jiǎn)集合，再結(jié)合交集運(yùn)算求解即可【解析】由題意可得，則.故選：A2．C【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一化簡(jiǎn)可得答案．【解析】對(duì)于A，不是純虛數(shù)；對(duì)于B，是實(shí)數(shù)；對(duì)于C，為純虛數(shù)；對(duì)于D，不是純虛數(shù).故選：C.【留意】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3．A【分析】設(shè)圓錐的軸截面為等腰△，則球的體積最大時(shí)，球的軸截面是△的內(nèi)切圓，依據(jù)三角形面積公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)求出半徑，最終求出體積.【解析】設(shè)圓錐的軸截面為等腰△，則球的體積最大時(shí)，球的軸截面是△的內(nèi)切圓，所以，解得：，所以球的體積的最大值為.故選：A【留意】本題考查了求球體積最大問題，考查了球的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.4．C【分析】依據(jù)題意知函數(shù)為奇函數(shù)，化簡(jiǎn)可得，據(jù)此可求出值.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即，所以可得，即，，即，，.故選：C5．C【分析】依據(jù)得到，再利用均值不等式計(jì)算得到答案?！窘馕觥?，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。故選：【留意】本題考查了向量的運(yùn)算和均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用實(shí)力。6．D【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，然后利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的關(guān)系將化簡(jiǎn)為，再代值可得答案【解析】解：依題意，，所以，所以故選：D.【留意】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的傾斜角與斜率，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】設(shè)坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)求出線斜率，再由切線過點(diǎn)，可求得，，然后可求得焦半徑．【解析】拋物線方程為，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，∴切線斜率為，又切線過點(diǎn)，∴，∴，．．即或，拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，，∴點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．故選：B．【留意】本題考查直線與拋物線相切問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查拋物線的幾何性質(zhì)．利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用焦半徑公式求出焦半徑，本題難度一般．8．C【分析】依據(jù)對(duì)立事務(wù)，獨(dú)立事務(wù)的概念及古典概型概率公式逐項(xiàng)分析即得.【解析】對(duì)于A，事務(wù)與事務(wù)是相互獨(dú)立事務(wù)，但不是對(duì)立事務(wù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，對(duì)于事務(wù)與事務(wù)，,事務(wù)與事務(wù)是相互獨(dú)立事務(wù),故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，記錄的結(jié)果一共有種，其中，事務(wù)發(fā)生，則兩次朝下的點(diǎn)數(shù)為一奇一偶，有種，所以，因?yàn)閽仈S正四面體向下的數(shù)字為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，事務(wù)表示第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)，其次次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D錯(cuò)誤.故選：C．9．BCD【分析】依據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、頻率分布直方圖和方差的性質(zhì)，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【解析】對(duì)于A：例如數(shù)據(jù)1，3，5，將數(shù)據(jù)改成2，3，5，數(shù)據(jù)的中位數(shù)未變更，仍為3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：依據(jù)頻率分布直方圖中，中位數(shù)的求法，可得B正確；對(duì)于C：依據(jù)頻率直方圖可得，左邊“拖尾”，且不對(duì)稱，則平均數(shù)變小，中位數(shù)變大，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，故C正確；對(duì)于D：方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，離散程度越小，故D正確.故選：BCD10．BC【解析】利用兩角和與差的正弦，余弦，正切公式化簡(jiǎn)及特別角的三角函數(shù)求值，即可推斷選項(xiàng).【解析】對(duì)于A，，不合題意；對(duì)于B，，符合題意；對(duì)于C，，符合題意；對(duì)于D，，不符合題意；故選：BC11．AC【分析】A.利用數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線，即可求解；B.首先取AB的中點(diǎn)為D，轉(zhuǎn)化向量，,再結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解；C.利用直線與圓相切，即可求的最小值；D.利用數(shù)形結(jié)合推斷當(dāng)最大時(shí)，直線與圓相切，即可求.【解析】對(duì)于A，，A正確.對(duì)于B，記AB的中點(diǎn)為D，,，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，當(dāng)直線與圓C相切時(shí)，b取到最值，令，，所以最小值為，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)PB與圓C相切時(shí)，最大，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：AC12．ACD【分析】依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可推斷A；由空間向量數(shù)量積可推斷B；當(dāng)直線平行于直線，時(shí)，通過線面垂直的判定定理可推斷C，由共面對(duì)量定理可推斷D.【解析】對(duì)于A，平面，平面與棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，與棱的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，平面平面，又平面，平面，，點(diǎn)在面上，過點(diǎn)的直線交，于點(diǎn)，，平面，又平面，平面平面，，，故A正確；對(duì)于B，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)直線平行于直線，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，即，此時(shí)平面，以下給出證明：在正四面體中，設(shè)各棱長(zhǎng)為，，，，均為正三角形，點(diǎn)為的中心，，由正三角形中的性質(zhì)，易得，在中，，，，由余弦定理得，，，則，同理，，又，平面，平面，平面，存在點(diǎn)S與直線MN，使平面，故C正確；對(duì)于D，設(shè)為的中點(diǎn)，則，又∵，，三點(diǎn)共線，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，∵，，三點(diǎn)共線，∴，設(shè)，，，則，∵，，，四點(diǎn)共面，∴，又∵，∴，∴，即，故D正確.故選：ACD.【留意】關(guān)鍵點(diǎn)留意：本題考查了線面平行的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理，考查了空間向量數(shù)量積和共面對(duì)量定理，解題的關(guān)鍵是熟識(shí)利用空間向量的共面定理，考查了轉(zhuǎn)化實(shí)力與探究實(shí)力，屬于難題.13．【分析】利用單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為，從而可得結(jié)論.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的增函數(shù)，且，所以，解得，故答案為.【留意】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】將點(diǎn)代入拋物線方程可得的值，即可求得拋物線方程進(jìn)而得焦點(diǎn)坐標(biāo).【解析】拋物線過點(diǎn)，即有，解得，則拋物線，即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：.15．【分析】先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡(jiǎn)得令,可得,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域即可.【解析】由題意，可得，令，，即，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又，，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?故答案為:【留意】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題,意在考查計(jì)算實(shí)力,是基礎(chǔ)題.16．

6【解析】由題意可得第層的貨物的價(jià)格為，依據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可求出.【解析】解：由題意可得第n層的貨物的價(jià)格為，設(shè)這堆貨物總價(jià)是，①，則，②，由①?②可得，，∵這堆貨物總價(jià)是萬元，，故答案為：；.【留意】本題考查了錯(cuò)位相減法求和，考查了運(yùn)算實(shí)力，以及分析問題和解決問題的實(shí)力，屬于中檔題.17．(1)數(shù)列不是數(shù)列，是數(shù)列，理由見解析；(2)或.【分析】(1)依據(jù)數(shù)列的定義依次判定數(shù)列、即可；(2)依據(jù)數(shù)列的定義，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)列的增減性依次探討當(dāng)、、、時(shí)的狀況.(1)不是數(shù)列，是數(shù)列.因?yàn)?N*)，所以，故不是數(shù)列；因?yàn)?N*)，所以，又，所以是數(shù)列；(2)若數(shù)列為數(shù)列，則對(duì)于成立，且，有.當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)最大，，又，則且；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以即在上恒成立，所以，有，此時(shí)最大，，又，故不存在滿意題意的，舍去；當(dāng)時(shí)，，由上述分析知，，結(jié)合，故不存在滿意題意的，舍去；當(dāng)時(shí)，，則，所以，此時(shí)最大，，，又，故且.綜上，實(shí)數(shù)p的取值集合為或,.18．(1)(2)答案見解析【分析】（1）依據(jù)三局兩勝制可知，乙獲勝則有三種狀況，分類即可求解.（2）依據(jù)隨機(jī)變量全部取值的可能以及計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率，即可求解,（1）競(jìng)賽結(jié)束時(shí)，乙獲勝有三種狀況：①第一局甲勝，其次局乙勝，第三局乙勝，②第一局乙勝，其次局甲勝，第三局乙勝，③第一局，其次局2勝，∴競(jìng)賽結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；（2）由題意可得，X的全部可能取值為0，1，2，，，．∴X的分布列為X01219．答案不唯一，詳細(xì)見解析．【分析】若選①，則由正弦定理可得，化簡(jiǎn)后可求出角或，再由求出，然后由可求出的值；若選②，則由正弦定理得，即可得，再利用余弦定理可求得，從而可求出角，再由求出，然后由可求出的值；若選③，由結(jié)合協(xié)助角公式和基本不等式可得，則可求出，而利用基本不等式時(shí)有，從而可得三角形為等邊三角形，與相沖突，則可得問題中的三角形不存在【解析】選①：因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以，所以，，又，，所以或，即或．因?yàn)椋?，所以．?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此的值為或．選②：因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以，所以，因此的值．選③：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，于是，即；且，即，留意到，，因此，即，于是為等邊三角形，因此與相沖突，故不存在．【留意】關(guān)鍵點(diǎn)留意：此題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，從而可求出角的值，再結(jié)合三角函數(shù)恒等變換公式求出的值，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題20．（1）當(dāng)M是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面，理由見解析；（2）.【分析】（1）由線面平行的性質(zhì)定理確定M是線段的中點(diǎn)，然后依據(jù)線面平行的判定定理證明．（2）將幾何體補(bǔ)成三棱柱，由三棱柱和三棱錐體積得幾何體的體積，再求得三棱錐的體積后可得所求比值．【解析】（1）當(dāng)M是線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.證明如下：連接交于點(diǎn)N，連接，如圖，由于M、N分別是的中點(diǎn)，所以，又在平面內(nèi)，且不在平面內(nèi)，所以平面.（2）∵四邊形是矩形，∴.又，且，∴平面.平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又平面，所以，將幾何體補(bǔ)成三棱柱，三棱柱的體積，則幾何體的體積，又三棱錐的體積.∴空間幾何體與空間幾何體的體積的比為.21．（1）；（2）存在，.【分析】（1）連接，則，即，則點(diǎn)的軌跡是以，為左右焦點(diǎn)，的雙曲線，求解軌跡方程即可.（2）由題意可知時(shí)直線和的傾斜角互補(bǔ).分類探討：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，關(guān)于軸對(duì)稱，軸上的隨意點(diǎn)都有.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，與雙曲線方程聯(lián)立，整理得，設(shè)，，則，.依據(jù)，可知，整理得，將，代入求