山東省滕州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月月考試題含解析

PAGE21-山東省滕州市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)10月月考試題（含解析）（時間120分鐘總分150分）一、單選題（共8小題，每題5分）1.空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對稱的性質(zhì)和中點坐標(biāo)公式干脆求解．【詳解】解：設(shè)空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于點的對稱點的坐標(biāo)為，則，解得，，，∴點坐標(biāo)為．故選：B．【點睛】本題考查了空間中點坐標(biāo)公式，考查了數(shù)學(xué)運算實力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知定點和直線，則點到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先將，轉(zhuǎn)化為求得定點，然后將點到直線的距離轉(zhuǎn)化為兩點間的距離求解.【詳解】，化為，令，解得，所以直線過定點Q，所以點到直線的距離的最大值為，故選：B【點睛】本題主要考查直線系，兩點間的距離公式，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的實力，屬于中檔題.3.順次連接點，，，所構(gòu)成的圖形是（）A.平行四邊形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不對【答案】A【解析】【分析】由四個點的坐標(biāo)可求出，，，依據(jù)斜率關(guān)系以及線段的長度，即可得結(jié)果.【詳解】因為，，，，所以，，，所以，，所以四邊形平行四邊形.故選：A【點睛】本題主要考查了兩直線平行的條件，考查了直線的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題.4.，，直線過點，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出直線、的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案．【詳解】解：直線的斜率，直線的斜率，結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是或．故選：．【點睛】本題考查直線斜率公式及斜率改變狀況，屬于基礎(chǔ)題．5.正方體中，、分別為、上的點，且滿意，，則異面直線與所成角的余弦值為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取上一點，使，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，進(jìn)而可得，所以為異面直線與所成角，在中，，即可求解.【詳解】取線段上一點，使，連接，，如圖所示，因為，，所以，所以，，又因為，所以為異面直線與所成角，設(shè)該正方體的棱長為，則，，所以在中，，所以，故選：C【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，詳細(xì)步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為兩條異面直線所成的角．6.若方程所表示的圓取得最大面積，則直線的傾斜角等于（）A.135° B.45° C.60° D.120°【答案】A【解析】【分析】將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到半徑，再依據(jù)圓取得最大面積時求得k即可.【詳解】方程的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，當(dāng)所表示的圓取得最大面積時，，此時，則直線為，所以，因為，所以故選：A【點睛】本題主要考查圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化以及圓的最大面積問題，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.7.已知空間直角坐標(biāo)系中有一點，點?是平面內(nèi)的直線上的動點，則，兩點間的最短距離是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)空間中兩點間的距離公式，將兩點間距離的最小值，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值問題；【詳解】點是平面內(nèi)的直線上的動點，可設(shè)點，由空間兩點之間的距離公式，得，令，當(dāng)時，的最小值為，所以當(dāng)時，的最小值為，即兩點的最短距離是，故選：B.【點睛】本題考查空間中兩點間的距離公式、一元二次函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解實力.8.在四棱柱中，底面是正方形，側(cè)棱底面.已知，E為線段上一個動點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則的最小值問題轉(zhuǎn)化為求平面直角坐標(biāo)系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，即轉(zhuǎn)化為求平面直角坐標(biāo)系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，由圖可知當(dāng)M，P，N三點共線時，到兩定點的距離之和最小，從而可得答案【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.∵E線段上一個動點，∴設(shè)，則，，故問題轉(zhuǎn)化為求的最小值問題，即轉(zhuǎn)化為求平面直角坐標(biāo)系中的一個動點到兩定點的距離之和的最小值的問題，如圖所示.由此可知，當(dāng)M，P，N三點共線時，，故選：B.【點睛】此題考查空間中兩線段和最小問題，轉(zhuǎn)化為平面問題解決，考查空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題二.多選題（共4小題，每題5分，選全得滿分，不全得3分，錯選0分）9.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量肯定共面B.若對空間中隨意一點，有，則，，，四點共面C.已知向量組是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底D.若，則是鈍角【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)共線向量的概念，可判定A是正確的;依據(jù)空間向量的基本定理，可判定B是正確的;依據(jù)空間基底的概念，可判定C正確;依據(jù)向量的夾角和數(shù)量積的意義，可判定D不正確.【詳解】對于A中，依據(jù)共線向量的概念，可知空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量肯定共面，所以是正確的;對于B中，若對空間中隨意一點，有，因為，依據(jù)空間向量的基本定理,可得P,A,B,C四點肯定共面，所以是正確的;對于C中，由是空間中的一組基底，則向量不共面，可得向量不共面，所以也是空間的一組基底，所以是正確的;對于D中，若，又由，所以，所以不正確.故選：ABC【點睛】本題主要考查了空間的向量的共線定理、共面定理的應(yīng)用，基底的概念與判定，以及向量的夾角的應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的實力.10.已知平面上一點M(5，0)，若直線上存在點P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（）A.y=x+1 B.y=2 C. D.y=2x+1【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)切割型直線的定義，由點M(5，0)到直線距離不大于4求解.【詳解】A.點M(5，0)到直線y=x+1的距離為：，故錯誤；B.點M(5，0)到直線y=2的距離為：，故正確；C.點M(5，0)到直線的距離為：，故正確；D.點M(5，0)到直線y=2x+1的距離為：，故錯誤；故選：BC【點睛】本題主要考查點到直線的距離以及存在問題，還考查了運算求解的實力，屬于基礎(chǔ)題.11.已知二次函數(shù)交軸于，兩點（，不重合），交軸于點.圓過，，三點.下列說法正確的是（）①圓心直線上；②的取值范圍是；③圓半徑的最小值為1；④存在定點，使得圓恒過點.A.① B.② C.③ D.④【答案】AD【解析】【分析】①依據(jù)二次函數(shù)的對稱軸是和圓的對稱性推斷；②依據(jù)二次函數(shù)交軸于，兩點，由推斷；③分別令，，得到A，B，C的坐標(biāo)代入，得到推斷；④由③得到圓M的方程為推斷；【詳解】①因為二次函數(shù)的對稱軸是，且，兩點關(guān)于對稱，所以圓心在直線上，故正確；②因為二次函數(shù)交軸于，兩點，所以解得且，故錯誤；③令，解得，所以，令，得，則，設(shè)圓M的方程為：，將A，B，C的坐標(biāo)代入得：，消去得，所以，即，所以，因為且，所以，故錯誤；④圓M的方程為，即，則圓恒過定點，故正確；故選：AD【點睛】本題主要考查二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及圓的方程的應(yīng)用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.12.定義空間兩個向量的一種運算，則關(guān)于空間向量上述運算的以下結(jié)論中恒成立的有（）A.B.C.D.若，，則【答案】BD【解析】【分析】對于A,B,只需依據(jù)定義列出左邊和右邊的式子即可,對于C,當(dāng)時,,,明顯不會恒成立.對于D,依據(jù)數(shù)量積求出,再由平方關(guān)系求出的值,代入定義進(jìn)行化簡驗證即可.【詳解】解：對于A：，，故不會恒成立；對于B，，，故恒成立；對于C，若，且，，，明顯不會恒成立；對于D，，，即有.則恒成立.故選：BD.【點睛】本題考查向量的新定義，理解運算法則正確計算是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.三.填空題（共4小題，每題5分）13.若，，則與共線的單位向量是____________.【答案】【解析】【分析】求出，再求出，利用單位向量的定義可得答案．【詳解】，，，所以依據(jù)單位向量的關(guān)系式，可得單位向量．故答案為：．【點睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算以及空間向量的模和單位向量，屬于基礎(chǔ)題．14.將直線l：向左平移3個單位，再向上平移2個單位得到直線，則直線l與之間的距離為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件得到直線為，再由兩平行線間的距離公式得到，化簡求值即可.【詳解】由題意可得，直線的方程為，即，則直線與之間的距離.故答案為.【點睛】本題考查了兩平行線間的距離公式的應(yīng)用以及直線的平移的應(yīng)用.15.若直線被直線與截得的線段長為，則直線的傾斜角的值為________.【答案】或【解析】【分析】易知直線與平行，且它們之間的距離為：，然后依據(jù)直線被直線與截得的線段長為，求得直線與與的夾角即可【詳解】因為直線與平行，則與之間的距離為：設(shè)直線與與的夾角為，因為直線被直線與截得的線段長為，則，解得，因為兩直線的斜率為1，故傾斜角為，所以直線的傾斜角的值為或故答案為：或【點睛】本題主要考查兩平行間的距離兩直線的夾角，直線的傾斜角的定義，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.16.如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構(gòu)成），正方形是上底面正中間一個正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點是線段上的動點，點是線段上的動點，則線段長度的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，求出目標(biāo)的表達(dá)式，從而可得最小值.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,設(shè),,.,.,當(dāng)且時，取到最小值，所以線段長度的最小值為.【點睛】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，利用空間向量求解距離的最值問題時，一般是把目標(biāo)式表示出來，結(jié)合目標(biāo)式的特征，選擇合適的方法求解最值.四.解答題17.在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，點滿意．（1）求點的坐標(biāo)（用表示）；（2）若，求值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)運算求出的坐標(biāo)，結(jié)合等式可得出的坐標(biāo)，再利用可求出點的坐標(biāo)；（2）計算出的坐標(biāo)，由，得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得出關(guān)于實數(shù)的等式，解出即可得出實數(shù)的值.【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，所以點的坐標(biāo)為；（2）因為，，所以，即，解得．【點睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算，同時也考查了利用空間向量處理直線與直線的垂直關(guān)系，考查計算實力，屬于基礎(chǔ)題.18.已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在其次象限，半徑長為，求圓的一般方程．【答案】x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.【解析】試題分析：建立方程組,解方程組，并刪除增根.試題解析：圓心C，∵圓心直線x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①又∵半徑長r＝＝，∴D2＋E2＝20.②由①②可得或又∵圓心在其次象限，∴－＜0即D＞0.則故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.19.已知為圓上的動點，，為定點，（1）求線段中點M的軌跡方程；（2）若，求線段中點N的軌跡方程.【答案】（1）(x－1)2＋y2＝1；（2）【解析】【詳解】（1）設(shè)中點為，由中點坐標(biāo)公式可知，點坐標(biāo)為.∵點在圓上，∴.故線段中點的軌跡方程為（2）設(shè)的中點為，在中，，設(shè)為坐標(biāo)原點，連結(jié)，則，所以，所以.故中點的軌跡方程為20.已知中，點，邊和邊上的中線方程分別是和，求所在直線方程.【答案】.【解析】【分析】可設(shè)點坐標(biāo)為，將代入邊的中線方程，再求出中點坐標(biāo)，代入邊上的中線方程，聯(lián)立方程即可求解點，同理求得點，則可求解所在直線方程【詳解】設(shè)點坐標(biāo)為，因為點在邊的中線上，所以有.①的中點坐標(biāo)為，因為的中點在邊的中線上，所以有.②聯(lián)立①②解得，，即.同理，可得.則，的方程為，化簡得.【點睛】本題考查中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，三角形中線的性質(zhì)，直線方程的求解，屬于中檔題21.如圖，正三棱柱底面邊長為.(1)若側(cè)棱長為，求證：;(2)若與成角，求側(cè)棱長.【答案】（1）證明見解析；（2）2.【解析】【分析】設(shè)，(1)由，從而可得結(jié)果；(2)由與成角，利用夾角公式可得，從而可求側(cè)棱長.【詳解】（1）設(shè)，知，.而故.（2）由（1）知，，∴即即解得故側(cè)棱AA1的長為2.【點睛】本題主要考查空間向量的幾何運算以及空間向量夾角余弦公式的應(yīng)用，意在考查空間想象實力以及綜合應(yīng)用所學(xué)學(xué)問解答問題的實力，屬于中檔題.22.如圖，在四棱臺中，底面是菱形，，，平面．（1）若點是的中點，求證：平面；（2）棱上是否存在一點，使得二面角的余弦值為？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由．【答案】（1）詳見解析；（2）存在，且長度為【解析】【分析】(1)連接,可得四邊形是平行四邊形，可得，可證得//平面；（2）取中點，連接，可得是正三角形，分別以,,為軸,軸,軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)點存在，設(shè)點的坐標(biāo)為，，可得平面的一個法向