2025屆高考數(shù)學一輪復習第4章三角函數(shù)解三角形第4講正余弦定理及解三角形作業(yè)試題1含解析新人教版

PAGE第四章三角函數(shù)、解三角形第四講正、余弦定理及解三角形練好題﹒考點自測1.[2024全國卷Ⅲ,5分]在△ABC中,cosC=QUOTE,AC=4,BC=3,則cosB= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE2.[2017山東,5分]在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿意sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是()A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A3.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=18,b=24,A=45°,則此三角形 ()A.無解 B.有一解C.有兩解 D.解的個數(shù)不確定4.[多選題]已知△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是 ()A.若A>B,則必有sinA>sinBB.若A=60°,a=4QUOTE,b=4QUOTE,則B=45°或B=135°C.若滿意條件C=60°,AB=QUOTE,BC=a的△ABC有兩個,則實數(shù)a的取值范圍是(QUOTE,2)D.若acosB=bcosA,則△ABC是等腰三角形5.[2024全國卷Ⅱ,5分]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若b=6,a=2c,B=QUOTE,則△ABC的面積為.

6.[2024浙江,6分]在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,點D在線段AC上.若∠BDC=45°,則BD=,cos∠ABD=.

7.[2016全國卷Ⅱ,5分]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,a=1,則b=.

8.[2024深圳市高三統(tǒng)一測試]在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(a+b)(sinA-sinB)=(a-c)sinC,b=2,則△ABC的外接圓面積為.

9.[湖北高考,5分]如圖4-4-1,一輛汽車在一條水平的馬路上向正西行駛,到A處時測得馬路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=m.

圖4-4-1拓展變式1.(1)[2024江淮十校聯(lián)考]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2asinA-bsinB=2csinC,cosA=QUOTE,則QUOTE= ()A.4 B.3 C.2 D.1(2)在銳角三角形ABC中,b=2,a+c=QUOTE(a>c),且滿意2asinBcosC+2csinBcosA=QUOTEb,則a-c=.

2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,(1)若QUOTE<cosA,則△ABC的形態(tài)為.

(2)若c-acosB=(2a-b)cosA,則△ABC的形態(tài)為.

3.[2024河南洛陽4月模擬]在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.(1)若△ABC的面積S滿意4QUOTES+c2=a2+b2,c=QUOTE,a=4,且b>c,求b的值;(2)若a=QUOTE,A=QUOTE,且△ABC為銳角三角形,求△ABC周長的取值范圍.4.[2024全國卷Ⅰ,12分]在平面四邊形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2QUOTE,求BC.5.(1)[解三角形與數(shù)列、基本不等式綜合]設△ABC的角A,B,C成等差數(shù)列,且滿意sin(A-C)-sinB=-QUOTE,BC延長線上有一點D,滿意BD=2,則△ACD面積的最大值為()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE(2)[新課標全國Ⅰ,5分]在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是.

6.[2024山東,5分]某中學開展勞動實習,學生加工制作零件,零件的截面如圖4-4-6所示.O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心,A是圓弧AB與直線AG的切點,B是圓弧AB與直線BC的切點,四邊形DEFG為矩形,BC⊥DG,垂足為C,tan∠ODC=QUOTE,BH∥DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直線DE和EF的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

圖4-4-6答案第四講正、余弦定理及解三角形1.A由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cosC=16+9-2×4×3×QUOTE=9,AB=3,所以cosB=QUOTE=QUOTE,故選A.2.A由題意可知sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),即2sinBcosC=sinAcosC,又cosC≠0,故2sinB=sinA,由正弦定理可知a=2b.故選A.3.C∵bsinA=12QUOTE<a<b,∴三角形有兩解.4.ACD對于A,在△ABC中,若A>B,則a>b,由QUOTE=QUOTE,得sinA>sinB,A正確;對于B,由QUOTE=QUOTE得sinB=QUOTEsinA=QUOTE×QUOTE=QUOTE,因為a>b,所以B<A,所以B=45°,B錯誤;對于C,由條件可得BC·sinC<AB<BC,即QUOTEa<QUOTE<a,解得QUOTE<a<2,C正確;對于D,由acosB=bcosA得sinAcosB=sinBcosA,即sin(A-B)=0,又A,B為三角形的內(nèi)角,所以A=B,故△ABC是等腰三角形,D正確.故選ACD.5.6QUOTE因為a=2c,b=6,B=QUOTE,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得62=(2c)2+c2-2×2c×ccosQUOTE,得c=2QUOTE,所以a=4QUOTE,所以△ABC的面積S=QUOTEacsinB=QUOTE×4QUOTE×2QUOTE×sinQUOTE=6QUOTE.6.QUOTEQUOTE在Rt△ABC中,易得AC=5,sinC=QUOTE=QUOTE.在△BCD中,由正弦定理得BD=QUOTE×sin∠BCD=QUOTE×QUOTE=QUOTE,sin∠DBC=sin[180°-(∠BCD+∠BDC)]=sin(∠BCD+∠BDC)=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.又∠ABD+∠DBC=90°,所以cos∠ABD=sin∠DBC=QUOTE.7.QUOTE解法一因為cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,從而sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得b=QUOTE=QUOTE.解法二因為cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,從而cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.由正弦定理QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTE.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b=QUOTE.解法三因為cosA=QUOTE,cosC=QUOTE,所以sinA=QUOTE,sinC=QUOTE,由正弦定理QUOTE=QUOTE,得c=QUOTE=QUOTE.從而b=acosC+ccosA=QUOTE.8.QUOTEπ利用正弦定理將已知等式轉(zhuǎn)化為(a+b)(a-b)=(a-c)c,即a2+c2-b2=ac,所以由余弦定理得cosB=QUOTE=QUOTE,因為0°<B<180°,所以B=60°.設△ABC的外接圓半徑為R,則由正弦定理知,2R=QUOTE=QUOTE,R=QUOTE,所以△ABC的外接圓面積S=πR2=QUOTEπ.9.100QUOTE由題意,得∠BAC=30°,∠ABC=105°.在△ABC中,因為∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°,所以∠ACB=45°.因為AB=600m,由正弦定理可得QUOTE=QUOTE,即BC=300QUOTEm.在Rt△BCD中,因為∠CBD=30°,BC=300QUOTEm,所以tan30°=QUOTE=QUOTE,所以CD=100QUOTEm.1.(1)D因為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2asinA-bsinB=2csinC,利用正弦定理將角化為邊可得2a2-b2=2c2①,由①及余弦定理可得cosA=QUOTE=QUOTE=QUOTE,化簡得QUOTE=1,即QUOTE=1,故選D.(2)QUOTE因為2asinBcosC+2csinBcosA=QUOTEb,所以2sinAsinBcosC+2sinCsinBcosA=QUOTEsinB.在銳角三角形ABC中,sinB>0,所以2sinAcosC+2sinCcosA=QUOTE,即sin(A+C)=QUOTE,所以sinB=QUOTE,cosB=QUOTE.因為b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,所以ac=1.因為(a-c)2=(a+c)2-4ac=7-4=3,且a>c,所以a-c=QUOTE.2.(1)鈍角三角形已知QUOTE<cosA,由正弦定理,得QUOTE<cosA,即sinC<sinBcosA,所以sin(A+B)<sinBcosA,即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,所以cosBsinA<0.又sinA>0,于是有cosB<0,即B為鈍角,所以△ABC是鈍角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形因為c-acosB=(2a-b)cosA,所以由正弦定理得sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,又C=π-(A+B),所以sinC=sin(A+B),所以sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA,所以cosA(sinB-sinA)=0,所以cosA=0或sinB=sinA,所以A=QUOTE或B=A(B=π-A舍去),所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.3.(1)因為4QUOTES=a2+b2-c2,所以4QUOTE×QUOTEabsinC=2abcosC,所以tanC=QUOTE,又0<C<π,所以C=QUOTE.由余弦定理及c=QUOTE,a=4,得cosQUOTE=QUOTE,解得b=3QUOTE或b=QUOTE.因為b>c=QUOTE,所以b=3QUOTE.(2)由正弦定理及a=QUOTE,A=QUOTE得QUOTE=QUOTE=QUOTE,故b=2sinB,c=2sinC=2sin(QUOTE-B).則△ABC的周長為QUOTE+2sinB+2sin(QUOTE-B)=QUOTE+QUOTEcosB+3sinB=QUOTE+2QUOTEsin(B+QUOTE).由題意可知QUOTE解得QUOTE<B<QUOTE.所以QUOTE<B+QUOTE<QUOTE,故QUOTE<sin(B+QUOTE)≤1,因此三角形ABC周長的取值范圍為(3+QUOTE,3QUOTE].4.(1)在△ABD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE.由題設知,QUOTE=QUOTE,所以sin∠ADB=QUOTE.由題設知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=QUOTE=QUOTE.(2)由題設及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=QUOTE.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2×BD×DC×cos∠BDC=25+8-2×5×2QUOTE×QUOTE=25,所以BC=5.5.(1)B因為△ABC的角A,B,C成等差數(shù)列,所以B=QUOTE,又sin(A-C)-sinB=-QUOTE,所以A=B=C=QUOTE,設△ABC的邊長為x,由已知有0<x<2,則S△ACD=QUOTEx(2-x)sinQUOTE=QUOTEx(2-x)≤QUOTE(Q